复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第三、四章 能带论_晶体电子动力学

上讲回顾:紧束缚近似 物理根据:原子间距远,作用小。用微扰法考虑 *零级解:孤立原子的波函数 微扰势:晶体势減去孤立原子势 数学根据:波函数具k空间周期性,在实空间作 傅里叶展开→ Wannier函数=局域函数的 Bloch和 紧束缚能带E(k)=E.+C+∑J(R)4 %上式仅考虑s电子,仅考虑相互作用到最近邻 %关键是计算相因子的和以及J(R),注意/(R)<0 %能带宽度=能带顶和能带底的差 由原子间相互作用强度以及与结构有关的相因 子的和所共同决定 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 1 上讲回顾：紧束缚近似 • 物理根据：原子间距远，作用小。用微扰法考虑 * 零级解：孤立原子的波函数 * 微扰势：晶体势减去孤立原子势 • 数学根据：波函数具k空间周期性，在实空间作 傅里叶展开Wannier函数=局域函数的Bloch和 • 紧束缚能带 上式仅考虑s电子，仅考虑相互作用到最近邻 关键是计算相因子的和以及J(R)，注意J(R)<0 能带宽度=能带顶和能带底的差 † 由原子间相互作用强度以及与结构有关的相因 子的和所共同决定        最近邻 原子 R k R k R i E ( ) E C J e

本讲目的:晶体电子运动的准经典描写 如何描写晶体电子(或称 Bloch电子或能带电子) 在外场下的输运性质? *外场(电场、磁场、…)→非定态 如果用量子力学处理晶体电子,太过复杂! 有没有可能用简单的方法来处理? *使晶体电子在外场下的运动,可用经典规律描写 %而晶体中离子对电子运动复杂影响以另外的形式 出现→有效质量 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 2 本讲目的：晶体电子运动的准经典描写 • 如何描写晶体电子(或称Bloch电子或能带电子) 在外场下的输运性质？ * 外场(电场、磁场、…)非定态 如果用量子力学处理晶体电子，太过复杂！ • 有没有可能用简单的方法来处理？ * 使晶体电子在外场下的运动，可用经典规律描写 而晶体中离子对电子运动复杂影响以另外的形式 出现有效质量

第20讲、晶体电子动力学 1.准经典电子的动量、坐标和速度 2.有效质量 3. Bloch振荡 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 3 第20讲、晶体电子动力学 1. 准经典电子的动量、坐标和速度 2. 有效质量 3. Bloch振荡

l、准经典电子的动量、坐标和速度 晶体电子在外场作用下如何运动? *没有外场时,定态!现薛定谔方程中加外场 →电子状态的能量会随时间变化→需解含时S方程 H=-V2+(r) r(r)=(r+R) n。v(r)=(G+y(r)v(,) i[kor-E(k)/hhu. r t 关于晶体中的电子,我们已经知道什么? *能带结构一E(k)、本征函数。所以可用它来展开晶 体波函数→解含时S方程←称之为 Bloch表象 但特定条件下,也可将电子当作准经典粒子 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 4 1、准经典电子的动量、坐标和速度 • 晶体电子在外场作用下如何运动？ * 没有外场时，定态！现薛定谔方程中加外场 电子状态的能量会随时间变化需解含时S方程 • 关于晶体中的电子，我们已经知道什么? * 能带结构E(k)、本征函数。所以可用它来展开晶 体波函数解含时S方程称之为Bloch表象 • 但特定条件下，也可将电子当作准经典粒子  t H U   t i t , ˆ  r,    r    H    V r  2 ˆ V   r  V r  R        r r  k k r k t e u i E t /  ,    

如何将电子处理成准经典粒子 电子在周期势场中的运动 →被当作具有有效质量的准粒子在零势场下(但限制在 能带中)的运动所替代, *这样的准经典粒子在外场下运动 ←经典力学规律 但是,建立电子准经典运动方程需要知道电子 的动量和坐标? *经典粒子同时具有确定的动量和坐标,但是对电子 呢? hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 5 如何将电子处理成准经典粒子 • 电子在周期势场中的运动 被当作具有有效质量的准粒子在零势场下(但限制在 能带中)的运动所替代， * 这样的准经典粒子在外场下运动 经典力学规律 • 但是，建立电子准经典运动方程需要知道电子 的动量和坐标？ * 经典粒子同时具有确定的动量和坐标，但是对电子 呢？

思考:我们是否知道晶体电子的坐标 完全不知道,因为晶体电子的坐 标是完全不确定的! 为什么? ·晶体电子是共有电子! 那么,怎么处理这个问题? hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 6 思考：我们是否知道晶体电子的坐标 • 完全不知道，因为晶体电子的坐 标是完全不确定的！ • 为什么？ • 晶体电子是共有电子！ • 那么，怎么处理这个问题？

这也是量子力学涵盖经典力学时所遇困难 ·通常一个新的、更为普遍的理论,往往可以用 自身的逻辑完整地表达出来,并且独立于它的 作为极限的低级理论 这里 *普遍理论→量子力学 *低级理论→经典力学 量子力学涵盖经典力学,经典力学是量子力学 的极限 *但是,问题是 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 7 这也是量子力学涵盖经典力学时所遇困难 • 通常一个新的、更为普遍的理论，往往可以用 自身的逻辑完整地表达出来，并且独立于它的 作为极限的低级理论 • 这里 * 普遍理论量子力学 * 低级理论经典力学 • 量子力学涵盖经典力学，经典力学是量子力学 的极限 * 但是，问题是：

思考:量子力学能否独立于经典力 学,建立起自身完整的逻辑,描写量 子力学体系自己? 不行! hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 8 思考：量子力学能否独立于经典力 学，建立起自身完整的逻辑，描写量 子力学体系自己？ 不行！

→测不准原理 不行,当表达量子力学概念时,原则上却不得 不用到经典理论! 为什么? 因为一个粒子如果没有轨道,意味着它也没有 任何其他的动力学标志。这样,对于一个只有 量子客体的系统,就不能建立起逻辑上完全独 立的力学描述 *所以,量子力学相对于经典力学,在概念上,不仅 仅在于波—粒二象性的革命;而且,它还不得不用 到经典的力学描述 ·所以,测不准原理在量子力学中同样处于核心 地位 hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 9 测不准原理 • 不行，当表达量子力学概念时，原则上却不得 不用到经典理论！ • 为什么？ • 因为一个粒子如果没有轨道，意味着它也没有 任何其他的动力学标志。这样，对于一个只有 量子客体的系统，就不能建立起逻辑上完全独 立的力学描述 * 所以，量子力学相对于经典力学，在概念上，不仅 仅在于波—粒二象性的革命；而且，它还不得不用 到经典的力学描述 • 所以，测不准原理在量子力学中同样处于核心 地位

回到前面的问题:把电子处理成准经 典粒子,如何确定它的坐标?量子力 学实际上已经为此作好了准备 ·增添状态的不确定性,换取坐标可知性 ·这可行吗? 行! *电子在外场下不是定态,状态会发生变 化,新的态可以用附近的态迭加得到 与定态的差别是现在一个状态要用一定范 围内的不同的k的状态迭加! hmp:/0.10.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 10 回到前面的问题：把电子处理成准经 典粒子，如何确定它的坐标？量子力 学实际上已经为此作好了准备 • 增添状态的不确定性，换取坐标可知性 • 这可行吗？ • 行！ * 电子在外场下不是定态，状态会发生变 化，新的态可以用附近的态迭加得到。 * 与定态的差别是现在一个状态要用一定范 围内的不同的k的状态迭加！