复变函数与解析函数 11复数的基本概念 为什么需要复数 1.从数学角度看 实系数方程 在实数范围内无解,为使得二次多项式有两个根,引进复数 数学游戏?不完全是!—完全不是! 回顾数域之拓展:逐渐引入,扩展 自然数=整数有理数=实数复数≡四元数? 为使得实系数n次多项式存在n个根—引入复数 那么,为使得复数系数次多项式存在n个根,是否要进一步拓展数域? 不必,封闭,完备:复数系数n次多项式有n个复数根 能否进一步扩展? 源自19世纪末、20世纪初 Hamilton等人,a,b,c,d均为实数 乘法不满足交换律:j*j,i=-ji=k (1.4) 为何不流行 复数已经封闭:2.尚没有找到许多应用 思考:为何没有三元数而直接跳到四元数? “是故,易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦定吉凶,吉凶生大业。” 《易传·系辞上传》 注:杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用,有志者可“路漫漫其修远兮,上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求
1 复变函数与解析函数 1.1 复数的基本概念 为什么需要复数 1. 从数学角度看 实系数方程 x2 + 1 = 0 (1.1) 在实数范围内无解，为使得二次多项式有两个根，引进复数。 数学游戏？不完全是！ —— 完全不是！ 回顾数域之拓展： 逐渐引入，扩展 自然数 ⟹ 整数 ⟹ 有理数 ⟹ 实数 ⟹ 复数 ⟹ 四元数？ 为使得实系数 n 次多项式存在 n 个根 —— 引入复数 那么，为使得复数系数次多项式存在 n 个根，是否要进一步拓展数域？ 不必，封闭，完备：复数系数 n 次多项式有 n 个复数根。 能否进一步扩展？ —— 四元数：（quaternion） 源自19世纪末、20世纪初 Halmilton 等人， a, b, c, d 均为实数 i 2 = j 2 = k2 = -1 (1.2) 乘法不满足交换律 ： i j ≠ j i, i j = -j i = k (1.3) 四元数：q = a i + b j + c k + d (1.4) 为何不流行？ —— 1.复数已经封闭； 2.尚没有找到许多应用 思考：为何没有三元数而直接跳到四元数？ “是故，易有太极 ，是生两仪 ，两仪生四象 ，四象生八卦 ，八卦定吉凶 ，吉凶生大业 。” —— 《易传 ·系辞上传 》 注：杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用，有志者可“路漫漫其修远兮，上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求 索
zoia. nb (*把工作目录设置成文件所在的目录) SetDirectory [NotebookDirectory[]] Import["figol 01 quaternion. jpg", ImageSize+150] 四元数物理学 那么复数又有何用? 2.从物理角皮看 ■没有复数就没有(很难建立)量子力学(近50%的GDP与量子力学有关),量子力学需要复数 ■当今物理几大方向:对称性、量子化、相位。后两者均需要复数以方便描述:例如:电磁波中有相位,电动力学需 要复数。 复数的基本横念 1.一对有序的实数(x,y,符号i称为虚数单位,实部x,虚部y虚部为0时,完全退化为实数 二=x+iy,2=-1,Re[-]=x,lm{==y 2.复共轭 (16) 3.相等:实部虚部分别相等 1=x1+iy1,=2=x2+iy2则:=2x1=x2&y=y Q复数的表示 1.代数表示二=x+iy 2.几何表示:复平面上的一个点,如图中的P点 complex plane
