《固体物理学》课程教学资源（课外阅读材料）Sommerfeld模型的原始文献（德文）

SoMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle Die Nat Jahre I865, und seit I866 fuhrt das Vereinsorgan fur diesen Ausfall haben die Referate geboten, den Titel , Zeitschrift der Gesellschaft fuir Erd- welche seit I9I4 regelmaBig in den NATURWISSEN kunde zu Berlin". Es gab jedoch eine Zeit, wah- ScHAFTEN erschienen sind. I924 wurde mit der nd welcher diese eine Zeitschrift nicht genugte. Herausgabe von Erganzungsheften zu der Zeit- n jener vorher erwahnten Periode der groBen schrift begonnen Entdeckungsreisen erwies es sich als notwendig, eben den laufenden Zeitschriften aber hat die von allen Seiten zahlreich zusammenstromen- die Gesellschaft auch wertvolle Sonderpublikatio- den Berichte der Reisenden und das wertvolle, nen veroffentlicht: Die Festschrift von KoNRaD auf ihren Beobachtungen fu Bende wissenschaftliche KRETSCHMER tber die Entdeckung Amerikas in Material moglichst schnell zur Kenntnis der Mit- ihrer Bedeutung fur die gestaltung des Weltbildes ieder und aller geographischen Kreise zu bringen. mit Atlas I892; die HUMBOLDT-Centenarschrift Es war daher ein hochst zeitgemaBes Unternehmen I899: drei Karten von GERHARD MERCATOR neben der Zeitschrift noch , Verhandlungen der in 4I Tafeln Faksimiledruck I8gI: die Gronland xpedition von ERICH VON DRYGALSKI in 2 Banden geben, welche von I873 an geographische Neuig-. I897: den dritten Band des RICHTHOFENschen keiten, briefliche Mitteilungen von Forschungs- Chinawerkes von ERNST TIESSEN mit Atlas von den Sitzungen gehaltenen Vortrage und andere I9 Bande, I895-IgI8 u a.m Vorgange in der Gesellschaft, sowie Bucherbespre Der Welter nd die Inflationsjahre haben chungen usw. enthielten. Fur die groBe Mehrzahl es der Gesellschaft unmoglich gemacht, weiterhin der Mitglieder boten die monatlich erscheinenden derartige, zum Teil prachtig ausgestattete Werke Verhandlungen einen uberaus interessanten und herauszubringen. Die Fonds der Stiftungen und vielseitigen Lesestoff, wahrend die vierteljahrlich das Kapitalvermogen gingen groBtenteils verloren herauskommende Zeitschrift mit ihren wissen- der Fortfall des gemeinschaftlichen Essens lockerte schaftlichen Abhandlungen und Kartenbeilagen den Zusammenhalt der Mitglieder, und es wird mehr den Charakter einer fir Fachleute berech- noch viele Jahre dauern, bis die Gesellschaft die neten Erganzungsbeilage erhielt. Es waren im fruhere HOhe erreicht haben wird. Aber der Anfang resentlichen auBerliche Grunde, welche dazu ist gemacht, und an ihrem hundertsten Geburtsta hrten, von Igo2 ab, nachdem 28 Bande erschie- kann die Gesellschaft fuir Erdkunde wieder hoff en waren, die Verhandlungen wieder in die Zeit- nungsfreudig in die Zukunft blicken. Sie wird schrift aufgehen zu lassen. Aber dieser Schritt auch weiterhin, ihrer alten Tradition getreu, be- erwies sich in der Folge auch innerlich als gerecht- strebt sein, der aufgabe gerecht zu werden, welche fertigt, denn die moderne Entwicklung der Tages- ihr FERDINAND VON RICHTHOFEN vor vierzig Jah- keiten nicht, wie fruher, durch die Fachzeitschriften, bilden, in welchem die Strahlen von den verschie sondern durch die Zeitungen zuerst in die Offent- densten Richtungen sich vereinigen, und sich das lichkeit gelangten. Von den Vortragen wurde Ziel stellen, die Kunde der gesamten Erde zu pile : befalls nur ein Teil veroffentlicht, und schlieB- gen, der Entdeckung und Forschung in allen ihren lich schrumpften die Berichte uber dieselben Teilen zu folgen und die Reisenden aller Nationen vielfach zu einer, nur wenige Zeilen umfassenden zu begleiten, wo sie die Kenntnis zu fordern bereit Inhaltsangabe zusammen. Einen gewissen Ersatz sind Zur Elektronentheorie der metalle Von A. SoMMERFELD, Munchen Unter der gleichen Uberschrift habe ich im solchen Wellen, wobei die Fortpflanzung der 4I Heft des vorigen Jahrganges der NATURWISSEN- Gruppe mit der Geschwindigkeit des Elektrons SCHAFTEN uber einen Versuch berichtet, die so stark ubereinstimmt, wahrend die Fortpflanzung der in MiBkredit gekommene alte Elektronentheorie Wellenphase innerhalb der Gruppe davon ver- der Metalle zu rehabilitieren, nicht durch neue schieden und durch die gesamtenergie des Elek physikalische Annahmen, sondern durch eine trons gegeben ist, Diese Auffassung des Elektro Revision der statistischen Behandlung der alten als Zustand statt als Individuum bringt eine andere nnahmen von DRUDE und H. A. LoRENTz. Die Art der Abzahlung, also eine andere Entscheidung neue Statistik ist gewachsen auf dem Boden der uber die fuir jede Statistik grundlegende Frage der wellenmechanik, die, von DE BROGLIE kuhn ent- gleichwahrscheinlichen Falle mit sich, wie in der worfen, von SchroDiNGER fest begruindet und als ersten Note etwas naher ausgefuihrt wurde. Aber dentisch mit der (noch fester begruindeten) es kommt noch etwas anderes hinzu, was die neue HEISENBERGschen Quantenmechanik erkannt, in Statistik von der alten unterscheidet: das Paulische allen Fragen der Atomphysik herrschend geworden Prinzip. Dies besagt, daB innerhalb eines jeden ist. Nach der Wellenmechanik ist das Elektron als Systems, sei es ein Atom oder ein Molekul oder ein Zhstand zu behandeln. namlich als fortschreitende Gas oder die Gesamtheit der freien Elektronen in Welle oder, richtiger gesagt, als Gruppe von einem Metall, ieder Quantenzustand mur einmal vor-

374 SOMIV[ERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. [ Die Nafur- [wissenschaften Jahre 1865, und seit 1866 fiihrt das Vereinsorgan den Titel ,,Zeitschrift der Geseltschaft ftir Erd￾kunde zu Berlin". Es gab jedoch eine Zeit, w~ih￾rend welcher diese eine Zeitschrift nicht genfigte. In jener vorher erw~hnten Periode der groBen Entdeckungsreisen erwies es sich als notwendig, die yon alien Seiten zahlreich zusammenstrSmen￾den Berichte der Reisenden und das wertvolle, auf ihren Beobachtungen fuBende wissenschaftliche Material m6glichst schnell zur Kenntnis der Mit￾gtieder und aller geographischen Kreise zu bringen. Es war daher ein hSchst zeitgem~Bes Unternehmen neben der ZeitschriIt noch ,,Verhandtungen der Gesellschaft ftir Erdkunde zu Berlin" herauszu￾geben, welehe yon 1873 an geographische Neuig￾keiten, briefliche Mitteilungen yon Forschungs￾reisenden und Geographen, Berichte fiber die in den Sitzungen gehaltenen VortrAge und andere Vorg~nge in der Gesellschaft, sowie Bficherbespre￾chungen usw. enthielten. Ffir die groBe Mehrzahl der Mitglieder boten die monatlich erseheinenden Verhandlungen einen fiberaus interessanten und vielseitigen Lesestoff, w~thrend die viertelj~hrlich herauskommende Zeitschrift mit ihren wissen￾schaftlichen Abhandlungen und Kartenbeilagen mehr den Charakter einer ffir Fachleute berech￾neten Erg~nzungsbeilage erhielt. Es waren im wesentlichen ~uBerliche Grfinde, welche dazu Ifihrten, yon 19oz ab, nachdem 28 B~nde erschie￾hen waren, die Verhandlungen wieder in die Zeit￾schrift aufgehen zu lassen. Abet dieser Schritt erwies sich in der Folge auch innerlich als gerecht￾fertigt, denn die moderne Entwicklung der Tages￾presse brachte es mit sich, dab geographische Neuig￾keiten nicht, wie Iriiher, durch die Faehzeitschriften, sondern durch die Zeitungen zuerst in die 0ffent￾lichkeit gelangten. Von den Vortr~gen wurde ebenfalls nut ein TeiI verSffentlicht, und schlieB￾lich schrumpften die Berichte fiber dieselben vielfach zu einer, nnr wenige Zeiten umfassenden Inhaltsangabe zusammen. Einen gewissen Ersatz ffir diesen Ausfall haben die Referate geboten, welche seit 1914 regelm~iBig in den 1NATURWISSEN￾SCHAFTEN erschienen sind. 1924 wurde mit der Herausgabe yon Erg~nzungsheften zu der Zeit￾schrift begonnen. Neben den laufenden Zeitschriften aber hat die Gesellschaft auch wertvolle Sonderpublikatio￾nen verSffentlicht: Die Festschrift yon KOIqRAD iKRETSCHMER fiber die Entdeckung Amerikas in ihrer Bedeutung ffir die Gestaltung des Weltbildes mit Atlas 1892 ; die HuMBOLDT-Centenarschrift i899; drei Karten yon GERHARD MERCATOR in 41 Tafeln Faksimiledruck 1891; die Gr6nland￾Expedition yon ERICH YON DRYGALSKI in 2 B~nden I897; den dritten Band des RICHTHOI~ENschen Chinawerkes yon ERNST TIESSEN mit Atlas yon MAX GROLL 1907; die ,,Bibtiotheca Geographica", 19 B~nde, I895--1918 u. a. m. Der Weltkrieg und die Inflationsjahre haben es der Gesellschaft unmSglich gemacht, weiterhin derartige, zum Teil pr~chtig ausgestattete Werke herauszubringen. Die Fonds der Stiftungen und das Kapitalverm6gen gingen gr613tenteils verloren, der Fortfall des gemeinschaftliehen Essens lockerte den Zusammenhalt der Mitglieder, und es wird noch viele Jahre dauern, bis die Geseltschaft die frfihere HShe erreicht haben wird. Aber der Anfang ist gemaeht, und an ihrem hundertsten Geburtstag kann die Gesellschaft ffir Erdkunde wieder hoff￾nungsfreudig in die Zukunft blicken. Sie wird auch weiterhin, ihrer alten Tradition getreu, be￾strebt sein, der Aufgabe gerecht zu werden, welehe ihr FERDINAND VON RICHTHOFEN vor vierzig Jah￾ten gestellt hat, n~tlnlich ,,einen Brennpunkt zu bilden, in welchem die Strahlen yon den verschie￾densten Richtungen sich vereinigen, und sich das Ziel stellen, die I<unde der gesanlten Erde zu~pfle￾gen, der Entdecknng und Forschung ill allen ihren Teilen zu folgen und die Reisenden aller Nationen zu begleiten, wo sie die Kenntnis zu fSrdern bereit sind". Zur Elektronentheorie der Metalle. Von A. SOM/vIERFELD, Miinchen. Unter der gleichen ()berschrift habe ich im 4 I. Heft des vorigen Jahrganges der NATURWISSEN￾SCHAFTEN fiber einen Versuch berichtet, die so stark in Migkredit gekommene alte Elektronentheorie der Metalle zu rehabilitieren, nicht durch neue physikalische Annahmen, sondern durch eine Revision der statistischen Behandlung der alten Annahmen yon DRUDE nnd H. A. LORENTZ. Die neue Statistik ist gewachsen auf dem Boden der Wellenmeehanik, die, yon DE BROGLIE kfihn ent￾worfen, yon SCHRODIN~F~R Iest begrfindet und als identisch mit der (noeh fester begrfindeten) HEISENBERGschen Quanten.mecha.nik erkannt, in allen Fragen der Atomphysik herrschend geworden ist. Nach der Wellenmechanik ist das Elektron als Zustand zu behandeln, n~mlich als fortschreitende Welle oder, richtiger gesagt, als Gruppe yon solchen Wellen, wobei die Fortpflanzung der Gruppe mit der Geschwindigkeit des Elektrons fibereinstimmt, w~hrend die Fortpflanzung der %Vetlenphase innerhalb der Gruppe davon ver￾schieden nnd dutch die Gesamtenergie des Elek￾trons gegeben ist. Diese Anffassung des Elektrons als Zustand statt als Individumn bringt eine andere Art der Abz~hlung, also eine andere Entseheidung fiber die ffir jede Statistik grundlegende Frage der gleiehwahrseheinliehen F~lle init sich, wie in der ersten Note etwas n~her ausgeffihrt wurde. Aber es kommt noch etwas anderes hinzu, was die neue Statistik yon der alten unterscheidet : das Pautisehe Prinzip. Dies besagt, dab innerhalb eines jeden Systems, sei es ein Atom oder ein Molekfil oder ein Gas oder die Gesamtheit der freien Elektronen in einem Metall, ]eder Quantenzusta.nd n~lr einmal vor-

