复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十一章 积分变换法

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU Chapter1l积分变换法 一、无界空间的有源导热问题 Fourier变换法 定解问趣:J41(x1)-an1(x1)=f(x),(-w(k, 1) (x,1)4(ik)m(k,1)=-k2(k,1) i(k,)+a2k2i(k,1)=0, w_o=o(k) 解得(k,1)=(k 因为p(k)(x) qkt (利用 cos bxdx 利用卷积定理,得 )2 (x-5) ()==J5) d5=s) 「叭XG(x:5,0)d5

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 11 积分变换法 一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法 定解问题: ( ) 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ). t xx t u x t a u x t f x t x u x  =  − = −      =  ( ) ( ) 2 2 0 0 0, ( , ), ( ). 0. t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v  = =     − = −    − = −     +     = =    u x t w x t v x t ( , ) ( , ) ( , ). = + 1．一维无源导热问题 ( ) 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t xx t w x t a w x t x w x  =  − = −      =  解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换: 1 ( , ) ( , ) d ; 2 1 ( , ) ( , ) d . 2 ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k    − −  −  =     =    w x t w k t ( , ) ( , ),  ( ) 2 2 ( , ) ( , ) ( , ). w x t ik w k t k w k t xx  = − 2 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t t w k t a k w k t w k  =  + =   =  解得 2 2 ( , ) ( ) . a k t w k t k e  − = 因为 ( ) ( ) ~  k  x ， a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 − −  (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d  − − − =   ）， 利用卷积定理，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 1 1 ( , ) ( ) d ( ) d 2 2 2 ( ) ( , ; ,0)d , x x w x t e e a t a t a t a t G x t               − −   − − − −  − = = =   

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU (x-5) 其中G(x 容易验证,G(x,t;5,0)是问题 a lr(x 0r) 的解。 l|-=(x-5) 性质:G(x,l;5,r)=G(5,t,x,r) G(x, t; s, r)=G(x, t-rxO)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 2 其中 ( ) 2 2 4 1 ( , ; ,0) . 2 x G x t e a t a t    − − = 容易验证， G(x,t;,0) 是问题 ( )     = − − = −     = ( ) ( , ) ( , ) 0 0 2 u  x  u x t a u x t x t t xx 的解。 G(x,t;,0) 称为一维无源导热问题的基本解（或 Green Function）。 显然，只要找到了 Green Function， 则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义： 在方程为齐次的情况下，在 t = 0 时刻，在 x =  处放置一个热量为 Q 的 点热源，相当于给定初始温度分布 ( ). Q x c    − 因此， G(x,t;,0) 就是在时 刻 t = 0 ，在 x =  处放置了一个热量为 c 的点热源的情况下，在时刻 t 杆上 的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长， G(x,t;,0) 曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是，在任一时刻 t ，杆上的总热量保持不变。即 ( ) 2 2 2 4 ( , ) ( , ; ,0) . 2 x a t c c u x t G x t c d e d e d c a t             −    − − − − − = = = =    另外，Green Function 具有性质： G x t G t x ( , ; ,0) ( , ; ,0).   = 在 t  0 时， G(x,t;,0) 无意义，这反映了热传导的不可逆性。 推广： ( ) ( ) (  )      − − − − = a t x e a t G x t 2 2 4 2 1 ( , ; , ) 是 ( )     = − − = −      = ( ) ( , ) ( , ) 0 , 2     u x u x t a u x t x t t t xx 的解。 性质： G x t G t x ( , ; , ) ( , ; , ),     = G(x,t;, ) = G(x,t − ; x,0)

