Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU Chapter1复数和复变函数 复数的基本概念( Basic concepts of complex number) 形如a+ib(a,b∈R,i=√-1)的数称为复数。(两元素两算子与四元素四算子) 复数( Complex number)的三种形式 1)=x+ijy=p(osq+isn)=pe°,(x,y∈Rp,∈R) 代数式:z=x+iy;(缺点:无法表示多值函数的高相位) 三角式:x=p(cosg+isn);(极坐标系下的表示) 指数式:==pe°,其中e"=∑q) e=cosq+ Isin称为欧拉公式 2)一些术语( terminology)和符号( notation): Rez=x,实部( Real part),Imz=y,虚部( Imaginary part) =mdz=p=√x2+y2,模( Modulus),g称为幅角( Argument 记作Arg.而将满足0≤q0≤2n或-丌≤q0≤丌的φ值称为幅角的 主值或主幅角,记为arg,因此有Ag=argz+2nx(n=0±1+2…) 当取-≤argz≤π时,有关系 arctan x=0,y>0 =0,y<0 丌+ arctan arctan x<0,y 3)(or)=x-iy=p(cosg-isnp)=pe-,(orz)称为的复共轭 或共轭复数( Complex conjugate of 2),当然,z也是(orx)的复共轭
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number) 形如 a + ib ( a,b R ，i 1 = − )的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 1．复数（Complex number）的三种形式： 1) ( ) i z = x + iy = cos + isin = e ，（ x, y R, , R ） 代数式： z = x + iy ;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式： z = (cos + isin ) ;（极坐标系下的表示） 指数式： i z = e ， 其中 ( ) = = 0 ! 1 n i n i n e . = cos + isin i e 称为欧拉公式。 2) 一些术语（terminology）和符号(notation): Re z = x , 实部（Real part）, Im z = y ，虚部（Imaginary part）. 2 2 z = mod z = = x + y ，模（Modulus）, 称为幅角（Argument）， 记作 Argz. 而将满足 0 0 2 或 − 0 的 值称为幅角的 主值或主幅角，记为 arg z ，因此有 Argz = arg z + 2n (n = 0,1,2). 当取− arg z 时，有关系 3) ( ) * i (or ) i cos isin − z z = x − y = − = e ， (or ) * z z 称为 z 的复共轭 或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然， z 也是 (or ) * z z 的复共轭。 arctan 0 0, 0 2 arg 0, 0 2 arctan 0, 0 arctan y x x x y z x y y x y x y x = = − = + − + 0, 0 x y
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 注意:*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小 *1=2的充要条件为Re==Re=2,m=m=2 单值可以,多值时没有定义幅角);B=n21=q2可以) 2.复数的几何表示: 复平面( Complex plane):通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点(x,y) 或(,q)与复数x+iy或P做成一一对应, 此时的平面称为复平面,其自由矢量为 (讨论:E在哪里?) 3.复数的运算规则 x +iy=Pcos, +isin =p, =x,+iy,=P, cos@,+isin p,)=p,e" 1)加法:x1+z2=(x1+x1)+(1+y2)满足交换律和结合律。 减法:x1-2=(x1-x2)+vn-y2) 加减法的几何解释与向量加减法相似,三角形法则(自由矢量,可以平移) 2)乘法:(ii=i2=-1)一—和多项式乘法一样 x1·z2=(x1x2-yy2)+(xy2+x2y1) P1p2 cos(@,+2)+isin(@, +p2 =nP2e9+吗) 1=2=PP2==|2乘积的模=模的乘积。 Arg(x1…=2)=a1+2=Arg1+Arg2,乘积的幅角=幅角的和 特别地,= 乘法的几何解释:在0x轴上取单位线段OI, 作△O=2P和△O/相似,那么P点就表示 乘积x1=2这是因为|=1|/14=|1=2 (|H=1‖12D
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 ** 1 2 z = z 的充要条件为 1 2 1 2 Re z = Re z ,Imz = Imz (单值可以，多值时没有定义幅角); , . 1 = 2 1 =2 (可以) 2．复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点 (x, y) 或 (,) 与复数 x + iy 或 i e 做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 （讨论： z 在哪里？） 3．复数的运算规则： 设 ( ) 1 i 1 1 1 1 1 1 1 i cos isin z = x + y = + = e ， ( ) 2 i 2 2 2 2 2 2 2 i cos isin z = x + y = + = e . 1) 加法： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z + z = x + x + i y + y 满足交换律和结合律。 减法： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z − z = x − x + i y − y . 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2) 乘法：（ i i i 1 2 = = − ）——和多项式乘法一样 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . cos isin i 1 2 i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 + = = + + + = − + + e z z x x y y x y x y 1 2 1 2 1 2 z z = = z z , 乘积的模=模的乘积。 Arg( ) Arg Arg 1 2 1 2 1 2 z z z z = + = + ，乘积的幅角=幅角的和。 特别地， 2 zz = z . 乘法的几何解释：在 0x 轴上取单位线段 0I， 作 0z2P 和 0 1 Iz 相似，那么 P 点就表示 乘积 , 1 2 z z 这是因为 1 2 | | /1 | | / | |. z z z = 1 2 (| | | || |) z z z =