Heft 2r SoMMERFELD: Zur Elektronentheorie der metalle 375 kommen darf. Die freien Elektronen im Metall jeder Zustand ist ja gerade einmal vertreten. Erst sind ahnlich gequantelt, d h. durch ganze Zahlen bei sehr groBen Geschwindigkeiten tritt eine ex unterschieden, wie die akustischen Eigenschwin- ponentielle Abnahme ein. Diejenige Geschwindig gungen in einem Resonator. Die Quantenzahlen be- keit, fur die die Ordinate der Verteilungskurve von deuten wellenmechanisch dasselbe wie die Anzahl I auf /2 gesunken ist, wollen wir , Halbwerts- der Knoten, durch diedie Eigenschwingungen des geschwindigkeit" nennen und mit v bezeichnen Resonators unterteilt und in Grund- und Obe Nach den von FERMi entwickelten Formeln chwingungen unterschieden werden. Wenn nun wird nach PAULI jeder dieser Quantenzustande im Elek tronengas nur einmal vorkommen darf, so ergibt sich (1) ort eine sehr merkwurdige Ko enz, die der klassischen Marvell- Boltzmannschen statistilediame ie Anzahl der Elektronen olum tral entgegenlauft und die fur die neue F'erma-dirae m die Elektronenmasse, h Esche nte: g ist das statistische kleinster Quantenzahlen(leinster Energie)sind voll individuellen Quanten-Zustandes, fir das Elektron angel; die Elektronen konnen ihrer groBen er sich entweder parallel oder antiparallel zu Mehrzahl nach nicht solche zustande einnehmen. einem hinzugedachten Magnetfeldeeinstellen kann wie siesie nach der klassischen Statistik aufsuchen wiirden. Sie sind ein. volk ohne Raum". Dabei des Elektrons) als tiefe Temperaturen"noch solche bis zu Io ooo zu gelten; das Elektronengas ist unter allen Umstanden .entartet'. d. h. eben in seinen Bewegungsmoglichkeiten durch das PAULIsche Prinzip beengt. Eine Folgerung daraus wurde schon in der ersten Note (vgl. daselbst nergie Eo und das Verschwinden der spezifischen lektronenwarme beim absoluten Nullpunkt bzw. Fig. I. Geschwindigkeitsverteilung f die Kleinheit dieser warme bei allen endlichen I, Gl (5a), MAXWELLsche Verteilung( GauBische Feh Temperaturen. Diese Kleinheit war empirisch seit angem bekannt, aber nach der klassischen Statistik II, GL.(5). FERMIsche Verteilung. Fur letztere be- selbe tatsache in anschaulicherer Weise aus und v=i= Halbwertsgeschwindigkeit, bereiten dadurch den Hauptgegenstand dieser Note vor, namlich einen Bericht uber den gegenwartigen t=5o=Grenzgeschwindigkeit des RICHARDSON- Stand der Frage nach der metallischen Leit- fahigkeit AuBer dieser Halbwertsgeschwindigkeit v ist ir I auch die mittlere geschwindigkeit v I. Die mittlere Geschwindigkeit des Elektronengases ragen, die man so definieren wird, daB und ihre de brogliesche wellenlange setzt In Fig. I stellen wir die Geschwindigkeits- llung Eo Kurve I, diejenige nach der neuen FERMIschen Statistik durch Kurve ii dar, Die Ordinaten be- die oben genannte Nullpunktsene deuten die relativen Anzahlen derjenigen Elek- die energie e bei allen endlichen Te tronen, welche eine gegebene Geschwindligkeit v nterscheidet. Aus dem sc aufgetragen. Im klassischen Falle haben wir die bekannte Glockenkurve(GAusssche Fehlerkurve (2) Am wahrscheinlichsten ist hier die Geschwindig- Die mittlere Geschwindigkeit vm ist also, ebenso wie v, keit v= o; die Geschwindigkeit fallt von da aus von der Temperatur unabhangig, im striken nach beiden Seiten exponentiell ab. Die Steilheit Gegensatz zu der klassischen Statistik des abfalles hangt von der Temperatur ab. Die GL.(r)laSt eine besonders einfache Deutung mittlere kinetische Energie wird der absoluten vom Standpunkte der Wellenmechanik zu. Z Temperatur T' proportional, die mittlere Geschwin- jeder Elektronengeschwindigkeit gehort, wie oben digkeit also proportional mit 1T. Nach der gesagt, ein Wellenzustand, dessen Wellenlange 2 FERMISchen Statistik des entarteten Elektronen- nach DE BROGLIE gegeben ist durch gases dagegen verlauft die Verteilungskurve zu- nachst parallel der Abszissenachse im Abstande I;

Heft 2L ] 25. 5. I928J SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der ?¢Ietalle. 375 kommen dar]. Die ffeien Elektronen im Metall sind ~ihnlich gequantelt, d. h. durch ganze Zahlen unterschieden, wie die akustischen Eigenschwin￾gungen in einem Resonator. Die Quantenzahlen be￾deuten wellenmechaniseh dasselbe wie die AnzahI derKnoten, dutch die die Eigenschwingungen des Resonators unterteilt und in Grund- und Ober￾schwingungen unterschieden werden. Wenn nun nach PAULI jeder dieser Quantenzust/inde im Elek￾tronengas nut einmal vorkommen dart, so ergibt sich sofort eine sehr merkwfirdige Konsequenz, die der klassischen Maxwell-B oltzmannachen Statistik diame￾tral entgegenl~uft und die fiir die neue Ferrai-Dirac￾ache Statistilc charakteristisch ist: Die Zust~nde kkeinster Quantenzahlen (kleinster Energie) sind roll besetzt, bei tiefer Temperatur herrscht Platz￾mangel; die Etektronen k6nnen ihrer groBen Mehrzahl nach nicht solche Zustltnde einnehmen, wie sie sie nach der klassischen Statistik aufsuchen wfirden. Sic sind ein ,,Volk ohne iRaum". I)abei haben im Elektronengas (wegen der kleinen Masse des Elektrons) als ,,tiefe Temperaturen" noch solche bis zu io ooo ° zu gelten; das Elektronengas ist unter allen Umstiinden ,,entartet", d. h. eben in seinen Bewegungsm6glichkeiten durch das PAULIsche Prinzip beengt. Eine Folgerung daraus wurde schon in der ersten Note (vgl. daselbst Fig. I) gezogen: die Existenz einer Nutlpunkts￾energie E 0 und das Verschwinden der spezifisehen Elektronenw~irme beim absoluten Nutlpunkt bzw. die Kleinheit dieser W~rme bei allen endlichen Temperaturen. Diese Kleinheit war empirisch seit langem bekannt, aber nach der klassischen Statistik nicht zu erkl~ren. Im folgenden driicken wir die￾selbe Tatsache in anschaulicherer Weise aus und bereiten dadurch den Hauptgegenstand dieser Note vor, n~imlich einen tgericht fiber den gegenw~irtigen Stand der Frage nach der metallischen Leit￾f~higkeit. I. Die mittlere Gesehwindig~eit des Elektronengases ,end ihre de Brogliesche Wellenldnge. In Fig. I stellen wir die Geschwindigkeits￾verteilung nach der klassischen Statistik dutch Kurve I, diejenige nach der neuen FERMIschen Stafistik dutch t(urve II dar. Die Ordinaten be￾deuten die relafiven Anzahlen derjenigen Elek￾tronen, welche eine gegebene Geschwindligkeit v mit Spielraum de in einer gegebenen Richtung besitzen, als Abszisse ist diese Geschwindigkeit aufgetragen. Im klassischen Falle haben wit die bekannte Glockenkurve (GAusssche Fehlerkurvej. Am wahrseheinlichsten ist bier die Geschwindig￾keit v = o; die Geschwindigkeit I~illt yon da aus nach beiden Seiten exponentiell ab. Die Steilheit des AbfalIes h~ngt yon der Temperatur ab. Die mittlere kinetische Energle wird der absoluten Temperatur T proportional, die mittlere Geschwin￾digkeit also proportional mit ~T. Nach der FERMIschen StatisLik des entarteten Elektronen￾gases dagegen verl~uft die Verteilungskurve zu￾nXchst paralleI der Abszissenachse im Abstande I ; jeder Zustand ist ja gerade einmal vertreten. Erst bei sehr grol3en Geschwindigkeiten tritt eine ex￾ponentielle Abnahme ein. Diejenige Geschwindig￾keit, ffir die die Ordinate der Verteilungskurve yon x auf 1/2 gesunken ist, wollen wit ,,Halbwerts￾geschwindigkeit" nennen und mit ~ bezeichnen. Nach den yon FERMI entwickelten Formeln wird (i) ~ = ~\~/ • n ist die AnzahI der Etektronen in der Volum￾einheit, m die Elektronenmasse, h die PLANCKSChe Konstante; Gist das statistisclle Gewicht eines individuellen Quanten-Zustandes, ffir das Elektron gleich 2 (nach der Hypothese des Elektronendralls, der sich entweder parallel oder antiparallel zu einem hillzngedachten Magnetfelde einstetlen kann). f I Fig. I. Geschwindigkeitsverteilung J, I, G1. (5a), MAXWELLsche Verteilung (GauBische Feh￾lerkurve), II, G1. (5), FERgIsche Verteilung. Ffir letztere be￾deutet: v = ~ = Halbwertsgeschwindigkeit, v = v~ = mittlere Geschwindigkeit, v ----- ~o = Grenzgeschwindigkeit des RICHARDSON￾Effektes. AuBer dieser Halbwertsgeschwindigkeit v ist in Fig. I such die mittlere Geschwindigkeit vm ein￾getragen, die man so definieren wird, dab man setzt : ?Yb 2 E0 = 2%. E o ist die oben genannte Nutlpunktsenergie, yon der sich die Energie E bei alien endlichen Tempera￾turen nur wemg unterscheidet. Aus dem schon yon FERMI berechneten Wert yon E 0 ergibt sich als Wert yon v m (2) ~= Die mittlere Geschwindigkeit v,, ist also, ebenso wie v, yon der Temperatur unabhdngig, im strikten Gegensatz zu der klassischen Statistik. G1. (i) l~Bt eine besonders einfache Deutung yore Standpunkte der Wellenmechanik zu. Zu jeder Elektronengeschwindigkeit geh6rt, wie oben gesagt, eli1 Wellenznstand, dessen Wellenli~nge nach DE BROGLIE gegeben ist durch h ~'rb i)

