复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶格振动_晶体的热学性质

上讲回顾:晶格振动的量子理论 晶格简谐振动是一种集体振动—一称为格波 独立的简谐振动模式→声子→简谐振动的能量 量子格波能量→量子化→声子能量是分立的 h *声子遵从玻色统计 n, (q) ho,(a)/kBT 声子的能量和准动量分别为加和加q hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 1 上讲回顾：晶格振动的量子理论 • 晶格简谐振动是一种集体振动——称为格波 • 独立的简谐振动模式声子简谐振动的能量 量子格波能量量子化声子能量是分立的 * 声子遵从玻色统计 * 声子的能量和准动量分别为 和 (q) l l l  n     21 1 1   l l kBT e n (q)/ (q)  l q

本讲目的:如何确定晶格振动能量? 晶格振动的能量子声子→声子贡献 对照电子能量,声子是完全类似的 电子 费米 ED(E EdE *其困难是相同的→状态密度←色散关系,太复杂 #对电子,没有一个真实的能带结构 十自由电子气→得C电子T,低温时被实验证实 #对晶格振动,有唯象理论下,可得到色散关系 但数学上难;可用两种模型近似解决这个困难 Einstein模型C声子~exp(hbar/kB Debye模型C声子~T3,很大温度范围被证实 hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 2 本讲目的：如何确定晶格振动能量？ • 晶格振动的能量子声子声子贡献 * 对照电子能量，声子是完全类似的 * 其困难是相同的状态密度色散关系，太复杂  对电子，没有一个真实的能带结构 † 自由电子气得C电子~T，低温时被实验证实  对晶格振动，有唯象理论下，可得到色散关系， 但数学上难；可用两种模型近似解决这个困难 † Einstein模型C声子~exp(\hbar/kBT)/T2 † Debye模型C声子~T3 ，很大温度范围被证实   U电子  f费米 E D E EdE

第26讲、晶体的热学性质 1.晶格振动能量——经典模型 2.晶格振动能量——半经典模型 3.晶格振动能量——量子模型 声子态密度 5.频率分布函数的 Einstein近似 6.频率分布函数的 Debye近似 hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 3 第26讲、晶体的热学性质 1. 晶格振动能量——经典模型 2. 晶格振动能量——半经典模型 3. 晶格振动能量——量子模型 4. 声子态密度 5. 频率分布函数的Einstein近似 6. 频率分布函数的Debye近似

1、晶格振动能量—经典模型 ·品格振动平均能量E-“」一正,D= 可以写为 In e ph dr 简谐近似下,对相空间积分c"M中的相空 间变量动量和位移作一与温度有关的变量替换 d=∏u(R)P(R)→ u(r)=B-u(), du(r)=B-3du(R) R P(R)=B-P(R), dP(r)=B-3dP(R) +U平衡⊥了r简谐 P 2 pBU平衡-3N ∑+Um( hmp:0.10 2M

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 4 1、晶格振动能量——经典模型 • 晶格振动平均能量 • 可以写为 • 简谐近似下，对相空间积分 中的相空 间变量动量和位移作一与温度有关的变量替换 • 就有 k T E He d e d H H B 1   ,                E e d H  ln    e d H                         平衡 简谐 U U M e d d H 2 exp 2 P                           u 平衡 P 简谐 U M e d U N 2 exp 2 3                 ,   , 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2                 P R P R P R P R u R u R u R u R u R P R R d d d d d d d    

现积分号内的量与温度无关式() 2M 因此得到E nlB3x常数=U平衡+3Nk2T aE 比热 BNkB aT 这就是能均分定理今每个简谐振动贡献k2T *即用经典统计,根据能均分定理,每个自由度的平 均能量是knT °固体中有N个原子,就有3N个简谐振动模,因 此晶体平均能量等于3NkBT 于是,C13Nk少与温度无关 这就是 Dulong-Petith定律 *这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 *前面用经典力学处理时,估计过简并温度是50K hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 5       u P R 简谐 U 2 M 2 E e  U Nk T U N B 3 ln    3      平衡  常数 平衡    3Nk B T E C V     • 现积分号内的量与温度无关 • 因此得到 • 比热 • 这就是能均分定理 每个简谐振动贡献 kB T * 即用经典统计，根据能均分定理，每个自由度的平 均能量是 kB T • 固体中有 N个原子，就有 3 N个简谐振动模，因 此晶体平均能量等于 3Nk B T • 于是， C V= 3Nk B 与温度无关 * 这就是Dulong-Petit定律 * 这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 * 前面用经典力学处理时，估计过简并温度是50K

思考:实际情况与温度有关。那么, 问题在哪里?是简谐近似不够好吗? hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 6 思考：实际情况与温度有关。那么， 问题在哪里？是简谐近似不够好吗？

什么温度下简谐近似是个好近似? 什么是简谐近似? 恢复力与位移成线性关3 系。这个近似下,是温 度高好还是温度低好? 度高,还可以认为是 简谐近似不再有效 →但温度低,振动小,按 理说,简谐近似应该是 温度越低越好! 但现在实验告诉我们, 低温时不符! hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 7 • 什么是简谐近似? * 恢复力与位移成线性关 系。这个近似下，是温 度高好还是温度低好？ →温度高，还可以认为是 简谐近似不再有效 →但温度低，振动小，按 理说，简谐近似应该是 温度越低越好! • 但现在实验告诉我们， 低温时不符！ 什么温度下简谐近似是个好近似？

问题在哪里? Dulong-Peit定律比热与温度无关,只在102K 量级或以上温度才有效 实验观察,低于室温 绝缘体的比热以T下降, *金属则以AT+BT下降 这说明,经典理论的能均分定理是不适用的 为什么? hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 8 问题在哪里？ • Dulong-Petit定律比热与温度无关，只在102K 量级或以上温度才有效 • 实验观察，低于室温 * 绝缘体的比热以T3下降， * 金属则以AT+BT3下降 • 这说明，经典理论的能均分定理是不适用的！ • 为什么？

因为晶格振动的能量是量子化的! hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 9 因为晶格振动的能量是量子化的！

2、晶格振动能量—半经典模型(定性) 现在用半经典模型来估计,在低温下,晶格振 动对比热的贡献 回顾电子比热,如何用半经典模型来处理? *电子对比热贡献的半经典估计 #只考虑费米能级附近kT范围内的电子才能被热 激发,但被激发的每个电子能量都是经典的,都 是kaT 如何估计晶格振动对比热的贡献 *目的是避免量子模型中需要涉及的振动态密度(既 不用 Debye模型,也不用 Einstein模型) *类似地:振动能量用经典,关键是有多少振动能在 低温下被激发,它们的能量加起来于温度的关系 hm:∥10.107.0.68/ juche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 10 2、晶格振动能量——半经典模型(定性) • 现在用半经典模型来估计，在低温下，晶格振 动对比热的贡献 • 回顾电子比热，如何用半经典模型来处理？ * 电子对比热贡献的半经典估计  只考虑费米能级附近kBT范围内的电子才能被热 激发，但被激发的每个电子能量都是经典的，都 是kBT • 如何估计晶格振动对比热的贡献 * 目的是避免量子模型中需要涉及的振动态密度（既 不用Debye模型，也不用Einstein模型） * 类似地：振动能量用经典，关键是有多少振动能在 低温下被激发，它们的能量加起来于温度的关系