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 维有源零初始条件的导热问题 f(x,1)(-r) 的解。 因此,一维无界空间的有源导热问题 l1(x,1)-a2l(x,1)=f(x,1)(-∞<x<∞ p(x) 的解为 l(x,D)=w(x,1)+v(x,1) p(G(x,t;,0)d5+ f( 5, r)G(x, t; 5, r)ds dr. G(x,t;5,r)称为一维无界空间导热问题的基本解(或 Green function)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 3 2．一维有源零初始条件的导热问题 ( ) 2 0 ( , ), 0. t xx t v a v f x t x v =  − = −      =  解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换， 2 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0. t t v k t a k v k t f k t v =  + =   =  此非齐次方程可用 Laplace 变换，或常数变异法求解。得 ( ) 2 2 0 ( , ) ( , ) . t a k t v k t f k e d   − − =  因为 f k f x ( , ) ( , ),    ( ) ( )  (  )  − − − − −  a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d  − − − =   ）. 利用卷积定理，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 ( , ) ( , ) d 2 ( , ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d . x a k t a t f k e f e a t f G x t f G x t                    − −  − − − −  −  −  − = − =    0 ( , ) ( , ) ( , ; , )d d , t v x t f G x t        −   =       其中 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 ( , ; , ) . 2 x a t G x t e a t       − − − = − 它也是问题 ( )     = − = − − −      = 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , 0 2 t t xx u u x t a u x t  x   t  x t  的解。 因此，一维无界空间的有源导热问题 ( )     = − = −     = ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 u x u x t a u x t f x t x t t xx  的解为 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d d . t u x t w x t v x t           G x t f G x t   − − = +   = +        G(x,t;, ) 称为一维无界空间导热问题的基本解（或 Green Function）

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 三维无界空间的静电场问题 静电势u(F)满足 Poisson方程,即 l(7)=lx+ly+l==- P(r) oOi(k), lx()4>(ik)2i(k)=-k1(k) u,()-k-u(k) u (r)<(ik)u(k)=-kau(k) 设/()0)分f(k i(k)=,;f(k) e/r cos ksin edkd edo oo sIn 2 由卷积定理得,()=/1 √2z f(r 4 引入函数GP)=4zF-fi

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 4 二、 三维无界空间的静电场问题 静电势 u(r)  满足 Poisson 方程，即 2 0 ( ) ( ) . xx yy zz r u r u u u    = + + = − (−   x, y,z  ) 现在用三重 Fourier 变换:              =       =   −   u k u r e r u r u k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r = xi + yi + zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i = + + . u r u k ( ) ( ),  2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), xx yy zz u r ik u k k u k u r ik u k k u k u r ik u k k u k  = −  = −  = − 或 2 2   − u r k u k ( ) ( ). 设 0 ( ) ( ) ( ), r f r f k   =  2 1 u k f k ( ) ( ). k = 3 3 2 cos 2 2 2 2 0 0 0 cos 0 0 0 1 1 1 1 1 d sin d d d 2 2 1 2 sin sin d d d 2 ik r ikr ikr e k e k k k k k rk e k k rk                        =         = =        0 2 1 sin 1 d . 2 x x r x r    = =  由卷积定理得， 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d d . 2 2 4 f r u r f r r r r r r r       = =      − −       引入函数 1 1 ( ; ) , 4 G r r  r r  = − 

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 并利用∫(F)=,有 E ()=1 dr'= 4 ∫poFG(:;F 显然,G(G;r) 是非齐次方程 4 V2u(F)=-f()(-∞<x,yz<∞)的最简单的特殊问题 Vu(F)=-0(-F)(-∞<x,y,x<∞)的解。 我们称GG:P)=11为方程v()=-/()(-∞<x,y2=<)的基 本解(或 Green function) G(,)s11 的物理意义:在空间F点放置一个电量为E0的点电荷, 此电荷在点产生的电势为G(F;F).显然,它具有源点F与场点F的交换 对称性:G(F;F)=G(P’;F). 三、三维无界空间的受迫振动问题 Poisson公式和推迟势公式 现在的定解问题是 n(F,1)- a-vu(r,)=f(F,1),(-0<x,y,x<∞) p(F), (F) v,(F,)-a2v2v(GF,1)=0, v (r, 1)-a'Vv(r, 1)=f(r, n) vo=(),,|==v(F) 0. l(F,D)=w(F,1)+v(,1) 1.自由振动问题 n(,1)-avw(F,D)=0, wl=(F),,l==v(F) ∞0<x,y,<∞ 解:现在用三重 Fourier变换