376 SoMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle Gl (1)besagt also, daB die zu o gehorige DE BROGLIE- Note als Anwendungsmoglichkeit Es ist seitdem von mir (I.c. )sowie von R. H. FOwLER Proc. of the roy. soc. of London, Ser. B Februar 928 und von I. NORDIEIM (Zeitschr. f. Phys. 46, 833) unter etwas verschiedenen Gesichtspunk Da n die Anzahl der Elektronen in der Volumein- ten behandelt worden. Gemeinsam ist diesen D stellungen die schon von RIChaRdSon gemachte ist n das volumen, in dem sich durch- grundlegende Annahme, daB nur solche Elektronen ttlich ein elektron befindet. Setzen wir aus der Metalloberflache austreten konnen, deren gleich aa, so wird nach (3) Normalgeschwindigkeit groBer als ein Grenz- wert 5o ist. Es miBt also 4 in Worten: der unserer zu v gehorenden de broglieschen nge ist gleich dem G-fachen die, auBere Austrittsarbeit", die das Elektron beim (Zweifachen) der com radius a. nehmen wir Passieren der, Oberflache"uberwinden muB. Uber m gerade ein Elektron Physikalische Bedeutung werden wir uns so- abgegeben hat, daB also die Metallatome ein- gleich verbreiten Volumen, in dem sich durchschnittlich ein Metall einheit verlaBt, wenn die Elektronen im Innern ion befindet. Handelt es sich um ein regular des metalls das FERMische verteilungsgesetz (5) rystallisierendes Metall, so bedeutet also a den an Stelle des MAXWELLschen(5a) befolgen (5,n,s Elementarkubus des Krystallgitters und a seine sind die Geschwindigkeitskomponenten konstante, Da diese bekanntlich von der GroBenordnung einiger ANGSTROMscher Einheiter n c d(5) e zwar nach (4), etwa doppelt so groB wie a. Unsere Elektronenwellen entsprechen also ehr weichen Rontgenstrahlen Z. B. berechnet sich fur Ag (5a) f=Ae AT' i=5. AE. Wir werden daher spater in der age wir stellen, wie in der ersten Note, die beiden letzten anderthalb Dezennien fur die Beugung Grenzfalle AI(entarteter Fall) gegen uber. Fur J ergibt sich Es ist sehr charakteristisch. dab alle Fe trische und thermische Leitfahigkeit, fur den I=n( 1) I2 emG THOMSON- und PELtiER-Effekt usw, Faktoren von der Form Die erste Formel ist die ursprunglich von RICHARDSON abgeleitete, die zweite die von DUSH MAN, LAUE, ScHOTTKY modifizierte. Der Unter chied beider besteht zunachst in der Temperatur Faktor G mit Unrecht gleich I gesetzt war). Alle abhangigkeit ma an Stelle von Tl. Wenn auch sie durch die DE BROGLIESche Wellenlange aus- Formel der alten in der Darstellung der Beob druckt und verraten auf diese Weise auch auBerlich achtungen jedenfalls etwas uberlegen.Unsere ihre wellenmechanische Herkunft. In der ausfuhr- Theorie, nach der Entartung bis zu mehreren lichen Darstellung der Theorie, die inzwischen in tausend Grad herrscht, liefert naturlich die neue der Zeitschr. f. Phys. 47, S. I und 43 erschienen Formel. Sodann haben wir den Unterschied im ist, sind die Formeln bereits in der hiernach an- gezeigten Weise umgeschrieben, Die im steht hier die auBere Austrittsarbeit w., nach stehenden enthaltenen sowie die unter II zu be- der neuen die Differenz zwischen auBerer und richtenden Resultate sind dort im einzelnen be. ,Innerer Austrittsarbeit": letztere ist gegeben grande. durch II. Der Richardson- und volta-Effelt Das problem der Elektronenemission aus berechnet sich also aus unserer Geschwindig luhenden Metallen eines vorganges, der ja keit (i) heutzutage die grundlage der ganzen Radio- natiirlich technik bildet war am SchluB meiner ersten (7) Wa>W4,also知>

376 SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. Die Natur￾wissenschaften G1. (I) besagt also, dab die zu ~? geh6rige Dt~BRoGLIE￾sche Wellenl~nge wird: \3n/ Dan die Anzahl der Elektronen in der Volumein￾heit, ist i das Volumen, in dem sich durch￾n schnittlich ein Elektron befindet. Setzen wir dieses gleich a. ~, so wird nach (3) (4) )3 : 4 ~ a aG 3 in W'orten: der Kubus unserer zu ~ geh6renden de Brogliesehen ~Vellent~nge ist 91eich de.ra G-]aehen (Zweifachen) der Kugel yore l?adius a. Nehmen wit an, dab jedes 2¢[etallatom gerade ein Elektron abgegeben hat, dab also die Metallatome ein￾wertige 5{etallionen sind, so wird das dem ein￾zelnen Elek~ron zukommende Volumen gleich dem Volumen, in dem sich durchschnittlich ein Metall￾ion befindet. Handelt es sich um ein regular krystallisierendes Metal1, so bedeutet also a a den Elementarkubus des Krystallgitters und a seine Gitterkonstante. Da diese bekanntlich yon der Gr613enordnung einiger ANGSTn6Mscher Einheiten ist, so wird auch )~ yon dieser Gr6Benordnung, und zwar nach (4), etwa doppelt so groB wie a. Unsere Elektronenwellen entsprechen also sehr weiehen R6ntgenstrahlen. Z. B. berechnet sich Ifir Ag = 5,3 AE. Wir werden daher spgter in der Lage sein, die Erfahrungen nnd Theorien, die in den letzten anderthalb Dezennien fiir die Beugung oder Streuung der R6ntgenstrahlen gewonnen sind, ant die Metallelektronen zn fibertragen. Es ist sehr charakteristisch, dab alle tTormeln meiner ersten Note, z. B. diejenigen ffir die elek￾trische und thermische Leitfghigkeit, ffir den TIIOMSON- nnd P~LTIeI~-Effekt usw. Faktoren von der Form 4 ~ ] ' \3 n~/ usw. enthielten (wobei iibrigens der in [3] hinzugetretene Faktor G mit Unrecht gleich I gesetzt war). Alle diese Formeln vereinfachen sich nun, wenn man sie durch die D~ BRO~LIEsche Wellen1~tnge aus￾drfickt und verraten au] diese Weise auch ~uflerlich ihre wellenmechanische Herkun]t. In der ausfiihr￾lichen Darstellung der %heorie, die inzwischen in der Zeitschr. f. Phys. 47, S. I und 43 erschienen ist, sind die Formeln bereits in der hiernach an￾gezeigten Weise umgeschrieben. Die im vor￾stehenden enthattenen sowie die unter II zu be￾richtenden Resultate sind dort im einzelnen be￾grfindet. II. Der Richardson- und Volta-EJJekt. Das Problem der Elektronenemission aus glfihenden Metallen -- eines Vorganges, der ja heutzutage die Grundlage der ganzen Radio￾technik bildet -- war am SchluB meiner ersten Note als Anwendungsm6glichkeit genannt. Es ist seitdem yon mir (1. c.) sowie VOlt R. H. FOWLER (Proc. of the roy. soc. of London, Ser. ]3 Februar I928) und yon L. NORDltEIM (Zeitschr. f. Phys. 46, 833 ) unter etwas verschiedenen Gesichtspunk￾ten behandelt worden. Gerneinsam ist diesen Dar￾stellungen die schon yon :RICHARDSON gemachte grundlegende Annahme, dab nur solche Elektronen aus der Metaltoberflache austreten k6nnen, deren Normalgeschwindigkeit gr6ger als ein Grenz￾wert t0 ist. Es miBt also ~o ~ die ,,auBere Austrittsarbeit", die das Elektron beim Passieren der,,Oberfl~che" fiberwinden muB. 13bet ihre physikalische Bedeutung werden wir uns so￾gleich verbreiten. Man rechltet nun ohne Schwierigkeit die Gr6t3e des Etektronenstromes d aus, der die Oberflachen￾einheit verl~Bt, wenn die Elektronen im Innern des Metalls das FERMIsche Verteilungsgesetz (5) all Stelle des MAXWELLschen (5 a) befolgen (~, ~, sind die Geschwindigkeitskomponenten) I 1= (5) ~ ek + I , (sa) l ..... Ae ~T, ~=~(~+~l~+~). Wir stellen, wie in der ersten Note, die beiden Grenzf~tlle A > I (entarteter Fall) gegen￾fiber. Ffir d ergibt sich A>I !lTa IV~ - Wi en 1 - ~7.~ ~ 2~emG ikT)Ze- kT } 2 .win ha Die erste Formel ist die ursprfinglich yon RICltARDSON abgeleitete, die zweite die yon DUSH￾MAN, LAVE, SCltOTTKY modifizierte. Der Unter￾schied beider besteht zun~tchst in der Temperatur￾abh~ngigkeit T ~ an Stelle yon T~. ~Venn auch schwer experimentell kontrollierbar, ist die neue Formel der alten in der Darstellung der Beob￾achtungen .jedenfalls etwas fiberlegen. Unsere Theorie, nach der Entartung bis zu mehreren tausend Grad herrscht, liefert natfirlich die nene Formel. Sodann haben wit den Unterschied im Exponenten zu beachten. Naeh der alten Formel steht hier die ~uBere Austrittsarbeit W~, nach der neuen die Differenz zwischen XuBerer und ,,innerer Austrittsarbeit"; letztere ist gegeben dutch m ~2 (6) IV, .... ~ , berechnet sich also aus nnserer Geschwindig￾keit (~). Nun ist natfirlich (7) W~ > W~, also t0 > v

SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle, 377 weil andernfalls alle Elektronen das Metall ver- mit Benutzung alterer SCHOTTKYscher Uberlegu lassen und dieses seinen metallischen Charakter gen folgenderma Ben gedeutet: Der Potential ren wirde. In Fig. I ist au Ber v auch die gradient des auBeren Feldes unterstutzt das innere geschwindigkeit 5o einget Austrittsbestreben der Elektronen, indem er sich (7), 50>0, auf dem exponentielle in gewisser Weise dem Elektronendruck hinzu der Verteilungskurve, wo diese bereits tandlich. gesellt, Die Summe beider erreicht rechnerisch schen Charakter hat. Es wird daher verstandlich, zwar noch nicht die GroBe von I. Man muB laB RICHARDSON aus den gemessenen Geschwindig- sich aber vorstellen, daB es schwache Stellen der keiten der austretenden Elektronen schlieBen Oberflache gibt, in denen entweder wa durch konnte, daB diese maxwellisch verteilt sind. Verunreinigung heruntergesetzt oder in denen Wir konnen diesen SchluB fur die austretenden durch geometrische UnregelmaBigkeit (Spitzen Elektronen bestatigen, mussen ihn aber fur die wirkung)der gradient des au Beren Feldes herauf- im Metall zuriickgehaltenen Elektronen, deren gesetzt ist. Durch diese Umstande kann ein 55o be- keiten gemacht hat. Meine Schwierigkeit bestan in folgendem: Wenn ich nur den Binnendruck der Wir fragen sodann nach dem Ursprung Elektronen beruicksichtigte und fiir das Gleich- inneren Austrittsarbeit" We. Diese ents gewicht der Beruihrungselektrizitat zwischen zwei beidem oben geschilderten Raummangel un- ich fur ihr voltapotential die Gleioea erhielt einfach dem Druck des Elektronengases, we geheuer stark ist (er bemiBt sich nach tausenden von Atmospharen und kann derau Berordentlichen elektrostatische w g- Sie gibt aber das verkehrte Vorzeichen fur die keit aufgenommen werden ). Es ist klar, dab die VoLTAsche Spannungsreihe! Ich muTe mir daher effektive Austrittsarbeit, d. h. der Exponent der die Vorstellung bilden, daB nicht der Binnendruck RICHARDSONschen Gleichung gleich der Differenz allein, sondern auch die auBere Widerstandsarbeit von auberer und innerer Austrittsarbeit wird W. das Voltapotential bestimme nach der dem st es nun wirklich so, daB immer und notwendig Vorzeichen und der GroBenordnung nach rich Va>wi sein muB? Nach fruheren qualitativen tigen Formel on LILIENFELD und nach quanti cativen Untersuchungen MILLIKANS und eYrinGs (9) eV19=(Wo1-W1)-(Wa2-wral scheint kein Zweifel zu sein, daB die Frage zu ver- Aber dann schien es konsequent, den Energie Arbeit, die gleichzeitig mit den meinigen in der kraft in Rechnung zu setzen. Indessen werden hier eitschr. f. Phys, erschienen ist. MILLIKAN und durch die thermodynamischen Relationen ver EYRiNG bringen starke Felder von I Mill. Volt letzt, welche diese Effekte mit dem Thomson pro Zentimeter an der Austrittsoberflache an effekt verknupfen. Die fraglichen thermodynan und erzielen schon bei Zimmertemperatur starke schen Relationen sind zwar, da sie reversible Elektronenstrome,die bei steigender Temperatur Vorgange voraussetzen, wahrend die Strom nicht mehr erheblich ansteigen, allerdings nicht leitung wegen der damit verbundenen warme uber die ganze Oberflache verteilt, sondern nur tonung irreversibel zu sein scheint, oft angezwei von einzelnen winzigen Stellen derselben aus- felt, aber mit Unrecht: H. A. loRENTz hat ihre gehend. Der ganze Sachverhalt wird von HoUSTON strenge Gultigkeit bewiesen, indem er die vor

Heft 2i. ] 25. 5. x928 SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. 377 weil andernfalls alle Elektronen das Metall ver￾lassen und dieses seinen metallischen Charakter verlieren wfirde. In Fig. I ist auBer ~ aueh die Grenzgeschwindigkeit ~0 eingetragen. Diese liegt wegen (7), ~0> v, auf dem exponentiellen Abfali der Verteilungskurve, wo diese bereits MAXWEll￾schen Charakter hat. Es wird daher verstgndlich, dab RICHARDSON aus den gemessenen Gesehwindig￾keiten der austretenden Elektronen schlieBen konnte, dab diese maxwellisch verteilt sind. "Wir k6nnen diesen SehluB ffir die austretenden Elektronen bestitigen, mfissen ihn aber ffir die im Metall zur~clcgehaltenen Elektronen, deren -~0 be￾sitzt. Wit fragen sodann nach dem Ursprung der ,,inneren Austrittsarbeit" W~. Diese entsprieht einfach dem Druck des Elektronengases, welcher bei dem oben geschilderten Raummangel un￾geheuer stark ist (er bemiBt sicl~ nach ttundert￾tausenden yon Atmosph~ren und kann nur dank der auBerordentlichen elektrostatischen Wandfestig￾keit aufgenommen werden). Es ist Mar, dab die effektive Austrittsarbeit, d. h. der Exponent der RICHARDSONschen Gleichung gleich der Differenz von ~tuBerer und innerer Austrittsarbeit wird. Ist es nun wirklich so, dab framer und notwendig W~ > W, sein muB? Nach Irfiheren qualitativen Beobachtungen yon LILII~;NFELD und nach quanti￾tativen Untersuchungen MILLIKANS und EYRINGS scheint kein ZweifeI zu sein, dab die Frage zu ver￾neinen ist. Dies zeigt W. V. HousToN in einer Arbeit, die gleichzeitig mit den meinigen in der Zeitschr. f. Phys. erschienen ist. MILLIKAN und EYRING bringen starke Felder yon i Mill. Volt pro Zentimeter an der AustrittsoberfI~ehe an und erzielen schon bei Zimmertemperatur starke Etektronenstr6me, die bei steigender Temperatur nicht mehr erheblieh ansteigen, allerdings nicht fiber die ganze Oberfliehe verteilt, sondern nur yon einzelnen winzigen Stellen derselben aus￾gehend. Der ganze Sachverhalt wird yon HOUSTON mit Benutzung ilterer SCHOTTKYsCher ~berlegun￾gen folgendermaBen gedeutet: Der Potential￾gradient des ~ugeren Eeldes unterstfitzt das inhere Austrittsbestreben der Elektronen, indem er sieh in gewisser Weise dem Elektronendruck hinzu￾gesellt. Die Summe beider erreicht rechnerisch zwar noch nicht die Gr6Be yon IV,. Man muB sick abet vorstellen, dab es schwaehe Stellen der Oberfl~che gibt, in denen entweder W, dutch Verunreinigung heruntergesetzt oder in denen durch geometrische Unregelmigigkeit (Spitzen￾wirkung) der Gradient des ~uBeren Feldes heraut￾gesetzt ist. Durch diese Umst~nde kann ein Faktor IOO erzielt werden, der rechnerisch n6tig ist, die damit gemeinsame Wirkung yon Druck und Potentialgradient den Widerstand W, fiberwinden k6nne. Wir gelangen also zu folgendem ]3ilde: Der elektrostatische K~tfig, in dem die Elektronen eingeschlossen sind, hat kleine L6cher. Werden die Elektronen yon auBenher sehr stark ab￾gesaugt, so k6nnen sie dutch diese auskommen, unter der gemeinsamen Saugwirkung yon auBen und Druckwirkung yon innen. Der Druck ist im wesentliehen temperaturunabh~tngig, n~mlich gleich dem Nullpunktsdruck. Also ist auch der Elek￾tronenstrom fast temperaturunabh~ngig, ein ,,kal￾ter Elektronenstrom" -- Als ich in meiner ersten Note fiber den Volta￾Nfjekt schrieb, hatte ich eine fundamentale Schwie￾rigkeit. Es ist ja fiberhaupt das Charakteristicum dieses am l~ugsten bekannten elel(trisehen Effektes gr613eren Sills, dab er dem Experimentator und dem Theoretiker seit jetier besondere Schwierig￾keiten gemacht hat. Meine Schwierigkeit bestand in folgendem: ~Venn ich nur den t3innendruck der Etektronen berficksichtigte und Ifir das Gleieh￾gewicht der BerfihrungselektrizitXt zwischen zwei Leitern Iund 2 verantwortlich maehte, so erhielt ich tfir ihr Voltapotential die Gleiehung (S) eVi2 ...... W~- W~l. Sie gibt aber das verkehrte Vorzeiehen ffir die VOLTAsehe Spannungsreihel Ich muBte mir daher die Vorstellung bilden, dab nicht der Binnendruck allein, sondern auch die ~uBere Widerstandsarbeit W~ das Voltapotential bestimme nach der dem Vorzeichen und der Gr6Benordnung nach rich￾tigen Formel : (9) eVl2 = ([Vai -- W~i) -- (14ra2 - }r,e). Aber dann schien es konsequent, den Energie￾beLrag W~ auch bei der IPeltierdifferenz undThermo￾kraft in Rechnung zu setzen. Indessen werden hier￾durch die thermodynamischen Relationen ver￾letzt, welche diese Effekte mit dem Thomson￾elfekt verknfipfen. ]Die fragliehen thermodynami￾schen Relationen sind zwar, da sie reversible Vorg~nge voraussetzen, w~hrend die Strom￾leitung wegen der damit verbundenen W~rme￾t6nung irreversibeI zu sein scheint, oft angezwei￾felt, aber mit Unrecht: tI. A. LORENTZ hat ihre strenge Gfiltigkeit bewiesen, indem er die Vor-

SoMMERFELD Zur Elektronentheorie der Metalle gange reinlich reversibel angeordnet hat. Es u mussen, und zwar in beiderlei Richtung gab sich also der paradoxe Sachverhalt, daB Wa Dadurch laBt sich verstehen, daB bei den therme im Voltaeffekt zu beriicksichtigen, in den thermo- elektrischen Effekten nur die Innenpotentiale V elektrischen Effekten nicht zu beruicksichtigen bzw. die inneren Austrittsarbeiten w, maBgebend war, wie ich es in meiner ersten Note getan habe. sind, Die gultigkeit der the Klarung brachte eine Untersuchung von Herrn Relationen wird auf diese Weise auch statistisch C. ECKART, der ebenso wie Herr HousToN zur und modellmabig erkl Zeit ein werter Gast der Munchner Universitat ist Aus dem weiteren Inhalt der bereits veroffent- Auch die Note von ECKART ist am gleichen Orte lichten Arbeiten sollen hier nur noch wenige, fur veroffentlicht wie meine ausftihrlichen Arbeiten. das Folgende notige Mitteilungen gemacht werden Eckart denkt sich die Metalle I und 2 nicht Die freie Weglange der Elektronen ist, wie man unmittelbar aneinander anschlieBend, sondern be- von den Kathodenstrahlmessungen, insbesondere trachtet den zwischen ihnen freigelassenen,, Hohl- von dem RAMSAUEReffekt her weiB, von der Ge raum". Im thermischen Gleichgewicht treten in schwindigkeit v des ankommenden Elektrons ab diesen Elektronen ein, und es entsteht ein Feld im hangig. Wir schreiben daher statt wie fruher Z Hohlraum. Wir missen unterscheiden zwischen genauer: l(o) und betrachten Z(o)als eine beliebige, der Oberflache unmittelbar auBerhalb des Metalls freulich, daB sich alle Rechnungen und Integra (,Innen- und AuBenwert des Potentials"V, und tionen bei beliebigem l(v) ausfuhren lassen (der tronenladung e multipliziert denken, um die Aus- mir eine freundliche briefliche Bemerkung von trittsarbeit w so daB G. WENTZEL), mit dem Ergebnis, daB in den end e(vi-va=Wa, evi=wi gultigen Formeln einfach L(o) an Stelle des fruher konstant gesetzten l tritt. Dies gilt aber nur in der (Wa-wa FERMIschen, nicht in der klassischen Statistik namlich nur auf Grund des Verteilungsgesetzes der gultig fur das Metall I so gut wie fur 2. Die Volta- Fig. I; man zeigt namlich leicht, dab der anfang der Potentiale 2 gegen I, also wie in(9) angegeben: Beitrag zu den betreffenden Integralen liefern (Vag-Val)=(Wa1-Wi1)-(Wa2-w Iso n eilungskurve ankommt, der sich um den Wert Wir konnen diese Differenz bezeichnen als das v w herum gruppier gilt insbesondere fur Linienintegral des Hohlraumfeldes zwischen I die elektrische Leitfahigk ie wir jetzt schreiben und 2. Statt im Hohlraum zu integrieren, konnen konnen wir aber naturlich auch von irgendeinem AuBen punkte an der Oberflache von I nach irgendeinem (II) 0=4xa“2 ha AuBenpunkte an der Oberflache von 2 integrieren, (i gegeben durch GI. [2] dieser Note; in der ent- sprechenden Gleichung t Dagegen ware das Linienintegral zwischen zwei L statt l(o)und/3n\ statt za, ferner fehlte der gleichen Wert des Linienintegrals liefern muB nenpunkten offen bar davo Differenz der Austraittsarbeiten W a geteilt durch e Faktor G=2 Wir gelangen so zu einer rein physikalische In gewissen Fallen, z. B. bei der Thermo Theorie des voltaeffektes, von chemischen Um elektrizitat, kommt es au Ber auf l(o) dl setzungen war nicht die Rede. Diese konnen den Wert von dy an, aber ebenfalls genommen fur den Voltaeffekt zwar maskieren, geben aber nicht das besonderen Wert v=i. Wie spater noch zu be- Wesen desselben. Wir sind vielmehr mit M. CoR- BINo der Meinung, daB auch die chemischen Vor- lutzen sein wird, ist es bequem dies in der groBe gange in der Voltaschen Zelle nur dann richtig ver- (I2) A standen werden konnen, wenn wir von der physi- kalisch gegebenen Existenz der Voltadifferenz der zusammenzufassen Metalle ausgehen (vgl. Philosoph. Mag. 4, 436 SchlieBlich sei erwahnt, daB auch des hall- und NERNST-Effektes in meaney Von der hier betrachteten mittelbaren Berth- lichen Publikationen nach der FErMIscher rung zweier Metalle wollen wir unterscheiden den behandelt worden ist, daB sich hier aber ge unmittelbaren Kontakt an einer, Lotstelle". der klassischen Behandlung keine wesentlich neue Bei immer innigerer Annaherung wachst das Resultate ergeben Hohlraumfeld immer mehr an und erreicht hlieBlich eine GroBe, die zur Uberwindung der Il. Wellenmechanische Theorie der Leitjahigkeit Austrittsarbeit ausreicht. Dann konnen die ihrer Temperatur und Druckabhangigkeit Elektronen aus dem einen in das andere Metall Am schlusse der friiheren Note habe ich auf ubertreten,ohne die Austrittsarbeit uiberwinden den schwachen Punkt derselben hingewiesen