(* 把工作目录设置成文件所在的目录 *) SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["fig01.01 quaternion.jpg", ImageSize 150] 那么复数又有何用？ 2. 从物理角度看 ◼ 没有复数就没有（很难建立）量子力学（近 50% 的GDP与量子力学有关），量子力学需要复数； ◼ 当今物理几大方向：对称性、量子化、相位。后两者均需要复数以方便描述；例如：电磁波中有相位，电动力学需 要复数。 复数的基本概念 1. 一对有序的实数 (x, y), 符号 称为虚数单位，实部 x，虚部 y，虚部为 0 时，完全退化为实数 z = x + y, 2 = -1, Re[z] = x, Im[z] = y (1.5) 2. 复共轭 z = x + y, z* = x - y, z = x - y (1.6) 3. 相等：实部虚部分别相等 z1 = x1 + y1, z2 = x2 + y2 则 : z1 = z2 ⟺ x1 = x2 & y1 = y2 (1.7) 复数的表示 1. 代数表示 z = x + y 2. 几何表示：复平面上的一个点，如图中的 P 点 complex plane z = x + y z * = x - y x y x y O P O' P' θ r 2 z01a.nb
zOla.nb 3 3.矢量表示,如图中的O矢量。自由矢量,长度方向相同即可认为两矢量相等,如图中OF=OP 4.极坐标表 模记为r=枓为矢量长度。模r=0时复数的辐角arg{-]不确定,模r≠0时辐角也可差2nπ,通常将(-丌,丌之间的辐 值称为辐角主值,记为Arg,故有 cax+ iysrcos 0+irsinA, r=vx2+y2,0=Argl=), argl==Arg[=)+2nT a.有些书以ag]表示辐角的主值,从而(1.8)式变为:Arg]=arg-]+2nr b.有些书将辐角主值定义于⑩0,2),这方便于解析推导 c.而在计算机语言中,则将主值取为-<Arg{≤,在介绍复数的根式运算之前,不妨试一试 √-1+10-15i=i+505×10-16,√-1-10-15i=-i+505×10-16, (*的输入國i國,√的输入ctr1-2 的输入区ee图,*) a=√-1.0+1015i;(*番 Mathematica认为辐角近似为*) b=√-1.0-10154:;(* Mathemat1a认为辐角近似为+ 5.05322×1016+1.i,5.05322×10-16-1.i 5.指数表示:利用Euer公式,可把复数写成指数形式 Eulers formula: ele= cos 8 +isin 6. so. ==rcos 0+irsin b=rele 9 a.欧拉公式实际上可以看成复数(实部为零的纯虚数)指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算 b.本质上是借助泰勒展开式 yn! Cos e+ism,(请验证之)解释了为何不定义:c6=sin6+cos c.同时又满足指数运算规律:cic=e(+),利于简化运算 d.量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数 其中:p20202 ax2by2a=2个算符 又如:算符2=-i 为球坐标的方位角)借助泰勒展开定义该算符的指数函数 (ia lsn eaf(d6)≡ fo) -ial+-(-ial}2+…f() fm(小)=f(d-a) 原来算符2的指数函数c+a表示绕z轴(逆时针)转动了a角度 e.欧拉公式在6=丌时有“最美的数学公式”,联系了几个基本数学常数 el+1=0 无理数”的“虚”“无理数”次方加1居然为0 6.球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切,切点为该球面的南极点,北极点标记为N(过原点的直径交球面于N),对任意
3. 矢量表示，如图中的 OP 矢量。自由矢量，长度方向相同即可认为两矢量相等，如图中 OP = O′ P′ 4. 极坐标表示 模记为 r = z 为矢量长度。模 r = 0 时复数的辐角 arg[z] 不确定，模 r ≠ 0 时辐角也可差 2 n π ，通常将 (-π, π] 之间的辐 角值称为辐角主值，记为 Arg [z]，故有 z = x + y = r cos θ + rsin θ, r = x2 + y2 , θ = Arg[z], arg[z] = Arg[z] + 2 n π (1.8) a. 有些书以 arg[z] 表示辐角的主值，从而 (1.8) 式变为：Arg[ z] = arg[z] + 2nπ。 b. 有些书将辐角主值定义于 [0, 2 π)， 这方便于解析推导。 c. 