上讲回顾:晶体结构的其他性质 晶列,晶向指数 晶面,晶面指数 晶体的宏观对称性(操作) *平移对称性对宏观对称操作的一些限制 *要点 1.晶列、晶面、操作等,都是对晶格(不是原子) 而 2.在宏观对称操作如转动、反演、镜面、螺旋、 滑移等中,至少保持一个点、轴、面等保持不 动 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 1 上讲回顾：晶体结构的其他性质 • 晶列，晶向指数 • 晶面，晶面指数 • 晶体的宏观对称性(操作) * 平移对称性对宏观对称操作的一些限制 * 要点 1. 晶列、晶面、操作等，都是对晶格(不是原子) 而言； 2. 在宏观对称操作如转动、反演、镜面、螺旋、 滑移等中，至少保持一个点、轴、面等保持不 动
特别强调:晶面指的是格点所在平面 右图是金 刚石的原 子排列结 构:即图 中的球是 原子 不是格点 问:(001) 晶面族最 靠近原点 的是哪个 晶面? 10.107.0.68/ inche a0=0.357nm
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 2 ？ 特别强调：晶面指的是格点所在平面 • 右图是金 刚石的原 子排列结 构：即图 中的球是 原子，而 不是格点 • 问：(001) 晶面族最 靠近原点 的是哪个 晶面?
本讲目的:引入倒空间的有关概念 为什么要倒(动量)空间? 2.晶格的平移周期性,在动量空间如何描写? 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 3 本讲目的：引入倒空间的有关概念 1. 为什么要倒(动量)空间？ 2. 晶格的平移周期性，在动量空间如何描写？
第9讲、倒格子和第一 Brillouin区 晶格的 Fourier变换 2.倒格子 3.正、倒格子对应的几何关系 4.重要的例子 5.第一 Brillouin区 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 4 第9讲、倒格子和第一Brillouin区 1. 晶格的Fourier变换 2. 倒格子 3. 正、倒格子对应的几何关系 4. 重要的例子 5. 第一Brillouin区
为什么要倒(k)空间? 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 5 为什么要倒(k)空间？
1、晶格的 Fourier变换 个物理问题,既可以在正(坐标)空间描写, 也可以在倒(动量)空间描写 *坐标表象r,动量表象k 为什么选择不同的表象?为什么动量空间? *适当地选取一个表象,可使问题简化、容易处理 #如电子在均匀空间特例=自由电子)运动,虽然 坐标一直变化,但k守衡,这时在坐标表象当然 不如在动量表象简单 衍射实验的理论基础 #在量纲上,坐标空间和动量空间互为倒数,因此 也把坐标和动量空间分别称为正、倒空间;其他 也沿用这种称谓 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 6 1、晶格的Fourier变换 • 一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写， 也可以在倒(动量)空间描写 * 坐标表象r，动量表象k • 为什么选择不同的表象？为什么动量空间？ * 适当地选取一个表象，可使问题简化、容易处理 如电子在均匀空间(特例=自由电子)运动，虽然 坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然 不如在动量表象简单 * 衍射实验的理论基础 在量纲上，坐标空间和动量空间互为倒数，因此 也把坐标和动量空间分别称为正、倒空间；其他 也沿用这种称谓
正(坐标)空间周期性》倒(动量空间 数学:(正)格子 观察:X射线衍射 观察:显微镜? 数学:倒格子 数学变换 k 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 7 正(坐标)空间 倒(动量)空间 • 数学：(正)格子 • 观察：显微镜? • 观察： X射线衍射 • 数学：倒格子 rrrrrrrr k？ 周期性 数学变换
坐标空间中用格矢(R描写晶体平移周 期性;那么,在动量空间呢? 10.1070.68 richer倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 8 坐标空间中用格矢(Rl)描写晶体平移周 期性；那么，在动量空间呢？
卩()=∑m(-R 只是一个数学变换 p()=∑m(-R) ·势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 F)=∑/-R) 如果晶体具有平移周期性R,=Rm+Rn 则是R的周期函数Fr+R)=F(r) 可对其作 Fourier展开rn)=x Fk称为 Fourier系数 *两边乘共轭因子eA后积分可得这个系数 Je作 ∫F(r)es"d=∑,j dr ∫F(r)“h=人当K时,这个 10.107.0.68/ inche 到和一momm区积分不为零,且等于V
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 9 l V V Rl r r atom ( ) Rl Rm Rn F(r R ) F(r) l l l F(r) f r R h i h h F F e K r K (r) ' ' ' 1 ( ) 1 h i i e d V F e d F V h h h h r r r K K r K K r l Rl r r atom ( ) h h F e d F V i K K r r r ( ) 1 K r h i e 只是一个数学变换 • 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 • 如果晶体具有平移周期性 * 则是Rl的周期函数 • 可对其作Fourier展开 • FKh称为Fourier系数 * 两边乘共轭因子 后积分可得这个系数 仅当Kh’=Kh时，这个 积分不为零，且等于V
因为F(r)F(r+R),就有 f(r)e dr=f(r+R de hn"dr 作变量替换,r’=r+R,就有 ∫f(ry dr ∫r( r- ar leh°R1 ik·R iK,·R 即 )=0 F≠0 eR=1K,·R,=2m,m整数 即如有平移周期性,那么一定在 Fourier空间存在 K矢量满足这个关系 10.1070.68/ gche/倒格子和第一 Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 10 • 因为F(r)= F(r+Rl)，就有 r r K r K F e d V F h h i ( ) 1 ( ') ' 1 ( ' ) r r K r K R K F e d V F h h l h i • 作变量替换，r’=r+Rl，就有 • 即 (1 ) 0 h l h i F e K R K h h l i i F e d e V K r K R r r ( ') ' 1 ' h l h i F e K R K r R r K r F e d V h i l ( ) 1 0 h FK 1 h l i e K R Kh Rl 2m, m整数 • 即如有平移周期性，那么一定在Fourier空间存在 Kh矢量满足这个关系