复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第三章 复变函数级数

ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Chapter3复变函数级数 Abstract::简介解析函数的性质,尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数( power series)的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类 Motivation:引论中讲过,一方面,物理学家力求∑a(=-b)(将此sum 表达为一个简单的函数);但另一方面,有些物理上的表示(例如求解方程和方 程的解等)相当复杂,人们不得不反过来做级数展开。有趣的是,大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了(物理误差范围以内)。这不但对收敛快的级数 是如此,况且对发散级数尤要 cut off!-多项式展开。更有趣的是,这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论,物理理论和实验的核心目标, see part II)。 级数复习常数项级数:S=∑1 函数项级数: ∑=”(2) convergence,且 5(p)绝对收敛。<(P)称为 Riemann zeta function.psl:≤,而∑一发散(调和级数,和谐级数?)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 3 复变函数级数 Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent 级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。 Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求 ( )k k k a z b − （将此 sum 表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方 程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数 是如此，况且对发散级数尤要 cut off！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。 级数复习: 常数项级数： 1 1 . n S n    = =  函数项级数： ( ) 0 1 z 1 , 1 n n z z  = =  −  几何级数； ( ) 0 z , ! n z n z e n  = =    指数级数； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0 sin 1 z , 2 1 ! cos 1 z , 2 ! n n n n n n z z n z z n  + =  = = −   + = −     三角函数级数。 一般级数：…… 解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。 问题：设有序列 111 1, , , , 234 ，问 1 1 ? n S n  = = =  ，Key：divergence 发散. lim 1, n 1 n → n = − 且 ( ) 1 1 d ln 1 , n n x S n x + = = +  lim limln 1 , n ( ) n n S S n → → = = + 这是 log 发散。 而 ( ) 1 1 1 n p n n −  = −  收敛，( p 1) convergence，且 ( ) 1 1 p n p n   =  = 绝对收敛。 ( p) 称为 Riemann zeta function. p 1： 1 1 p n n  ，而 1 1 n n  =  发散（调和级数，和谐级数？）

ds of Mathematical Physics (2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU ∑发散(p≤D但是p>1为何收敛呢? 4 此几何级数收敛(>),:∑收敛(p>) 再问一致收敛呢?要有E,N(E)学说,而非N[See(Sub.1.3)blow 在C平面P=Rep+ilmp,Rep=1有无穷多个奇点。p=-2n(m=1,2,…)是5(p) 的零点,其它零点落在0≤Rep≤1. Riemann假设:上述零点全部在Rep=1/2 一、级数的基本概念与性质( Basic concepts and properties of series) 1.复数序列 (1)定义:按照一定顺序排列的复数二n=an+ibn,n=1,2,…,称为复 数序列,记为{n} 个复数序列完全等价于两个实数序列 (2)聚点:给定复数序列{n},若存在复数z,对于vE>0,恒有无 穷多个二满足n-0,3自然数N,使得只 要n>N,就有n-A<E,则称n}收敛于A,记为m=n=A。 个序列的极限必然是这个序列的聚点,而且是唯一的聚点