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 3)除法:假设z1≠0, =1 xx+ yy2,,,xy2-x,y P P Ar =(2-1=Arg2-Arg=1 几何解释(-):先看(即设) (cosg+ I Sin g),若 1,只需先作切线,再作垂线。若1=1,x=z 4)整数幂 z"=p"(cosmo +isin no)=p"e ing (cosg+ ISIn p)y= coSmo+ Isin ngp- -De moivre公式 4.(X)复数运算的一些基本性质:(两个重要不等式 1)|1±21|=+|=2|,三角形两边之和大于第三边 1±22||-=1,三角形两边之差小于第三边
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 3 3) 除法：假设 z1 0, ( ) ( ) ( ) . cos isin 1 2 1 i 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 − = = − + − + − + + + = = e x y x y x y i x y x x y y z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 z z z z = = ， 2 2 1 2 1 1 Arg Arg Arg z z z z = − = − . 几何解释（ z 1 ）：先看(即设) ( ) cos sin 1 1 2 i z z z z = = = + ，若 z 1 ，过 z 点作射线 Oz 的垂线，交单 位圆周于 T，过 T 作单位圆周的切线， 这条切线与 Oz 的交点就是 z z 1 = ，而它 关于 x 轴的对称点为 z 1 . 设 z 点到 z 点的距离为 ，则图示三个直角三角形之间存在如下关系： 2 2 2 |Tz'|=( ) 1 1 , + − = − + 解得 1 1| |. z + = = 若 z 1 ，只需先作切线，再作垂线。若 z = 1， z = z . 4) 整数幂： ( ) n n n in z = cosn + isin n = e , ( i ) n i n n cos + sin = cos + sin ----De Moivre 公式。 4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1） 1 2 1 2 z z z + z ， 三角形两边之和大于第三边; 1 2 1 2 z z z − z ， 三角形两边之差小于第三边
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 证明:利用Rez=x≤√x2+y2=| 12+1=2=2R(2)≤211|=2|=| (1±2)(土2)=|=F+|2 )(|±12D) 2) 3)x1·=2=E1 21 5.复球面与无穷远点: 考虑一个半径为R的球面S (x2+x2+(x3-R)2=R2),点(0,0,0)称为 南极,与复平面Ox1x2的原点重合,点(00,2R) 称为北极,记为N.对于C中的任一有限远 点z,它与N连接的直线只与S交于一点 反之,球面S上任意一点5(N点除外),它与N连接的直线也只与C交 于一点z.所以,除N点外,球面S上的点和复平面C上的点都是一 对应的。对于N点,我们发现,当→+∞时,5→N,因此在复平面 C中引进一个理想点,作为与N对应的点,称为无穷远点,记为z=∞.加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面,也叫闭复平面,记为C=CU{叫 不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面,也叫(开)复平面。这样, C与S建立起来的一一对应,称为球极射影。S称为复球面。 注意:☆无穷远点只有一个,其模为+∞,而幅角是不确定的。 **同样对于z=0点,其模为0,幅角是不确定的。 *二=→5==0:作5=变换,或复球面均是就|大而言, 其中为N与5点之间的距离
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 4 证明：利用 z = x x + y = z 2 2 Re , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2Re( ) 2 2 , ( )( ) ( ) ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z + = = = + + 2） 1 2 1 2 z z = z z . 3） 1 2 1 2 z z = z z . 1 2 1 2 z z z z = . 5．复球面与无穷远点： 考虑一 个 半 径 为 R 的 球 面 S （ 2 2 3 2 2 2 1 x + x + (x − R) = R ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 1 2 Ox x 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点 . 反之，球面 S 上任意一点 （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z → + 时， → N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z =. 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C C . = 不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C 与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为 + ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z = 0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** 1 z 0 z = = = ：作 1 z = 变换，或复球面均是就 z 大而言， 其中 为 N 与 点之间的距离
