上讲回顾:晶体的热学性质 九a 晶格振动(声子)平均能量 ho /kpt 最大 ha/kBT po jao 频率分布的 Debye模型,弹性波,3个方向 样,适合声学支 *低温比热 Debye 3v o0@Debye 2丌 频率分布的 Einstein模型,常数,适合光学支 低温比热pmtn(o)=3Nδ(o-0imn) Or/T /T http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 1 上讲回顾：晶体的热学性质 • 晶格振动 (声子 )平均能量 • 频率分布的Debye模型，弹性波， 3个方向一 样，适合声学支 * 低温比热 • 频率分布的Einstein模型，常数，适合光学支 * 低温比热 N i k T i i B e U 3 1 / 1 最大 0 / 1 d e U k B T Einstein Einstein 3 N Debye 3 2 Debye 2 2 3 p v V / 2 C ~ e / T T V E 3 C V ~ T
本讲目的:如何处理热膨胀、热传导 简谐近似的局限→不能处理热膨胀、热传导 *简谐近似→相互作用势能保留到二次项→ #晶格振动可以用独立的谐振子来描写→格波 *互相独立的格波既不发生相互作用,也不交换能量。 这样声子一旦被激发出来,就不会湮灭,其数目保 持不变。既不能把能量传递给其他频率的声子,也 不能使自己处于热平衡,即声子是定态 系列与此有关的物理现象,比如热膨胀、热传 导,不能用简谐近似来描述 如何考虑声子间的相互作用→加入非简谐效应 *把非简谐效应看成是微扰项 *声子不再是定态,可以产生和湮灭 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 2 本讲目的：如何处理热膨胀、热传导 • 简谐近似的局限不能处理热膨胀、热传导 * 简谐近似相互作用势能保留到二次项 晶格振动可以用独立的谐振子来描写格波 * 互相独立的格波既不发生相互作用，也不交换能量。 这样声子一旦被激发出来，就不会湮灭，其数目保 持不变。既不能把能量传递给其他频率的声子，也 不能使自己处于热平衡，即声子是定态 * 一系列与此有关的物理现象，比如热膨胀、热传 导，不能用简谐近似来描述 • 如何考虑声子间的相互作用加入非简谐效应 * 把非简谐效应看成是微扰项 * 声子不再是定态，可以产生和湮灭
第27讲、非简谐效应 1.简谐近似的局限 2.热膨胀 *简谐近似为什么不能描写热膨胀? *如何描写热膨胀? * Gruneisen常数 3.热传导 *简谐近似为什么不能描写热传导? *如何描写热传导? 晶体热传导系数 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 3 第27讲、非简谐效应 1. 简谐近似的局限 2. 热膨胀 * 简谐近似为什么不能描写热膨胀？ * 如何描写热膨胀？ * Grueneisen常数 3. 热传导 * 简谐近似为什么不能描写热传导？ * 如何描写热传导？ * 晶体热传导系数
、简谐近似的局限 修正绝热近似时,曾作两个假定以简化问题 微小振动:原子虽然不是固定在它们的平衡位置, 但是偏离平衡位置的距离很小 2.简谐近似:离子之间的相互作用势能展开式只保留 到二次项,即力常数与位移的一次项成正比 得到的结果 1.对晶体材料,振动模是简正模→独立振动(声子) 2.简谐近似意味着没有热膨胀 3.简谐近似意味着没有热传导 4.在高温时,比热趋向于一个常数( Dulong-Petit http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 4 1、简谐近似的局限 • 修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题 1. 微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置， 但是偏离平衡位置的距离很小 2. 简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留 到二次项，即力常数与位移的一次项成正比 • 得到的结果 1. 对晶体材料，振动模是简正模独立振动 (声子) 2. 简谐近似意味着没有热膨胀 3. 简谐近似意味着没有热传导 4. 在高温时，比热趋向于一个常数（Dulong-Petit）
Cu的比热与温度关系 *点:实验数据; *短线:在简谐近似下计算数据; *实线:考虑非简谐近似的计算数据 25 aP二一-- E20 400 600 800
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 5 • Cu的比热与温度关系 * 点：实验数据； * 短线：在简谐近似下计算数据； * 实线：考虑非简谐近似的计算数据
如果简谐近似 ·不发生热膨胀 在高温时,比热是常数 °两个格波之间不发生相互作用,单个波不袤减 (波形不随时间变化),不交换能量 弹性常数与压力和温度无关 压强与温度无关 实际情况并非如此 非简谐效应 准简谐处理:非简谐项是个小量时→声子+微扰 热膨胀、热传导 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 6 如果简谐近似 • 不发生热膨胀 • 在高温时，比热是常数 • 两个格波之间不发生相互作用，单个波不衰减 （波形不随时间变化），不交换能量 • 弹性常数与压力和温度无关 • 压强与温度无关 • 准简谐处理：非简谐项是个小量时声子+微扰 • 热膨胀、热传导 实际情况并非如此 非简谐效应
2、热膨胀 ·简谐近似为什么不能描写热膨胀? 如何描写热膨胀? 热膨胀与 Gruneisen常数 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 7 2、热膨胀 • 简谐近似为什么不能描写热膨胀？ • 如何描写热膨胀？ • 热膨胀与Grueneisen常数
简谐近似为什么不能描写热膨胀? 严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀? 热膨胀? *热胀冷缩:温度升高,晶体体积膨胀 # *温度升高? →晶格振动能量增大 晶体体积膨胀? →原子平均间距或晶格常数增加 那,严格的简谐近似为什么不能产生热膨胀? http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 8 简谐近似为什么不能描写热膨胀？ • 严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？ • 热膨胀？ * 热胀冷缩：温度升高，晶体体积膨胀 ？ * 温度升高？ 晶格振动能量增大 * 晶体体积膨胀？ 原子平均间距或晶格常数增加 • 那，严格的简谐近似为什么不能产生热膨胀？
要问,什么是简谐近似? 势能与位移是二次关系! 势能与位移是二次关系意味着什么? http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 9 要问，什么是简谐近似？ • 势能与位移是二次关系！ • 势能与位移是二次关系意味着什么？
热膨胀的定性分析) 非谐 势能与位移的二次 简谐 关系 *→平衡位置与温度 无关,始终是r0 *→即晶体体积不会 变化 E *因此,简谐近似不 能说明热膨胀现象 只有考虑非简谐效 非谐平均位置 应才能说明热膨胀 现象 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应
http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 10 热膨胀的定性分析 • 势能与位移的二次 关系 * 平衡位置与温度 无关，始终是r0 * 即晶体体积不会 变化 * 因此，简谐近似不 能说明热膨胀现象 • 只有考虑非简谐效 应才能说明热膨胀 现象 0r E(T ) r U(r) 简谐 非谐 非谐平均位置