《数学物理方法》第一章作业参考解答 1.利用复变函数导数的定义式,推导极坐标系下复变函数 f(-)=(,)+i(P,)的CR条件为 p pao dp p ap 证:由于复变函数f(z)可导,即沿任何路径,任何方式使A→>0时, f(二+△)-f(-) 的极限都存在且相等,因此,我们可以选择两条特殊路径, (1)沿径向,A=△pe→0 imf(+Ap,9)-f.9)=+△.9)+m(p+Ap.9)-(p.9)-m(p.9 △pe Ou(p, ), av(e, (2)沿半径为p的圆周,A=△(e)=p)-pe≈ie"△ if(P.g+△q)-f(p)(g+△q)+iv2q+△q)-以(pg)-iv(pg) (e9-1) l(P,q+△)+iv(p,q+△q)-l(p,q)-i(p,q) av(,)0(p q app 以上两式应相等,因而, dp p a dp p ag 2.已知一平面静电场的等势线族是双曲线族x=C,求电场线族,并求此电场的 复势(约定复势的实部为电势)。如果约定复势的虚部为电势,则复势又是什么?
《数学物理方法》第一章作业参考解答 1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数 f (z) = u(ρ,ϕ) + iv(ρ,ϕ)的 C-R 条件为 ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ v u u v 1 1 证：由于复变函数 f (z) 可导，即沿任何路径，任何方式使 ∆z → 0 时， z f z z f z ∆ ( + ∆ ) − ( ) 的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径， （1）沿径向，∆ = ∆ → 0 ϕ ρ i z e . ϕ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ i i e v i u e u iv u iv z f f − ∆ → ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ + ∆ + + ∆ − − = ∆ + ∆ − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 （2）沿半径为 ρ 的圆周， ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = ∆ = − ≈ ∆ i i +∆ i i z e e e i e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ i i i i e u i v e i u iv u iv e e u iv u iv z f f − → ∆ ∆ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∆ + ∆ + + ∆ − − = − + ∆ + + ∆ − − = ∆ + ∆ − ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 以上两式应相等，因而， ρ ρ ∂ϕ ∂ = ∂ ∂u 1 v ρ ρ ∂ϕ ∂ = − ∂ ∂v 1 u 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族 xy = C ,求电场线族，并求此电场的 复势（约定复势的实部为电势）。如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？
解: u(x, y)=xy 由C-R条件可得 =y→v(x,y)=y2+b(x) a u=b(x)=-=-x=b(x)=-x+C 电场线族为:(x,y)=-(x2-y2)+C (或者:由d(x,y)=d+=-xx+ydy=d 得 v(x,y)=-(x2-y2)+C) 复势为:w=xy+-(x2-y2)+C +iC 若虚部为电势,则 v(, y)=xy 同理由C-R条件可得 y→l(x,y) A(x) c=A(x)==x→A(x)=x2+C 复势为:w +C)+ixy= 3.讨论复变函数f(=x+0)=√xy|在二=0的可导性?(提示:选择沿ⅹ轴 Y轴和Y=aX直线讨论) 解: 考虑当函数沿y=ax趋近z=0时 f(二)=√ax x+△r lim f(二+△)-f(=) lim △x(ia+1) (ia+1) 可见上式是和a有关的,不是恒定值 所以该函数在z=0处不可导
解： ( ) 0 2 ∇ xy = ∴u(x, y) = xy 由 C-R 条件可得 x b x x C y u b x x v y v x y y b x x u y v = − ⇒ = − + ∂ ∂ = ′ = − ∂ ∂ = ⇒ = + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) v x y = − (x − y ) + C 2 1 ( , ) 电场线族为： 2 2 （或者：由 = − + = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 1 2 1 ( , ) dy xdx ydy d x y y v dx x v dv x y ，得 v x y = − (x − y ) +C 2 1 ( , ) 2 2 ） z iC i xy x y C i = − + = + − − + 2 2 2 2 ( ) 2 1 复势为：w 若虚部为电势，则 v(x, y) = xy 同理由 C-R 条件可得 x A x x C y v A x x u y u x y y A x x v y u = ⇒ = + ∂ ∂ = ′ = ∂ ∂ = − ⇒ = − + ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) u x y = (x − y ) + C 2 1 ( , ) 2 2 = x − y + C + ixy = z + C 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 复势为：w 3．讨论复变函数 f (z = x + iy) = | xy | 在 z = 0的可导性？（提示：选择沿 X 轴、 Y 轴和 Y=aX 直线讨论） 解： 考虑当函数沿 y=ax 趋近 z=0 时 2 f (z) = ax ( 1) ( 1) | | | | lim ( ) ( ) lim 0 0 + ± = ∆ + + ∆ − = ∆ + ∆ − ∆ → ∆ → ia a x ia a x x a x z f z z f z z x 可见上式是和 a 有关的，不是恒定值 所以该函数在 z=0 处不可导