378 SOMMI~RFIgLD: Zur Elektronentheorie der Metatte. [ Die Natur￾lwissenschafte~ g~nge reinlich reversibel angeordnet hat. Es er￾gab sich also der paradoxe Sachverhalt, dab W, im Voltaeffekt zu berficksichtigen, in den thermo￾elektrischen Effekten nicht zu berficksichtigen war, wie ich es in meiner ersten Note getan habe. Kl~rung brachte eiile Untersuchnng yon Herrn C. ECKART, der ebenso wie Herr HOUSTON zur Zeit ein wetter Gast der Mfiilchner Universit~t ist. Auch die Note voil ECKART ist am gleichen Orte ver6ffentlicht wie meine ausffihrlichen Arbeiten. ECKART denkt sich die Metalle I und 2 nicht unmittelbar aneinander anschliegend, sondern be￾trachtet den zwischen ihnen freigelassenen ,,Hohl￾raum". Im thermischen Gleichgewicht treten in diesen Elektronen ein, und es entsteht ein Feld im Hohlraum. Wir mfissen unterscheideil zwischen dem~PotentiaI im Innern des Metalls Ilnd dem an der OberflXche unmittelbar augerhalb des Metalls (,,Innen- und Augenwert des Potentials" V~ und V~}. Sie differieren, wenn wir sie mit der Elek￾tronenladung e multipliziert denken, um die Aus￾trittsarbeit W~, so dab e(v,- v,,) = wo, e V, = W, also (Io) e V. .... (W,- W~), gfiltig ffir das Metall i so gut wie tfir 2. Die Volta￾differenz i-~ 2 ist die Differenz der Auflenwerte der Potentiale 2 gegen i, also wie in (9) angegeben : e v~ = e(V~ -- Vow) = (Wo~ -- ~%~) -- (Wo~ -- W,~)" Wir k6nnen diese Differenz bezeichnen als das Linienintegral des Hohlraumfeldes zwischen i und 2. Statt im Hohlraum zu integrieren, k6nnen wir aber natfirlich anch yon irgendeinem Aui3en￾punkte an der Oberfi~che yon i nach irgendeinem Aut3enpunkte an der Oberfl~che -con 2 integrieren, was unter elektrostatisehen Verh~ltnissen stets den gleichen Wert des Linienintegrals liefern mug. (Dagegen w~re das Linienintegral zwischen zwei Innenpunkten offenbar davon verschieden um die Differenz der Austraittsarbeiten W~ geteilt durch e.) Wir gelangen so zu eider rein physikalischen Theorie des Voltae//ektes, yon chemischen Um￾setzungen war nicht die Rede. Diese k6nneil dell Voltaeffekt zwar maskieren, geben aber nicht das Wesen desselben. Wir Mild vielmehr nit M. COR￾BINO der Meinung, dag au¢tt die chemischer~ Vor￾ggnge in der Voltaschen Zelle nur dana richtig ver￾standen werden k6nnen, wenn wir yon der physi￾kalisch gegebeilen Existenz der Voltadifierenz der Metalle ausgehen (vgl. Philosoph. Mag. 4, 436. 1927). Von der hier betrachteten mittelbaren Berfih￾rung zweier ~etatle wolIen wir unterscheiden den unmittelbaren Kontakt an einer ,,L6tstelle". Bei inner innigerer Ann~herung w~ehst das ,,Hohlraumfeld" immer mehr an und erreicht schlieBlieh eine Gr613e, die zur ~berwindung der Austrittsarbeit ausreicht. Dann k6nnen die Elektronen aus den einen in das andere bfetall fibertreten, ohne die Austrittsarbeit fiberwinden zu mfissen, und zwar in beiderlei Richtung. Dadurch l~tBt sich verstehen, dab bei den thermo￾elektrischen Effekten nur die Innenpotentiale V~ bzw. die inneren Austrittsarbeiten W~- maBgebend sind. Die Gfiltigkeit der thermodynamischen Relationen wird auf diese ~Teise auch statistisch￾und modellm~Big erkl~rt. Aus dem weiteren Inhalt der bereits ver6ffent￾lichten Arbeiten sollen hier nur noch wenige, ffir das Folgende n6tige Mitteitungen gemacht werden. Die freie Wegl~nge der Elektronen ist, wie mall yon den Kathodenstrahlmessungen, insbesondere yon den RAMSAUEReffekt her weiB, yon der Ge￾schwindigkeit v des ankommenden Elektrons ab￾hi~ngig. Wir schreiben daher start wie frfiher l genauer : l (v) und betrachten 1 (v) als eiile beliebige, empirisch gegebene Funktion. Es ist nun sehr er￾freulich, dab sich alle Rechilungen und Integra￾tioneil bei beliebigem 1 (v) ausffihren lassen (den Anlal3 zu dieser Erweiterung der Theorie gab mir eine freundliche briefliehe Bemerkung yon G. WENTZEL), nit dem Ergebnis, dab in den end￾gfilfigen Formeln einfach 1 (~) an Stelle des frfiher konstant gesetzten l tritt. Dies gilt aber nur in der FBRMISChen, nicht in der klassischen Statistik, n~mlich nur auf Grund des Verteilungsgesetzes der Fig. I; man zeigt n~mlich leicht, dab der anf~ng￾liche konstante Teil der Verteilungskurve keinen Beitrag zu den betreffenden Integralen liefern kann, dab es also nur auf den Abfalt der Ver￾teilungskurve ankommt, der sich um den VCert v = ~ herum gruppiert. Dies gilt insbesondere fiir die elektrische Leitf~.higkeit, die wir jetzt schreiben k6nnen (II) O = 47I- C~ ~21(~) 3 h~2 " (2 gegeben dutch GI. [2] dieser Note; in der ent￾sprechenden Gleichung der ersten Note stand i I statt l(~) und ~ start ~; ferner fehlte der Faktor G = 2). In gewisseil F~llen, z. B. bei der Thermo￾elektrizitXt, kommt es auger auf 1 (~) auch auf den dl Wert von~ an, aber ebenfalls genommen ffir den besoilderen Wert v = ~. Wie sp~tter noch zu be￾nutzen sein wird, ist es beqilem dies in der Gr6Be (~2) A = ~ + 2 l(~) d~ zusammenzufassen. SchlieBlich sei erw~hnt, dab auch die Theorie des HALL- und NnRNsT-Effektes in meinen ausffihr￾lichenIPublikationen nach der FnnMIschen Statistik behaildelt worden ist, dab sich hier aber gegenfiber der klassischen Behandlung keine wesentlich neuen Resultate ergeben. IIL Wellenmechanische Theorie der Leit/dhigkeit, ihrer Temperatur und Druekabhi~ngigkeit. Am Schlusse der frfiheren Note babe ich auf den .schwachen Punkt" derselben hingewiesen