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 1 1 p n n  =  发散 ( 1) p  . 但是 p 1 为何收敛呢？ 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 7 8 15 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 8 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 p p p p p p p n p p p p p p n p p p p n n  =  − − − − =       = + + + +  + + +  + +                     + + + +  + + +  + +                    = + + + +  =               此几何级数收敛 ( p 1) ， 1 1 p n n  =  收敛 ( p 1) 。 再问一致收敛呢？要有   ,N ( ) 学说，而非 N [See (Sub. 1.3) below]. 在 C 平面 p p i p = + Re Im , Re 1 p = 有无穷多个奇点。 p n n = − = 2 ( 1,2, ) 是  ( p) 的零点，其它零点落在 0 Re 1.   p Riemann 假设：上述零点全部在 Re 1/ 2. p = 一、 级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series) 1. 复数序列 （1） 定义：按照一定顺序排列的复数 n n n z = a + ib ，n = 1,2,  ，称为复 数序列，记为 zn 。 一个复数序列完全等价于两个实数序列。 （2） 聚点：给定复数序列 zn  ，若存在复数 z ，对于   0 ，恒有无 穷多个 n z 满足 z − z   n ，则称 z 为 zn  的一个聚点（或极限点）。 一个序列可以有不止一个聚点，例如序列 , 7 6 , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 − − − 就有两 个聚点，  1。 （3） 有界序列和无界序列：给定复数序列 zn  ，若存在一个正数 M ， 对所有的 n 都有 zn  M ，称为序列有界；否则称为序列无界。 （4） 极限：给定复数序列 zn  ，如果对   0， 自然数 N ，使得只 要 n  N ，就有 z − A   n ，则称 zn  收敛于 A ，记为 zn A n = → lim 。 一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点

显然,如果写成zn=an+ibn,A=a+,则mn=An athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions lim b= b a 例如,对于点列},有 不存在a (5)序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件:任给E>0,存在 正整数N,使对于任意正整数p,有-N|0,存在正整数N, 使对于任意正整数p≥1,有 <E 特别是,令p=1,则得到级数收敛的必要条件:im|=0

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 显然，如果写成 n n n z = a + ib ， A = a +ib ，则     = = =  → → → b b a a z A n n n n n n lim lim lim 例如，对于点列   n  ，有        =  =    = → 1 1 1 1 1 0 1 lim       不存在 且 n n （5）序列极限存在（序列收敛）的 Cauchy 充要条件：任给   0 ，存在 正整数 N ，使对于任意正整数 p ，有 −   N+ p N z z . 一个无界序列不可能是收敛的。 2． 复数项级数 复数项级数的收敛：一个复数级数， 1 2 1 k k k z z z z  = + + + =  ，如果它的 部分和 = = n k n k S z 1 所构成的序列 Sn  收敛，即有极限 Sn S n = → lim ，则称 级数   k=1 k z 收敛，而序列 Sn  的极限 S 称为级数   k=1 k z 的和；如果级数 n n S → lim 不存在（无穷或不定），则称   k=1 k z 发散。 注：     =  =  = = + 1 1 1 Re Im k k k k k k z z i z ，因此，一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 都收敛，则   k=1 k z 收敛；若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 至少有一个发散，则   k=1 k z 发散。   k=1 k z 收敛的充要条件（Cauchy 收敛判据）：任给   0 ，存在正整数 N ， 使对于任意正整数 p 1, 有    + = + N p k N k z 1 . 特别是，令 p = 1 ，则得到级数收敛的必要条件： lim = 0 → k k z

Methods ofMathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 绝对收敛:如果∑|收敛,则称∑二绝对收敛。 绝对收敛的性质: ◆绝对收敛的级数一定收敛(因为 1,则∑发散 若1mn以=1=1,∑叫可能收敛,也可能发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 绝对收敛：如果   k=1 k z 收敛，则称   k=1 k z 绝对收敛。 绝对收敛的性质： ◆ 绝对收敛的级数一定收敛（因为：      + = + + = + n p k n k n p k n k z z 1 1 ），反之不定。 ◆ 绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可 以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数 仍绝对收敛。 ◆ 两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 例如，   = = 0 1 n S an ，   = = 0 2 l S bl 是绝对收敛的，则 [注意最后一步的 l k n = − 及 n 的取值范围] 1 2 0 0 0 0 0 0 . k n l n l n k n n l n l k n S S a b a b a b      − = = = = = =  = = =     | | ( 0) l b− = 因为 | | n a 和 | | l b 构成的实数级数收敛，所以 | | n k n a b − 构成的实数级数也收敛。 由于   k=1 k z 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若 k k u  v ，而   k=1 k v 收敛，则   k=1 uk 收敛； 若 k k u  v ，而   k=1 k v 发散，则   k=1 uk 发散； 比值判别法（D’Alembert 判别法）：若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 收敛； 若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 发散； 若 lim 1 1 = = + → l u u k k k ，   k=1 uk 可能收敛，也可能发散；

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 根值判别法( Cauchy判别法若lmk1时, ∑|收敛(相当于P|0,存在一个与z无关的N(E),使当 n>N()时,对于任意正整数p214()<E对D中每一点z均成 立,则称级数∑u4()在D内一致收敛 (X)一致收敛级数的性质: 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的,级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质。 (*)若在区域D内满足队()≤a4,a4与无关(k=12,…),且∑a1收敛,则

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 根值判别法（Cauchy 判别法）：若 lim 1 1  → k k k u ，则   k=1 uk 收敛； 若 lim 1 1  → k k k u ，则   k=1 uk 发散； 若 lim 1 1 = → k k k u ，   k=1 uk 可能收敛，也可能发散； Gauss 判别法：如果（至少 n 充分大） 2 1 1 1 n n u O u n n  +   = + +     ，则当   1 时，   n=1 un 收敛（相当于 1 1 n n u u +  ）；而当   1 时，   n=1 un 发散。 3． 复变函数级数（设 u (z) k 为域 D 中的连续函数，k =1,2, ） 函数级数的收敛：如果对于 D 中的一点 0 z ，级数  ( )  =1 0 k k u z 收敛，则称级数  ( )  k=1 k u z 在 0 z 点收敛；反之  ( )  =1 0 k k u z 发散，则称  ( )  k=1 k u z 在 0 z 点发散。 如果级数  ( )  k=1 k u z 在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。 其和函数 S(z) 是 D 内的单值函数。 一致收敛：如果对于任意给定的   0 ，存在一个与 z 无关的 N( ) ，使当 n  N( ) 时，对于任意正整数 p 1,    + = + n p k n k u z 1 ( ) 对 D 中每一点 z 均成 立，则称级数  ( )  k=1 k u z 在 D 内一致收敛。 （X）一致收敛级数的性质： ⚫ 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质。 ⚫ （*）若在区域 D 内满足 k ak u (z)  ， k a 与 z 无关 ( 1, 2, ), k = 且   k=1 k a 收敛，则

athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU ∑u4(2)绝对且一致收救。( Weierstrass的M判别法) 连续性,如果4()(k=1,2…)在D内连续,级数∑4()在D内一致收敛,则其和 函数S()=∑u4(2)也在D内连续。 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限, 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,im∑u4()=∑hu4(=) ·逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果4()(k=1,2,…)在C上连 线,则对FC上一致收敛级数∑()可以逐项积分「∑(=∑[ ·逐项求导数(Woms定理)设u1()(k=12…)在D中单值解析∑u2()在D 中一致收敛,则此级数之和f(-)=∑u1()是D内的解析函数,f()可逐项求导 求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。f()=∑() [上面这些性质的证明见《数学物理方法》,北大吴崇试,高等教育出版社。 函数f(x)在x处连续即limf(x)=f(x0)可表述为:对任意给定的E>0,总存在 δ>0,当2-xd,所以连续,但并非一致连续 x2x, x,I2 因为当x=△,x2=△+时,A 若△>,则连续,若△δ,则A △(△+o) 康托尔( Couter)定理:在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。 6