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 5 并利用 0 ( ) ( )   r f r   = ，有 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( ) ( ; )d . 4 r u r r r G r r r r r      = =     −    显然， r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  是非齐次方程 ( ) ( ) 2 u r f r    = − (−   x, y,z  ) 的最简单的特殊问题 ( ) ( ) 2  u r = − r − r      (−   x, y,z  ) 的解。 我们称 r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  为方程 ( ) ( ) 2 u r f r    = − (−   x, y,z  ) 的基 本解 （或 Green Function）. r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  的物理意义：在空间 r   点放置一个电量为 0  的点电荷， 此电荷在 r  点产生的电势为 G r r ( ; ).  显然，它具有源点 r   与场点 r  的交换 对称性： G(r;r ) G(r ;r)      =  . 三、 三维无界空间的受迫振动问题 Poisson 公式和推迟势公式 现在的定解问题是 ( ) 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , , ( ), ( ). tt t t t u r t a u r t f r t x y z u r u r   = =  −  = −      = =  2 2 2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). 0, 0. tt tt t t t t t t w r t a w r t v r t a v r t f r t w r w r v v   = = = =     −  = −  =  +     = = = =    u r t w r t v r t ( , ) ( , ) ( , ). = + 1. 自由振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w r t a w r t w r w r   = =  −  =   = =  (−   x, y,z  ) 解：现在用三重 Fourier 变换：

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU v(r) ∫fk 求解。 )手+ 其中F=x+y2+13和k=k+k2+k Fourier变换后,方程变为 in(k,)+a2k2i(k,t)=0, 。=(k=0(k 解之得, w(k 1=p(k)cos akt + y(k) sin akt 下面求解它的原函数,利用 in ak k k ksin ake cousin edkd8 ER ak sin rkdk sin ak sin rkdk 2 2丌r2 [-6(r+a)-6(r+a)+(r-a)+o(-a)] 其中,δ(r+a)=0,这是因为r≥0,a>0,因此r+a≠0 因此 n akt d(r-ar) 2 由卷积定理, kt v(r) 另外, cos akt a sin akt a d(r-at) 2 a at 由卷积定理, 6

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 6              =       =   −   w k w r e r w r w k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r = xi + yi + zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i = + + . Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w k t a k w k t w k w k   = =  + =   = =  解之得， akt ak k w k t k akt sin ( ) ~ ( ) cos ~ ( , ) ~     =  + . 下面求解它的原函数，利用 3 3 2 cos 2 0 0 0 cos 0 0 0 ( ) sin 1 sin 1 sin d sin d d d 2 2 1 1 2 sin sin d d sin sin d 2 2 1 1 1 1 sin sin d 2 2 ik r ikr ikr i r a k ak ak ak e k e k k k k k k ake k ak rk k r e ak rk k r r                     +  −      =         = = = =           ( ) ( ) ( ) d 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) , 2 i r a k i r a k i r a k e e e x r a r a r a r a r r a r         − + − − −  − + − − − = − + − + + − + − − =  其中，  (r + a) = 0 ，这是因为 r  0, a  0 ，因此 r a +  0. 因此， sin ( ) . 2 akt r at ak ar   −  由卷积定理， sin 1 ( ) ( ) ( )d . 4 akt r k r r at r ak a r r       − −  −   另外， sin 1 ( ) cos , 2 akt r at akt t ak a t r   −   =    由卷积定理

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 6cwk2小7--a (F,D)= arrr o( at dr 4a at 注意到,只有当严满足条件F一F=at时,此式中的被积函数才可能不为 零。这条件就是以F点为圆心,at为半径的球面,记之为Sn。于是,上 式可写成简洁的形式: (F,1)= 其中,dS"是球面Sr的面积元。上式称为 Poisson公式。 物理意义: Possion公式表明,时刻t,F点的波动情况是由初始条件o(F) 和v(F)在球面Sm上的值决定的。既然此球面的半径是a,可见扰动是以 速度a传播的。为了清楚地看出三维波动问题的特点,我们设初始扰动只 局限于某一有限区域V[即(F)和v(矿)仅在V区域内取非零值],并以d 和D分别表示点至v的最小距离和最大距离,如图所示。当一时,S与V又不相 交,同样有w(x,1)=0。从物理角度看,这是 因为扰动的后波阵面已经过去,F点又恢复静 止状态。只有当 d <【< 时,S与V相交, q()和v()在球面SGn上取非零值, Poisson公式中的积分只才可能不为

