本讲目的:周期结构中电子运动的规律 思考如下三个问题: 1.周期性势场中运动的电子波应该具有什么形式? 2.这样形式的波函数意味着什么? 3.离子实为什么好象对电子没有作用? 这些问题由 Bloch定理解决,或形式上解决 * Bloch定理是能带理论的基础 →能带理论是固体物理学最核心的内容 →解释了电子自由程很长的问题!但是未对金属、 绝缘体作出解释←由 Wilson完成,但基础是 Bloch定理 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 1 本讲目的：周期结构中电子运动的规律 • 思考如下三个问题： 1. 周期性势场中运动的电子波应该具有什么形式？ 2. 这样形式的波函数意味着什么？ 3. 离子实为什么好象对电子没有作用？ • 这些问题由Bloch定理解决，或形式上解决 * Bloch定理是能带理论的基础 能带理论是固体物理学最核心的内容 解释了电子自由程很长的问题！但是未对金属、 绝缘体作出解释由Wilson完成，但基础是 Bloch定理
第14讲、Boch定理 1. Bloch定理所要解决的问题 电子平均自由程为何那么大? 2.周期性势场中单电子波函数性质 Bloch定理确定它所必须具有调幅平面波的形式 3.定理证明→平移算符的本征值 非简并情况一 简并情况 Bloch定理的推论→及其物理涵义 推论 推论二 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 2 第14讲、Bloch定理 1. Bloch定理所要解决的问题 * 电子平均自由程为何那么大？ 2. 周期性势场中单电子波函数性质 * Bloch定理确定它所必须具有调幅平面波的形式 3. 定理证明平移算符的本征值 * 非简并情况 * 简并情况 4. Bloch定理的推论及其物理涵义 * 推论一 * 推论二
1、 Bloch定理所要解决的问题 这是当年Boch发表在德国物理学报上的、 其主要结论被后人归结为Boch定理的论文 Zeitschrift Physik A52, 555(1928) *那一年,他年仅23岁 Uber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern Von Felix Bloch in Leipzig Mlit 2 Abbildungen. (Einge gangen am 10 August 1928. Die Bewegung eines Elektrons im Gitter wird untersucht, indem wir uns dieses durch ein zunachst streng dreifach periodisches Kraftfeld schematisieren. Unter Hinzunahme der Fermischen Statistik auf die elektronen gestattet unser Modell Aussagen uber den von ihnen herruhrenden Anteil der spezifischen Warme des Kristalls. Ferner wird gezeigt, dab die beriicksichtigung der thermischen Gitter schwingungen GroBenordnung und Temperaturabhangigkeit der elektrischen Leit- fahigkeit von Metallen in qualitativer Ubereinstimmung mit der Erfahrung ergibt
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 3 1、 Bloch定理所要解决的问题 • 这是当年Bloch发表在德国物理学报上的、 其主要结论被后人归结为Bloch定理的论文 * Zeitschrift Physik A52, 555 (1928) * 那一年，他年仅23岁
Proc. R. Soc. Lond. A 371, 24-27(1980) Printed in Great Britain Memories of electrons in crystals BY F. bLOCh Department of Physics, Stanford University, California, U.S.A Bloch, Felix Born zurich, switzerland, 1905. Naturalized U. S. citizen. studied at Leipzig(Ph. D. 1928). Positions held: Utrecht(1930); Copenhagen:(1931) Leipzig(1932); Rome(1933); Stanford(1934-42); Manhattan