而在计算机语言中，则将主值取为 -π < Arg[z] ⩽ π，在介绍复数的根式运算之前，不妨试一试，在 Mathematica 中 -1 + 10-15 = + 5.05 × 10-16, -1 - 10-15 = - + 5.05 × 10-16, (* 的输入：ii, 的输入：ctrl-2, 的输入：ee, *) a = -1.0 + 10-15 ; (* Mathematica 认为辐角近似为π *) b = -1.0 - 10-15 ; (* Mathematica 认为辐角近似为-π *) {a, b} 5.05322 × 10-16 + 1. , 5.05322 × 10-16 - 1. 5. 指数表示：利用Euler公式，可把复数写成指数形式 Euler's formula : θ = cos θ + sin θ, so, z = r cos θ + rsin θ = r θ (1.9) a. 欧拉公式实际上可以看成复数（实部为零的纯虚数）指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算。 b. 本质上是借助泰勒展开式： θ = n=0 ∞ ( θ)n n! = cos θ + sin θ，请验证之 解释了为何不定义 ： θ = sin θ + cos θ c. 同时又满足指数运算规律 ：θ1 θ2 = (θ1+θ2) ，利于简化运算； d. 量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数： ∇2 = n=0 ∞ ∇2 n n! , 其中：∇2 = ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 是个算符 又如：算符 l z = - ∂ ∂ ϕ ，（ϕ为球坐标的方位角 ） 借助泰勒展开定义该算符的指数函数 - α l z - α l z f (ϕ) ≡ m=0 ∞ (- α lz) m m! f (ϕ) = 1 - α lz + 1 2! (- α lz)2 + … f (ϕ) = m=0 ∞ (-α)m m! f (m) (ϕ) = f (ϕ - α) 原来算符 l z 的指数函数 - α l z 表示绕 z 轴 （逆时针） 转动了 α 角度 e. 欧拉公式在 θ = π 时有“最美的数学公式”，联系了几个基本数学常数： π + 1 = 0 ， “无理数” 的 “虚” “无理数” 次方加 1 居然为 0 6. 球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意 ζ ζ ζ z01a.nb 3
zola. nb 在复平面的一点,连该点与北极点交球面于,显然二点与点一一对应。点即为复数的球面表示。北极点与复平面上 模为无穷大的点对应——复平面上模为无穷大的点是一点:对应于复数球面的北极点 Riemann sphere la hoice line circle radius a无穷远点的辐角没有定义 b.通常,复平面或全复平面不包含无穷远点,闭复平面或扩充复平面才包含无穷远点 c.以下形式的积分仅表示积分路径的不同,不表示有不同的无穷远点。 Q复数的代数运算 1.复数不能比较大小:(参阅吴崇试《数理方法专题》的讨论) 2.当仅当两个复数的虚部、实部分别相等时,才称两复数相等 3.加减法,加法满足交换律、结合律 -1±-2=(x1±x2)+i(1±y2) (1.10) a加减法的几何意义:矢量相加之平行四边形法则
过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意 在复平面的一点，连该点与北极点交球面于ζ，显然 z 点与 ζ 点一一对应。ζ 点即为复数的球面表示。北极点与复平面上 模为无穷大的点对应——复平面上模为无穷大的点是一点：对应于复数球面的北极点。 Riemann Sphere z-plane z N ζ x y O {-0.12, -0.21} point choice line circle radius angle show lines a. 无穷远点的辐角没有定义； b. 通常，复平面或全复平面不包含无穷远点，闭复平面或扩充复平面才包含无穷远点； c. 以下形式的积分仅表示积分路径的不同，不表示有不同的无穷远点。 0 2+∞ versus 0 - ∞ 复数的代数运算 1. 复数不能比较大小；（参阅吴崇试《数理方法专题》的讨论） 2. 当仅当两个复数的虚部、实部分别相等时，才称两复数相等； 3. 加减法，加法满足交换律、结合律 z1 ± z2 = (x1 ± x2) + (y1 ± y2) (1.10) a. 加减法的几何意义：矢量相加之平行四边形法则； 4 z01a.nb