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6  ( )  k=1 k u z 绝对且一致收敛。（Weierstrass 的 M 判别法） ⚫ 连续性：如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 内连续，级数  ( )  k=1 k u z 在 D 内一致收敛，则其和 函数  ( )  = = 1 ( ) k k S z u z 也在 D 内连续。 ⚫ 这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限， 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，    = →  = → = 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 k k z z k k z z u z u z . ⚫ 逐项求积分：设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 C 上连 续， 则对于 C 上一致收敛级数  ( )  k=1 k u z 可以逐项积分， 1 1 ( )d ( )d . k k C C k k u z z u z z   = =  =   ⚫ 逐项求导数（Weierstrass 定理）：设 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 中单值解析，  ( )  k=1 k u z 在 D 中一致收敛，则此级数之和  ( )  = = 1 ( ) k k f z u z 是 D 内的解析函数， f (z) 可逐项求导， 求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ). m m k k f z u z  = =  [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。] 函数 f x( ) 在 0 x 处连续即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 可表述为：对任意给定的   0 ，总存在   0 ，当 2 1 x x −   时，使得 2 1 f x f x ( ) ( ) −   成立。 一致连续： 不依赖于 x . 例如： 1 f x( ) x = ，x(0,1) ， 2 1  = − = x x x  ，  f  . 对任意小的正数  ， 2 1 1 2 1 1 x f x x x x    = − =  ， 1 2 ( , ) x x   ，所以连续，但并非一致连续。 因为当 1 2 x x =  =  + ,  时， ( ) f    =   + .若  ，则连续; 若   ，则 1   f 1  . 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续

Methods of Mathematical Physics (2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 幂级数( Power series 1.定义:以幂函数(=-b)为一般项的级数f()=∑a(=-b)称为以b为中 心的幂级数。反之,函数f(x)在z=b附近的 Tay lor级数展开,其系数为 (k=0,1,2…) 2.幂级数的收敛性 Abel定理:如果级数∑a(-b)在某点=0收敛,则 k=0 该级数在圆域-b0-b外处处发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7 二、 幂级数( Power series) 1．定义：以幂函数 ( ) k z − b 为一般项的级数  ( )  = = − 0 ( ) k k f z ak z b 称为以 b 为中 心的幂级数。反之，函数 f z( ) 在 z b = 附近的 Taylor 级数展开，其系数为 0,1,2, k a k （ = ）. 2．幂级数的收敛性： Abel 定理：如果级数  ( )  = − k 0 k ak z b 在某点 0 z 收敛，则 该级数在圆域 z − b  z0 − b 内绝对收敛，而且在 ( ) z − b  r r  z0 − b 内一致收敛。 证明：因为  ( )  = − k 0 k ak z b 在 0 z 点收敛，故一定满足必 要条件， lim ( 0 − ) = 0 → k k k a z b . 因此存在正数 M，使得， a (z b) M k k 0 −  (k = 0,1,2, ) ，于是， ( ) ( ) k k k k k k z b z b M z b z b a z b a z b − −  − − − = −  0 0 0 . 当 0 | | 1 z b Z z b − =  − ，即 z − b  z0 − b 时，几何级数   = − − k 0 0 k z b z b 收敛，故  ( )  = − k 0 k ak z b 在圆 z − b  z0 − b 内绝对收敛。 而当 z −b  r  z0 −b 时， ( ) k k k k z b r a z b M − −  0 ，而常数项级数   k=0 0 − k k z b r 收 敛，故根据 Weierstrass 的 M 判别法，  ( )  = − k 0 k ak z b 在圆 ( ) z − b  r r  z0 − b 内 一致收敛。 推论一： 如果级数  ( )  = − k 0 k ak z b 在某点 0 z 发散，则该级数在圆域 z − b  z0 − b 外处处发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 当|1时,,=∑:(21外处处发散);当>1时, ∑1=∑1(≤1内处处发散) =0一 推论二:对于幂级数∑a(=-b),必存在一个实数R≥0,使得在圆 b=R内级数处处收敛,同时在圆-b=R外级数处处发散。 *这个圆-b=R称为∑a(=-b)的收敛圆,而并径R称为收敛半径 收敛半径的求法,虽然有紧接着下面的常规方法,但是见p11的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3.幂级数的收敛圆和收敛半径 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆及其收敛半径: (1)R=lm当,这是因为,根据 D'Alembert判别法,有 a(-by21=-blmg<1时级数收敛。因此得 -b<r=lim (2)R=lm,这是因为,根据Cauy判别法,有 /aI lm(-by=-bmy<1时级数收敛。因此得 R=lim va, 4.幂级数∑a(2-b)在收敛区域内的性质 在收敛圆内绝对收敛,在收圆内的任何闭圆域上一致收敛。[ Abel theorem 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数,由Abel定理知幂

