Chapter1复数和复变函数 复数的基本概念( Basic concepts of complex number) 形如a+ib(ab∈R,i=√-1)的数称为复数。(两元素两算子与四元素四算子) 1.复数( Complex number)的三种形式 (x,y∈R,p,q∈R) 代数式:z=x+jy;(缺点:无法表示多值函数的高相位) 三角式:z=p(cosg+isip);(极坐标系下的表示) 指数式:二=p,其中e"=∑()y =cos+ Isin p称为欧拉公式。 )一些术语( terminology)和符号( notation) Rez=x,实部( Real part),lmz=y,虚部( Imaginary part) =md=p=√x2+y2,模( Modulus),称为幅角( Argument), 记作Arg.而将满足0≤9≤2z或-n≤≤丌的g值称为幅角的 主值或主幅角,记为argz,因此有Agz=agz+2nz(m=0,±1+2… 当取-x≤argz≤x时,有关系 x=0,y>0 arg r +arctan y x<0,y≥0 丌+ arctan x<0,y<0 3)(orx)=x-iy=p(og- Isin p)=pe,(orz)称为的复共轭 或共轭复数( Complex conjugate of),当然,z也是(orz')的复共轭
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number) 形如 a ib ( a,bR，i 1 )的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 1．复数（Complex number）的三种形式： 1) i z x iy cos isin e ，（ x, y R, , R ） 代数式： z x iy ;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式： z cos isin ;（极坐标系下的表示） 指数式： i z e ， 其中 0 ! 1 n i n i n e . cos isin i e 称为欧拉公式。 2) 一些术语（terminology）和符号(notation): Re z x , 实部（Real part）, Imz y，虚部（Imaginary part）. 2 2 z mod z x y ，模（Modulus）, 称为幅角（Argument）， 记作 Argz. 而将满足 0 0 2 或 0 的 值称为幅角的 主值或主幅角，记为 argz ，因此有 Argz arg z 2n n 0,1,2. 当取 arg z 时，有关系 3) * i (or ) i cos isin z z x y e ， (or ) * z z 称为 z 的复共轭 或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然， z 也是 (or ) * z z 的复共轭。 arctan 0 0, 0 2 arg 0, 0 2 arctan 0, 0 arctan y x x x y z x y y x y x y x 0, 0 x y
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap 注意:*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 二1=z2的充要条件为Re1=Rez2,lm==Imz2 (单值可以,多值时没有定义幅角);p=A2,=92(可以 2.复数的几何表示: 复平面( Complex plane);通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点(x,y) 或(2,q)与复数x+iy或Pe做成一一对应, 此时的平面称为复平面,其自由矢量为 (讨论:2在哪里?) 3.复数的运算规则: ==x+l=p,cos p, +isn pu=p,e ,=,+iy,=P, ( cos 2 +isin 2)=p,ei% 1)加法:x+z2=(x1+x)+i(v1+y2)满足交换律和结合律。 减法:x1-z2=(x-x2)+(n-y2) 加减法的几何解释与向量加减法相似,三角形法则(自由矢量,可以平移 2)乘法:(i·i=i2=-1)—一和多项式乘法一样 1z2=(x1x2-yy2)+i(xy2+x2y) nP2o(+)+isn(1+2 nO,e问+) :==n1P2=|12,.乘积的模=模的乘积。 Arg(x1…=2)=a1+2=Arg1+Arg=2,乘积的幅角=幅角的和。 特别地,= 乘法的几何解释:在0x轴上取单位线段OI 作△0zP和△0/相似,那么P点就表示 乘积x1·z2,这是因为=1+=1/|21 (=H=1l‖-2D
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 ** 1 2 z z 的充要条件为 1 2 1 2 Re z Re z ,Imz Imz (单值可以，多值时没有定义幅角); , . 1 2 1 2 (可以) 2．复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点 x, y 或 , 与复数 x iy 或 i e 做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 （讨论： z 在哪里？） 3．复数的运算规则： 设 1 i 1 1 1 1 1 1 1 i cos isin z x y e ， 2 i 2 2 2 2 2 2 2 i cos isin z x y e . 1) 加法： 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y 满足交换律和结合律。 减法： 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y . 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2) 乘法：（ i i i 1 2 ）——和多项式乘法一样 . cos isin i 1 2 i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 e z z x x y y x y x y 1 2 1 2 1 2 z z z z , 乘积的模=模的乘积。 Arg( ) Arg Arg 1 2 1 2 1 2 z z z z ，乘积的幅角=幅角的和。 特别地， 2 zz z . 乘法的几何解释：在 0x 轴上取单位线段 0I， 作 0z2P 和 0 1 Iz 相似，那么 P 点就表示 乘积 , 1 2 z z 这是因为 1 2 | | /1 | | / | |. z z z 1 2 (| | | || |) z z z