zOla.nb5 b.由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 -1+-2|≤k+|-2| =1--2|≥|-1-=2 (1.11) choose O add green to blue O add blue to green display coordinates□ 4.乘法:满足分配律、结合律,交换律 12=(x1+iy)(x2+in2)=(x1x2-yy2)+i(xy2+x2y) (112 Er (1.14) a.乘法的几何意义:长度为二者长度之积,辐角为二者之和。 b.复数a与x的乘积a=:把二矢量的长度变为ladl,辐角逆时针旋转:Arga 5.除法:=/a把二矢量的长度变为|/ld,辐角顺时针旋转: Areal =五+=x32++2(2n-=x)=画0-) x2+y2 (1.15) 6.乘方:n为自然数 r"(cos n0+isin n0)=r(cos 6+i sin or (1.16) a.后一个等式也称为 Demoivre定理 7.开方:乘方的逆运算,n为自然数 (1.17) a.开方运算是多值的,源自辐角的多值性 b.这点与实数不同,对大于0的实数,开方可取算术根(只取k=0的根),复数不可以只保留“算术根 c.复数开n次方的n个根均匀分布于以原点为圆心,rl为半径的圆周上
b. 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： z1 + z2 ≤ z1 + z2, z1 - z2 ≥ z1 - z2 (1.11) choose add green to blue add blue to green display coordinates ● ● 4. 乘法：满足分配律、结合律，交换律 z1 z2 = (x1 + y1) (x2 + y2) = (x1 x2 - y1 y2) + (x1 y2 + x2 y1) (1.12) z1 z2 = r1 θ1 r2 θ2 = r1 r2 (θ1+θ2) (1.13) z z* = r2 = z 2, z1 z2 = z1 z2 (1.14) a. 乘法的几何意义：长度为二者长度之积，辐角为二者之和。 b. 复数 a 与 z 的乘积 a z：把 z 矢量的长度变为 a z，辐角逆时针旋转：Arg[a] 5. 除法：z/a 把 z 矢量的长度变为 z/a，辐角顺时针旋转：Arg[a] z1 z2 = x1 + y1 x2 + y2 = x1 x2 + y1 y2 x2 2 + y2 2 + (x2 y1 - x1 y2) x2 2 + y2 2 = r1 r2 (θ1-θ2) (1.15) 6. 乘方：n 为自然数 zn = rn n θ = rn(cos n θ + sin n θ) = rn(cos θ + sin θ) n (1.16) a. 后一个等式也称为 Demoivre 定理 7. 开方：乘方的逆运算，n 为自然数 w = zn ⟹ z = w1/n w = z1/n = r θ 1/n = r1/n (θ+2 k π) n , k = 0, 1, 2, ..., (n - 1) (1.17) a. 开方运算是多值的，源自辐角的多值性。 b. 这点与实数不同，对大于 0 的实数，开方可取算术根（只取 k = 0 的根），复数不可以只保留“算术根”。 c. 复数开 n 次方的 n 个根均匀分布于以原点为圆心， r1/n 为半径的圆周上。 z01a.nb 5
6z01a.nb Q复数应用举例一第一次亲密接触 目例题 sin -sin 番 Mathematica可直接给出结果 ctl sin n,1,m-1 FullSimplify[f[m]] 证明: 1有m个根均匀分布于单位圆圆周上em,其中k=0,1,2,…,(m-1),因此 1++-2+…+=m-1= 对最后一个等式(蓝色部分),令二=1,则有: 取复共轭:m=1-e 两个等式相 2kT 22 sin2 两边开方即得 目例题 求证:任意四边形的边外接四个正方形,对边正方形中心的连线相互垂直且相等