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 当 z 1 时 ， 0 1 1 n n z z  = = −  ( 1 z  外处处发散） ; 当 z 1 时 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z z n n z   + = = = − = − = − − −   ( 1 z  内处处发散）。 推论二：对于幂级数  ( )  = − k 0 k ak z b ，必存在一个实数 R  0 ，使得在圆 z − b = R 内级数处处收敛，同时在圆 z − b = R 外级数处处发散。 * 这个圆 z − b = R 称为  ( )  = − k 0 k ak z b 的收敛圆，而半径 R 称为收敛半径。 ** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3．幂级数的收敛圆和收敛半径： 在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1） 1 lim + → = n n n a a R ，这是因为，根据 D’Alembert 判别法，有 ( ) ( ) lim lim 1 1 1 1 = −  − − + → + + → n n n n n n n n a a z b a z b a z b 时级数收敛。因此得 1 lim + → −  = n n n a a z b R . （2） n n n a R 1 lim → = ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有 lim ( − ) = − lim  1 → → n n n n n n n a z b z b a 时级数收敛。因此得 n n n a z b R 1 lim → −  = . 4．幂级数  ( )  = − k 0 k ak z b 在收敛区域内的性质： ◆ 在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem]. ◆ 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂

athematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明 ∑a(-byd=∑a(=-y=∑a,=-by-(a-b] d ak ∑ak(=-b)2=∑a1(k+1 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑Cnz"的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)ncn”(k为实数);(2)(2"-1kn 解:(1)an=n‘cn, R=lim =lm =Im R n+1)c (2"-1 R2=lim lim 四扣2-2 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, 逐次求积分和导数任意次 ②收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p.1l的第二个菱形) 、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series) 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析] ◆ 和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ( )  ( )  ( ) ( )      = + +  =  = − − − + − = − = 0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b   = =   − + = =   − − =     =  − = + −     ◆ 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数   n=0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1）   n=0 n n k n c z （ k 为实数）； （2） ( )  = − 0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a = n c ， ( ) 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c → → → → + + + +   = = = = =   +   + . （2） (2 1 , ) n n n a c = − ( ) ( ) 2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c → → → = = = = − − 注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）

ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|-b<R内是解析的,则f(c) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(-)=∑a(=-b),其中 421%<(5)d=r"(k=012…),并且这样的展开是唯的 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:-b≤R上是绝对且一致收敛的。 在R和R之间取一圆CR 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f(二)= f(5) mids 其中二是闭圆域|-b≤R内的任一点。 因为 Z(ZK1 1-Z k=0 5-=(5-b)-(=-b)5-b1-g-b b(5-b 其中65B<1,即级数∑(B是收敛的。根据mm数M判别法, R e(R 级数 b是绝对且一致收敛的。那么(=-b )也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 f(二)= 2ri s 2丌i (-b)+/(5d5 ∫(5) 2i (=-b)=∑a1(=-b), k=0

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z − b  R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数  ( )  = = − 0 ( ) k k f z ak z b ，其中 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b     + = = = −  （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1  R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z −  上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C  ： b R1  − =  ，根据 Cauchy 积分公式，有   − = 1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z     ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z −  内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z  =   =      −  ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b        =   − = = =   − − − − − − − − −   −  其中 1 1 1    − − R R b z b  ，即级数   =          0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数   =         − − k 0 k b z b  是绝对且一致收敛的。那么 ( ) ( ) ( ) 0 1   f b z b k k k       − −   = + 也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b                 + =   + = =   − = =   −   −     = −  −     −        