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 、复变函数( Functions of complex variable) 1.区域的概念(复习): 点集E:由复数点组成的集合。 例如,0,满足条件--R(R是正实常数)的所有点z的集合,即 以点二=0为圆心,R为半径的圆的外部,记为(∞,R)。 点集E的内点:设平面上给定一点集E,如果z。及其某邻域Ⅳ(=ai,δ)的 点全部属于E,则称z0为点集E的内点。 点集E的外点:设平面上给定一点集E,如果。及其某邻域V(=0;δ)的 点全部不属于E,则称=0为点集E的外点 点集E的边界点:设平面上给定一点集E,如果0的任一邻域中都含有 E和非E的点,则称=0为点集E的边界点。 区域D:满足下面两条的点集称为区域。 a)D为开集:D中的每一点都是内点→区域全由内点组成 b)D是连通集:对于D中的任意两点,总可以用某一曲线段连接 起来,而这条曲线上的所有点都属于该点集→区域内点连通 闭区域D:由区域D及其全部边界点所组成的点集,闭域D通常记为D 单连通域:在连通域D中任作闭曲线,若该曲线内部的点全部属于D, 则称D为单连通域。否则称D为复连通域!(请讨论之! 有界域D:若存在有限大的圆=R,使得Dc(0R),则称D为有界 域,否则为无界域(有界域离散量子数无界域连续量子数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 5 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念（复习）： 点集 E：由复数点组成的集合。 例如， z 1 ，表示以原点为圆心，半径为 1 的圆（单位圆）的内部。 z +1 + z −1 = 4 ，表示以 1 为焦点，半长轴为 2 的椭圆。 点 0 z 的邻域：对于实数 0 ，满足条件 z − z0 的点的全体称为 0 z 点 的 邻域，记为 ( ; ) 0 V z 。 点的邻域：满足条件 z R （R 是正实常数）的所有点 z 的集合，即 以点 z = 0 为圆心，R 为半径的圆的外部，记为 V(;R)。 点集 E 的内点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ( ; ) 0 V z 的 点全部属于 E，则称 0 z 为点集 E 的内点。 点集 E 的外点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ( ; ) 0 V z 的 点全部不属于 E，则称 0 z 为点集 E 的外点。 点集 E 的边界点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 的任一邻域中都含有 E 和非 E 的点，则称 0 z 为点集 E 的边界点。 区域 D：满足下面两条的点集称为区域。 a）D 为开集: D 中的每一点都是内点 区域全由内点组成； b) D 是连通集: 对于 D 中的任意两点，总可以用某一曲线段连接 起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集 区域内点连通。 闭区域 D ：由区域 D 及其全部边界点所组成的点集，闭域 D 通常记为 D . 单连通域：在连通域 D 中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于 D， 则称 D 为单连通域。否则称 D 为复连通域！（请讨论之！） 有界域 D：若存在有限大的圆 z = R ，使得 D V(0;R) ，则称 D 为有界 域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数）
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU (a)团r (c)R0 (f)|20 几个典型的区域(阴影在边界外侧) 2.复变函数: (1)复变函数定义:若对于复平面上区域D中的每一个复数z,按照 定规律,都有一个(或几个)复数值w与之相对应,则称v为 z的复变函数(单值函数(或多值函数)),区域D称为定义域。 复变函数有两种表示形式 iy,w=5+in =u(x,y)+nv(x,y),[(u,yv)均为实变量(x,y)的二元实函数] 例如 (1)w=z+b平移变换 (2)w=e"z旋转变换 (3)=n缩放变换 (4)=c+b设a=re, 三步:1旋转θ;2缩放r;3平移b (5)=R2/=(广义)反演变换。如果R==|,则v=R2/ 就是z的复共轭;如果R与|二|是相同的量纲(例如长度), 则亦具有相同的量纲。 6
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 6 2. 复变函数： （1） 复变函数定义：若对于复平面上区域 D 中的每一个复数 z ，按照 一定规律，都有一个（或几个）复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域 D 称为定义域。 复变函数有两种表示形式： w = f (z), （ z = x + iy,w = + i ）, w = u(x, y) + iv(x, y) , [ ( , ) u v 均为实变量 ( , ) x y 的二元实函数]。 例如： （1） w = z + b 平移变换 （2） w e z i = 旋转变换 （3） w = rz 缩放变换 （4） w = az + b 设 i a = re ， 三步：1/旋转 ；2/缩放 r ；3/平移 b . （5） w R z 2 = （广义）反演变换。如果 R z =| | ,则 w R z 2 = 就是 z 的复共轭；如果 R 与 | | z 是相同的量纲（例如长度）， 则 w 亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU (2)复变函数的极限:设二0是函数f()的定义域内的一点,如果对 VE>0,都彐>0,(隐含(E),O(二0)和E(=0))使得对于任意满足条 件00,当=--00,对任何=∈D,只要-00,只要1-2|<δ,=,2∈D, 恒有f(-)-f(=2)<E,那么称函数w=()在D上一致连续 注:*函数f()在区域D上一致连续,一定在D上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 7 (2) 复变函数的极限：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对 0 ，都 0，（隐含 ( ) ， 0 ( ) z 和 0 ( ) z ）使得对于任意满足条 件 0 z − z0 的复数 z ，都有 f (z) − A ，那么复数 A （有限）称 为函数 w = f (z) 当 z 趋于 0 z 时的极限，记为 f z A z z = → lim ( ) 0 . 如果复数 A 无 限 ， 则 称 函 数 f (z) 在 0 z 处 发 散 （ divergence ）。 