复数应用举例 —— 第一次亲密接触 ☺ 例题 求证 sin π m sin 2 π m ... sin (m - 1) π m = m 2m-1 , integer m > 1 Mathematica 可直接给出结果： f[m_] := ProductSin n π m , {n, 1, m - 1} FullSimplify[f[m]] 21-m m 证明： zm - 1 有 m 个根均匀分布于单位圆圆周上 2 k π m , 其中 k = 0, 1, 2, ..., (m - 1)，因此 zm - 1 = k=0 m-1 z - 2 k π m = (z - 1) k=1 m-1 z - 2 k π m zm - 1 z - 1 = 1 + z + z2 + ... + zm-1 = k=1 m-1 z - 2 k π m 对最后一个等式（蓝色部分），令 z = 1，则有： m = k=1 m-1 1 - 2 k π m , 取复共轭 ：m = k=1 m-1 1 - - 2 k π m 两个等式相乘 m2 = k=1 m-1 1 - 2 k π m 1 - - 2 k π m = k=1 m-1 2 1 - cos 2 k π m = k=1 m-1 22 sin2 k π m 两边开方即得。 ☺ 例题 求证：任意四边形的边外接四个正方形，对边正方形中心的连线相互垂直且相等。 6 z01a.nb
b|7 显示复数□ 利用复数的矢量表示,矢量也可以用复数表示,设 a+b+c+d=0其中a,b,c,d为复数 OA边的外接正方形中心A表为:a-aOA的一半a加上该矢量顺时针转 AB边的外接正方形中心B表为:2a+bb BC边的外接正方形中心C′表为:2a+2b+c_c CO边的外接正方形中心D表为:2a+2b+2c+d-id 矢量C可表为:1=(2a+2b+c-ic)-(a-ia)=(a+2b+c)-i-a) 矢量BC可表为:2=(2a+2b+2c+d-id-(2a+b-ib)=(b+2c+d-i(d-b) 要证明垂直且相等,须证明:z/z1=±i(正负号可由图形判断) Clear [a, b,c, d] z2=(b+2c+d)-i(d-b) Simplify[z2-i zl, a+b+c+d=o] 目例题
显示复数 ● ● ● 利用复数的矢量表示，矢量也可以用复数表示，设 OA = 2 a, AB = 2 b, BC = 2 c, CO = 2 d, a + b + c + d = 0 其中 a, b, c, d 为复数 OA边的外接正方形中心 A′ 表为： a - a OA的一半 a 加上该矢量顺时针转 π 2 AB边的外接正方形中心 B′ 表为： 2 a +b - b BC边的外接正方形中心 C′ 表为： 2 a +2 b +c - c CO边的外接正方形中心 D′ 表为： 2 a +2 b +2 c +d - d 矢量 A′ C′ 可表为： z1 = (2 a + 2 b + c - c) - (a - a) = (a + 2 b + c) - (c - a) 矢量 B′ C′ 可表为： z2 = (2 a + 2 b + 2 c + d - d) - (2 a + b - b) = (b + 2 c + d) - (d - b) 要证明垂直且相等，须证明：z2 /z1 = ± （正负号可由图形判断） Clear[a, b, c, d]; z1 = (a + 2 b + c) - (c - a); z2 = (b + 2 c + d) - (d - b); Simplify [ z2 - z1, a + b + c + d 0] 0 ☺ 例题 求积分 z01a.nb 7
s(17x)dx= Re 分析:显然,无法通过求原函数求得该定积分的值。只有通过数值计算 般的数值计算程序,运算过程仅保留15位有效数字, 而上述积分的被积函数的绝对值在(-∞,-1间达1023,积分结果数量级仅为1 人而该积分实际上为一些1023的数相加减,得到10的数 有效数字损失22位,任何仅有15位有效数字的算法均无法得到可靠结果 目番 Mathematica编程练习 验证:对复平面上任意n个互不相等的有限远点,k=1,2,…,n,(n≥2),有恒等式 Q复数序列的极限 按一定顺序排列的复数,二n=xm+ijym,n=1,2, 称为复数序列 聚点:YE>0,彐无穷多个n满足-zn|0,彐N(e)>0使得当n>N时恒有--0,彐Ne)>0,使得当n>N时,对任意正整数p,恒有|-n+p--n|0,彐NM>0,使得当n>N时,恒有|-n|>M。记为Iim=m=∞ 12复变函数复变函数的极限与连续 Q区域 函数的概念推广到复数数域,自变量是复数,取值范围在复平面的某个区域,与二元函数有点相似(但又不是二元函 数) 一些概念: 点集:复平面上任意一些点的集合。 ■邻域:点=0的E邻域是指满足|--=0<E的点集,以0为中心,E为半径的圆 去心邻域(无心邻域):满足0<|=-01<ε的点集 ■内点:点集S的内点指的是可以找到该点的一个邻域,使得该邻域的点都属于点集
-∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 cos(17 x) d x = Re -∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 17 x d x 分析 ：显然，无法通过求原函数求得该定积分的值。只有通过数值计算。 一般的数值计算程序 ，运算过程仅保留15位有效数字 ， 而上述积分的被积函数的绝对值在 (-∞,-1 间达 1023，积分结果 数量级仅为 1。 从而该积分实际上为一些 1023 的数相加减 ，得到 101 的数。 有效数字损失 22 位，任何仅有15位有效数字的算法均无法得到可靠结果 。 ☺ Mathematica 编程练习 验证：对复平面上任意 n 个互不相等的有限远点 zk, k = 1, 2, ..., n, (n ≥ 2)，有恒等式 k=1 n 1 n m=1 m≠k (zk - zm) = 0 复数序列的极限 按一定顺序排列的复数，zn = xn + yn, n = 1, 2, 3, ...，称为复数序列。 ◼ 聚点：∀ ε > 0，∃ 无穷多个 zn 满足 z - zn 0，∃ N(ε) > 0 使得当 n > N 时恒有 z - zn 0， ∃ N(ε) > 0，使得当 n > N 时，对任意正整数 p，恒有 zn+p - zn 0， ∃ N(M) > 0，使得当 n > N 时，恒有 zn > M。记为 lim n→∞ zn = ∞。 1.2 复变函数 复变函数的极限与连续 区域 函数的概念推广到复数数域，自变量是复数，取值范围在复平面的某个区域，与二元函数有点相似（但又不是二元函 数）。 一些概念： ◼ 点集：复平面上任意一些点的集合。 ◼ 邻域：点 z0 的 ε 邻域是指满足 z - z0 < ε 的点集，以 z0 为中心，ε 为半径的圆内。 去心邻域（无心邻域）：满足 0 < z - z0 < ε 的点集。 ◼ 内点：点集 S 的内点指的是可以找到该点的一个邻域，使得该邻域的点都属于点集 S。 8 z01a.nb
zOla.nb 9 ■开区域:两个条件:a.每一点都是内点:b.点集中的任意两点均可用一条属于该点集的点构成的曲线或折线相连 例:H1/6的点,即:以原点为中心,1/06为半径的圆之外的点集 ■区域边界正向:沿着边界走,区域在左手 试画出00,00,-2x>0,x2+y2-1>-2x,得到如图绿色区域
◼ 开区域：两个条件：a. 每一点都是内点；b. 点集中的任意两点均可用一条属于该点集的点构成的曲线或折线相连。 例： z 1/ δ 的点，即：以原点为中心 ，1/δ 为半径的圆之外的点集； ◼ 区域边界正向：沿着边界走，区域在左手边 ☺ 例题 试画出 0 0, 0 0, -2 x > 0, x2 + y2 - 1 > -2 x，得到如图绿色区域。 z01a.nb 9
10 z01anb Q复变函数 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值二=x+ijy[或每一对(x,y)值,按照一定的规律,有一个或多个复数值 w=u+iv与之相对应,则称w是z的函数,记为w=f() 印象:两个二元实变函数的有序组合。许多性质是二元函数的推广。仅仅是两个二元实变函数的简单推广?NO! 如果一个〓值对应于一个w值,称为单值函数,如:w=2 ■如果一个值对应于多个w值,称为多值函数,如:w===V: ■与实变函数之不同,这里的函数定义规定对应“一个或多个复数值”,而实变函数中函数的定义通常是:有确定的值 与之对应,确定,隐含着一个值而非多个值 多值函数例:开根。y=f(x)=√x,可以规定取正根,定义出根式函数。对复变函 数,w=f()=V=起源于平方函数的开根,当然有两个根 √E=(2*)k=01 能否像实变函数那样规定根式函数只取k=0对应的根?不能。