Heft z1 SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle 379 namlich auf die Einfuhrung der freien Weglange neuen wellenmechanischen Auffassung erhalte ils einer geometrischen, durch die Konfiguration sie konnen von den Rontgen wellen direkt auf die des Metallgitters gegebenen GroBe, und habe eine Elektronenwellen ubertragen werden physikalische Vertiefung dieses Begriffes im Sinne Die Forderung, dab die verteilung der Elek der Wellenmechanik gefordert. Das ist durch eine tronen auf die verschiedenen Winkel statistisch oeben fertiggestellte Arbeit von W. V. Houston stationar sein solle, trotz der fortgesetzten Streu- wirklich geleistet worden mit dem Ergebnis, daB ungseffekte, welche Elektronen aus einer Richtung in weitem Umfange befriedigend gelost erscheinen, bedin andere ablenken, liefert eine Gleichgewichts nunmehr die Probleme der elektrischen Leitung in eine die mit derjenigen Die Methode von HOUSTON besteht in der ber- culare Bewegung verglichen werden kann. Dies tragung von Vorstellungen und Formeln, die ur- Vergleich ermoglicht es, das wellenmechanisch spruinglich fuir ROntgenstrahlen entwickelt waren, Analogon der freien weglange eindeutig zu defi- auf die Bewegung der Metallelektronen; sie legt also nieren. Die freie Weglange ergibt sich so als ebenso wie die neuesten Arbeiten uber, Beugungs- Funktion der Geschwindigkeit v des Elektrons, ringe" von Elektronenstrahlen Zeugnis ab von des Atomgewichtes a des Metallions, der Metall der Fruchbarkeit der wellenmechanischen Auf- dichte d, der von DEBYE eingefuhrten charakte fassung corpuscularer Vorgange, kurz gesagt, von ristischen Temperatur e fir die Gitterschwingu der. Wellennatur des Elektrons gen des Metalls und der absoluten Temperatur T In dieser neuen Theorie der freien Weglange schlieBlich hangt sie ab von dem verhaltnis der ed das Atom(besser gesagt das Metallion ein- Ausdehnung der Elektronenatmosphare im'Metall schlieBlich seiner durchschnittlichen Umgebung ion, gemessen durch die schon genannte Lange b, von freien Elektronen) nicht mehr gedacht als zur Wellenlange 2, die nach DE BRoGLIe der harte Kugel von definiertem Radius, sondern als Elektronengeschwindigkeit entspricht. Die Formel Kern mit elektrischer Atmosphare, deren Abnahme lautet des wasserstoffatoms im Grundzustande nach- (I3) Z= Const. 43202 dH(c)更(x) gebildet wird. Als charakteristischer Parameter Die Funktionen H, g und ihre Argumente c und r tritt darin diejenige Lange b auf, in der die Dichte sind folgendermaBen definiert: der Atmosphare nach auBen hin um e abnimmt b kann bezeichnet werden als effektive Ausdeh (-/(a+0,则/a nung des Atoms. An einer solchen Atmosphare (14) wird die de Broglie-Welle, welche das freie Elektro reprasentiert, gestreut (gebeugt), d. h. aus der einem angebbaren betrage fur jeden ablenkungs. Die Konstante in (13) hat den Wert 24e4La winkel,Dies liefert den einen Faktor des Beugungs- (wie k= BOLTZMANNsche Konstante, e= Elektro phanomens, optisch gesprochen, die Beugung am nenladung, L= LoScHMIDsche Zahl einzelnen s bjekstc de s iczeitenr gitter rieh Die Anzahl der freien Elektronen pro liche Punkt in der HoUSTONschen Theorie ist nun ersten Note des Verf. Wenn man sie z. B bei aber der, daB die abgelenkten Elektronenwellen wertigen Ionen gleich z setzen wurde, so wurde miteinander interferieren, ahnlich wie die ROntgen- in Gl(I3) der Nenner z hinzutreten strahlen im Krystall. Dieser Umstand liefert den Zur bestimmung der Leitfahigkeit o komm zweiten Faktor des Beugungsphanomens, optisch es, wie oben hervorgehoben, nur auf den Wert gesprochen die Beugung, die von der regelmaBigen von i fur die Halbwertsgeschwindigkeit v an Anordnung der beugenden Elemente(z, B. der Die Temperaturabhangigkeit von o ist nach Gl(Ir) Aufeinanderfolge der Gitterstriche) herruhrt Gegen- dieselbe wie die von L (o). Die Temperaturabhangig uber dem typischen Laue-Phanomen besteht dabei der folgende Unterschied: Die de Broglie-Weller keit des spe lange des Elektrons ist (vgl. oben) groBer als der also direkt dargestellt durch die Funktion Atomabstand der Metallionen, so daB sich diskrete aus GL(I4). Ist ae, so folgt ar Interferenzstrahlen am idealen Gitter im all- der Definition von (a) unmittelbar emeinen nicht ausbilden werden. Aber es bleibt die kontinuierliche Streuung, die von der ther 中p(x) mischen Unordnung des Gitters herruihrt und die mit der Temperatur zunimmt. Diese Streuung Fir hohe Temperaturen ergibt ich so die wohl- ist von den LAUE-Aufnahmen her als kontinuier- bekannte Proportionalitat zwischen Widerstand und licher Untergrund bekannt und wurde von DEBYE absoluter Temperatur. Das bisher unerreichte Ziel im Jahre I9I4 nach der gewohnlichen Statistik der fruheren Theorien, dieses Gesetz zu erklaren, berechnet. Die DEBYEschen Formeln bleiben in wird also auf wellenmechanischem Wege zwanglos

Heft 21. ] 25. 5. I928J SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. n~mlich auf die Einffihrung der freien %Vegl~nge als einer geometrischen, durch die Konfiguration des Metatlgitters gegebenen Gr6ge, und habe eine physikalische Vertiefung dieses Begrilfes im Sinne der Wellenmechanik gefordert. Das ist durch eille soeben fertiggestellte Arbeit yon W. V. HOUSTON wirklich geleistet worden mit dem Ergebnis, dab llunmehr die Probleme der elektrischen Leitung in weitem Umfange befriedigend gel6st erscheinen. Die Methode yon HOUSTOX besteht in der 13ber￾tragung von Vorstellungen und Formeln, die ur￾sprfinglictl ffir 1R6ntgenstrahlen entwickelt warell, auf die Bewegung der Metallelektronen; sie legt also ebenso wie die neuestell Arbeiten fiber ,,Beugungs￾tinge" yon Elektronenstrahlen Zeugnis ab yon der Fruchbarkeit der wellenmechanischen Auf￾fassung eorpuscul~rer Vorg~nge, kurz gesagt, yon der ,,Wellennatur des Elektrons". In dieser neuen Theorie der freien \¥egl~nge wird das Atom (besser gesagt das Metallion eill￾schlieBlich seiner durchschllittlichen Umgebung yon freien Elektronen) nicht mehr gedacht als harte Kugel yon definiertem Radius, sondern als Kern mit elektrischer Atmosphere, deren Abnahme naeh auBen der SCHR6DIN~E~schen Eigenfunktion des VVasserstoffatoms im Grundzustande nach￾gebildet wird. Als charakteristiseher Parameter tritt darin diejenige L~llge b auf, in der die Dichte I der Atmosphlire nach auBen hin um e abllimmt. b kanll bezeichnet werden als effektive Ausdeh￾hung des Atoms. An einer solchen Atmosph~Lre wird die de Broglie-Welle, welche das freie Elektron reprXsentiert, gestreut (gebeugt), d. h. aus der urspriinglichen Richtung abgetenkt, lind zwar mit einem angebbaren Betrage Ifir jeden Ablenkungs￾winkel. Dies liefer£ dell einen Faktor des Beugungs￾pla~nomens, optisch gesprochen, die Beugung am einzelnen Objekt (dem einzelnen Gitterstrich im Falle eines optischen Strichgitters). Der wesellt￾liche Punkt in der HousToxschen Theorie ist nun aber der, dab die abgelenkten EIektronenwelten miteinander interferieren, ~hnlich wie die R6ntgen￾strahlen im Krystall. Dieser Umstand liefert den zweiten Faktor des Beligungsph~nomells, optisch gesprochen die t3eugung, die yon der regelmXfligell Anordnung der beugenden Elemente (z. B. der Aufeinanderfolge der Gitterstriche) herrtihrt. Gegen￾fiber dem typischen Laue-Ph~nomen besteht dabei der folgende Unterschied: Die de Broglie-Wellell￾l~nge des Elektrons ist (vgl. oben) gr6ger als der Atomabstand der Metallionen, so dab sich diskrete Interferenzstrahlen am idealen Gitter im all￾gemeillen nicht ausbilden werden. Aber es bleibt die kolltinuierliche Streuung, die roll der ther￾misehell Unordnung des Gitters herriihrt u~d die mit der Temperatur zunimmt. Diese Streuung ist roll den LAtJI~-Aufnahmen her Ms kolitinuier￾licher Untergrund bekannt und wurde yon DEBYE im Jahre I914 naeh der gewShntichell Statistik berechnet. Die DEBYEschen Formeln bleiben in ihrer Anwendung auf das Metallgitter auch in der 379 lleuen wellenmeehanischen Auffassullg erhalten; sie kSnnen yon den RSntgenwellen direkt auf die Elektrolienwellen fibertragen werdell. Die Forderulig, dab die Verteilung der Elek￾trolien auf die versehiedeneli Wilikel statistisch stationer sein solle, trotz der fortgesetzten Streu￾ungseffekte, welche Elektronen aus einer Richtung ill eine andere ablellken, liefert eine Gleichgewichts￾bedingung, die mit derjenigen ffir die corpus￾cutare Bewegung verglichen werden kann. Dieser Vergleich erm6glicht es, das wellenmechanische Analogon der ]reien WegRgnge eindeutig zu deft￾nieren. Die freie Wegl~nge ergibt sich so Ms Fuliktion der Geschwindigkeit v des Elektrons, des Atomgewichtes A des Metallions, der Metall￾diehte d, der voli DEBYE eingefiihrten charakte￾ristischen Temperatur O ffir die Gitterschwingun￾gen des Metalls und der absoluten Temperatur T; schlieBlich h~ngt sie ab yon dem VerhAltnis der Ausdehnung der Elektronenatmosph~tre imtMetall￾ion, gemessell durch die scholi gellannte L~nge b, zllr Wellenl~nge 2, die naeh I)~ BROGLIE der Elektronengeschwindigkeit entspricht. Die Formel lautet A2 0v ~ (I3) I =: Const aH(~) ~(x)" Die Fullktionen H, ~ ulld ihre Argumelite c ulid x silld folgendermaBen definiert: 1 z I H(~) - f --u~-~e ~(x) = ~ f ~d~ -J(u + ~)~ ' -~je~z 1' (I4) 0 ~. 2 @° k Die Konstante in (13) hat den Wert 2--4~e4j5 ~ (~-ie /~ = BOLTZMANNsche Konstallte, e = Elektro￾nenladung, L = LOSCI~MIDSChe Zahl). Die Anzahl der freien Elektronen pro Atom ist dabei gleich I angenommen, ~hlllich wie in der ersten Note des Verf. Wenn mall sie z. B. bei mehr￾wertigen Ionen gleich z setzen wfirde, so wfirde in G1. (13) der Nenner z 2 hinzutreten. Zur Bestimmung der Leitf~higkeit o kommt es, wie oben hervorgehoben, nut auf den Wert yon I fiir die Halbwertsgeschwindigkeit ~ all. Die Temperaturabh~ngigkeit yon o ist nach G1. (I I) dieselbe'~wie[die yon I (~). Die Temperaturabh~ngig￾I " keit des spezifischen Widerstandes e =~- wird also direkt dargestMtt dutch die Fullktion ~ (x} aus GI. (14). Ist x~I, also T>>O, so folgt aus der Definition roll #(x) unmittelbar 1 T ~(x) = x- = ~" _Fi~r hohe Temperaturen ergibt sich so die wohl￾bekannte ProportionalitSt zwischen Wide~'stand und absoluter Te.mperatur. Das bisher unerreichte Ziel der frfiheren Theorien, dieses Gesetz zu erkli~ren, wird also auf wellenmechanischem Wege zwanglos, ohne kfillstliehe Almahmen gewonnen. Ist anderer-

SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. seits ariana asit T<e, so wird ersichtlich (a) Tabelle I Cu Ag grUnEiSen findet bei seinen ausgedehnten wide standsmessungen fuir tiefste Temperaturen ein Diese Zahlen sind mit der Annahme: ein Elek le Fy Verhalten analog demjenigen der spezifischen Warmen. Die Abnahme des Widerstandes mit nach dem , Dissoziationsgrad der Metallionen, ibnehmendem T stellt er angenahert dar in der n, nach der Anzahl der freien Elektronen pro Atom wird in dieser Arbeit von houston eben Form 63. Die theoretische Formel von Hou. wenig wie in den vorangehenden Untersuchungen SToN lautet demgegeniber Aa, past sich aber Anzahl n der freien elektronen in der volumeinheit z. B. fur Gold, das ein besonders normales Ver. als gegebene GroBe behandelt. Es ist bemerkens halten zeigt, dem Gange der GRUNEISENschen wert, daB in der linken Halfte der Tabelle, in de pirischen Konstanten versehene GRUNEISENsche wissem Sinne einwertig, da es nach Abgabe eines Formel. Dies zeigt die folgende Tabelle bare Schale uibergeht), die berechneten Werte von o Tabelle I etwa denselben Gang haben wie die beobachteten 6890I69 8,242,47I,5II,ooo,6I50, :2 In der rechten halite der Tabelle kehrt sich dies Verhaltnis um, besonders bei denjenigen Metallen, =0,017O,r70o,2410,561,oo die eine groBere Zahl von AuBenelektronen =0,0080,I77o,2700592I r6 sitzen. HoustoN hat sich davon uberzeugt, d Relativer Widerstand r e n Gold. berechnet auch bei diesen Metallen das Verhaltnis des be rechneten zu dem beobachteten o herabgedruckt nit dem von DEBYE aus elastischen Messungen ab- und dem bei den einwertigen Metallen analog wird geleiteten Werte I68. wenn man annimmt. daB alle AuBenelektronen abgeschalt" sind, also 2 bei Pb, 6 bei Fe, 8 bei Charakteristisch ist neben der Temperatur-auch Ni und Pt.(Man beachte die scheinbare Parodoxie e Druckabhangigleit des widerstandes. Sie wird dab die Leitfahigkeit herabgesetzt wird, wenn die theoretisch berechnet aus der Abnahme der Zahl der freien Elektronen erhoht wird !) Rechnet Kompressibilitat bei wachsendem Druck und in man mit b=16 statt mit b-14 verte tom- zweiter Iinie aus der Zunahme der Elektronen- abstandes, so werden die berechneten Werte von und Ionenzahl infolge der Volumverminderung. den beobachteten nahergeruckt; jedoch mochten Die Kompressibilitat geht in die Formel fur den wir einstweilen die Frage nach der numerischen Widerstand dadurch ein, daB sich aus ihr die Obereinstimmung offen lassen und nur die Uber charakteristische Temperatur e berechnet. Die einstimmung der GroBenordnung betonen, die bei Elektronenzahl n andererseits bestimmt die Wel- den berechneten wie bei den beobachteten Werten lenlange A und daher auch die GroBe von c und durch den Faktor Io- 17 gegeben wird Die Druckabhangigkeit des widerstandes driickt sich als Differenz beider Iv. Die Richtungsabhangigkeit der Leitfaligheit Anderungen aus. Die bekannten Beobachtungen and der Thermokrajt von einkrystallen von BRIdgman, z. B. bei Kalium im Bereich von I--I2 ooo Atm, werden unter Benutzung seiner Schwierigkeit, die Anisotropie von Leitungs- friedigend wiedergegeben: theoretischer Wert der heixgangen zu verstehen; aber auch diese Schwierig- ei einer At- Fiir die Streuung der Elektronenwellen verhalten mosphare II510", beobachteter Wert I87I0-6. sich regulare Krystalle ebenso wie in der gewohn Auch das bei Caesium beobachtete Minimum des lichen Optik isotrop, Anisotropieeffekte sind erst Widerstandes wird durch die jetzt gewonnene bei einachsigen oder rhombischen usw, Krystallen Darstellung als Differenz zweier groBen verstand- zu erwarten und sind in der Tat von GRUNEISEN bei Cd und Zn(hexagonal) beobachtet, Fiir solche trifft, so hangt diese in empfindlicher Weise ab Abhangigkeit der freien Weglange von der rich von der besonderen Annahme uber die groBe von b, tung, aus der die Ieitungselektronen gegen das d.h. uber die effektive Ausdehnung des Atoms. betrachtete Atom anlaufen oder, wellentheoretisch HoUsTON hat b versuchsweise gleich 1/4 des ausgedrickt, aus der die Elektronenwellen ein- Atomabstandes im Gitter gesetzt. Die unter fallen. Dies folgt dieser Annahme berechneten absoluten Werte fur fur die Rontgenstreuung, welche von der Orien schiedene Metalle bei oC zeigt die nachste tierung der einfallenden Strahlen gegen die kry Tabell stallachsen abhangt, dadurch daB sie die nach

380 SO/¢IMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. Die Natur￾wi~senschaften seits x >~ i, also T << (9, so wird ersichtlich # (x) proportionM mit I T 2 GRONEISEN findet bei seinen ausgedehnten Wider￾standsmessungen ftir tiefste Temperaturen ein Verhalten analog demjenigen der spezifischen W~rmen. Die Abnahme des Widerstandes mit abnehmendem T stellt er angen~hert dar in der T4 Form ~5. Die theoretischeTFormel yon HOU￾STON lautet demgegenfiber -~, paBt sich aber z. ]3. ffir Gold, das ein besonders normales Ver￾halten zeigt, dem Gange der GRf3NEISENschen Messungen fast ebenso gut an wie die mit em￾pirisehen Konstanten versehene GRONEISENsche Formel. Dies zeigt die folgende Tabelle. TabeUe 1. T = 20 68 90 169 273 373 513 773° x = 8,24 2,47 1,51 I,OO o,615 o,45o o,293 o,217 rber = O,Ol 7 o,17o o,241 0,56 i,oo 1,42 2,26 3,i2 rb~ob = O,OO8 O,I77 O,270 O,592 I,OO 1,40 2,24 3,I6 Relativer Widerstand r = R-2~8 yon Gold, bereclanet mit dem yon DEBYE aus elastisehen Messungen ab￾geleiteten ~,Verte 6)= 168. Charakteristisch ist neben der Temperatur- aueh die Druckabhdngigtceit des Vv'iderstandes. Sie wird theoretisch berechnet aus der Abnahme der Kompressibilit~t bei wachsendem Druck und in zweiter Linie aus der Zunahm.e der Elektronen￾und Ionenzahl infolge der Volumverminderung. Die Kompressibitit~t geht in die FormeI fiir den Widerstand dadureh ein, dab sieh aus ihr die charakteristische Temperatur 0 berechnet. Die Elektronenzahl n andererseits bestimmt die V~el￾lenl~nge 2 und daher auch die Gr6Be yon c und H (c) in G1. (14). Die Druckabt15ngigkeit des Widerstandes drfiekt sich als Differenz beider Jknderungen aus. Die bekannten Beobachtungen von BRIDGMAN, Z. 13. bei Kalium im t3ereich yon 1--12 ooo Atm., werden unter Benutzung seiner Kompressibilit~tsmessungen auf diese Weise be￾friedigend wiedergegeben: theoretischer Weft der relativen Leitf~higkeitsiinderung bei einer At￾mosphere 115.1o -6, beobachteter Wert I87.IO -~. Auch das bei Caesium beobachtete Minimum des \Viderstandes wird durch die jetzt gewonnene Darstellung als Differenz zweier Gr6Ben verst~nd￾lich. Was die absolute Gr6Be des Widerstandes be￾triflt, so h~ngt diese in empfindlicher Weise ab yon der besonderen Annahme fiber die GrSl3e yon b, d. h. fiber die effektive Ausdehnung des Atoms. Houston hat b versuchsweise gleich 1/4 des Atomabstandes im Gitter gesetzt. Die unter dieser Annahme berechneten absoluten Werte ffir verschiedene Metalle bei o ° C zeigt die n~chste Tabelle. Tabelle 2. ! Li Cu Ag Au AI 1 Pb Fe Ni Pt 6) 231 332 214 168 4o3/ 73 472 439 228 ~ber 10-17 O, IO 2, 4 1,3 1,4 1,3 t 0,22 4,9 5,5 3, I ebeob IO -I~ I,O6 5,8 6,0 4,4 3, 6 0,47 I,OO 1,14 O,90 Diese Zahlen sind mit der Annahme: ein Elek￾tron pro Atom berechnet. Die prinzipielle Frage nach dem ,,Dissoziationsgrad" der Metallionen, d. h. nach der Anzahl der freien Elektronen pro Atom, wird in dieser Arbeit yon HOUSTON ebenso￾wenig wie in den vorangehenden Untersuchungen des Verf. in Angriff genommen; vielmehr wird die Anzahl nder freien Elektronen in der Volumeinheit als gegebene Gr613e behandelt. Es ist bemerkens￾weft, dab in der linken H~lfte der Tabelle, in der die einwertigen Metalle stehen (auch A1 ist in ge￾wissem Sinne einwertig, da es nach Abgabe eines Etektrons in eine abgeschlossene, mit He vergleich￾bare Schale fibergeht), die berechneten Werte yon o etwa denselben Gang haben wie die beobachteten. In der rechten H~tlfte der Tabelle kehrt sich dies Verh~ltnis um, besonders bei denjenigen Metallen, die eine gr6Bere Zahl yon AuBenelektronen be￾sitzen. HOtJSTON hat sich davon iiberzeugt, dab auch bei diesen Metallen das Verh~tltnis des be￾rechneten zu den1 beobachteten o herabgedrfickt und dem bei den einwertigen Metallen analog wird, wenn man annimmt, dab alle AuBenelektronen ,,abgeschMt" sind, also 2 bei Pb, 6 bei Fe, 8 bei Ni und Pt. (Man beachte die scheinbare Parodoxie, dab die LeitfMfigkeit herabgesetzt wird, wenn die Zahl der freien Elektronen erh6ht wird !) Rechnet man mit b= 1/6 statt mit b= 1/4 des Atom￾abstandes, so werden die berechneten W'erte yon , den beobachteten n~hergerfickt; jedoch m6chten wir einstweilen die Frage nach der numerischen Ubereinstimmung often lassen und nur die ~ber￾einstimmung der GrSgenordnung betonen, die bei den berechneten wie bei den beobachteten Werten dureh den Faktor IO-1~ gegeben wird. IV. Die Riehtzo~gs~bh~ingiglceit der Leitf~higkeit und der Thermolcra/t yon Einkrystallen. Ffir die bisherige Theorie war es eine grol3e Schwierigkeit, die Anisotropie yon Leitungs￾vorg~tngen zu verstehen; aber auch diese Schwierig￾keit 15st sich wellenmechanisch befriedigend auf. Fiir die Streuung der Elektronenwellen verhalten sich regulate Krystalle ebenso wie in der gew6lm￾lichen Optik isotrop. Anisotropieeffekte sind erst bei einachsigen oder rhombischen usw, Krystallen zu erwarten und sind in der Tat yon GR/3NEISEN bei Cd und Zn (hexagonal) beobachtet. Ffir solche Krystalle ergibt sich nun auch theoretisch eine Abh~tngigkeit der freien Weglgnge yon der Rich￾tung, aus der die Leitungselektronen gegen das betrachtete Atom anlaufen oder, wellentheoretiseh ausgedrfickt, aus der die Elektronenwellen ein￾fallen. Dies folgt aus der DEBYEschen Formel ffir die RSntgenstreuung, welche von der Orien￾tierung der einfallenden Strahlen gegen die Kry￾stallachsen abhangt, dadureh dab sie die nach

