复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第六章 输运现象_复习和习题解答

目的 作业中要求熟记的内容,分析考题与习题关系 及必须掌握的要点 *2(第一章) 10(第二章) *19+20(第三、四章) *24+26(第五章) hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 1 目的 • 作业中要求熟记的内容，分析考题与习题关系 及必须掌握的要点 * 2（第一章） * 10（第二章） * 19+20（第三、四章） * 24+26（第五章）

金属自由电子气模型要点 电子气基本性质 能量空间的状态密度 #但是因为k空间状态密度是常数,所以一般总是 从k空间状态密度转换得到能量空间状态密度 #能量状态密度的物理意义是简并度,即某一能 级,共有多少状态 费米能级 #7=0时,电子最高占据能级N=D(EME 总能 #所有电子能量之和=/(( hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 2 金属自由电子气模型要点 • 电子气基本性质 * 能量空间的状态密度  但是因为k空间状态密度是常数，所以 一般总是 从k空间状态密度转换得到能量空间状态密度  能量状态密度的物理意义是简并度，即某一能 级，共有多少状态 * 费米能级  T=0时，电子最高占据能级 * 总能  所有电子能量之和 U f  E D E EdE   0     F 0E N D E dE

回家作业 2.用无限深势阱代替周期性边界条件,即在边 界处有无限高势垒,试确定: 1)波矢k的取值和k空间状态密度 2)能量空间状态密度 3)零温度时的费米能级和电子气总能 4)电子出现在空间任何一点的几率 5)平均动量 6)问:由上面这些结果,无限深势阱边界条件与周 期性边界条件的解有什么不同?两种边界条件的 解的根本差别在那里?用哪个边界条件更符合实 际情况?更合理?为什么? 要求:独立完成,要求熟记得到态密度所有细节 hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 3 回家作业 2. 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边 界处有无限高势垒，试确定： 1) 波矢k的取值和k空间状态密度 2) 能量空间状态密度 3) 零温度时的费米能级和电子气总能 4) 电子出现在空间任何一点的几率 5) 平均动量 6) 问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周 期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的 解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实 际情况？更合理？为什么？ 要求：独立完成，要求熟记得到态密度所有细节

解答:波函数 驻波:尝试解(分离变量二·平面波:尝试解(三维) 后的结果。y,z类同) P, (x)=Ae +Be krx Ae 代入方程后得到 W=小 in k,xsin k, sink,·用 Born-von Karman循 °用驻波边界条件,得 环边界条件,得 2丌 =x,yn1=正整数□k L 用归一条件得 今n,i=x,yn=整数 归一条件得 A A VI VV hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 4 解答：波函数 • 驻波：尝试解(分离变量 后的结果。y,z类同) • 代入方程后得到 • 用驻波边界条件，得 • 用归一条件得 • 平面波：尝试解(三维) • 用Born-von Karman循 环边界条件，得 • 用归一条件得   ik x ik x x x x Ae Be 1   A k x k y k z x y z   sin sin sin i  i i  x y z ni  正整数 Ln k , , , ;  L V A 8 8 3     k r r   i  Ae i  ni i  x y z ni  整数 L k , , , ; 2 V A 1 

状态数 驻波解:k空间,常数,·平面波解:k空间,常 每个状态的体积为 数,每个状态的体积为 △k=丌 l/△k △k=(2 驻波条件时,n只取正整·平面波条件时,n能取整 数,所以只分布在k空间数,所以能分布在整个k 的第一象限,因此,只 空间因此,整个球壳体 有18的球壳体积 积。(注意一维) kDk 4kdk E~k2,球壳内E相等, 状态数 E~E+dE,因此状态数 2 4k dk kDk htp:∥ 回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 5 状态数 • 驻波解：k空间，常数， 每个状态的体积为 • 驻波条件时，n只取正整 数，所以只分布在k空间 的第一象限，因此，只 有1/8的球壳体积 • E~k2，球壳内E相等， E~E+dE，因此状态数 • 平面波解：k空间，常 数，每个状态的体积为 • 平面波条件时，n能取整 数，所以能分布在整个k 空间因此，整个球壳体 积。(注意一维) • 状态数 /V 3 k   k dk 2 4 8 1  k dk V dN 2 3 4 8 2 1    2  /V 3 1/ k k   k dk 2 4   k dk V dN 2 3 4 22   

状态密度,费米能级,平均能量 驻波、平面波解,对E(k)关系求导 h2 2k 1/2 2m dE dk dk dE 方 于是 3/2 (2m edE 2n2(h2 费米能级 E 3丌 2m 平均能量 N 5 hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 6 状态密度，费米能级，平均能量 • 驻波、平面波解，对E(k)关系求导 • 于是 • 费米能级 • 平均能量 dk m k dE 2 22   dE E m dk 2 1 2 1 1/ 2 2     EdE V m dN 3/ 2 2 2 2 2      0 5 3 EF NU   2/3 2 2 0 3 2 n m EF   

出现在空间任一点的几率,平均动量 驻波解 平面波解 sin k xsin k, sin k,z 几率为 几率为 8in2kxsin h,Jsin*kz sin 平均动量,z类同)·平均动量 九O = - dxdydz dr= hk ar Sin xcOS xdx 0 析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 7 出现在空间任一点的几率，平均动量 • 驻波解 • 几率为 • 平均动量(y, z类同) • 平面波解 • 几率为 • 平均动量 k x k y k z V x y z sin sin sin 8   k x k y k z V x y z 2 2 2 2 sin sin sin 8     k r r   i e V1  V 2 1   0 sin cos 2 0         L x x x x xdx L n x L n i n L dxdydz i x p        r k r p        d i  

论 驻波解 行波解 驻波解不是动量算符的 平面波解又称行波解,是 本征解。因此,尽管电 动量算符的本征解。电子 子是运动的,但其平均 有确定的动量和速度 动量为零 平面波解在空间各点出现 电子在势垒反射下,来的几率一样,空间分布是 回往复运动,波函数迭 常数 加形成驻波,空间分布·平面波解符合自由电子气 不是常数,有起伏 体性质 一循环边条件是无限体系的 数学处理,与品体周期性 无关 hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 8 讨论 驻波解 • 驻波解不是动量算符的 本征解。因此，尽管电 子是运动的，但其平均 动量为零 • 电子在势垒反射下，来 回往复运动，波函数迭 加形成驻波，空间分布 不是常数，有起伏 行波解 • 平面波解又称行波解，是 动量算符的本征解。电子 有确定的动量和速度 • 平面波解在空间各点出现 的几率一样，空间分布是 常数 • 平面波解符合自由电子气 体性质 • 循环边条件是无限体系的 数学处理，与晶体周期性 无关

晶体结构要点 晶体结构的数学描写 格子、基矢、原胞和晶胞 倒格子、基矢、布里渊区 不同的晶体结构 *常见的晶体结构 晶体结构的衍射实验 von lauer方程, Bragg反射定律 *结构因子得到消光条件 hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 9 • 晶体结构的数学描写 * 格子、基矢、原胞和晶胞 * 倒格子、基矢、布里渊区 • 不同的晶体结构 * 常见的晶体结构 * ？ • 晶体结构的衍射实验 * von Lauer方程，Bragg反射定律 * 结构因子得到消光条件 晶体结构要点

相关要点 晶面 晶向 hmp:/10.107.0.68/~ jochen回家作业分析

http://10.107.0.68/~jgche/ 回家作业分析 10 相关要点 • 晶面 • 晶向