Project(1942-3); Radio Research Laboratory, Harvard University(1943-5); Professor, Stanford University(1945 to date). Fundamental contributions to electron theory of metals quantum theory of ferromagnetism, superconductivity. Nobel prize for physics 1952 As a student in Zurich, it was my good fortune to be present at the colloquium in which Schrodinger told the first time about his wave mechanics. when both he and Debye accepted positions in Germany I decided upon the latters advice to continue my studies under Heisenberg in Leipzig, where I arrived in the autumn of 1927 Already in Zurich my interests had turned from experimental to theoretical physics, and particularly towards quantum mechanics, and before coming to Leipzig I had started some calculations on the radiation-damping of wave-packets As the first thing, Heisenberg encouraged me to complete this work, later published in the Physikalische Zeitschrift, whereupon he considered me ready to start on a ic f
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Bloch关于 Bloch定理证明的回顾 海森堡给他做两个题目,另一个是关于铁磁 学—海森堡试图将刚刚建立的量子力学应用 在磁学上,后来海森堡自己把它完成,演绎成 海森堡模型 得益于在苏梨世学习时听过薛定谔的量子力学 课程并拜在量子力学的另一创始人海森堡门下 已经知道金属电子气的 Sommerfeld模型 开始我就确信,如果有答案的话,那只能在 电子的波动性上找到,价电子不是被限制停留 在一个原子上的 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 5 Bloch关于Bloch定理证明的回顾 • 海森堡给他做两个题目，另一个是关于铁磁 学——海森堡试图将刚刚建立的量子力学应用 在磁学上，后来海森堡自己把它完成，演绎成 海森堡模型 • 得益于在苏梨世学习时听过薛定谔的量子力学 课程并拜在量子力学的另一创始人海森堡门下 • 已经知道金属电子气的Sommerfeld模型 • 一开始我就确信，如果有答案的话，那只能在 电子的波动性上找到，价电子不是被限制停留 在一个原子上的
Bloch关于 Bloch定理证明的回顾 周期性势使我想起普物实验中摆的实验:在这 个实验中,那些等价耦合摆都以相同的间距悬 在同一根杆上,它们中每一个的运动都可以被 看作沿着这个杆从这个摆到下一个摆的迁移 我开始推演单个电子在一维周期性势场中运动 这个最容易的问题。直接用傅立叶分析,我就 欣喜地发现,与自由电子徳布罗依波薛定谔方 程解不同之处仅在于需要一个势场周期的调制 遗憾,没有完成对金属绝缘体解释→能带 回答对他的指责:但至少海森堡也不知道 Wittmer和 Rosenfeld稍早也得到了同样结论; 50多年前数学上有 Floquet定理 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 6 Bloch关于Bloch定理证明的回顾 • 周期性势使我想起普物实验中摆的实验：在这 个实验中，那些等价耦合摆都以相同的间距悬 在同一根杆上，它们中每一个的运动都可以被 看作沿着这个杆从这个摆到下一个摆的迁移。 • 我开始推演单个电子在一维周期性势场中运动 这个最容易的问题。直接用傅立叶分析，我就 欣喜地发现，与自由电子德布罗依波薛定谔方 程解不同之处仅在于需要一个势场周期的调制 • 遗憾，没有完成对金属绝缘体解释 能带 • 回答对他的指责：但至少海森堡也不知道， Wittmer 和Rosenfeld稍早也得到了同样结论； 50多年前数学上有Floquet定理