4判断函数f(=)=z+2-1=z+√+1=-1)的支点,选定一个单值分支 f(-),计算f(x)?计算f(-1)的值? 解: 可能的支点为z=0,-1,①。 l/z=0点邻域,z=pe,p<<1, f(=)=pe°+ √+以m-)-p"+ +e2,不是支点 2/z=-1点邻域,z=-1+pe,p<<1 f()=-1+pe+√1+p"+1x- 1+De甲 ,一阶支点; 3/z=1点邻域,z=1+ce,p<<1, f()=1+pe+√+pe+1)+pe-1) 一阶支点; ≈1+pe+√2pe2 3/z=∞点邻域,z f()=pe+√a"+1ax"-1)spe"+p",不是支点: 因此,z=-1,二=1是f()的两个支点。 从-1→1作割线,f(=)有两个单值分支。我们选定f(=)的一个单值分支f0(=) 如下 规定在割线的上岸I:O=arg(z+1)=0,g=arg(z-1)=丌,则在割线的 上岸有,=+1=|+l=(x+1k0,-1=2-le=(-xl",因此, f()=x+(x+1(-xl=x+√1-x2e2=x+il-x2(上岸I) 当I上的点z=x绕过左端点(z=-1)回到下岸I上具有相同坐标x点时, 6=arg(z+1)=2r,p=arg(-1)=丌,即在割线的下岸Ⅱ上,有 2+1=+le2x=(x+1k2,-1=k-l"=(1-x)e",因此, f(2)=x+√x+1)2(-x2=x+1-x2e7=x-1-x2(下岸Ⅱ)
4.判断函数 ( ) 1 ( )( ) 1 1 2 f z = z + z − = z + z + z − 的支点，选定一个单值分支 ( ) 0f z ，计算 ( ) 0f x ？计算 ( ) 0f −i 的值？ 解： 可能的支点为 z = 0,−1,1,∞ 。 1/ z = 0点邻域， ϕ ρ i z = e ， ρ > 1， ( )( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ i i i i i f (z) = e + e +1 e −1 ≈ e + e ，不是支点； 因此， z = −1,z = 1是 f (z)的两个支点。 从−1→1作割线，f (z)有两个单值分支。我们选定 f (z)的一个单值分支 ( ) 0f z 如下： 规定在割线的上岸 I：θ = arg(z +1) = 0 ，ϕ = arg(z −1) = π ，则在割线的 上岸有， ( ) 0 0 1 1 1 i i z + = z + e = x + e ， iπ iπ z −1 = z −1e = (1− x)e ，因此， ( )( ) 0 2 2 2 f0 (z) x x 1 e 1 x e x 1 x e x i 1 x i i i = + + − = + − = + − π π （上岸 I） 当 I 上的点 z = x绕过左端点（ z = −1）回到下岸 II 上具有相同坐标 x 点时， θ = arg( ) z +1 = 2π ，ϕ = arg(z −1) = π ，即在割线的下岸 II 上，有 ( ) 2π 2π 1 1 1 i i z + = z + e = x + e ， iπ iπ z −1 = z −1e = (1− x)e ，因此， ( )( ) 2 2 3 2 2 f0 (z) x x 1 e 1 x e x 1 x e x i 1 x i i i = + + − = + − = − − π π π （下岸 II）
(当然,我们也可以从I上的x点绕过割线的右端点z=1回到Ⅱ上的对 应点,这时,O=argz=0,g=arg(1-)=-丌,即有, 2+1=+l=(x+1k°,2-1=|-le=(1-x)e,因此, f(2)=x+√x+1)e"(-xk=x+V1-xe"2=x--x2(下岸Ⅱ 现在来求f0(-)的值。在点z=-处,6=arg(z+1) 0=ag(=-1)=2z(从上岸绕过点=-1到z=-1),因此, 因此 f(-1)=z+V(二+1 (如果从上岸绕过点z=1到z=-,则有O=arg(+1)= arg(=-1) 因此 1 z-1=|-l=√2e,因此, f6(-)=+√+1-1)=-+VZ
（当然，我们也可以从 I 上的 x 点绕过割线的右端点 z = 1回到 II 上的对 应点，这时，θ = arg z = 0 ，ϕ = arg(1− z) = −π ，即有， ( ) 0 0 1 1 1 i i z + = z + e = x + e ， iπ iπ z z e x e − − −1 = −1 = (1− ) ，因此， ( )( ) 0 2 2 2 f0 (z) x x 1 e 1 x e x 1 x e x i 1 x i i i = + + − = + − = − − − − π π （下岸 II）。 现在来求 ( ) 0f −i 的值。在点 z = −i 处 ， 4 7 arg( 1) π θ = z + = ， 4 5 arg( 1) π ϕ = z − = （从上岸绕过点 z = −1 到 z = −i ）， 因 此 ， 4 7 4 7 1 1 2 π π i i z + = z + ⋅ e = e ， 4 5 4 5 1 1 2 π π i i z − = z − e = e ，因此， f i z ( )( ) z z i e e i e i i i i i ( ) 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 4 7 0 − = + + − = − + ⋅ = − + = − − π π π （如果从上岸绕过点 z = 1 到 z = −i ，则有 4 arg( 1) π θ = z + = − ， 4 3 arg( 1) π ϕ = z − = − ，因此， 4 4 1 1 2 π π i i z z e e − − + = + ⋅ = ， 4 3 4 3 1 1 2 π π i i z z e e − − − = − = ，因此， f i z ( )( ) z z i e e i i i i ( ) 1 1 2 2 2 4 3 4 0 − = + + − = − + ⋅ = − − − − π π )