3)除法:假设:1≠0, 三 =+ M,2-r2VI cos(a2-o, )+isin(o-o)I P Arg A pI 几何解释(-):先看(即设) 1(cosp+sm),若 =1,只需先作切线,再作垂线。若|=1,z= 4)整数幂: (cos no +is (cosg+ ISin gp)= cos ngp+ ISIn npp- De moivre公式。 4.(X)复数运算的一些基本性质:(两个重要不等式) 1)|1±2|s|=+|=2,三角形两边之和大于第三边 1±2|21||-|=2,三角形两边之差小于第三边
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 3 3) 除法：假设 z1 0, . cos isin 1 2 1 i 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 e x y x y x y i x y x x y y z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 z z z z ， 2 2 1 2 1 1 Arg Arg Arg z z z z . 几何解释（ z 1 ）：先看(即设) cos sin 1 1 2 i z z z z ，若 z 1 ，过 z 点作射线 Oz 的垂线，交单 位圆周于 T，过 T 作单位圆周的切线， 这条切线与 Oz 的交点就是 z z 1 ，而它 关于 x 轴的对称点为 z 1 . 设 z 点到 z 点的距离为 ，则图示三个直角三角形之间存在如下关系： 2 2 2 |Tz'|=( ) 1 1 , 解得 1 1| | . z 若 z 1 ，只需先作切线，再作垂线。若 z 1， z z. 4) 整数幂： n n n i n z cos n isin n e , i n i n n cos sin cos sin ----De Moivre 公式。 4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1） 1 2 1 2 z z z z ， 三角形两边之和大于第三边; 1 2 1 2 z z z z ， 三角形两边之差小于第三边
证明:利用ReE=x≤√x2+y2=|H Re(=12)≤2|2=21|12 (三±三2)=-+|2 2)2(|±|2)2 3) 5.复球面与无穷远点 考虑一个半径为R的球面S 2+(x3-R)2=R2),点(00,0)称为 南极,与复平面Ox1x2的原点重合,点(0,0,2R) 称为北极,记为N.对于C中的任一有限远 点z,它与N连接的直线只与S交于一点5 反之,球面S上任意一点(N点除外),它与N连接的直线也只与C交 于一点z.所以,除N点外,球面S上的点和复平面C上的点都是 对应的。对于N点,我们发现,当→+∞时,5→N,因此在复平面 C中引进一个理想点,作为与N对应的点,称为无穷远点,记为z=∞.加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面,也叫闭复平面,记为C=CU{∞ 不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面,也叫(开)复平面。这样, C与S建立起来的一一对应,称为球极射影。S称为复球面。 注意:☆无穷远点只有一个,其模为+∞,而幅角是不确定的 **同样对于z=0点,其模为0,幅角是不确定的 二=→5==0:作5=变换,或复球面均是就|大而言, 其中为N与5点之间的距离
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 4 证明：利用 z x x y z 2 2 Re , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2Re( ) 2 2 , ( )( ) ( ) ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 2） 1 2 1 2 z z z z . 3） 1 2 1 2 z z z z . 1 2 1 2 z z z z . 5．复球面与无穷远点： 考虑一 个 半 径 为 R 的球面 S （ 2 2 3 2 2 2 1 x x (x R) R ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 1 2 Ox x 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点 . 反之，球面 S 上任意一点 （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z 时， N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z . 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C C . 不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C 与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为 ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z 0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** 1 z 0 z ：作 1 z 变换，或复球面均是就 z 大而言， 其中 为 N 与 点之间的距离
