复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶格振动_晶格振动的量子理论

上讲回顾:晶格振动的色散关系 简谐近似:力与位移成线性关系 晶体中每个原子振动是仅差相位的 N种与波矢有关的集体振动→(q) *原子位移以波形式传播→格波 #3支声学:q>0,与q成线性关系 optical 振幅方向相同,q=0时代表质 心的振动 #3s3支光学:q>0,a为常数 acoustic 十振幅方向相反,q=0时代表质心 不动的相向振动 存在频率隙,不允许传播 hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 1 上讲回顾：晶格振动的色散关系 • 简谐近似：力与位移成线性关系 • 晶体中每个原子振动是仅差相位的 N种与波矢有关的集体振动ω(q) * 原子位移以波形式传播格波  3支声学：q0，ω与q成线性关系 † 振幅方向相同， q=0时代表质 心的振动  3s-3支光学：q0，ω为常数 † 振幅方向相反，q=0时代表质心 不动的相向振动 • 存在频率隙，不允许传播 optical acoustic

本讲目的:引入声子来描写晶格振动 简谐振动的特点 *原子位移不独立,u之间有且仅有相位差别 *但,振动ω(q)独立,即a(q)之间无耦合 →本质上是一种独立振动<简谐振动 →对简谐振动量子化 →简谐振动的能量是分裂的 →简谐振动能量子=声子 目的:与晶格作用←与声子作用 hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 2 本讲目的：引入声子来描写晶格振动 • 简谐振动的特点 * 原子位移u不独立， u之间有且仅有相位差别 * 但，振动ω(q)独立，即ω(q)之间无耦合 本质上是一种独立振动简谐振动 对简谐振动量子化 简谐振动的能量是分裂的 简谐振动能量子=声子 目的：与晶格作用与声子作用

第25讲、晶格振动的量子理论 维单原子链解的讨论 2.简正坐标:一维情况 3.简正坐标:三维情况 4.晶格振动的量子化 →视野拓展→离子晶体的振动 *离子晶体长光学波的电磁耦合→色散关系的偏离 hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 3 第25讲、晶格振动的量子理论 1. 一维单原子链解的讨论 2. 简正坐标：一维情况 3. 简正坐标：三维情况 4. 晶格振动的量子化 视野拓展离子晶体的振动 * 离子晶体长光学波的电磁耦合色散关系的偏离

1、一维单原子链解再讨论 ·简谐势 简谐 ∑B(xn-xn) ·运动方程 m=,2"=B(xn+1+xn-1-2xn t 尝试解 a,=aeil qna-o(q)t ·解,振动模式a(q)=2、in塑 2 q的取值为12,陬取整数不等价有N hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 4 1、一维单原子链解再讨论 • 简谐势 • 运动方程 • 尝试解 • 解，振动模式 • q的取值为 不等价有N ( 2 ) 2 1 1 2 n n n n x x x dt d x m       2 ( ) 2 sin qa m q    iqna qt xn Ae   l取整数 N a l q , 2        n n n V x x 2 1 21  简谐

x,= aeilana-o(a)] 12丌 O(q)=2 /取整数 思考:这个解到底表示什么意思?

思考：这个解到底表示什么意思？ 2 ( ) 2 sin qa m q    iqna  q  t x n Ae    l取整数 N a l q , 2  

讨论:从解的形式看 ae qna-@(q 12丌 0(q)=21in q 取整数 位移不独立,与第n个原胞有关 *如果格矢n相差为2π/q的整数倍时,位移完全相等 振动频率ω(q)与第几个原胞(原子)完全无关 ·思考:这是什么意思? *这表示所有的原子都同时在做频率为a的振动,只 不过有个相位差! hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 6 讨论：从解的形式看 • 位移不独立，与第n个原胞有关， * 如果格矢na相差为2π/q的整数倍时，位移完全相等 • 振动频率ω(q)与第几个原胞(原子)完全无关 • 思考：这是什么意思？ * 这表示所有的原子都同时在做频率为ω的振动，只 不过有个相位差！ iqna qt xn Ae   2 ( ) 2 sin qa m q    l取整数 N a l q , 2 

这说明什么? 各个原子的振动不是独立的!

这说明什么？ 各个原子的振动不是独立的！

讨论:位移与格点?xn= aeilgna- A gna-olq n为整数,共有M个原胞 不同格点,n,原子的位移,由 Bloch定理决 定,仅仅差一个相因子,这说明,各个原子的 振动并不是独立的 思考:什么意思? *晶格振动是一种集体的振动! 思考:什么意思? *对应某个给定频率,需要N个原子互相有关联的位 移来描写具有这个频率的集体振动→振动是互相有 关的;或,提到某个频率的振动,就得与这N个的 位移联系起来 hmp:∥1.107.0.68/ inche晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 8 讨论：位移与格点？ • 不同格点，n，原子的位移，由Bloch定理决 定，仅仅差一个相因子，这说明，各个原子的 振动并不是独立的 • 思考：什么意思？ * 晶格振动是一种集体的振动！ • 思考：什么意思？ * 对应某个给定频率，需要N个原子互相有关联的位 移来描写具有这个频率的集体振动振动是互相有 关的；或，提到某个频率的振动，就得与这N个的 位移联系起来 iqna qt xn Ae   xn  Aeiqnaqt, n为整数,共有N个原胞

讨论:再看位移与波矢关系 n- Aelana-o(qr 2丌 1,-<l≤,共N个值,N原胞数 2 2 波矢的取值由周期性边界条件决定 *一个状态q对应个频率,s即自由度,一维单原子, N是振动状态的数目 *简诸近似下这些不同的振动状态,互相之间是独立 的,没有关系→简谐振动 总结一下,晶体原子的振动,简单地说 *就是关于q独立,关于x不独立! hmp:∥10.107.0.68% becher晶格振动的量子理论

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的量子理论 9 讨论：再看位移与波矢关系 • 波矢的取值由周期性边界条件决定 * 一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子， s=1；… * N是振动状态的数目 * 简谐近似下这些不同的振动状态，互相之间是独立 的，没有关系简谐振动 • 总结一下，晶体原子的振动，简单地说 * 就是关于q独立，关于x不独立！ 共N个值 N原胞数 N l N l Na q , , 2 2 , 2      iqna   q t xn Ae  

那么,各个原子到底怎么振动?或, 在任意时刻,各个原子到底处在什么 位置?

那么，各个原子到底怎么振动？或， 在任意时刻 t，各个原子到底处在什么 位置？