《数学物理方法》第十三章作业参考解答 13.1半径为b和高为h的圆柱体,下底的温度保持为0度,上底的温度为p的 函数∫(p),其侧面在零摄氏度的空气中自由冷却,求圆柱体内部各点的稳 恒温度。 解:定解问题为: +-2u+=2=0,(0≤p≤b,0≤9≤2z,0≤z≤h) Lu+hu 0 l2-0=0,ul-h=f(p) 由于问题的轴对称性,设u=l(p,=)=R(p)z(x),代入上述方程,得到 R+R+pR=O z"-z=0, 以及边界条件,RO)≠,(R+hR)|==0 (1)与上面的边界条件构成本征问题,方程的通解为 R(p)=CJ(√Ap)+DN(√p) 考虑到第一个边界条件,方程的解应为:R(p)=J0(√Ap), 代入第二个边界条件得:J0(√Ab)+h√J(√b)=0。 设方程J0(x)+hJ(x)=0的正根为xn,则本征值=2n=(xn}2,n=1,2 相应的本征函数为=8(O=(含 对应每一个本征值,由Z满足的方程:z'(x)-z()=0,解得 Z,()=A, cosh( Xn=+B, sinh(xn= 因此,一般解为, u(p, =)=> A, cosh =+B, sinh
《数学物理方法》第十三章作业参考解答 13.1 半径为 b 和高为 h 的圆柱体，下底的温度保持为 0 度，上底的温度为 ρ 的 函数 f (ρ) ，其侧面在零摄氏度的空气中自由冷却，求圆柱体内部各点的稳 恒温度。 解：定解问题为： ( ) = = + = ∇ = + + = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = = | 0, | ( ) [ ] 0 0, (0 , 0 2 , 0 ) 1 1 0 2 2 ρ ρ ϕ π ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕϕ u u f u hu u u u u b z h z z h b zz 由于问题的轴对称性，设u = u(ρ,z) = R(ρ)Z(z)，代入上述方程，得到 '' 0, (2) '' ' 0, (1) − = + + = Z Z R R R λ ρ λρ 以及边界条件， R(0) ≠ ∞, (R + hR′) |ρ=b = 0 （1）与上面的边界条件构成本征问题，方程的通解为 ( ) ( ) ( ) R ρ = CJ 0 λρ + DN0 λρ 考虑到第一个边界条件，方程的解应为： ( ) ( ) R ρ = J 0 λ ρ ， 代入第二个边界条件得： ( ) ( ) 0 J 0 λb + h λ J 0 ′ λb = 。 设方程 0 ( ) + J 0 ′(x) = 0 b x J x h 的正根为 n x ，则本征值 = = ( ) 2 , n = 1, 2L b xn λ λn 相应的本征函数为 ρ = ρ = ρ b x R R J n n 0 ( ) ( ) 对应每一个本征值，由 Z 满足的方程：Z''(z) − λZ(z) = 0，解得 + = z b x z B b x Z z A n n n n n ( ) cosh sinh 因此，一般解为， ∑ ∞ = + = 1 0 ( , ) cosh sinh n n n n n n b x z J b x z B b x u ρ z A ρ
由u=0=0,得,An=0,所以方程的解为, .)=∑Bsin b 代入边界条件ul==f(p),得, ()=∑ B, sinh(, 其中, B, sinh mh f(ell/m b 4(2)“时 所以方程的解为: (,少八、2、 (x+、b2pSmb(x (,) f(p) p lpdp 13,2半径为R的圆形膜,边缘固定。初始形状是旋转抛物面,即 (pD(=1-2|(H为常数)初始速度为零。求解膜的振动情况。 解: 定解问题为: u =avu=a lou),+o2uogp R=0 采用极坐标系,由于对称性,方程的解u与φ无关,设u=(p,1)=T(1)R(p) 代入上述方程,得到 PR+R+pR=0