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap 、复变函数( Functions of complex variable) 1.区域的概念(复习): 点集E:由复数点组成的集合。 例如,|0,满足条件-R(R是正实常数)的所有点z的集合,即 以点二=0为圆心,R为半径的圆的外部,记为H(∞,R) 点集E的内点:设平面上给定一点集E,如果=0及其某邻域Ⅳ(=)的 点全部属于E,则称0为点集E的内点。 点集E的外点:设平面上给定一点集E,如果0及其某邻域Ⅳ(=gδ)的 点全部不属于E,则称=0为点集E的外点 点集E的边界点:设平面上给定一点集E,如果=0的任一邻域中都含有 E和非E的点,则称为点集E的边界点。 区域D:满足下面两条的点集称为区域。 a)D为开集:D中的每一点都是内点→区域全由内点组成 b)D是连通集:对于D中的任意两点,总可以用某一曲线段连接 起来,而这条曲线上的所有点都属于该点集→区域内点连通。 闭区域D:由区域D及其全部边界点所组成的点集,闭域D通常记为D. 单连通域:在连通域D中任作闭曲线,若该曲线内部的点全部属于D, 则称D为单连通域。否则称D为复连通域!(请讨论之!) 有界域D:若存在有限大的圆|=R,使得DcV(0,R),则称D为有界 域,否则为无界域(有界域离散量子数无界域连续量子数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 5 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念（复习）： 点集 E：由复数点组成的集合。 例如， z 1 ，表示以原点为圆心，半径为 1 的圆（单位圆）的内部。 z 1 z 1 4 ，表示以 1 为焦点，半长轴为 2 的椭圆。 点 0 z 的邻域：对于实数 0 ，满足条件 z z0 的点的全体称为 0 z 点 的 邻域，记为 ; 0 V z 。 点的邻域：满足条件 z R （R 是正实常数）的所有点 z 的集合，即 以点 z 0 为圆心，R 为半径的圆的外部，记为 V;R。 点集 E 的内点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ; 0 V z 的 点全部属于 E，则称 0 z 为点集 E 的内点。 点集 E 的外点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ; 0 V z 的 点全部不属于 E，则称 0 z 为点集 E 的外点。 点集 E 的边界点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 的任一邻域中都含有 E 和非 E 的点，则称 0 z 为点集 E 的边界点。 区域 D：满足下面两条的点集称为区域。 a）D 为开集: D 中的每一点都是内点 区域全由内点组成； b) D 是连通集: 对于 D 中的任意两点，总可以用某一曲线段连接 起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集 区域内点连通。 闭区域 D ：由区域 D 及其全部边界点所组成的点集，闭域 D 通常记为 D . 单连通域：在连通域 D 中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于 D， 则称 D 为单连通域。否则称 D 为复连通域！（请讨论之！） 有界域 D：若存在有限大的圆 z R ，使得 D V0;R ，则称 D 为有界 域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数）
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chapter 1 Compl R2K (a)川 (c)R10 (f)|20 几个典型的区域(阴影在边界外侧) 2.复变函数: (1)复变函数定义:若对于复平面上区域D中的每一个复数z,按照 定规律,都有一个(或几个)复数值w与之相对应,则称v为 z的复变函数(单值函数(或多值函数)),区域D称为定义域。 复变函数有两种表示形式: W=f(=),(z=x+,=5+in), =l(x,y)+n(x,y),[(u,v)均为实变量(x,y)的二元实函数] 例如 (1)w=z+b平移变换 (2)w=ez旋转变换 (3)=r缩放变换 (4)v=az+b设a=re, 三步:1旋转θ;2/缩放r;3/平移b (5)w=R2/z(广义)反演变换。如果R==|,则w=R2/ 就是z的复共轭;如果R与||是相同的量纲(例如长度), 则W亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 6 2. 复变函数： （1） 复变函数定义：若对于复平面上区域 D 中的每一个复数 z ，按照 一定规律，都有一个（或几个）复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域 D 称为定义域。 复变函数有两种表示形式： w f z, （ z x iy,w i ）, w u(x, y) iv(x, y) , [ ( , ) u v 均为实变量 ( , ) x y 的二元实函数]。 例如： （1） w z b 平移变换 （2） w e z i 旋转变换 （3） w rz 缩放变换 （4） w az b 设 i a re ， 三步：1/旋转 ；2/缩放 r ；3/平移 b . （5） w R z 2 （广义）反演变换。如果 R z | |,则 w R z 2 就是 z 的复共轭；如果 R 与 | | z 是相同的量纲（例如长度）， 则 w 亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap (2)复变函数的极限:设二0是函数f()的定义域内的一点,如果对 VE>0,都彐δ>0,(隐含o(E),(二0)和E(=0))使得对于任意满足条 件00,当-00,对任何=∈D,只要-=00,只要1-2<6,=,=2∈D 恒有(=)-f(=2)<E,那么称函数=f(2)在D上一致连续] 注:*函数f()在区域D上一致连续,一定在D上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 7 (2) 复变函数的极限：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对 0 ，都 0 ，（隐含 ( ) ， 0 ( ) z 和 0 ( ) z ）使得对于任意满足条 件 0 z z0 的复数 z ，都有 f (z) A ，那么复数 A （有限）称 为函数 w f z 当 z 趋于 0 z 时的极限，记为 f z A z z lim ( ) 0 . 如果复数 A 无 限 ， 则 称函数 f (z) 在 0 z 处 发 散 （ divergence ）。 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)， 0 0 A u iv ， 0 0 0 z x iy ，则 0 0 lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) 0 0 0 0 0 v x y v u x y u f z A y y x x y y x x z z . (3)复变函数的连续与一致连续： ， 0 ，当 z z0 ，恒有 ( ) ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w f z 在点 0 z 连续（在点 0 z 邻域 连续） [等价定义：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点， lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z ，那么称函数 w f z 在点 0 z 连续]， 如果函数 w f z 在区域 D 上的每一点都连续，则称函数 w f z 在区域 D 上是连续的。 注： f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 处连续 ( , ) ( , ) v x y u x y 均在 ( , ) 0 0 x y 处连续。 ， 0 ，对任何 z0 D ，只要 z z0 ，且 z D ，恒有 ( ) ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w f z 在 D 上一致连续 [等价定义：如果 ， 0 ，只要 z1 z2 ， 1 2 z z, D ， 恒有 ( ) ( ) 1 2 f z f z ，那么称函数 w f z 在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f z 在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续
*连续定义中的δ不仅与E有关,还与二0点有关 致连续定义中的δ只与E有关,与二0点无关。 例如,f()=在区域0<<∞上连续,但不一致连续 例:求函数f(x)=2x+y2在0=2i的极限,并判断在该点的连续性 解:因为,{my4(x列=mn,2x=0 因此 l mo. v(x, y)=.mo y y imf(=)=0+14=4,又 f(=0)=f(2)=2 所以,f(=)=2x+y2在二。=2i的极限存在,并连续。 例:求函数f()=2 日)在:0=0的极限,并判断在该点的连续性。 解:设 iy,则 I pixy f()=2()2x2+y2x2+ysu(x,y)+m(x,y),显然, (x,y)=0在(00)点的极限存在并连续 然而,limu(x,y) 不存在,事实上,令 (x,y)→(0 (xy)(0)x2+y2 im、2x(kx) 2k 2k 12+k2,对于不同A k (x10)x2+y2x0,0x2+(kx)2x0012+k2 值,极限不同,故知u(x,y)在(00)点的极限不存在。 所以,f(=)= 在二0=0的极限不存在 2i(2z (4)复变函数的导数:设二0是函数f(=)的定义域内的一点,当z 在〓0的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点二0时,即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 8 **连续定义中的 不仅与 有关，还与 0 z 点有关。 一致连续定义中的 只与 有关，与 0 z 点无关。 例如， z f z 1 ( ) 在区域 0 z 上连续，但不一致连续。 例：求函数 2 f (z) 2x iy 在 z 2i 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：因为， lim ( , ) lim 4 lim ( , ) lim 2 0 2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 v x y y u x y x x y x y x y x y ，因此， f z i i x y lim ( ) 0 4 4 , 0,2 ，又 f (z ) f (2i) 2x iy 4i 2 0 所以， 2 f (z) 2x iy 在 z 2i 0 的极限存在，并连续。 例：求函数 z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：设 z x iy ，则 ( , ) ( , ) 4 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 u x y iv x y x y xy x y ixy z i z z z i f z ，显然， v(x, y) 0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， 2 2 , 0,0 , 0,0 2 lim ( , ) lim x y x y u x y x y x y 不存在，事实上，令 y kx ，有 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 , 0,0 1 2 1 2 lim 2 ( ) lim 2 lim k k k k x k x x k x x y xy y kx x y kx x y x ，对于不同 k 值，极限不同，故知 u(x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以， z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 0 的极限不存在。 （4） 复变函数的导数：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 0 z 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 0 z 时，即当
