上讲回顾:金属、绝缘体的能带理论解释 金属、绝缘体和半导体 *电子如何填充能带→可用原胞內电子填充判断? #第一布里渊区不等价的状态数 #满带、空带、半满带 *满带不导电→金属、绝缘体、半导体 结构因子与布里渊边界能级简并分裂的关系 *物理原因同X射线衍射的消光现象 #原胞内等价原子波函数在布里渊区边界的反射相 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 1 上讲回顾：金属、绝缘体的能带理论解释 • 金属、绝缘体和半导体 * 电子如何填充能带可用原胞内电子填充判断？ 第一布里渊区不等价的状态数 满带、空带、半满带 * 满带不导电金属、绝缘体、半导体 • 结构因子与布里渊边界能级简并分裂的关系 * 物理原因同X射线衍射的消光现象 原胞内等价原子波函数在布里渊区边界的反射相 干
本讲目的:能带计算近似方法的物理思想 如何计算能带? 1.近自由电子近似(赝势方法) 2.紧束缚方法→第19讲 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 2 本讲目的：能带计算近似方法的物理思想 • 如何计算能带? 1. 近自由电子近似(赝势方法) 2. 紧束缚方法第19讲
第17讲、近自由电子近似 1.能带计算近似的物理思想 2.近自由电子近似—平面波方法 3.举例——只取两个平面波 4.平面波方法评论 5.赝势方法 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 3 第17讲、近自由电子近似 1. 能带计算近似的物理思想 2. 近自由电子近似——平面波方法 3. 举例——只取两个平面波 4. 平面波方法评论 5. 赝势方法
能带计算方法的物理思想 相对论 全电子势(Mufn-in) 相对论 赝势 凝胶模型(相当于自由电子气) 局域密度泛函近似 非局域修正 v2+V(r)+2(r小中(r,k)=E(kH(r,k) 非周期性 平面波 周期性 缀加平面波 对称性 线性组合缀加平面波 散射函数 非自旋极化 原子轨道线性组合 自旋极化 数值
4 r r r,k k r,k xc 2 V E 相对论 非相对论 全电子势（Muffin-tin） 赝势 凝胶模型（相当于自由电子气） 局域密度泛函近似 非局域修正 非周期性 周期性 对称性 非自旋极化 自旋极化 平面波 缀加平面波 线性组合缀加平面波 散射函数 原子轨道线性组合 数值 1、能带计算方法的物理思想
能带计算方法分类 各种能带计算方法基本上可分为 *对晶体势场(r)的不同近似 *刘组成晶体电子波函数的基函数的不同选取 根据不同的研究对象、计算条件对势场和基 函数作不同的近似处理→不同的物理思想 *全电子势( Muffin-tin势,真正全电子势很少用) *赝势 2.能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上 可分成两大类: *紧束缚近似 近自由电子近似 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 5 能带计算方法分类 • 各种能带计算方法基本上可分为 * 对晶体势场V(r)的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取 1. 根据不同的研究对象、计算条件对势场和基 函数作不同的近似处理不同的物理思想 * 全电子势(Muffin-tin势，真正全电子势很少用) * 赝势 2. 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上 可分成两大类： * 紧束缚近似 * 近自由电子近似
能带如何形成—近自由电子观点 近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很 弱的作用,E(k)是连续的能级 *由于受周期性势场的微扰,E(k在 Brillouin区边界 生分裂、突变→禁带,连续的能级形成能带 这时晶体电子行为与自由电子相差不大 因此,可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合 来构成晶体电子波函数,描写晶体电子行为 微扰观点:空晶格的解是零级近似,都把它当 作简并微扰的方式用零级解组成晶体波函数 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 6 能带如何形成——近自由电子观点 • 近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很 弱的作用， E(k)是连续的能级 * 由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin区边界 产生分裂、突变禁带，连续的能级形成能带 • 这时晶体电子行为与自由电子相差不大 * 因此，可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合 来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为 • 微扰观点：空晶格的解是零级近似，都把它当 作简并微扰的方式用零级解组成晶体波函数
能带如何形成紧束缚观点 紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子 一样紧紧束缚在该原子周围 *孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢,有相 互作用,孤立原子能级从而扩展成能带 由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很 小的相互作用 *因此,可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函 数,并且只考虑与紧邻原子的相互作用 微扰观点:孤立原子解是零级近似解;组成晶 体波函数时周期性条件使成Boch函数形式 :∥10.107.0.68/~gche近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 7 能带如何形成——紧束缚观点 • 紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子 一样紧紧束缚在该原子周围 * 孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相 互作用，孤立原子能级从而扩展成能带 • 由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很 小的相互作用 * 因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函 数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用 • 微扰观点：孤立原子解是零级近似解；组成晶 体波函数时周期性条件使成Bloch函数形式
质疑:晶体电子共有化与紧束缚思想 矛盾?晶体电子共有化在紧束缚方法 中如何体现? 近自由电子近似无这个问题:平面波 本身就是非局域的!平面波本身就是 调幅函数为常数的Boch函数! 紧束缚方法的局域波函数和周期性的 相因子来构成满足Bch函数的基函数 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 8 质疑：晶体电子共有化与紧束缚思想 矛盾？晶体电子共有化在紧束缚方法 中如何体现？ • 近自由电子近似无这个问题：平面波 本身就是非局域的！平面波本身就是 调幅函数为常数的Bloch函数！ • 紧束缚方法的局域波函数和周期性的 相因子来构成满足Bloch函数的基函数
2、近自由电子近似—平面波方法 真实的势,-Zel/r,特点: *靠近原子核区,势变化剧烈 *远离原子核区,势变化平缓 近自由电子(平面波)>动量空间 *平面波不同的波矢对应大小同的动量 对应的晶体波函数的性质? *靠近核区波函数振荡→对应平面波波矢大的成分 *远离核区波函数平滑→对应平面波波矢小的成分 因此,如果用平面波作基函数,为很好地描写 这种特点,所需要的基函数数量特别大 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 9 2、近自由电子近似——平面波方法 • 真实的势，-Ze2/r，特点： * 靠近原子核区，势变化剧烈 * 远离原子核区，势变化平缓 • 近自由电子(平面波)动量空间 * 平面波不同的波矢对应大小不同的动量 • 对应的晶体波函数的性质? * 靠近核区波函数振荡对应平面波波矢大的成分 * 远离核区波函数平滑对应平面波波矢小的成分 • 因此，如果用平面波作基函数，为很好地描写 这种特点，所需要的基函数数量特别大
平面波方法 数学上,看 Bloch波函数 y(k,r) (k ,r)=u(k,r+R) l既然是R的周期函数,也可以作 Fourier展开 ∑c(k,K) c(kK)是展开系数 hmp:/10.107.0.68/ inche′近自由电子近似
http://10.107.0.68/~jgche/ 近自由电子近似 10 平面波方法 • 数学上，看Bloch波函数 (k r ) (k r R ) (k r ) (k r ) k r , , , , u u e u i • u既然是R的周期函数，也可以作Fourier展开 K K r (k r ) (k , K ) i u c e V 1 , • c(k,K)是展开系数