复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第一章 金属自由电子气体模型_Sommerfeld模型

本讲目的:探究原因,寻找修正依据 1. Drude模型中,电子对金属比热的贡献为什么 会被高估? 2.该如何修正 Drude模型? hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 1 本讲目的：探究原因，寻找修正依据 1. Drude模型中，电子对金属比热的贡献为什么 会被高估？ 2. 该如何修正Drude模型？

第2讲、 Sommerfeld模型 1.电子对金属比热贡献的定性估计 再论 Drude模型 *费米狄拉克分布 半经典方法(定性)估计电子比热 * Wiedemann- franz定律成功的原因 2. Sommerfeld模型(1928年) 状态密度—波矢空间 *状态密度—能量空间 *电子气基态(T=0)性质 hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 2 第2讲、Sommerfeld模型 1. 电子对金属比热贡献的定性估计 * 再论Drude模型 * 费米—狄拉克分布 * 半经典方法(定性)估计电子比热 * Wiedemann-Franz定律成功的原因 2. Sommerfeld模型（1928年） * 状态密度——波矢空间 * 状态密度——能量空间 * 电子气基态(T=0) 性质

Drude模型中电子对金属比热贡献被高 估的原因? hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 3 Drude模型中电子对金属比热贡献被高 估的原因？

、电子对金属比热贡献的定性估计 再论 Drude模型 *基本成功的只有 Wiedemann-Fran定律 *金属电子比热,完全失败 #实验测量,在低温时,电子对比热的贡献与温度 成正比,在绝对零度时消失。但是 Drude模型却 给出常数 *对电导率呢?因为弛豫时间是个可调参数,实际 上,并不能说明没有困难 原因何在? *从模型的基本假设入手 hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 4 1、电子对金属比热贡献的定性估计 • 再论Drude模型 * 基本成功的只有Wiedemann-Franz定律 * 金属电子比热，完全失败  实验测量，在低温时，电子对比热的贡献与温度 成正比，在绝对零度时消失。但是Drude模型却 给出常数 * 对电导率呢？因为弛豫时间是个可调参数，实际 上，并不能说明没有困难 • 原因何在？ * 从模型的基本假设入手 V B c nk 23 

对 Drude模型的质疑 质疑 Drude模型的近似和假定 *自由电子近似 *独立电子近似 *弛豫时间近似 质疑 Drude模型的处理手段 *对比热高估 *问题是,高估了什么? →看 Drude模型如何得到电子比热? hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 5 对Drude模型的质疑 • 质疑Drude模型的近似和假定 * 自由电子近似 * 独立电子近似 * 弛豫时间近似 • 质疑Drude模型的处理手段 * 对比热高估 * 问题是，高估了什么？ 看Drude模型如何得到电子比热？

看 Drude模型如何得到电子气比热? 经典理论 N个自由电子 自由度3N 热容3/2Nn但实际,室温时-1% 为什么电子能参与传导过程, Pau原理 可自由迁移,但为什么对热传 导却几乎没有贡献? 电子对热容贡献被高估!究竟高估了什么? 从零度开始加热,温度升高慢,经典,所有电 子都得到能量→热容大←Pau原理否定 模型假定仍可以!但统计?→经典还是量子? http://10.107.0.68/gcher Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 6 看Drude模型如何得到电子气比热？ 经典理论 N个自由电子 自由度 3N 但实际，室温时~1% ? 为什么电子能参与传导过程， 可自由迁移，但为什么对热传 导却几乎没有贡献？ Pauli原理 热容热容~~3/2 3/2 NkNkBB 电子对热容贡献被高估！究竟高估了什么？ 模型假定仍可以！但统计？经典还是量子？ 从零度开始加热，温度升高慢，经典，所有电 子都得到能量热容大Pauli原理否定

可见, Drude模型的困难并非模型本 身带来的,而是来自于经典的处理, 即MB分布的局限性 hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 7 可见，Drude模型的困难并非模型本 身带来的，而是来自于经典的处理， 即M-B分布的局限性

应该改用量子统计 Drude模型用经典统计:在给定的电子气密 度,温度T,平衡态, Maxwell-Boltzmann分 布 MMB(e)=n E/kpt orkUT 对电子,用量子统计,即应该用 Fermi-Dirac 分布来代替 Maxwel-Boltzmann分布 feD(e) -EFYKBT ·在温度T下,能量为E的状态被占据的几率。式 中E称为化学势,是温度的函数,当温度为零 时称为费米能级→电子最高占据能量 hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 8 应该改用量子统计 • Drude模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度 T，平衡态，Maxwell—Boltzmann 分 布 E k T B MB B e k T m f E n / 3/ 2 2 ( )            • 对电子，用量子统计，即应该用Fermi—Dirac 分布来代替Maxwell—Boltzmann分布   1 1 ( ) F B /   FD E  E k T e f E • 在温度 T下，能量为 E的状态被占据的几率。式 中 EF称为化学势，是温度的函数，当温度为零 时称为费米能级 电子最高占据能量

FD分布函数性质 f(E)=(E)/k7+1 0≤f(E)≤1 基态 1当E≤EF TOK, f(e) 0当E F E、时的电子的最高占据能贵米温度是经典 级→费米能级 还是量子的判据 对应的费米温度,E=Tk1 在任何温度下,几率等于1/2时的能量等于化学势! hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 9 FD分布函数性质 1 1 ( ) ( )/   EEF kBT e f E 0  f (E) 1 EF，T=0时的电子的最高占据能 级费米能级 对应的费米温度，EF = TFkB 基态    FF 01 ~ 0K, ( ) E E E E T f E 当当 费米温度是经典 还是量子的判据 在任何温度下，几率等于1/2时的能量等于化学势！

FD与MB分布比较 典型金属,在 室温下的分布 MB(黑), FD(红) FD(T=0K,绿) 基态,零度时,电子都处于费米能级以下 温度升高时,即对它加热,将发生什么情况? 某些空的能级将被占据,同时,原来被占据的 某些能级空了出来 hmp:/0.10.0.68/ inche Sommerfeld模型

http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 10 FD与MB分布比较 • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来 • 典型金属，在 室温下的分布。 MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿)