数学物理方程的定解问题 数学物理方程:来自物理问题的多自变量函数满足的偏微分方程。是单自变量函数的常微分方程的推广。 这些自变量最常见的是:空间(三维坐标对应于三个变量x,y,z)时间t。从物理上看,数理方程大体分为三类 1.振动方程:如波动方程、 Helmholtz方程 2.输运方程:如扩散方程、热传导方程 稳态方程:如 Laplace方程、 Poisson方程 本章举例导出若干常见的数学物理方程,并对这些方程进行分类,讨论求解这些方程所需的条件。 91波动方程 先以杆杄的纵振动为例,讨论支配波动现象的一些物理规律。 Q细杆的纵振动方程 杆纵振动的物理定律 细杆沿杆长方向做微小振动,假设在垂直于杆的任意截面上各点振动状态相同,就退化一维问题。先熟悉一些概念。 ■位移:由于振动,在不振动时位于x的点,因振动偏离原平衡位置x,位于:x+u(x,D),其中u(x,t)称为位移。 (x,D:不做振动时位于x位置的质点在t时刻的位移 x+u(x, 1) x+dx+ux+dr, n) 相对伸长:考虑细杆上的一小段, 在不振动时这一小段的两端分别位于平衡位置x和x+dx,如上图红色所示, 因为振动,在t时刻两端分别位于x+l(x,n)与x+dx+x+dx,t),如上图蓝色所示 在t时刻这一小段的长度为:dl={x+dx+l(x+dx,)-[x+(x,)]=dx+l(x+dx,)-l(x,D 不振动时这一小段的长度为:dl={x+dxl-x=dx, 振动导致的伸长为:△l=dl-dl0=x+dx,1)-l(x, 振动导致的相对伸长为:△l以x+dxn)-x,nax0 因为杆的纵振动,导致原处于x的一小段杆的相对伸长为: 相对伸长 目例:设一细杆放于x轴,两端分别于:x=0和x=l 振动导致的杆在x=0端的相对伸长为:2(0,1),在x=l端的相对伸长为:2(,D)
9 数学物理方程的定解问题 数学物理方程：来自物理问题的多自变量函数满足的偏微分方程。是单自变量函数的常微分方程的推广。 这些自变量最常见的是：空间（三维坐标对应于三个变量 x, y, z）时间 t。从物理上看，数理方程大体分为三类： 1. 振动方程：如 波动方程、Helmholtz 方程 2. 输运方程：如扩散方程、热传导方程 3. 稳态方程：如 Laplace方程、Poisson方程 本章举例导出若干常见的数学物理方程，并对这些方程进行分类，讨论求解这些方程所需的条件。 9.1 波动方程 先以杆的纵振动为例，讨论支配波动现象的一些物理规律。 细杆的纵振动方程 杆纵振动的物理定律 细杆沿杆长方向做微小振动，假设在垂直于杆的任意截面上各点振动状态相同，就退化一维问题。先熟悉一些概念。 ◼ 位移：由于振动，在不振动时位于 x 的点，因振动偏离原平衡位置 x，位于：x + u(x, t)，其中 u (x, t) 称为位移。 u(x, t) ：不做振动时位于 x 位置的质点在 t 时刻的位移 。 ◼ 相对伸长：考虑细杆上的一小段， x + u(x, t) x x + x x + x + u(x+x, t) 在不振动时这一小段的两端分别位于平衡位置 x 和 x + x，如上图红色所示 ， 因为振动 ，在 t 时刻两端分别位于 x + u(x, t) 与 x + x + u(x + x, t) ，如上图蓝色所示 。 在 t 时刻这一小段的长度为 ：l = [x + x + u(x + x, t)] - [x + u(x, t) ] = x + u(x + x, t) - u(x, t) 不振动时这一小段的长度为 ：l0 = [x + x] - x = x， 振动导致的伸长为 ：Δ l = l - l0 = u(x + x, t) - u(x, t) 振动导致的相对伸长为 ： Δ l l0 = u(x + x, t) - u(x, t) x = ∂ u(x, t) ∂ x = ux(x, t) 因为杆的纵振动 ，导致原处于 x 的一小段杆的相对伸长为 ： ux (x, t) —— 相对伸长 ☺ 例：设一细杆放于 x 轴，两端分别于：x = 0 和 x = l。 振动导致的杆在 x = 0 端的相对伸长为 ：ux(0, t)，在 x = l 端的相对伸长为 ：ux(l, t)
2 z09anb ■ Hooke定律 在弹性限度内,应力(单位截面积的力)与应变(相对伸长)成正比,比例系数称为杨氏模量Y =Yux(x,t),其中:F为作用力,以拉力为正,S为截面面积 Y为杨氏模量,Y总大于0,这是由热力学稳定性条件所决定的 此式意义类似于牛顿第二定律:若已知某处的相对伸长为:a2(x,D),则杆在该处必受到YS2(x,D)的拉力 反之,若已知细杆在某处受到的拉力为:F,则在该处细杆必有:F的相对伸长D 目例1:细杆置于x轴,x=/为自由端,试写出在x=端位移u(x,D)l=应满足的条件 解:x=1为自由端,不受力,F=0,从而a(D=F=0. 例2:细杆置于x轴,x=固定,x=0端与一弹簧相连,如图 当不振动时弹簧处于平衡长度,求振动时杆两端位移u(x,n)所应满足的条件(边界条件)。 因为x=端固定,故在杆右端有:(,1)=0 在x=0端,当杆位移u(0,0时,弹簧被拉长(0,t), 弹簧对杆的左端有拉力kun(0,D) (注意这时向左才是拉力,沿负x轴方向是拉力,沿负x轴方向取为正。) 根据 Hooke定律:拉力=YS×相对伸长=knO,D)=YSa(0,1), 故在杆左端位移满足:a2(0,)-=a(0,t)=0 目例3:细杆置于x轴,x=0固定,x=l端与一弹簧相连,如图, 当不振动时弹簧处于平衡长度,求振动时杆两端位移l(x,)所应满足的条件 因为x=0端固定,故在杆左端有:a(0,)=0。 在x=l端,当杆位移u(l,D时,弹簧被压缩,D),弹簧对杆的左端有压力k(,D), 也就是说,弹簧对杆右端有拉力:-ku(l,t (注意这时向右才是拉力,沿正x轴方向是拉力,沿负正x轴方向取为正。) 根据 Hooke定律:拉力=YSx相对伸长 ku(l, n=YSu(l, t) 故在杆右端有:u3(,1)+—(,1)=0(注意与上一题x=0端的条件差一个负号) 目例4:细杆垂直放置,x=0端固定,x=l端与一质量为M的重物相连,如图 忽略细杆的重量,求杆两端位移u(x,)各自所应满足的关系
◼ Hooke 定律 在弹性限度内 ，应力 （单位截面积的力 ） 与应变 （相对伸长 ） 成正比，比例系数称为杨氏模量 Y F S = Y ux(x, t)， 其中：F 为作用力 ，以拉力为正 ，S 为截面面积 ， Y 为杨氏模量 ，Y 总大于 0，这是由热力学稳定性条件所决定的 。 此式意义类似于牛顿第二定律 ：若已知某处的相对伸长为 ：ux(x, t)，则杆在该处必受到 Y S ux(x, t) 的拉力。 反之，若已知细杆在某处受到的拉力为 ：F，则在该处细杆必有 ： F Y S 的相对伸长 ux(x, t)。 ☺ 例 1：细杆置于 x 轴， x = l 为自由端，试写出在 x = l 端位移 u(x, t)x=l 应满足的条件。 解： x = l 为自由端 ，不受力，F = 0，从而 ux(l, t) = F Y S = 0。 ☺ 例 2：细杆置于 x 轴， x = l 固定， x = 0 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 （边界条件 ）。 解： 0 x l 因为 x = l 端固定，故在杆右端有 ：u(l, t) = 0。 在 x = 0 端，当杆位移 u(0, t) 时，弹簧被拉长 u(0, t)， 弹簧对杆的左端有 拉力 k u(0, t)， （注意这时向左才是拉力 ，沿负 x 轴方向是拉力 ，沿负 x 轴方向取为正 。） 根据Hooke定律 ：拉力 = Y S ×相对伸长 ⟹ k u(0, t) = Y S ux(0, t)， 故在杆左端位移满足 ：ux(0, t) - k Y S u(0, t) = 0 ☺ 例 3：细杆置于 x 轴， x = 0 固定， x = l 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 。 解： 0 x l 因为 x = 0 端固定，故在杆左端有 ：u(0, t) = 0。 在 x = l 端，当杆位移 u(l, t) 时，弹簧被压缩 u(l, t)，弹簧对杆的左端有 压力 k u(l, t)， 也就是说，弹簧对杆右端有 拉力： -k u(l, t) （注意这时向右才是拉力 ，沿正 x 轴方向是拉力 ，沿负正 x 轴方向取为正 。） 根据Hooke定律 ：拉力 = Y S ×相对伸长 ⟹ -k u(l, t) = Y S ux(l, t)， 故在杆右端有 ：ux(l, t) + k Y S u(l, t) = 0 （注意与上一题 x = 0 端的条件差一个负号 ） ☺ 例 4：细杆垂直放置， x = 0 端固定， x = l 端与一质量为 M 的重物相连，如图， 忽略细杆的重量 ，求杆两端位移 u(x, t) 各自所应满足的关系 。 2 z09a.nb
z09anb 3 杆上端x=0处,位移(0,1)=0 杆下端x=l处的位移为:a(,D), 杆与重物相连,故重物的加速度a=u(,0 重物所受到的力:重力Mg,杆对重物向上的拉力T, 故:Mg-T=Ma=Mun(x,n) 杆对重物向上的拉力为:T=Mg-Mun(,1), 反过来,重物对杆下端的向下拉力也为T 即,杆的下端受到的拉力(沿正x方向)为T=Mg-Ml(,1 据 Hooke定律,T=YSu(,D 杆下端的位移满足:Mg-Mun(l,D)=YSa(x,) 杆的纵振动方程 均匀细杆的微小纵振动,微小振动,杆的截面积视为常数S。 考虑从x到x+dx的一小段杆,如图 这一小段杆的质量:dm=pSdx,加速度:m(x,1),力F=? 在右端x+dx,杆的相对伸长为:a2(x+dx,D):在左端x,杆的相对伸长为:a(x,1 据 Hooke定律,这一小段杆的右端必受到YS(x+dx,n)的拉力,注意右端拉力是向右,沿+x方向 左端必受到YSa(x,1)的拉力,左端拉力沿-x方向。 这一小段所受的合力:F=YSu1(x+dx,)-YSu(r,t)=(dm)un(x,D=pSun(x,D)dx 上式两边除以dx即得:H(x+4-a(x,n =pSun(x,,令a=Y/p 从而一均匀细杆的纵振动方程为:Yua(x,0=pax,0→|m(,0-a2(,0=0 若这一小段杆的加速度取为:un(x+dx,1),导出的纵振动方程相同吗? Q弦的横振动方程 条完全柔软的均匀细弦,沿水平方向拉紧,求其沿垂直方向的微小振动。 (a)绷紧的柔软细弦,张力沿弦的切向 几个假设:{()振动微小,弦与水平x轴的夹角很小 (c)弦单位长度所受的外力垂直于x方向 (d弦很轻,略去重力,重力远小于拉力 考虑从x到x+dx的一小段弦,如图 显然不振动时整段弦在x轴,振动时位移u(x,1)给出t时刻弦所在的曲线 根据导数的几何意义:a(r,1)为弦在x处的切向与x轴的夹角的正切:tga1=l1(x,D 由于柔软弦绷紧,仅受拉力,故这一小段弦两端受力方向如上图所示 沿垂直方向振动 此有:{20s2-n1o801=0 T2 sina- Ti sin al +f(r)dx=(dm)u (x, n) 其中∫为弦单位长度所受的外力 由假设b),cosa2≈ cos ar1≈1,sina2≈tga2=a(x+dx,D,sina1≈tgan=a(x,D) 因而上两个方程退化为:{Tx+dx,0-n4x,0+f(x)dx=dx)mn(x,0),为弦的线密度 令a=√Y/A,有:ut(,0-a2ma(x,0=f(x),若弦不受外力,则 ln(x, 1-a ux (x, 0= 杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地,在三维空间中,方程为以下形式
解： x Mg 0 l 杆上端 x = 0 处，位移 u(0, t) = 0 杆下端 x = l 处的位移为 ：u(l, t)， 杆与重物相连 ，故重物的加速度 a = utt(l, t) 重物所受到的力 ：重力 M g，杆对重物向上的拉力 T， 故：M g - T = M a = M utt(x, t) 杆对重物向上的拉力为 ：T = M g - M utt(l, t)， 反过来，重物对杆下端的向下拉力也为 T 即，杆的下端受到的 拉力 （沿正 x 方向） 为 T = M g - M utt(l, t) 据Hooke定律 ，T = Y S ux(l, t) ⟹ 杆下端的位移满足 ：M g - M utt(l, t) = Y S ux (x, t) 杆的纵振动方程 均匀细杆的微小纵振动，微小振动，杆的截面积视为常数 S。 考虑从 x 到 x + x 的一小段杆 ，如图 x x + x 这一小段杆的质量 ：m = ρ S x, 加速度：utt (x, t), 力 F =？ 在右端 x + x, 杆的相对伸长为 ：ux(x + x, t)；在左端 x, 杆的相对伸长为 ：ux(x, t) 据 Hooke 定律，这一小段杆的右端必受到 Y S ux(x + x, t) 的拉力，注意右端拉力是向右 ，沿 + x 方向 左端必受到 Y S ux(x, t) 的拉力，左端拉力沿 - x 方向。 这一小段所受的合力 ：F = Y S ux(x + x, t) - Y S ux(x, t) = (m) utt(x, t) = ρ S utt(x, t) x 上式两边除以 x 即得：Y S [ux (x + x, t) - ux(x, t)] x = ρ S utt(x, t), 令 a = Y/ρ 从而一均匀细杆的纵振动方程为 ：Y uxx(x, t) = ρ utt(x, t) ⟹ utt (x, t) - a2 uxx (x, t) = 0 若这一小段杆的加速度取为：utt(x + x, t)，导出的纵振动方程相同吗？ 弦的横振动方程 一条完全柔软的均匀细弦，沿水平方向拉紧，求其沿垂直方向的微小振动。 几个假设 ： (a) 绷紧的柔软细弦 ，张力沿弦的切向 (b) 振动微小 ，弦与水平 x 轴的夹角很小 (c) 弦单位长度所受的外力垂直于 x 方向 (d) 弦很轻，略去重力 ，重力远小于拉力 考虑从 x 到 x + x 的一小段弦 ，如图 T1 x + x x T2 x f 显然不振动时整段弦在 x 轴，振动时位移 u(x, t) 给出 t 时刻弦所在的曲线 根据导数的几何意义 ： ux(x, t) 为弦在 x 处的切向与 x 轴的夹角的正切 ：tg α1 = ux(x, t) 由于柔软弦绷紧 ，仅受拉力，故这一小段弦两端受力方向如上图所示 弦沿垂直方向振动 ，因此有： T2 cos α2 - T1 cos α1 = 0 T2 sin α2 - T1 sin α1 + f (x) x = (m) utt(x, t) 其中 f 为弦单位长度所受的外力 。 由假设 (b)，cos α2 ≈ cos α1 ≈ 1, sin α2 ≈ tg α2 = ux(x + x, t), sin α1 ≈ tg α1 = ux(x, t) 因而上两个方程退化为 ： T2 = T1 = T T [ux(x + x, t) - ux(x, t)] + f (x) x = (λ x) utt(x, t) , λ 为弦的线密度 令 a = Y/λ ，有： utt(x, t) - a2 uxx(x, t) = f (x)，若弦不受外力 ，则： utt (x, t) - a2 uxx (x, t) = 0 杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地，在三维空间中，方程为以下形式 z09a.nb 3
z09a. nb a2 vou=0 上式称为波动方程,其中V2称为 Laplace算符,v2=y 小+02+91是Lc算符在直角坐标系下的形式 Q例题 例5:弹性细杆垂直放置,x=0端固定,x=/端与一质量为M的重物相连,如图 已知杆振动时受到的空气阻力与其速度成正比,求杆的振动方程 0杆上端x=0,杆下端x=l。 考虑从x到x+dx的一小段,这一小段杆所受到的外力包括 重力: sagd:空气阻力:-yu(x,D)dx 下端的拉力:YSax(x+dx,1):上端的拉力:YSx(x,D 振动方程: sagd-yu(x,D)dx+YSu(x+dx,D)-l2(x,D)]=Aan(xr,D)dx 整理得:un(x,t)+Buf(x,D)-a2u(x,D=g 目例6:细绳一端固定在以角速度转动的竖直轴上,因惯性离心力的作用,细绳的平衡位置是水平线。 若某时刻细绳上的点有竖直方向的微小偏移,求细绳相对于水平方向的横振动方程。 解:设绳子固定端为x=0,另一端为x=l,并设细绳的线质量密度为A 考虑从x到x+dx的一小段绳,如图 水平方向有:T(x)cosa1-Tx+dx)cosa2= adx o2x向心力与向心加速度 dr x .2u2x2. dx 在x=端,自由端不受力7==0=T=-u2(P-x) 竖直方向有:T(x+dx)sina2-T(x)sina1=dxu(x,D,利用sina1=tga1=l(x,D,sina2=tga2=l2(x+dx,) A[T(x)u(r, n) 1 得振动方程:ul(x,1)=-(7(x+dx)a(x+dx,1)-T(x)an(x,D) llr(x, 即 )=-c2 目例7:一长为l的匀质柔软重绳,上端固定于一竖直轴上,绳子与轴以角速度ω旋转 求重绳在重力作用下相对于竖直轴的横振动方程。(略去 Coriolis力:-2m动x讠。) 解:设绳子固定端(上端)为x=0,下端为x=l 在竖直方向:T(x+dx)cosa2-T(x)cosa1=Adxg dT==T=Agx+c,在x=/端,自由端不受力 =0=T=Ag(-x) 水平方向有:T(x+dx)sina-(x) sIn al+ax,D w-= adx u(x, o 振动方程:un(x,D)=g a[(-x)u,(x, n) +ux, Da
∂2 u ∂ t 2 - a2 ∇2 u = 0 ∇2 ≡ ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 (1.1) 上式称为波动方程，其中 ∇2 称为Laplace算符，∇2 ≡ ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 是Laplace算符在直角坐标系下的形式。 例题 ☺ 例 5：弹性细杆垂直放置， x = 0 端固定， x = l 端与一质量为 M 的重物相连，如图， 已知杆振动时受到的空气阻力与其速度成正比 ，求杆的振动方程 。 解： x Mg 0 l 杆上端 x = 0，杆下端 x = l。 考虑从 x 到 x + x 的一小段，这一小段杆所受到的外力包括 ： 重力：S λ g x ；空气阻力：-γ ut(x, t) x； 下端的拉力 ：Y S ux(x + x, t)；上端的拉力 ：Y S ux (x, t)； 振动方程 ：S λ g x - γ ut(x, t) x + Y S [ux(x + x, t) - ux(x, t)] = λ utt(x, t) x 整理得：utt(x, t) + β ut(x, t) - a2 uxx(x, t) = g ☺ 例 6：细绳一端固定在以角速度 ω 转动的竖直轴上，因惯性离心力的作用，细绳的平衡位置是水平线。 若某时刻细绳上的点有竖直方向的微小偏移 ，求细绳相对于水平方向的横振动方程 。 解：设绳子固定端为 x = 0，另一端为 x = l，并设细绳的线质量密度为 λ 考虑从 x 到 x + x 的一小段绳 ，如图 T1 x + x x T2 x 水平方向有 ：T(x) cos α1 - T(x + x) cos α2 = λ x m ω2 x 向心力与向心加速度 。 T x = -λ ω2 x ⟹ T = - 1 2 λ ω2 x2 + c， 在 x = l 端，自由端不受力 T x=l = 0 ⟹ T = 1 2 λ ω2l 2 - x2 竖直方向有 ：T(x + x)sin α2 - T(x)sin α1 = λ x m utt(x, t) ，利用 sin α1 = tg α1 = ux(x, t), sin α2 = tg α2 = ux(x + x, t) 得振动方程 ： utt(x, t) = 1 λ x ( T(x + x) ux(x + x, t) - T(x) ux(x, t)) = [T(x) ux(x, t)] λ x = 1 2 ω2 ∂ l 2 - x2 ux (x, t) ∂ x 即：utt(x, t) = 1 2 ω2 ∂ l 2 - x2 ux (x, t) ∂ x ☺ 例 7：一长为 l 的匀质柔软重绳，上端固定于一竖直轴上，绳子与轴以角速度 ω 旋转。 求重绳在重力作用下相对于竖直轴的横振动方程 。（略去Coriolis力：-2 m ω v 。） 解：设绳子固定端 （上端） 为 x = 0，下端为 x = l 在竖直方向 ：T(x + x) cos α2 - T(x) cos α1 = λ x m g T x = -λ g ⟹ T = λ g x + c，在 x = l 端，自由端不受力 T x=l = 0 ⟹ T = λ g (l - x) 水平方向有 ：T(x + x)sin α2 - T(x)sin α1 + u(x, t) λ x ω2 非惯性系中的离心力 = λ x m utt(x, t) 振动方程：utt(x, t) = g ∂ [(l - x) ux(x, t)] ∂ x + u(x, t) ω2 4 z09a.nb
z09anb5 为何在x=l的自由端,T=0 考虑从l-dx到l的一小段,这一小段在x=l端,自由端没有受到任何力,设在l-dx端,这一小段受力为T 那么:T=Agdx,dx→0,故:T=0,即在自由端:T=0 92输运方程 本节以热传导为例,导出热传导方程,其形式全同于粒子扩散的输运方程。 Q热传导的若干基本物理定律 1.傅里叶定律 在各向同性介质中,热流密度矢量φ与温度梯度成正比 亨=-kVu,其中:ldx,y,,D)为温度,k>0称为热导率或热传导系数 注意方程中的负号,表明热量总是从高温区流向低温区(热力学第二定律),故k>0 热流密度矢量亨的物理意义:(类似于电流密度矢量:方 矿ido:单位时间穿过法向沿的小面积元do的热量 ida:单位时间穿过法向曲面S的热量 Q=d分do:若取闭合曲面的外法向,则Q为单位时间流出闭合曲面S的热量, 类似地:为单位时间流入闭合曲面S的热量 寸=-kVu与牛顿第二定律了=m类似 有什么样的热流密度矢量必在介质内建立对应的温度梯度 有什么样的温度梯也表示介质内有对应的热流密度矢量。 物理上更严格一些,这里所说的“流出(流入)的热量”指的是:以热的方式转移(传递)的能量 2.牛顿冷却定律 单位时间从物体表面单位面积流到周围介质的热量与物体表面与外界的温差成正比。 交=K[(x,y,x, 其中:ax,y,=,l2为物体表面温度,K>0称为热交换系数,i为外法向 显然,当物体表面温度高于外界温度时,热量是流出的,故K>0 牛顿冷却定律常用于确定边界条件 热传导方程 考虑一闭合曲面S围成的区域,该区域V内有某些区域单位时间单位体积内可释放出∫的热量(如:燃烧、热核反应)。 该区域的物质具有比热容c(单位质量物质升高单位温度所需的热量),物质质量密度为p。 对该区域,有以下方程:(x,y,z,D表示温度,山是温度的时间变化率(单位时间的温度增加 ∮d+d= 上式左边的第一项为单位时间流入区域V内的热量,第二项为单位时间区域内产生的热量
为何在 x = l 的自由端，T = 0 考虑从 l - x 到 l 的一小段 ，这一小段在 x = l 端，自由端没有受到任何力 ，设在 l - x 端，这一小段受力为 T 那么：T = λ g x，x 0，故：T = 0，即在自由端 ：T = 0。 9.2 输运方程 本节以热传导为例，导出热传导方程，其形式全同于粒子扩散的输运方程。 热传导的若干基本物理定律 1. 傅里叶定律 在各向同性介质中 ，热流密度矢量 q 与温度梯度成正比 q = -k ∇u, 其中：u(x, y, z, t) 为温度，k > 0 称为热导率或热传导系数 注意方程中的 负号，表明热量总是从高温区流向低温区 （热力学第二定律 ），故 k > 0。 热流密度矢量 q 的物理意义 ：（类似于电流密度矢量 ： j ） q ·n σ：单位时间穿过法向沿 n 的小面积元 σ的热量。 n σ S q·n σ：单位时间穿过法向曲面 S 的热量。 Q = S q·n σ：若 n 取闭合曲面的 外法向，则 Q 为单位时间 流出闭合曲面 S 的热量， 类似地：-S q·n σ 为单位时间 流入闭合曲面 S 的热量 q = -k ∇u 与 牛顿第二定律 f = m a 类似： 有什么样的 热流密度矢量 必在介质内建立对应的温度梯度 ， 有什么样的温度梯也表示介质内有对应的热流密度矢量 。 物理上更严格一些，这里所说的“流出（流入）的热量”指的是：以热的方式转移（传递）的能量。 2. 牛顿冷却定律 单位时间从 物体表面 单位面积流到周围介质的热量与物体表面与外界的温差成正比 。 Q = K [ u(x, y, z, t) Σ - u0 n, 其中：u(x, y, z, t) Σ 为物体表面温度 ，K > 0 称为热交换系数 ，n 为外法向 。 显然，当物体表面温度高于外界温度时 ，热量是流出的 ，故 K > 0。 牛顿冷却定律常用于确定边界条件 热传导方程 考虑一闭合曲面 S 围成的区域，该区域 V 内有某些区域单位时间单位体积内可释放出 f 的热量（如：燃烧、热核反应）。 该区域的物质具有比热容 c（单位质量物质升高单位温度所需的热量），物质质量密度为 ρ。 对该区域，有以下方程：u(x, y, z, t) 表示温度， ut 是温度的时间变化率（单位时间的温度增加） -S q·n σ +V f τ = V (ρ τ) m c ut 上式左边的第一项为单位时间流入区域 V 内的热量，第二项为单位时间区域 V 内产生的热量， z09a.nb 5
上式右边为单位时间区域V内的物质因温度升高所吸收的热量 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温 利用高斯定理,可将面积分化为体积分,因而上式可化为 V·dr+fdr=|vpdr)cr 傅里叶定律:q=-kV=V·=-V,(kVu,故有 v.vndr+|fdr= L (edr)cur此式对任意体积均成立 pcl=V(kVa)+f对均匀体系: Vou= 若体系内无热源且热导率为常数(体系均匀区),则有:x-a2v2=0热传导方程 更一股地,若介质各向异性,则傅里叶定律改写为:=XB業为3×3矩阵。热传导方程为 (1.2) 类似地,由物质浓度不均匀而产生的扩散,分子浓度x,y,z,D满足与热传导方程相似的方程 au_dv-u 其中D为扩散系数,f(x,y,z,1)为单位时间在单位体积内分子的产生率 Q例题 目例1:阳光照射到半径为a表面完全吸收的球,设阳光的热流密度矢量为q, 外界温度=0,写出球表面温度应满足的条件(边界条件)。 解:取如图所示坐标系,热流密度矢量:4=-q2 e 同时,球还与外界按牛顿冷却律交换热量,产生的热流为:Q=K(-4)2 在球表面总的热流密度矢量:在= 矿+交=-q+K(u-l)0≤6≤丌/2 丌/2≤6≤丌 球表面的热流密度矢量在必在球表面建立Vu的温度梯度 这一点类似于牛顿第二定律,受到外力了必然使物体有a的加速度:了=ma 对应的傅里叶定律表明:=-kVu,其中k为热导率 两边同点乘p并利用Vu= 其中u(r,θ,)为球内温度,aa,θ,)为球表面温 为何要点乘b:因为要得到u(r,B,d)在球面的法向导数 目例2:半径a密度ρ比热c热传导系数为k的匀质圆杆,设同一横截面的温度相同,杆侧面与温度为4的外接热 热交换系数为K,求杆温度M满足的方程
上式右边为单位时间区域 V 内的物质因温度升高所吸收的热量。 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温。 利用高斯定理，可将面积分化为体积分，因而上式可化为 -V ∇ ·q τ +V f τ = V (ρ τ) c ut 傅里叶定律： q = -k ∇u ⟹ ∇·q = -∇·(k ∇u)，故有： V ∇ ·(k ∇u) τ + V f τ = V (ρ τ) c ut 此式对任意体积均成立 ρ c ut = ∇ ·(k ∇u) + f 对均匀体系 ： ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c 若体系内无热源且热导率为常数（体系均匀区），则有： ut - a2 ∇2 u = 0 热传导方程 更一般地，若介质各向异性，则傅里叶定律改写为： q = - k ·∇u, k 为 33 矩阵。 热传导方程为 ρ c ∂ u ∂ t - ∇ ·k ·∇u = f (1.2) 类似地，由物质浓度不均匀而产生的扩散，分子浓度 u(x, y, z, t) 满足与热传导方程相似的方程。 ∂ u ∂ t - D ∇2 u = f (1.3) 其中 D 为扩散系数，f (x, y, z, t) 为单位时间在单位体积内分子的产生率。 例题 ☺ 例 1：阳光照射到半径为 a 表面完全吸收的球，设阳光的热流密度矢量为 q， 外界温度 u0 = 0，写出球表面温度应满足的条件 （边界条件 ）。 解：取如图所示坐标系 ，热流密度矢量 ： q = -q e z θ q z 同时，球还与外界按牛顿冷却律交换热量 ，产生的热流为 ：Q = K (u -u0) e r 在球表面 总的热流密度矢量 ：qt = q + Q = -q e z + K (u -u0) e r 0 ≤ θ ≤ π/2 Q = K (u -u0) e r π/2 ≤ θ ≤ π 球表面的热流密度矢量 qt 必在球表面建立 ∇u 的温度梯度 , 这一点类似于牛顿第二定律 ，受到外力 f 必然使物体有 a 的加速度 ： f = m a 对应的傅里叶定律表明 ：qt = -k ∇u， 其中 k 为热导率 两边同点乘 e r 并利用 e r ·∇u = ∂ u ∂ r = ur 得： -q cos θ + K u(a, θ, ϕ) = -k ur(a, θ, ϕ) 0 ≤ θ ≤ π/2 u = -k ur(a, θ, ϕ) π/2 ≤ θ ≤ π , 其中 u(r, θ, ϕ) 为球内温度 ，u(a, θ, ϕ) 为球表面温度 ，u0 = 0 ▲ 为何要点乘 e r：因为要得到 u(r, θ, ϕ) 在球面的法向导数。 ☺ 例 2：半径 a 密度 ρ 比热 c 热传导系数为 k 的匀质圆杆，设同一横截面的温度相同，杆侧面与温度为 u0 的外接热 交换。 热交换系数为 K，求杆温度 u 满足的方程 。 6 z09a.nb
z09a.nba 解:同一截面的温度相同,退化为一维问题:u(x,D)。考虑x到x+dx的一小段 左端有温度梯度:Vu=(x,)e2,必对应于-kⅴu的热流密度矢量,故左端必有热量ra2(-kVu)-x流入 右端有温度梯度:Vn=x+dx,t因此右端必有热量xa2(-kvl)(-tx)流入,注意右端流入应点乘(- 同时,侧面还与外界热交换:单位面积热流=K(-),从侧面流出的热量为:k(a-l0)2radx 从而:ra2(-kV)(-儿a+xa2(-kVn)-k(u-0)2xadx=(pra2dx)cu(x,D (a-0),其中利用了:(a)tx=lx(方向导数) 目例3:试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程 解:本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出。现直接推导 同一球层的温度相同,温度可表为:u(r,n),与极角θ和方位角d无关。考虑r到r+dr的一小薄球壳 由内表面流入球壳的热量为:丌,有=-kVB,流入的热量为:-4x2k叫=-4xkB,0 外表面流入球壳的热量:x(+)2小(-2),q=-kN流入的热量为:4x(+su= dr lr+dr 4Trkur(r+dr, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量:4 Tr-drpcun 从而:4x(r+dr)2k =4丌r2 drpc 简化:1 令U(r,0=ru(r,n),方程可化为:U1-a2U=0,a2 θ例4:细杄两端与外界(温度为)有热交换,求细杆两端的温度所满足的条件 解:x=0端:由牛顿冷却定律:2=K(x-1)(-2),注意在x=0的外法线方向是(-2) 据傅里叶定律:乙=-kV两边同点A,k(0.0=10.0-m1,即:a(0.0-a0.=-m0 x=l端:d=K(u-10),类似可求得:kl(,1)=-k1(,)-l01,即:at(,+-u(,= 特别注意,x=0与x=l两端相差一个负号。 93稳定问题 在一定条件下,温度达到稳定,则温度分布满足 Poisson方程 f 若体系内无热源,则退化为 Laplace方程 V2u=0 均匀介质中的静电势φ(x,y,z),也满足 Poisson方程 v2y=-,其中p为电荷密度,为介质的静电介电常数 若无电荷分布的空间,静电势也满足 Laplace方程 若波动方程
解：同一截面的温度相同 ，退化为一维问题 ：u(x, t)。考虑 x 到 x + x 的一小段 。 左端有温度梯度 ：∇u = ux(x, t) e x，必对应于 - k ∇u 的热流密度矢量 ，故左端必有热量 π a2 (-k ∇u)· e x 流入 右端有温度梯度 ：∇u = ux(x + x, t) e x，因此右端必有热量 π a2 (-k ∇u)·-e x 流入，注意右端 流入应点乘 -e x。 同时，侧面还与外界热交换 ：单位面积热流 Q = K (u - u0) e r, 从侧面流出的热量为 ：K (u - u0) 2 π a x 从而：π a2 (-k ∇u)·-e x x+x + π a2 (-k ∇u)· e x x - K(u - u0) 2 π a x = ρ π a2 x c ut(x, t) 整理：ut = k ρ c uxx - 2 K a ρ c (u - u0)， 其中利用了 ：(∇u)· e x = ux （方向导数 ） ☺ 例 3：试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程。 解：本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出 。现直接推导 。 同一球层的温度相同 ，温度可表为 ：u(r, t)，与极角 θ 和方位角 ϕ 无关。考虑 r 到 r + r 的一小薄球壳 。 由内表面流入球壳的热量为 ：π r2 q· e r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：-4 π r2 k ∂ u ∂ r r = -4 π r2 k ur (r, t) 外表面流入球壳的热量 ：π (r + r)2 q·-e r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：4 π (r + r) 2 k ∂ u ∂ r r+r = 4 π r2 k ur (r + r, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量 ：4 π r2 r ρ c ut 从而：4 π (r + r)2 k ∂ u ∂ r r+r -4 π r2 k ∂ u ∂ r r = 4 π r2 r ρ c ut 简化：ut = k r2 ρ c ∂ r2 ur(r, t) ∂ r , 令 U(r, t) = r u(r, t), 方程可化为 ：Ut - a2 Urr = 0，a2 = k ρ c ☺ 例 4：细杆两端与外界（温度为 u0）有热交换，求细杆两端的温度所满足的条件。 解：x = 0 端：由牛顿冷却定律 ：Q = K (u -u0) -e x，注意在 x = 0 的外法线方向是 -e x 据傅里叶定律 ：Q = -k ∇u 两边同点乘e x k ux(0, t) = K[u(0, t) - u0], 即：ux(0, t) - K k u(0, t) = - K k u0 x = l 端：Q = K (u -u0) e x, 类似可求得 ：k ux(l, t) = -K[u(l, t) - u0], 即：ux(l, t) + K k u(l, t) = K k u0 特别注意 ，x = 0 与 x = l 两端相差一个负号 。 9.3 稳定问题 在一定条件下，温度达到稳定，则温度分布满足Poisson方程 ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c ⟹ ∇2 u = - f k 若体系内无热源，则退化为Laplace方程 ∇2 u = 0 均匀介质中的静电势 φ(x, y, z)，也满足Poisson方程 ∇2 φ = -ρ ε ， 其中 ρ 为电荷密度 ，ε 为介质的静电介电常数 。 若无电荷分布的空间，静电势也满足Laplace方程。 若波动方程 z09a.nb 7
a2 u avon=o dr 中,(x,y,,D随时间周期变化(称为时谐场),则可用复数表示物理场:x,y=,=Re(r,y,)c-4 代入波动方程,可得vx,y,)满足的方程: v2v(x,y,z)+k2(x,y,z)=0此方程称为 Helmhol方程。k=u/a为波数 94二阶线性常系数偏微分方程的分类 上几节导出了物理中常见的几种方程: 波动方程:n-a2@2 扩散方程:n-a21n=0 ar ax2 ■稳定问题:n+2n=0(为讨论简单起见,以二维静电势为例。) 这三种方程似有相似,又有不同。可以证明,这三种方程代表了所有二阶线性偏微分方程的行为。 本节以这三种方程为例,讨论偏微分方程的一些基本性质 Q常数系数二元二阶偏微分方程的分类 考虑如下形式的偏微分方程 →8+B=+C=,=0,其中A,B,C为常数 (1.4) 即使看起来如此简单的方程,在一般情况下也不是很容易直接求解 种尝试:若能做以下变量(“坐标”)变换 ∫=ax+Bt 将偏微分方程化为如下形式 asan 那求解就相当容易,因为该方程的解为 =F()+G(),其中:F,G可以为任意函数 能否做这种变化?如何通过“坐标”变换? 尝试选取参数:a,β,y,δ使得方程(l4)化为方程(1.5)形式。利用 a as a an B—等复合函数求导法则 ax dx as dx an as an 即可将方程(14)化为
∂2 u ∂ t 2 - a2 ∇2 u = 0 中，u(x, y, z, t) 随时间周期变化（称为时谐场），则可用复数表示物理场：u(x, y, z, t) = Rev(x, y, z) - ω t 代入波动方程，可得 v(x, y, z) 满足的方程： ∇2 v(x, y, z) + k2 v(x, y, z) = 0 此方程称为 Helmholtz方程。k = ω/a 为波数。 9.4 二阶线性常系数偏微分方程的分类 上几节导出了物理中常见的几种方程： ◼ 波动方程： ∂2 u ∂ t 2 - a2 ∂2 u ∂ x2 = 0 ◼ 扩散方程： ∂ u ∂ t - a2 ∂2 u ∂ x2 = 0 ◼ 稳定问题： ∂2 u ∂ x2 + ∂2 u ∂ y2 = 0 （为讨论简单起见，以二维静电势为例。） 这三种方程似有相似，又有不同。可以证明，这三种方程代表了所有二阶线性偏微分方程的行为。 本节以这三种方程为例，讨论偏微分方程的一些基本性质。 常数系数二元二阶偏微分方程的分类 考虑如下形式的偏微分方程 A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0， 其中 A, B, C 为常数。 (1.4) 即使看起来如此简单的方程，在一般情况下也不是很容易直接求解。 一种尝试：若能做以下变量（“坐标”）变换 ξ = α x + β t η = γ x + δ t 将偏微分方程化为如下形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0， (1.5) 那求解就相当容易, 因为该方程的解为： φ = F(ξ) + G(η), 其中：F, G 可以为任意函数 。 能否做这种变化？如何通过“坐标”变换？ 尝试选取参数：α, β, γ, δ 使得方程 (1.4) 化为方程 (1.5) 形式。利用 ∂ ∂ x = ∂ ξ ∂ x ∂ ∂ ξ + ∂ η ∂ x ∂ ∂ η = α ∂ ∂ ξ +β ∂ ∂ η 等复合函数求导法则 即可将方程 (1.4) 化为 8 z09a.nb
z09a. nb 9 eq1=AD[φ[x,t],[t,2}]+BD[D[φ[x,t],x],t]+cD[φ[x,t],x,2}] eq1 / TraditionalForm im1=【5→ax+Bt,n+首x+6t} sim={q[x,t]→中[§,n], φo;2)【x,t]→D[φ[5,n/.sim1,t,2]] q(1;1)【x,t]→D[D[φ[E,n]/.sim1,t],x] so1=Sove[{5=ax+Bt,η=丫x+bt},{x,t}] eq2 eq1 / sim/. sol[[1]] Simplify [eq2]// TraditionalForm A (0,2)(x, n)+B(l, (x, t)+cy2,o)(x, n) 6020(6,m(4P+aBB+a2d)+du6,m)2AB6+aB6+By+2acy)+602),m)(6(46+By)+cy2) (B+ BaB+ca)y +[2AB8+B(a8+By)+acYl a2+By6+Cy)2=0 为了化为方程(15)形式:B29-=0,必须 AB2+BaB+Ca2=0, A82+By8+Cy=0 四个参数,两个方程? 实际上,我们没有必要求出四个参量:a,B,y,,只需求出比值m1=B/a与n2=6/y,这两个比值满足方程 -B±yB2-4AC An+Bn+C=0方程相同 A+B5+C=0 2==-B±VB2-4AC 因为原方程(14)中的u是二变量函数,经变换,{=ax+B→{5=x+1 ln=x+n 也应该是两(独立)变量的函数,因此,n与n2应取不同的值 为此,有三种情况 1.B2-4AC>0,这时有两个实根,可取 E=2Ax+-B+√B2-4AC /2-4AC 得方程(1.4):4甲+B+CQ ar atax ax2 化为方程(1.5)形式 0。这时称双曲型方程 n 因为此时再令u=E+n,v=E-,(1.5)形式可在化为 =0形如双曲线,这种形式也称为双曲型方程的标准形式 asan au2 a12 波动方程就如这种形式。—波动方程是双曲型微分方程 2.B2-4AC=0,仅有一个实根n1=n2=-B/(2A),可取: E=2Ax-Bt,n=t(相当于取功2=0,没有两根以0替代)
eq1 = A D[φ[x, t], {t, 2}] + B D[ D[φ[x, t], x], t] + c D[φ[x, t], {x, 2}]; eq1 // TraditionalForm sim1 = {ξ α x + β t, η γ x + δ t}; sim = {φ[x, t] ϕ[ξ, η], φ(0,2)[x, t] D[ϕ[ξ, η] /. sim1, {t, 2}], φ(1,1)[x, t] D[D[ϕ[ξ, η] /. sim1, t], x], φ(2,0)[x, t] D[ϕ[ξ, η] /. sim1, {x, 2}]}; sol = Solve[{ξ α x + β t, η γ x + δ t}, {x, t}]; eq2 = eq1 /. sim /. sol[[1]]; Simplify[eq2] // TraditionalForm A φ(0,2) (x, t) + B φ(1,1) (x, t) + c φ(2,0) (x, t) ϕ(2,0) (ξ, η) A β2 + α β B + α2 c + ϕ(1,1) (ξ, η) (2 A β δ + α B δ + β B γ + 2 α c γ) + ϕ(0,2) (ξ, η) δ (A δ + B γ) + c γ2 A β2 + B α β + C α2 ∂2 φ ∂ ξ2 + [2 A β δ + B(α δ + β γ) + 2 α C γ] ∂2 φ ∂ ξ ∂ η + A δ2 + B γ δ + C γ2 ∂2 φ ∂ η2 = 0 为了化为方程 (1.5) 形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0，必须 A β2 + B α β + C α2 = 0, A δ2 + B γ δ + C γ2 = 0 —— 四个参数 ，两个方程 ？ 实际上，我们没有必要求出四个参量：α, β, γ, δ, 只需求出比值 η1 = β/α 与 η2 = δ/γ，这两个比值满足方程 A η1 2 + B η1 + C = 0 A η2 2 + B η2 2 + C = 0 方程相同 η1 = 1 2 A -B ± B2 - 4 A C η2 = 1 2 A -B ± B2 - 4 A C 因为原方程 (1.4) 中的 u 是二变量函数，经变换， ξ = α x + β t η = γ x + δ t ⟹ ξ = x + η1 t η = x + η2 t ， 也应该是两（独立）变量的函数，因此， η1与 η2 应取不同的值。 为此，有三种情况： 1. B2 - 4 A C > 0, 这时有两个实根，可取： ξ = 2 A x + -B + B2 - 4 A C t η = 2 A x + -B - B2 - 4 A C t 得方程 (1. 4)：A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0 化为方程 (1. 5) 形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0。 这时称双曲型方程。 因为此时再令 u = ξ + η, v = ξ - η, (1. 5) 形式可在化为 ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0 ⟹ ∂2 φ ∂ u2 - ∂2 φ ∂ v2 = 0 形如双曲线 ，这种形式也称为 双曲型方程的标准形式 波动方程就如这种形式 。—— 波动方程是双曲型微分方程 。 2. B2 - 4 A C = 0, 仅有一个实根 η1 = η2 = -B/(2 A)，可取： ξ = 2 A x - B t, η = t （相当于取 η2 = 0，没有两根以 0 替代） z09a.nb 9
10 z09anb 02 方程(1.4):A 化为方程如下形式。这时称抛物型方程 0方程的解为:=p()+nq()形式 扩散方程就如这种形式。—扩散方程是抛物型微分方程 Simplify[%,B4-4Ac 0] A中(0,2)[E,n 实际上,扩散方程:-a2“=0中出现一阶导数项,但讨论类似 3.B2-4AC0 抛物型 (如扩散方程)ifB-4AC=0 椭圆型:+a29 0(如稳态方程)ifB2-4AC<0 甚至对系数不是常数的方程,仍可如此分类,只不过在不同区域,方程属于不同类型
方程 (1. 4) ：A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0 化为方程如下形式 。这时称抛物型方程。 ∂2 φ ∂ η2 = 0 方程的解为 ：φ = p(ξ) + η q(ξ) 形式 扩散方程就如这种形式 。—— 扩散方程是 抛物型微分方程 。 sim1 = {α 2 A, β -B, γ 0, δ 1}; eq2 /. sim1; Simplify[%, B2 - 4 A c 0] A ϕ(0,2)[ξ, η] 实际上，扩散方程 ： ∂ u ∂ t - a2 ∂2 u ∂ x2 = 0 中出现一阶导数项 ，但讨论类似 。 3. B2 - 4 A C 0 抛物型： ∂2 φ ∂ η2 = 0 （如扩散方程 ） if B2 - 4 A C = 0 椭圆型： ∂2 φ ∂ ξ2 + ∂2 φ ∂ η2 = 0 （如稳态方程 ） if B2 - 4 A C < 0 甚至对系数不是常数的方程，仍可如此分类，只不过在不同区域，方程属于不同类型。 10 z09a.nb