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chapter 1 Compl A=2=.0时,若极限lnf(=0+4)-/=具 有同一有限值,则称函数f(x)在点二0可导,称此极 限值为f()在=的导数,记为/(=)或( 注意:*与A2→0的方式无关 求导f(x)最多有两个方向,而v()可有∞多个方向。 *O(x,y)/ax是偏导,d(x+)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件: 设f()=(x,y)+n(x,y)在 二0=x+0点可导,则v(x,y),(x,y)在(x0,y)处必定满足 Ou(x,y) av(x, y) (x,y) (x0,) 证明:f(x)=u(x,y)+n(x,y)在〓0=x+仍点可导,根据定义, f(=0+△)-f(=0) 存在,并且与z→z0的路径无关 下面选择两个特殊路径 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), 二=x+0,A=A ln(=n+A)-/(= =mn[(x+4)-a(x)+x+Ax,) Ax △x x,] 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z z z0 0 时，若极限 z f z z f z z 0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f z 或 0 d d ( ) z z z f z . 注意:* 与 z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有 多个方向。 *** u x y x ( , )/ 是偏导，df x iy dz ( )/ 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在 0 0 x , y 处必定满足 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 点可导,根据定义， z f z z f z z 0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y 为常数）， 0 z x iy ,z x , ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z 然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x 为常数）
xo ti lim =lim xo: Jo+Ay)-uoo (xn,y+△y)-v(x0,yo av 既然f()在二0点可导,那么上面两个极限应相等,于是 Ou(x, y) av(x, y) 简记为 「oa(x,y)__an(x,y) v.=-l Cauchy-Riemann条件不充分,例如:f(={0 在z=0附近 我们有l=x2y2(x2+y4),v=xy3x2+y)[显然f()=0(二=0)的定义多余J。 虽然l1=",=0,V=-,=0.这不是固定点的导数,而是严格意义下的 f"lxo.x=0:f(-)=8(x,y)=2(x2+y) f(0)=1(x+△)g(xy)+8Ax+g,4y+…}-3g(x,y) m0(xy+x84+…)=0 ,的(”y+p=因此,二=0附近f()不可导! (6)复变函数可导的充要条件:f(=)=l(x,y)+n(x,y)在 二0=x0+y0点可导的充要条件是 a)u(x,y),v(x,y)在(x0,y)处具有一阶偏导数且满足C-R条件一必要条件 b)u(x,y),v(x,y)在(xa,y0)处具有一阶连续偏导数且满足C-R条件一充分条件 证明:假设v(x,y),(x,y)在(xny0)处具有一阶连续偏导数,因此(x,y), v(x,y)在(x0,y0)处可微,即
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 10 z x iy 0 ,z iy , . ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y y z y v x y y u x y i i y v x y y v x y i i y u x y y u x y z f z z f z 既然 f (z) 在 0 z 点可导,那么上面两个极限应相等,于是 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y 简记为 x y x y u v v u . Cauchy-Riemann 条件不充分，例如： 2 2 4 0 ( 0) /( ) ( 0) ( ) . z xy z x y z f z 在 z 0 附近， 我们有 2 2 2 4 3 2 4 u x y x y v xy x y /( ) /( ) , [显然 f z z ( ) 0 ( 0) 的定义多余]。 虽 然 0, 0. x y x y u v v u 这不是 固 定 点 的 导 数 ， 而 是 严 格 意 义 下 的 0, 0 ' | 0 : x y f 2 2 4 f z zg x y zxy x y ( ) ( , ) / ( ). ' ' 0 ' ' , 0 ( )[ ( , ) ] ( , ) '(0) lim lim [ ( , ) ( )] 0. x y z x y x y z z g x y g x g y zg x y f z z z g x y g x g y z 而 2 4 4 4 ( ) 0 1 '(0) lim . x y z 2 y f y y 因此， z 0 附近 f z( ) 不可导！ (6) 复变函数 可 导 的 充 要 条 件 ： f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 点可导的充要条件是: a) u(x, y), v(x, y) 在 0 0 x , y 处具有一阶偏导数且满足 C-R 条件—必要条件; b) u(x, y), v(x, y) 在 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数且满足 C-R 条件—充分条件. 证明：假设 u(x, y) , v(x, y) 在 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数，因此 u(x, y) , v(x, y) 在 0 0 x , y 处可微，即