Heft 2I chengen 3 den einzelnen Krystallachsen verschiedenen Elasti- treten hier Thermokrafte des normalen Betrages zitatskoeffizienten des Gitters berucksichtigt. Im von einigen Mikrovolt auf, bei Cd 3.10- Volt ergleich mit der fruheren Formel(13)steckt dabei bei o'C. Die theoretische Erklarung muB auf die die Richtungsabhangigkeit lich im Nenner Abhangigkeit der freien Weglange von der Ge (c), d h in demjenigen anisotrop gebauten Aus- schwindigkeit Rucksicht nehmen, welche durch n ist. man be. tritt. Ferner hat man jetzt nicht mit einem ein- rechnet, dab d fur die beiden Richtungen Il und eitichen 0, sondern fur jede Achse mit einem be- merklich verschieden ist. Fur den soeben genannten Fall findet houston als groBe der Thermokraft Bezieht sich a auf eine zur hexagonalen 0,5 10-6 Volt Ha Am Ende meiner ausfuhrlichen publikation Hauptachse selbst, so ergibt sich theoretisch bzw. habe ich unter kritischen SchluBbemerkungen experimentell nach GRuNEiSeN und GoNs fur gesat Am bedenklichsten wird man gerade der einfachsten und fundamentalsten Folgerung betr. das elektrische Leitvermogen, gegenuber- stehen, dessen Temperaturabhangigkeit von u serer Theorie in ihrer jetzigen Form nicht wieder Uberraschender als die Exist aniso- gegeben wird. Diese Bemerkung mochte ich ropen Leitung selbst ist das einer jetzt in vollem Umfang zuruckziehen angesichts Thermokraft zwischen Teile Ein- der schonen Resultate der HoUSTONschen Arbeit krystalles, die parallel oder senkrecht zur Haupt- die mir alles zu leisten scheint, was man billiger achse geschnitten sind. Wie BRIDGMAn zuerst weise von einer allgemeinen statistischen Theorie gefunden und GRUNEISEN-GONs bestatigt haben, des elektrischen Leitvermogens verlangen kann Besprechungen MORTENSEN Der Formenschatz der nord- oder auch von Niederschlagen weiter westlich, im Berlin: Weidmannsche Buch- Gebiete der Kordillerenzige, umwandelnd cingreift IgI S und g Tafeln. I7x 25 cm. Preis M I8 einigen hundert Kilometer, innerhalb der letzten Jahre bei drei beobachteten Avenidas, eine Hochst threr Entst breite von Io--20 km haben, fuhren einen Schutt indlung welcher Abrollwirkungen nicht erkennen laBt, da es sich Der Formenschatz der nordchilenischep Waiste mit dem ja um starke Wasserfuhrung wahrend sehr kurzer der wistenbildung", in den Abhandlungen der Ges. der Ruhe gegenuberstehe ERNINGER hat den gluc d. wiss. zu Gottingen(math -phy Neue Folge 12, MoRTENSEN bereiste, indem er einer Einladung des . SchuttflieBen" W. PENCKs fest gepack Herausgebers der , Landeskunde von Chile", Dr. CHR. Folge der Verbackung durch Salze ie bis 25 m Tiefe reichen, und einer weiteren mit Recht bemerkt er, Schotterlagen, die sich in 6o m wiederholen. Es ist esonderes Gewicht beigemessen werden muB, da in Syrien und Arabien(BLANKENHORN), einer kleineren stehen, fast als Tradition erhalten bleiben. Berg- und Europas korrelationiert sind. Ob hierbei im Sinne lugelzuge, ebenso die Pampas der Kern-une ttel-. brueggens die heutige chilenische wuste humide wiisten, im einzelnen die Gebiete von altal ar, und etwa den Charakter der Halbwuste im heutigen und Tacna, sowie die Randwfiste Atacam Gebiet von Coquimbo bis vallenar trug, oder ob ma sich der Meinung des Verfassers anschlieBt, welch SchluB unter Heranziehung des spezifischen Glaubt dab bei einem auch damals rein wustenhaften eine Zusammenfassung sowie ein vergleich mit anderen Charakter dieses Gebietes en, und die dementsprechend einen Im uber osten haften atacama wIe wir si iide copiapo, t wasser geschaffen wurde, und die wir, von der Kuste zur gepragt, nach Norden zu, d i im Oasengebiet von lacna unter Umstanden Jahrzehnte hindurch, bis eine der der Schwerkraft, haben wir in der Mittelwi gefurchteten , Avenidas zumeist westlich der Kernwiisten finden lisch fluten der wuste, sei es als Folge lokaler Niederschlage wirkung von Wasser-, aolischen und Schwerkrafts

Heft 2x. ] 25. 5. x928J den einzelnen I~rystallachsen versehiedenen Elasti￾zit~tskoeffizienten des Gitters berficksichtigt. Im Vergleich mit der Irfiheren Formel (13) steckt dabei die Richtungsabh~ngigkeit wesentlich im Nenner H (e), d. h. in demjenigen anisotrop gebauten Ans￾druck, der jetzt an die Stelle des trfiheren H(c) tritt. Ferner hat man jetzt nieht mit einem ein￾heitichen O, sondern ffir jede Achse mit einem be￾sonderen 0 zu rechnen. t3ezieht sich a± auf eine zur hexagonalen I-Iauptachse senkrechte Richtung, oil auf diese Hauptachse selbst, so ergibt sieh theoretiseh bzw. experimentell nach GRt~NEISEN und G6NS ftir Cadmium: 0 L ber. beob. ....... = 1,4 1,2 ~'berraschender als die Existenz der aniso￾tropen Leitung selbst ist das Auftreten einer Thermokraft zwischen Teilen desselben Ein￾krystalles, die parallel oder senkrecht zur Haupt￾aehse geschnitten sind. Wie t3RIDGMAN zuerst gefunden und GRONEISEN-G6Ns best~ttigt haben, Besprechungen. 381 treten hier Thermokr~fte des normalen Betrages yon einigen Mikrovott auf, bei Cd 3.1o -6 Volt bei o ° C. Die theoretische Erkl~trung muB auf die Abh~ngigkeit der freien \Vegl~tnge yon der Ge￾schwindigkeit Rficksicht nehmen, welche durch die GrSge A (vgl. G1. [I2}) gegeben ist. Man be￾rechnet, dab A fiir die beiden Richtungen It und £ merklieh verschieden ist. Ffirden soeben genannten Fall findet HOUSTON als Gr6Be der Thermokraft o, 5 IO -6 Volt. -- Am Ende meiner ausffihrlichen Publikation habe ich unter ,,kritischen Schlul3bemerkungen" gesagt: ,,Am bedenklichsten wird man gerade der einfachsten und fundamentalsten Folgerung, betr. das elektrische Leitverm6gen, gegenfiber￾stehen, dessen Temperaturabh~ngigkeit yon un￾serer Theorie in ihrer jetzigen Form nicht wieder￾gegeben wird." Diese Bemerkung m6chte ich jetzt in vollem Umfang zurficlCziehen angesiehts der sch6nen Resultate der HOUSTONschen Arbeit, die mir alles zu leisten scheint, was man bitliger￾weise yon einer allgemeinen statistischen Theorie des elektrischen Leitverm6gens verlangen kann. Besprechungen. MORTENSEN, HANS, Der Formenschatz der nord￾chilenischen Wfiste. Berlin: Weidmannsche 13uch￾handlung 1927. VIII, I91 S. und 9 Tafeln. 17 × 25 cm. Preis RM I8.--. Eine sehr wertvolle Arbeit zur Morphologie der ~V~ste, und vorzfiglich zu ihrer Entstehung, gibt uns HANS MORTE~SEN in einer ausgedehnten Abhandlung Der Formenschatz der nordehileniseF~en Wi~ste mit dem bezeichnenden Untertitel ,,Ein Beitrag zum Gesetz der V¢fistenbildung", in den Abhandlnngen der Ges. d. Wiss. zu G6ttingen (math.-phys. KI., Neue Folge 12, I. I927). MORTENSESr bereiste, indem er einer Einladung des Herausgebers der ,,Landeskunde yon Chile", Dr. CHR. MARTIN, folgte, in Begleitung von Herrn Dr.BERNINGI~R, Erlangen, wXhrend der Monate Juli-September 1925 das chilenische Wfistengebiet. Er hat in dieser Zeit viel gesehen und viel -- geh6rt; mit Recht bemerkt er, dab den Beric]aten der Dauerbewohner einer Wfiste ein ganz besonderes Gewicht beigemessen werden muB, da in ihrem ewigen Einerlei alle auffaltenden Erscheinun￾gen, vorzfiglich wenn sie mit dem Klima in Verbindung stehen, fast als Tradition erhalten bleiben. Berg- und Ht~gelzfige, ebenso die Pampas der t{ern- und Mittel￾wtisten, im einzetnen die Gebiete yon Taltal, Iqu$que und Taena, sowie die Randwfiste Atacama werden morphologisch nnd genetisch untersucht, und zum Schlul3 unter Heranziehung des spezifischen Klimas eine Zusammenfassung sowie ein Vergleich mit anderen Wtisten gegeben. Unterschieden werden in Nordchile die Gebiete, welche sich auf die Einwirkung gleichartiger KrXfte zurfickffihren lassen, und die dementsprechend einen flbereinstimmenden Formenschatz aufweisen. So haben wir die Kernwiiste, die ausschlieBlich durch das Iliel3ende Wasser geschaffen wurde, und die wir, yon der Kfiste zur Puna fortschreitend, im Innern yon Taltal, AntoJagastct und Toeopi~ finden. Erstarrt liegt diese Landschaft unter Umst~nden Jahrzehnte hindurch, bis eine der gefiirchteten ,,Avenidas", jene unperiodisehen VCasser￾fluten der W~ste, sei es als Folge lokaler Niederschl~ge oder anch yon Niederschlagen welter westlich, im Gebiete der Kordillerenztige, umwandelnd eingreift. Diese Wasser, welehe iibrigens auf eine L~nge von einigen hundert Kilometern, innerhalb der letzten Jatlre bei drei beobachteten Avenidas, eine H6chst￾breite yon lO--2o km haben, iiitzren einen Schntt rnit, welcher Abrollwirkungen nicht erkennen ltkBt, da es sich )a um starke ~¥asserffihrung wAhrend sehr kurzer Zeiten handelt, denen aul3erordentlich lange Perioden der Ruhe gegenflberstehen. Bt~RNINGER hat den glfick￾lichen Ausdruck ,,Schwemmschutt" vorgeschlagen, der fibrigens in Nordchile im Gegensatz zu dem trockenen ,,Schuttfliel3en" W. PENCKS fest gepackt ist als eine Folge der Verbackung durch Salze unter EinfiuB der Schwerkraft. Zwischen den oberen Schwemmschutt￾schichten, die bis 25 m Tide reichen, und einer weiteren zwischen 27--37 m, finden wir grobe, abgerollte Schotterlagen, die sich in 60 m wiederholen. Es ist nicht ausgeschlossen, dab diese Horizonte, ~hnlich wie in Syrien und Arabien (BLANKENHORN), einer kleineren und groBen Piuvialzeit entsprechen, welche den Eis￾zeiten (PAssARa~), also evil. der RiB- und Mindel-Eiszeit Europas korrelationiert sind. Ob hierbei im Sinne J. BRU~aaENS die heufige chilenische X¥fiste humide war, und etwa den Charakter der Halbw~ste im heufigen Gebiet yon Coquimbo his Vallenar trug, oder ob man sich der Meinung des Verfassers anschlieBt, welcher glaubt, dab bei einem auch damals rein wfistenhaften Charakter dieses Gebietes durch eine st~rkere andine Vereisung, eine verst~rkte und haufigere Wasser￾ftihrung der Str6me in den Wflstenbetten bedingt war, ist yon keiner einschneidenden Bedeutung. Im l'.'lbergang zu der randwfistenhaften Atacama, wie wit sie im Sfiden yon Taltal, also im Departement Copiap6, treffen, und ebenso, wenn auch weniger aus￾geprXgt, nach Norden zu, d. i. im Oasengebiet yon Taena~ Iinden wir die Mittelwiiste. W~hrend die Randwfiste bedingt ist dutch ~olische Einwirkung und die Wirkung der Schwerkraft, haben wir in der MitteIwfiste, die wit zumeist westlich der Kernwt~sten Iinden, eine Misch￾wirkung yon VCasser-, ~olischen und Schwerkrafts-