由u | z=0= 0，得, 0 An = ，所以方程的解为， ∑ ∞ = = 1 0 ( , ) sinh n n n n b x z J b x u ρ z B ρ 代入边界条件u | f (ρ) z=h = ，得， ∑ ∞ = = 1 0 ( ) sinh n n n n b x h J b x f ρ B ρ 其中， ∫ = b n n n n d b x f J b x J h b x B 0 2 0 0 ( ) 1 sinh ρ ρ ρ ρ ρ 而， { } [ ][ ] [ ]2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 0 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 n n n n n J x hx b b J x J x b b x J = ′ + = + ρ 所以方程的解为： [ ] ∑ ∫ ∞ = − = + 1 0 0 1 2 2 2 0 0 2 ( ) sinh sinh ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( , ) n b n n n n n n d b x f J h b x z b x hx b J x b x J b u z ρ ρ ρ ρ ρ ρ 13.2 半径为 R 的圆形膜，边缘固定。初始形 状是旋转抛物面，即 = − = 2 2 0 ( , ) 1 R u t H t ρ ρ （H 为常数）。初始速度为零。求解膜的振动情况。 解： 定解问题为： ( ) = = − ≠ ∞ = = ∇ = + = = = = | 1 , | 0 | , | 0 1 1 2 0 2 0 0 2 2 2 2 t t t R tt u R u H u u u a u a u u ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕϕ ， 采用极坐标系，由于对称性，方程的解 u 与ϕ 无关，设u = u(ρ,t) = T(t)R(ρ) 代入上述方程，得到 ρR' '+R'+λρR = 0, (1)
T-haZ=o 以及边界条件,RO)≠∞,R(p)l==0 (1)与上面的边界条件构成本征问题 其本征值为4=(R/”=12 相应的本征函数为R()=R(p)=Jnp|,其中,x0是J(x)的正零点。 对应每一个本征值,由T满足的方程 2AT=0,解得 Tn = A sIn r,oat +b cos R R 因此,一般解为, (,1)=∑|An R+B,cos R R 由第二个初始条件u1l=0=0,可得:A=0,所以方程的解为, (p,D)=∑Bn cOS 0,代入初始条件 u 得 SB JOR 其中 B RJGoF HI (类 p ledp 计算中运用了递推公式(z)=xz.-,2乙,=乙,+Zn,以及J(x9)=0 所以,方程的解为 (o vo R R l(p,1)=4H COS cOS J,(x Hx o FJ,(xoD)R
' ' 0, (2) 2 T −λa Z = 以及边界条件， R(0) ≠ ∞, R(ρ) | ρ=R = 0 （1）与上面的边界条件构成本征问题， 其本征值为 , 1, 2L 2 (0) = = = n R xn λ λn 相应的本征函数为 ρ = ρ = ρ R x R R J n n (0) 0 ( ) ( ) ，其中， (0) n x 是 ( ) 0 J x 的正零点。 对应每一个本征值，由 T 满足的方程： ' ' 0 2 T −a λT = ，解得 R x at B R x at T A n n n n n (0) (0) = sin + cos 因此，一般解为， ∑ ∞ = = + 1 (0) 0 (0) (0) ( , ) sin cos n n n n n n R x J R x at B R x at u ρ t A ρ 由第二个初始条件ut | t=0= 0，可得： An = 0 , 所以方程的解为， ∑ ∞ = = 1 (0) 0 (0) ( , ) cos n n n n R x J R x at u ρ t B ρ , 代入初始条件 = = − 2 2 0 | 1 R u t H ρ ，得， ∑ ∞ = = − 1 (0) 2 0 2 1 n n n R x B J R H ρ ρ 其中， [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) (0) 1 3 (0) 2 (0) 1 (0) (0) 2 0 (0) 2 0 2 2 (0) 1 2 4 8 1 ( ) 2 n n n n n R n n n x J x H x J x HJ x d R x J R H R J x B = = = − ∫ ρ ρ ρ ρ 计算中运用了递推公式( ) = −1 ′ ν ν ν ν x Z x Z ， 1 1 2 ν = ν − + ν + ν Z Z Z x ，以及 ( ) 0 (0) J 0 xn = 所以，方程的解为： ( ) [ ] [ ] R x at x J x R x J H R x at x J x R x J x J u t H n n n n n n n n n n n (0) 1 (0) 1 3 (0) (0) 0 (0) 1 2 (0) 1 (0) (0) 0 (0) 2 cos ( ) cos 8 ( ) ( , ) 4 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ρ ρ ρ
