数理方法期中考试试题(209年11月10日) 学号: 专业: 姓名 成绩: 1.简答(多重选择)题:(8×6分) (1)试将f(2) 在环域2-a>|a-b内展开为 Laurent级数 (2)2=∞是函数f(2)1+的哪一种奇点?试计算其留数Res[(∞) (3)2=20是函数f(2)的孤立的n阶极点,求[f(2)f(2)在a0的留数。 (4)求:/d 其中c为从z=-3i经过z=-1点到z=2i的一段圆弧。 (5)设c为|≤1边界的正向,求:I=zsim32s2 (6)若将 在z=1邻域展成 Taylor级数,求该级数的收敛半径r (e+ 1)cos z (7)f(2)在某区域展开为 Laurent级数f(2)=∑a2,那么 (a)如f(z)在z=0解析,则k0时ak=f()(0)/k!(d)以上都未必正确 (8)D为单连通区域,c为D内任一简单闭合曲线,f(2)=+i在D内解 析,∫*(x)为∫(z)的复共轭,那么 (a)ad=0(b)adn-dy=0(c)p中f(a)dz=0()pr(a=0 2.(18分)试确定函数f(x)=-2在有限远处的奇点及其类型。 3.(18分)求l= f sinead,C为|2=1逆时针转一周。 4.(18分)求Ⅰ In 1+x2 5.(18分)取多值函数f(2)=2P(2-1)1-P (其中-1<p<2)的割线为连接 2=0和z=1的直线段,并且在割线上岸的20=+0+处,f(20)=3e,试 求limf(2)及Res[f(∞)
ên{Ï¥ÁÁK £2009c1110F¤ ÆÒµ ;µ 6¶µ ¤1µ 1. {£õÀJ¤K: £8 × 6 ©¤ (1) Áò f(z) = 1 (z − a)(z − b) 3 |z − a| > |a − b| SÐmLaurent?ê" (2) z = ∞ ´¼ê f(z) = e z 1 + z =«Û:ºÁOÙ3ê Res f(∞) " (3) z = z0 ´¼ê f(z) á n 4:§¦ f 0 (z)/f(z) 3 z0 3ê" (4) ¦µ Z c dz z §Ù¥ c l z = −3i ²L z = −1 : z = 2i ã l" (5) c |z| ≤ 1 >.§¦µI = I c dz z sin3 z cos z (6) eò e z − 1 (e z + 1) cos z 3 z = 1 Ф Taylor ?ꧦT?êÂñ» rc (7) f(z) 3,«Ðm Laurent ?ê f(z) = X +∞ k=−∞ akz k§@oµ (a) X f(z) 3 z = 0 )Û§K k 0 ak = f (k) (0)/k! (d) ±þÑ7( (8) D üëÏ«§c D S?{ü4ܧf(z) = u + iv 3 D S) Û§f ∗ (z) f(z) Eݧ@oµ (a) I c udz = 0 (b) I c udx − vdy = 0 (c) I c f 0 (z)dz = 0 (d) I c f ∗ (z)dz = 0 2. £18 ©¤Á(½¼ê f(z) = z e iz − 1 3k?Û:9Ùa." 3. £18 ©¤¦ I = I C sin e 1 z z dz§C |z| = 1 _=±" 4. £18 ©¤¦ I = Z ∞ 0 √ x ln x 1 + x 2 dx" 5. £18 ©¤õ¼ê f(z) = z p (z − 1)1−p z 2 − 1 £Ù¥ −1 < p < 2¤ë z = 0 Ú z = 1 㧿 3þW z0 = 1 2 + i0 + ?§f(z0) = 2 3 e ipπ§Á ¦ limz→∞ f(z) 9 Res f(∞) "