Bloch思考的问题:谁动了离子实? 电子平均自由程为什么那么长? 充满了离子实的金属内部为什么对电子运动来说, 竟然好象是空的!简直难以想象! 离子既然能够把芯电子束缚得不能离开,为何 惟独对价电子却好象视而不见呢? *自由原子也能束缚价电子 判断:离子对价电子必有作用,散射必存在! 但为何观察不到散射的效果? *谁动了离子实? 这个矛盾背后究竟隐含着什么? 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 7 Bloch思考的问题：谁动了离子实？ • 电子平均自由程为什么那么长? * 充满了离子实的金属内部为什么对电子运动来说， 竟然好象是空的！简直难以想象！ • 离子既然能够把芯电子束缚得不能离开，为何 惟独对价电子却好象视而不见呢？ * 自由原子也能束缚价电子 判断：离子对价电子必有作用，散射必存在！ • 但为何观察不到散射的效果？ * 谁动了离子实？ 这个矛盾背后究竟隐含着什么？
Sommerfeld也思考过同样的问题 经典电子比热被过高估计?→成功! 当时也是不明白,对电流有很大贡献的自由电子, 为何对比热好象不起作用? *由于过多地估计了能够对比热有贡献的电子数量 #用费米统计,成功地解释了比热问题 °电子平均自由程过小估计?→? *可比性→会不会也是如此→即能被离子散射的电子 数被过多估计,导致电子与离子的散射过于频繁? #就是试图用只有费米能级附近电子能被离子散射 来解释电子几乎不受离子实散射这个事实 Sommerfeld还局限在自由电子气上,错失良机 #真是成也费米分布,败也费米分布 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 8 Sommerfeld也思考过同样的问题 • 经典电子比热被过高估计？成功！ * 当时也是不明白，对电流有很大贡献的自由电子， 为何对比热好象不起作用？ * 由于过多地估计了能够对比热有贡献的电子数量 用费米统计，成功地解释了比热问题 • 电子平均自由程过小估计？？ * 可比性会不会也是如此即能被离子散射的电子 数被过多估计，导致电子与离子的散射过于频繁？ 就是试图用只有费米能级附近电子能被离子散射 来解释电子几乎不受离子实散射这个事实 • Sommerfeld还局限在自由电子气上，错失良机 真是成也费米分布，败也费米分布
Bloch正确地认识到—周期性势场 Bloch摘到了果子—周期性势场中电子运动 *Boch得益于曾亲耳聆听量子力学创始人之一的薛定 谔的量子力学课程,感悟应该与众不同 *同时又拜在量子力学另一创始人海森堡门下,而金 属电导问题怡是所给予的课题之一,他早期曾经关 注过的问题,自然会有这样的联想 *所以,Boch才能敏锐地觉察到:金属中电子自由程 超长特点一定与电子的波动性有关 *电子受到周期性势场的散射,并不是无规的散射, 而是一种相干散射,受周期性势场的散射仅使电子 波函数产生一个相因子,因此,不会衰减 → Bloch定理—能带理论的基础,为固体物理 奠定了基础 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 9 Bloch正确地认识到——周期性势场 • Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动 * Bloch得益于曾亲耳聆听量子力学创始人之一的薛定 谔的量子力学课程，感悟应该与众不同； * 同时又拜在量子力学另一创始人海森堡门下，而金 属电导问题恰是所给予的课题之一，他早期曾经关 注过的问题，自然会有这样的联想 * 所以，Bloch才能敏锐地觉察到：金属中电子自由程 超长特点一定与电子的波动性有关 * 电子受到周期性势场的散射，并不是无规的散射， 而是一种相干散射，受周期性势场的散射仅使电子 波函数产生一个相因子，因此，不会衰减！ Bloch定理——能带理论的基础，为固体物理 奠定了基础
周期性势场近似晶体周期性结构 Bloch定理的适用 R0=R0,+R0 条件(三个近似) 1、绝热近似;2、单 T(G)=∑r-R 电子近似;3、周 期性势场近似 *如前两个近似中的 +R)=∑+R-R 任何一个不成立 周期性势场近似也 ∑=(r-R)=v(r) 不会成立 *看平移周期性会导 致什么结果? V(r+r)=v(r) *Boch定理只利用 了这个周期性 10.107.0.68/ inche Bloch定理
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理 10 周期性势场近似 • Bloch定理的适用 条件（三个近似） 1、绝热近似； 2、单 电子近似； 3、周 期性势场近似 * 如前两个近似中的 任何一个不成立， 周期性势场近似也 不会成立 * 看平移周期性会导 致什么结果？ * Bloch定理只利用 了这个周期性 J el N J V v 0 r r R V r R V r J el N ( J ) 0 晶体周期性结构 0 " 0 ' 0 R J R J R J V ( r R ) V ( r ) J J el N J J V v 0 0 ' 0 r R ' r R R