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)， 0 0 A = u + iv ， 0 0 0 z = x + iy ，则 = = = → → → → → 0 0 lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) 0 0 0 0 0 v x y v u x y u f z A y y x x y y x x z z . (3)复变函数的连续与一致连续： ， 0 ，当 z − z0 ，恒有 ( ) − ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续（在点 0 z 邻域 连续） [等价定义：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点， lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z = → ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续]， 如果函数 w = f (z) 在区域 D 上的每一点都连续，则称函数 w = f (z) 在区域 D 上是连续的。 注： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 处连续 ( , ) ( , ) v x y u x y 均在 ( , ) 0 0 x y 处连续。 ， 0 ，对任何 z0 D ，只要 z − z0 ，且 z D ，恒有 ( ) − ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续 [等价定义：如果 ， 0 ，只要 z1 − z2 ， 1 2 z z, D ， 恒有 ( ) − ( ) 1 2 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f (z) 在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU *连续定义中的δ不仅与E有关,还与二点有关 致连续定义中的δ只与E有关,与=0点无关。 例如,f(=)=在区域0<<∞上连续,但不一致连续。 例:求函数f(-)=2x+y2在二0=2i的极限,并判断在该点的连续性。 解:因为 lmn(x,y)=(02) lim 2 因此, lm v(x, y) imf()=0+i4=4i,又 f(=0)=f(2i)=2x+y2=4i 所以,f()=2x+p2在二0=2的极限存在,并连续。 例:求函数()=1三-日在:0=0的极限,并判断在该点的连续性。 解:设z=x+py,则 2 f(=)= pixy =l(x,y)+ⅳv(x,y),显然 v(x,y)=0在(0.0)点的极限存在并连续, 然而,,limu(x,y)= ,不存在,事实上,令 2xy 2x(kx) 2K (xy)→0.0)x2+y x2+(x2、lm lin 612+k2=12+2,对于不同k 值,极限不同,故知u(x,y)在(0,0)点的极限不存在。 所以,f(=) 在zo=0的极限不存在。 2i(2z (4)复变函数的导数:设z0是函数f()的定义域内的一点,当z 在〓0的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点=时,即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 8 **连续定义中的 不仅与 有关，还与 0 z 点有关。 一致连续定义中的 只与 有关，与 0 z 点无关。 例如， z f z 1 ( ) = 在区域 0 z 上连续，但不一致连续。 例：求函数 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限，并判断在该点的连续性。 解：因为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = → → → → lim ( , ) lim 4 lim ( , ) lim 2 0 2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 v x y y u x y x x y x y x y x y ，因此， ( ) ( ) f z i i x y lim ( ) 0 4 4 , 0,2 = + = → ，又 f (z ) f (2i) 2x iy 4i 2 0 = = + = 所以， 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限存在，并连续。 例：求函数 = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：设 z = x + iy ，则 ( , ) ( , ) 4 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 u x y iv x y x y x y x y ixy z i z z z i f z = + + = + = = − ，显然， v(x, y) = 0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 , 0,0 2 lim ( , ) lim x y x y u x y x y x y + = → → 不存在，事实上，令 y = kx ，有 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 , 0,0 1 2 1 2 lim 2 ( ) lim 2 lim k k k k x k x x k x x y x y y kx x y kx x y x + = + = + = + = → → = → → → ，对于不同 k 值，极限不同，故知 u(x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以， = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限不存在。 （4） 复变函数的导数：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 0 z 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 0 z 时，即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU A=2-20时,若极限m(+4)-/(a具 有同一有限值,则称函数∫(=)在点=0可导,称此极 限值为f()在的导数,记为f(=0)或c 注意:*与A→>0的方式无关; 求导f(x)最多有两个方向,而w()可有∞多个方向 *On(x,y)/ax是偏导,d(x+iy)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件 设f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在 二0=x+0点可导,则(x,y),(x,y)在(x,y)处必定满足 . y) av(x, y) (x0,y av(x,y Ou(x,y) 证明:f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在0=x+少点可导,根据定义, mnf(a+2)-/(a)存在,并且与:→三的路径无关。 