1.简答题:(8分×4) (1)x=P(x),故:当l=1时,原式=2/3 (4分) 当l=2,3时,原式=0 (2分+2分) (2)几个特征: (a) lim No(x)=∞,limN1(0)=∞ (2分) (b)N1的第一个根大于N的第一个根 (3分) (c)No与N1根交错出现 (3分) (3)(l,t)=0 (4分) Y Sur(0, t)=ku(0, t) (4分) (4)只有向右传播的波:u=f(t-x/a) (2分) t=0时 故∫(-/a)=0ifx≥0 (2分) t≥0的x=0处,SYux= sin wt=f(t) (2分) 综上: cos(t-x/a)-1]t≥r/a (2分) tA, exp[-(nTa/0)2t)sin a (5分) u(x,0)=0→An= n T (4分) 0 (3分)
1. 简答题: （8分 × 4） (1) x = P1(x)，故：当 l = 1 时，原式 = 2/3 (4分) 当 l = 2, 3 时，原式 = 0 (2分 + 2分) (2) 几个特征： (a) limx→0 N0(x) = ∞, limx→0 N1(0) = ∞ (2分) (b) N1 的第一个根大于 N0 的第一个根 (3分) (c) N0 与 N1 根交错出现 (3分) 2 4 6 8 10 12 -1.0 -0.5 0.5 (3) u(l, t) = 0 (4分) Y Sux(0, t) = ku(0, t) (4分) (4) 只有向右传播的波：u = f(t − x/a) (2分) t = 0 时 u = 0，故 f(−x/a) = 0 if x ≥ 0 (2分) t ≥ 0 的 x = 0 处，SY ux = sin ωt = f(t) (2分) 综上：u = a ωSY [cos ω(t − x/a) − 1] t ≥ x/a 0 t < x/a (2分) (5) u = ∑ l Blr −l−1Pl(cos θ) (2分) 边条：u(a, θ) = cos2 θ = 2 3 P2(cos θ) + 1 3 P0(cos θ) (2分) B0 = a 3 , B2 = 2a 3 3 , u = 1 3 a r + 2 3 a 3 r 3 P2(cos θ) (三式各 2分) 2. 定解问题： ut = a 2uxx (2分) u(0, t) = u0, u(l, t) = u0 (2分) u(x, 0) = 0, (2分) u(x, t) = u0 + ∑ n An exp[−(nπa/l) 2 t] sin nπ l x (5分) u(x, 0) = 0 =⇒ An = − 2u0 l ∫ l 0 sin nπx l dx (4分) A2n+1 = 4u0 (2n + 1)π , A2n = 0 (3分)
(1+1+1分) u=t+t,=u1,v满足齐次方程、齐次边条 Wt = a l=0-a1, 0 (3分) w= R(rr(t) 2R"(r)+rR()+ur2R(r=0=Rn(r)=Job (4分) T"(2)+a2T(2)=0= T(t)=exp () (4分) (r,t)=∑cn b rexp (2分) n=1 () 应用初条 CnO b (0-1) (2分) (2分) a<r< (2分) 2分 4.定解问题:70 imnu(r,6,d)=有界 (kur + hu) qoC0s60≤6≤丌/2 1分) /2≤6≤丌 ∑Ar/P(cos6) (4分) 利用r=a处的边界条件: HAa+ hlAzal-I 21+I/T/2 2 cos AP(cos 0)sin Ade (4分) 求球心温度,只需求Ao (2分) Ao= go/cos 0 sin 0d0=g0. (2分)
3. ut = a 2∇2u, u t=0 = u0, u r=b = u1 (1 + 1 + 1 分) u = v + w, v = u1, w 满足齐次方程、齐次边条 wt = a 2∇2w, w t=0 = u0 − u1, w r=b = 0 (3分) w = R(r)T(t) r 2R′′(r) + rR(r) + µ 2 r 2R(r) = 0 =⇒ Rn(r) = J0 ( x (0) n b r ) (4分) T ′′(z) + a 2µ 2T(z) = 0 =⇒ T(t) = exp − ( x (0) n b a )2 t (4分) w(r, t) = ∑∞ n=1 cnJ0 ( x (0) n b r ) exp − ( x (0) n b a )2 t (2分) 应用初条：∑∞ n=1 cnJ0 ( x (0) n b r ) = (u0 − u1) (2分) cn = (u0 − u1) ∫ b 0 J0 ( x (0) n b r ) rdr ∫ b 0 J 2 0 ( x (0) n b r ) rdr (2分) 4. 定解问题： ∇2u = 0 a ≤ r < ∞ (2分) limr→0 u(r, θ, ϕ) = 有界 (2分) (kur + Hu) r=a = { q0 cos θ 0 ≤ θ ≤ π/2 0 π/2 ≤ θ ≤ π (4分) u = ∑∞ l=0 Alr l Pl(cos θ) (4分) 利用 r = a 处的边界条件： HAla l + klAla l−1 = 2l + 1 2 q0 ∫ π/2 0 cos θPl(cos θ) sin θdθ (4分) 求球心温度，只需求 A0 (2分) A0 = q0 2H ∫ π/2 0 cos θ sin θdθ = q0 4H (2分)
h sin wt 5.定解问题:{(0,1)=(,1)=0 每行1分) u(x,0)=0,u(x,0)=0 v(a, t)=A()sint, A(0)=A(0)=0 (2分) A-a2A〃=h (2分) A(x)=--5+F(x) (2分) F+(w/a) F(a)=0= F=acos(w/a)r+B sin(w, (2分) 由A(0)=A()=0可得: h 1-cOs (4分) SIll h sIn w t) (5分)
5. 定解问题： utt − a 2uxx = h sin ωt, u(0, t) = u(l, t) = 0 u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 (每行 1 分) v(x, t) = A(x) sin ωt, A(0) = A(l) = 0 (2分) −ω 2A − a 2A′′ = h (2分) A(x) = − h ω2 + F(x) (2分) F ′′ + (ω/a) 2F(x) = 0 =⇒ F = α cos(ω/a)x + β sin(ω/a)x (2分) 由 A(0) = A(l) = 0 可得：α = h ω2 , β = h ω2 1 − cos ωl a sin ωl a (4分) v(x, t) = h ω2 sin ωt sin ωl a [ sin ωx a − sin ωl a + sin ( ωl a − ωx a )] (5分)