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 7 1 ( ) ( )cos ( )d . 4 r k akt r r at r a t r r        − −   −   1 ( ) ( ) ( , ) ( )d ( )d . 4 r r w r t r r at r r r at r a t r r r r           = − − + − −        − −       注意到，只有当 r   满足条件 r − r  = at   时，此式中的被积函数才可能不为 零。这条件就是以 r  点为圆心，at 为半径的球面，记之为 r at S  。于是，上 式可写成简洁的形式： 1 ( ) ( ) ( , ) d d , 4 r r at at S S r r w r t S S a t at at         = +         其中， dS 是球面 r at S 的面积元。上式称为 Poisson 公式。 物理意义：Possion 公式表明，时刻 t，r  点的波动情况是由初始条件 (r )   和 (r )   在球面 r at S  上的值决定的。既然此球面的半径是 at，可见扰动是以 速度 a 传播的。为了清楚地看出三维波动问题的特点，我们设初始扰动只 局限于某一有限区域 V0 [即 (r )   和 (r )   仅在 V0 区域内取非零值]，并以 d 和 D 分别表示 r  点至 V0 的最小距离和最大距离，如图所示。当 a d t  时， r at S  与 V0 尚不相交， (r )   和 (r )   在球面 r at S  上都 取零值，所以 w(x,t) = 0. 从物理角度看，这 是因为扰动的前波阵面尚未到达 r  点，此点仍 处于静止状态。当 a D t  时， r at S  与 V0 又不相 交，同样有 w(x,t) = 0 。从物理角度看，这是 因为扰动的后波阵面已经过去， r  点又恢复静 止状态。只有当 a D t a d   时， r at S  与 V0 相交， (r )   和 (r )   在球面 r at S  上取非零值，Poisson 公式中的积分只才可能不为

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 零,扰动到达F点。由此可见,三维波动问题的解是一种“推迟势”解, 且具有清晰的前阵面和后阵面,没有后效现象。同时振幅在传播过程中与 距离的一次方成反比而减小(那么,能量流以与距离的平方成反比的方式 减小,即能量守恒),这种现象也称为 Huygens现象 2.受迫振动问题 F,1)-aVv(,1)=f(F,1) v=0,v 解: Fourier变换后,方程变为 j5(kD)+ak试(k,)=f(k) 。=0 解之得(可以用 Laplace变换法求解) ak(t 利用6)→厂4a,得到 v(, 1 f(,r [F-r1-a(-)]d f(r,r) 4 其中利用了a)=o(x)(a≠0) 注意到,式中的被积函数只有当 时才 可能不为零,而且从τ的积分限看又必须z≥0。由此可见,r’必须满足 条件F一門≤ar。这是以F点为球心、a为半径的球体,记之为m。在此 条件下,对τ积分后,得到 f(r

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 8 零，扰动到达 r  点。由此可见，三维波动问题的解是一种“推迟势”解， 且具有清晰的前阵面和后阵面，没有后效现象。同时振幅在传播过程中与 距离的一次方成反比而减小（那么，能量流以与距离的平方成反比的方式 减小，即能量守恒），这种现象也称为 Huygens 现象。 2. 受迫振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v r t a v r t f r t v v = =  −  =   = =  解：Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v k t a k v k t f k t v v = =  + =   = =  解之得（可以用 Laplace 变换法求解） ( ) 0 ( , ) ( , ) sin d , t f k v k t ak t ak  = −   利用  −  −  −    r r at r r r r ak a akt k        ( )d ( ) 4 sin 1 ( ) ~     ，得到， ( ) 0 2 0 1 ( , ) ( , ) d d 4 1 ( , ) d d , 4 t t f r v r t r r a t r a r r f r r r t r a r r a                =  − − −        −          −  = − +      −            其中利用了 ( ) ( ) . x ax a   = （ a  0 ） 注意到，式中的被积函数只有当 = 0 −  − + a r r t    ，即 a r r t −  = −    时才 可能不为零，而且从  的积分限看又必须   0 。由此可见， r   必须满足 条件 r − r   at   。这是以 r  点为球心、at 为半径的球体，记之为 r Tat  。在此 条件下，对  积分后，得到 2 1 1 ( , ) ( , )d . 4 r Tat r r v r t f r t r  a r r a −  = −   −  