下面选择两个特殊路径: 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), +lyo f(x0+△)-f( lim u(xo+ Ax,yo)-u(=o +iv(o+Ax, yo)-v(ro,y Ou(r,y) Ov(x,y ax ox 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z = z − z0 → 0 时，若极限 ( ) z f z z f z z + − → 0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f z 或 0 d d ( ) z z z f z = . 注意:* 与 →z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有 多个方向。 *** u x y x ( , ) / 是偏导，df x iy dz ( ) / + 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处必定满足 = − = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导,根据定义， ( ) z f z z f z z + − → 0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z → z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y = 为常数）， 0 z = x + iy ,z = x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z + = + − + + − = + − → → 然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x = 为常数）
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU =△ m/(=a+A)-/a) lim (o, yo Ay)-u(xo, yo),v(xo, yo+Ay)-v(xo, yo) du( ay 既然∫()在二0点可导,那么上面两个极限应相等,于是 Ou(x, y) av(x, y) y1(x0,0) U =y 简记为 av(, y) Ou(x, y) v=-lI Cauchy- -Riema条件不充分,例如:f(2)={0(=0,在z=0附近, 我们有u=x2y2(x2+y),v=xy3/(x2+y2)[显然f()=0(z=0)的定义多余] 虽然,=,=0,v=-l=0.这不是固定点的导数,而是严格意义下的 f1oAneo=0: f(z)==g(x, y)==xy/(x+y) f∫(0)=lim (二+△)g(x,y)+gAx+g,4y+…]-g(x,y) x (8 Ax+g 而f∫(0)=lim =.因此,二=0附近∫(=)不可导! (x=y)=→0y+y (6)复变函数可导的充要条件:f(z)=u(x,y)+ⅳ(x,y)在 0=x0+点可导的充要条件是: a)u(x,y),v(x,y)在(xa,y)处具有一阶偏导数且满足C-R条件一必要条件 b)u(x,y),v(x,y)在(xn,y)处具有一阶连续偏导数且满足C-R条件一充分条件 证明:假设u(x,y),v(x,y)在(x0,y)处具有一阶连续偏导数,因此u(x,y), v(x,y)在(xn,y)处可微,即
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 10 z = x + iy 0 , z = iy , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y y z y v x y y u x y i i y v x y y v x y i i y u x y y u x y z f z z f z + = − + − + + − = + − → → 既然 f (z) 在 0 z 点可导,那么上面两个极限应相等,于是 = − = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y 简记为 x y x y u v v u = = − . Cauchy-Riemann 条件不充分，例如： 2 2 4 0 ( 0) /( ) ( 0) ( ) . z xy z x y z f z = + = 在 z = 0 附近， 我们有 2 2 2 4 3 2 4 u x y x y v xy x y = + = + /( ) /( ) , [显然 f z z ( ) 0 ( 0) = = 的定义多余]。 虽 然 0, 0. x y x y u v v u = = = − = 这不是 固定点的导数， 而 是 严 格 意 义 下 的 0, 0 ' | 0 : x y f → → = 2 2 4 f z zg x y zxy x y ( ) ( , ) / ( ). = = + ' ' 0 ' ' , 0 ( )[ ( , ) ] ( , ) '(0) lim lim [ ( , ) ( )] 0. x y z x y x y z z g x y g x g y zg x y f z z z g x y g x g y z → → + + + + − = + = + + + = 而 2 4 4 4 ( ) 0 1 '(0) lim . x y z 2 y f = → y y = = + 因此， z = 0 附近 f z( ) 不可导！ (6) 复变函数 可 导 的 充 要 条 件 ： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导的充要条件是: a) u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶偏导数且满足 C-R 条件—必要条件; b) u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数且满足 C-R 条件—充分条件. 证明：假设 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数，因此 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处可微，即