因为若规定只取k=θ对应的根,就等价于确定 了复变量z的辐角,对复平面上的一点,不再让其辐角有±2k丌的自由度。那么,在今后做积分时,若积分路 径是沿圆心于原点的圆逆时针绕一周回到起点,复变量〓在复平面上尽管回到起点,但其之辐角显然比起绕圆 周之前增加了2π,因此,不能剥夺复变量的辐角有±2kπ的自由度。绕圆一周根式的函数值显然不再为原 来的数值(因为辐角增加了2π)。不能将函数值确定为原来的值,也就是说,开平方的根式函数可能有两个 值,不能“拿衣服”地舍去其中某个值,是多值函数 ·也可这样理解,对实变开平方函数,积分只能在实轴上跑,x<0区间是不能到达的,相当于规定了不可逾越的 边界。因此在规定了x=0是不可逾越的边界之后,我们就可以放心地取正根单值函数。对复变函数,由上讨论 知不可能只取单值函数(否则会出现不自洽),那么是否也可以在规定某些不可逾越的边界,函数退化为单值 函数?的确如此,所谓多值函数的割线正是规定了一条不可逾越的鸿沟,之后,函数就退化为单值函数了。例 如,规定负实轴为割线,则在复平面上,w=√=即退化为单值函数,可利用单值函数的性质。我们将先讨论单 值函数 定义域:自变量在z平面内的取值区域 ■值域:函数值w平面内的取值区域。 对自变量在z平面内沿某条曲线L变动,函数值在平面内沿另一条曲线L变动,对单值函数,L与L的点由 w=f(-)确定了一一对应关系。这种对应称为从二平面到w平面的一个映射。这就是复变函数的几何意义 目例题
复变函数 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值 z = x + y [或每一对 (x, y) 值]，按照一定的规律，有 一个或多个复数值 w = u + v 与之相对应，则称 w 是 z 的函数，记为 w = f (z) w = f (z) = u(x, y) + v(x, y) (1.18) 印象：两个二元实变函数的有序组合。许多性质是二元函数的推广。仅仅是两个二元实变函数的简单推广？NO！ ◼ 如果一个 z 值对应于一个 w 值，称为单值函数 ，如：w = z2； ◼ 如果一个 z 值对应于多个 w 值，称为多值函数 ，如：w = z1/2 = z ； ◼ 与实变函数之不同，这里的函数定义规定对应“一个或多个复数值”，而实变函数中函数的定义通常是：有确定的值 与之对应，确定，隐含着一个值而非多个值。 多值函数例 ：开根。 y = f (x) = x ，可以规定取正根，定义出根式函数。对复变函 数，w = f (z) = z = z1/2 起源于平方函数的开根，当然有两个根 w = z = r θ 2 +k π , k = 0, 1 能否像实变函数那样规定根式函数只取 k = 0 对应的根？不能。因为若规定只取 k = 0 对应的根，就等价于确定 了复变量 z 的辐角，对复平面上的一点，不再让其辐角有 ±2 k π 的自由度。那么，在今后做积分时，若积分路 径是沿圆心于原点的圆逆时针绕一周回到起点，复变量 z 在复平面上尽管回到起点，但其之辐角显然比起绕圆 一周之前增加了2π，因此，不能剥夺复变量 z 的辐角有 ±2 k π 的自由度。绕圆一周根式的函数值显然不再为原 来的数值（因为辐角增加了 2 π）。不能将函数值确定为原来的值，也就是说，开平方的根式函数可能有两个 值，不能“拿衣服”地舍去其中某个值，是多值函数。 也可这样理解，对实变开平方函数，积分只能在实轴上跑， x < 0 区间是不能到达的，相当于规定了不可逾越的 边界。因此在规定了 x = 0 是不可逾越的边界之后，我们就可以放心地取正根单值函数。对复变函数，由上讨论 知不可能只取单值函数（否则会出现不自洽），那么是否也可以在规定某些不可逾越的边界，函数退化为单值 函数？的确如此，所谓多值函数的割线正是规定了一条不可逾越的鸿沟，之后，函数就退化为单值函数了。例 如，规定负实轴为割线，则在复平面上，w = z 即退化为单值函数，可利用单值函数的性质。我们将先讨论单 值函数。 ◼ 定义域：自变量在 z 平面内的取值区域。 ◼ 值域：函数值 w 平面内的取值区域。 ◼ 对自变量在 z 平面内沿某条曲线 L 变动，函数值在 w 平面内沿另一条曲线 L′ 变动，对单值函数 ，L 与 L′ 的点由 w = f (z) 确定了一一对应关系。这种对应称为从 z 平面到 w 平面的一个映射。这就是复变函数的几何意义。 ☺ 例题 10 z01a.nb