133底半径为a,高为h的均匀导热圆柱,上底面绝热,下底面保持温度 为0度,侧面保持温度为常数v,求柱内的温度分布 解: 由题目得到定解问题 2=-(mn)+-,l+u==0 l2=0 ul=≠∞o,l==v 易知u与p无关 设u=R()Z(x),代入上述方程,得到 R+R-lpR=O z+z=0, 以及边界条件,Z:=0=0,2|6=0 (2)与边界条件2=0=0,21:=0构成本征值问题, 本征值为n 2n+1 0,1,2 相应的本征函数为2n=si2n+心 (1)式可化为0阶虚宗量 Bessel方程(过程略) 其解为Rp)=A1n+、ma/2n+1 2h 因此,定解问题的一般解为 2n+1 (p,z)=∑|Anl 2h2+B.K/2n+1 由边界条件u=0≠∞,得,Bn=0 (p,-)=∑A 2n+1 2n+1 rp sin h
13.3 底半径为 a，高为 h 的均匀导热圆柱，上底面绝热，下底面保持温度 为 0 度，侧面保持温度为常数 v，求柱内的温度分布。 解： 由题目得到定解问题 ( ) ≠ ∞ = = ∂ ∂ = ∇ = + + = = = = = u u v z u u u u u u a z h z zz ρ ρ ρ ρ ϕϕ ρ ρ ρ | , | | 0, 0 0 1 1 0 0 2 2 易知u 与ϕ 无关 设u = R(ρ)Z(z) ，代入上述方程，得到 '' 0, (2) '' ' 0, (1) + = + − = Z Z R R R λ ρ λρ 以及边界条件，Z z=0 = 0,Z' z=h = 0 （2）与边界条件Z z=0 = 0,Z' z=h = 0构成本征值问题， 本征值为 2 2 2 1 + λ = π h n n ， n=0,1,2… 相应的本征函数为 + = z h n Zn π 2 2 1 sin （1）式可化为 0 阶虚宗量 Bessel 方程（过程略） 其解为 + + + ρ = πρ πρ h n B K h n R A I n n n 2 2 1 2 2 1 ( ) 0 0 因此，定解问题的一般解为 ∑ ∞ = + + + + ∴ = 0 0 0 2 2 1 sin 2 2 1 2 2 1 ( , ) n n n z h n h n B K h n u ρ z A I πρ πρ π 由边界条件u | ρ=0≠ ∞ ，得， 0 Bn = ( ) + + ∴ = ∑ ∞ = z h n h n u z A I n ρ n πρ π 2 2 1 sin 2 2 1 , 0 0
由条件u==v得 2h 其中, A, IoI n viN (2n+1)z n 2n+1 l(p,=)= 2n+1 2h n 2h 134解定解问题 l1=avu(r,O,)(0≤r≤b,0≤0≤2x,0≤q≤2x) r=0≠o 0 urea=f(r)cos 8 解 球坐标系,由初始条件可知与a无关,令l=T()(,)带入上式 T vV 可得 2T v-v+Av=0 再令u=R(r))代入得 1(R) (sin@)=l(1+1) 从而有,r2F"+2rF+(x2-1(+1)R=0,(1阶球Besl方程)(1) 可将其化为+1阶Bes方程(过程略)即,xy”+2y+|x2-(1+1)p= 另一个方程为⊙"+se+1(+1)=0 (2)
由条件u v |ρ =a = 得 z v h n a h n A I n n = + + ∑ ∞ = π π 2 2 1 sin 2 2 1 0 0 其中， ( )π π π 2 1 4 2 2 1 sin 2 2 2 1 0 0 + = + = + ∫ n v z dz h n v h a h n A I h n ∑ ∞ = + + + + ∴ = 0 0 0 2 2 1 sin 2 2 1 (2 1) 2 2 1 4 ( , ) n z h n a h n n I h n I v u z π π πρ π ρ 13.4 解定解问题 = ≠ ∞ = = ∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = = θ θ ϕ θ π ϕ π ( ) cos , 0 ( , , ) (0 ,0 2 ,0 2 ) 0 0 2 2 u f r u u u a u r r b t r r b t 解： 球坐标系，由初始条件可知u与ϕ无关,令u = T(t)V(r,θ ) 带入上式 可得 = −λ ∇ = V V a T T 2 2 ' 0 ' 0 2 2 ∇ + = + = V V T a T λ λ 再令u = R(r)Θ(θ ) ,代入得 ( ) ( ) sin ( 1) sin 1 2 2 1 = + ′ Θ′ Θ + = − ′ r R′ r l l R θ θ λ 从而有， 2 ( ( 1)) 0 2 2 r R′′ + rR′ + λr − l l + R = ，（l 阶球 Bessel 方程） （1） 可将其化为 2 1 l + 阶 Bessel 方程（过程略）即， 0 2 1 2 2 2 = xy′′ + xy′ + x − l + y 另一个方程为 ( 1) 0 sin cos Θ′′ + Θ′ + l l + Θ = θ θ （2）
方程(2)可化为 Legendre方程,(-x2)y”-2xy1+1(+1)y=0 它与自然边界条件O,O(丌)有界,即y(x)有界,构成本征值问题。 其本征值和本征函数分别为l1+1),y(x)=P(x)(=0,12,…) 其中x=cosO,O(O)=y(x) 方程(1)与边界条件R=0≠四,R=b=0构成本征值问题, 1+1/2) (+1/2) 其本征值和本征函数分别为A=n b R,(r)=ji b (n=12,3,…)其中,x2)是J2(x)的正零点 对应本征值=元,由方程T+a2r=0解得 因此,定解问题的一般解为 u(r, 0, 0)=22Awi/hr p,(cos e)e 由条件叫=0=f()cosb,得 +1/2 f(rcos 8 由=8D可以确定1=1,因此,有∑4x)=( f(r) b -a=o/2)) (r,,1)=∑A1 cosb.e
方程（2）可化为 Legendre 方程，(1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y′′ − xy′ + l l + y = 它与自然边界条件Θ(0),Θ(π )有界，即 1 ( ) x=± y x 有界，构成本征值问题。 其本征值和本征函数分别为 l(l +1)， y(x) P (x) = l (l = 0,1,2,L) 其中 x = cosθ,Θ(θ ) = y(x) 方程（1）与边界条件 , 0 R r=0 ≠ ∞ R r=b = 构成本征值问题， 其本征值和本征函数分别为 2 ( 1/ 2) = = + b x l n λ λnl ， = + r b x R r j l n nl l ( 1/ 2) ( ) ， （ n = 1,2,3,L） 其中， (l+1/ 2) n x 是 ( ) 1/ 2 J x l+ 的正零点 对应本征值λ = λnl ，由方程 ' 0 2 T +a λT = 解得 ( ) x t b a nl a t nl nl l n n T A e A e 2 ( 1 / 2 ) 2 2 2 + − − = = λ 因此，定解问题的一般解为 ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = − + + = 0 1 1/ 2 2 ( 1 / 2 ) 2 2 ( , , ) (cos ) l n x t b a l l n nl l l n r P e b x u r θ t A j θ 由条件u t=0 = f (r) cosθ ，得 (cosθ ) ( ) cosθ 0 1 1/ 2 r P f r b x A j l n l l n nl l = ∑∑ ∞ = ∞ = + 由 P1 = cosθ 可以确定l = 1, 因此，有∑ ∞ = = 1 (3/ 2) 1 1 ( ) n n n r f r b x A j ∫ = b n n n r r dr b x f r j r b x j A 0 2 (3/ 2) 2 1 (3/ 2) 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅ ∴ = 1 (3/ 2) 1 1 2 (3 / 2) 2 2 ( , , ) cos n x t b a n n n r e b x u r θ t A J θ