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 这就是受迫振动问题的解。 物理意义:在零初始条件下,时刻t,点的波动情况由区域T上的振源 决定,而且就振源T内的尸′点的振动来说,其发出扰动的时刻是 -一1,时刻比时刻F一严晚了一F1。这又一次说明波的传播 速度为a。所以, v(r, 1) f(r,t 也称为推迟势公式。 因此,三维无界空间的受迫振动问题 G,1)-av(,)=f(,)(-0) 其中u为已知常数。 l-=0. 解:将变量x看作参数,对定解问题进行 Laplace变换, x,p l(X 得到关于像函数i(x,p)的常微分方程 pi(x,p)-a'i(x,p)=0,(> 将p看作参数,解方程得到, Npr 叵x x

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 9 这就是受迫振动问题的解。 物理意义：在零初始条件下，时刻 t ，r 点的波动情况由区域 r Tat  上的振源 决定，而且就振源 r Tat  内的 r   点的振动来说，其发出扰动的时刻是 a r r t −  −   ，时刻 t 比时刻 a r r t −  −   晚了 a r − r    。这又一次说明波的传播 速度为 a。所以，   −   − −  = r Ta t r a r r f r t a r r v r t         ( , )d 1 4 1 ( , ) 2  也称为推迟势公式。 因此，三维无界空间的受迫振动问题 ( )     = = −  = −     = = ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , , 0 0 2 2 u r u r u r t a u r t f r t x y z t t t tt        的解为 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) 1 1 d d ( , )d . 4 4 r r r at at at S S T u r t w r t v r t r r r r S S f r t r a t at at a r r a     = +    −    = + + −          −     四、Laplace 变换法 例1. 半无限长均匀细杆的导热问题（侧面绝热） ( ) 2 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, 0 , 0. t xx x t u x t a u x t x u u u = =  − =    = =  其中 u0 为已知常数。 解：将变量 x 看作参数，对定解问题进行 Laplace 变换，   − = 0 u(x, p) u(x,t)e dt pt 得到关于像函数 u (x, p) 的常微分方程 ( ) 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, 0 . xx x pu x p a u x p x u u p =  − =    =   将 p 看作参数，解方程得到， 1 2 ( , ) . px px a a u x p C e C e − = +

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 利用m(x,p)=0,定出C1=0;由条件=,定出C2=2 P P 于是有a(x,p) 现在将x看作参数,对上式进行反演,前面已经讲过 由相似定理,得 Npx a22√z 2a√xt 利用卷积定理,得 x,D)=10 e + H(t-r)dr 进一步,可以作代换a 2 ,并引入误差函数er(x)=c"da, 并利用积分dn=y,M小可以写成 u(x,1)=o1-erf 例2.一维无界区域受迫振动问题的一般形式是 a(x1)-a2u2(x,1)=f(x,1),(- u_o=o(x),u,L=v(x) 解:将变量x看作参数,对定解问题进行 Laplace变换, 1(x, P)-P ii(x, p)=-If(x, p)+ pp(x)+u(x) 解得(可用常数变异法、求解公式), △(x) P

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 10 利用 lim ( , ) = 0 → u x p p ，定出 C1 = 0 ；由条件 p u u x 0 0 = = ，定出 0 2 . u C p = 于是有 a px e p u u x p − = 0 ( , ) . 现在将 x 看作参数，对上式进行反演，前面已经讲过 t p e t e 4 1 2 3 2 1 − −   ，由相似定理，得 2 2 2 2 1 4 4 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 . 2 2 p x a t x a x a t x e e e x a t a t a x   − − −  =       ， 利用卷积定理，得 2 2 2 2 3 4 4 0 2 0 3 0 0 2 ( , ) ( )d d . 2 2 x x t t a a x xu u x t u e H t e a a          − − − = − =   进一步，可以作代换   a x 2 = ，并引入误差函数  − = x x e 0 erf( ) d 2   ， 并利用积分 2 d 0 2    =   − e ，u(x,t) 可以写成 ( ) 0 , 1 erf . 2 x u x t u a t     = −         例2. 一维无界区域受迫振动问题的一般形式是 ( ) 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). tt xx t t t u x t a u x t f x t x u x u x   = =  − = −      = =  解：将变量 x 看作参数，对定解问题进行 Laplace 变换， 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) . xx p u x p u x p f x p p x x a a     − = − + +         解得（可用常数变异法、求解公式）， a p y y y y x 2 ( ) 1 2 1 2 = −    =