复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义，A）16 格林函数初窥.pdf_大学文库

16.1 一维情况 toy model 围绕以上三个问题，看最简单的常微分方程，写成Sturm-Liouville形式  x p(x) y x - q(x) y = f (x) —— 注意非齐次项在物理上常来自 “源” 我们已经讨论过，一般的二阶线性常微分方程，总可以化成这种形式。写成算符形式： ℒ =  x p(x)  x - q(x), ℒ y(x) = f (x) 假设函数定义于：a ≤ x ≤ b，别忘了还有边条：边界条件： α1 y(a) + α2 y′ (a) = 0 β1 y(b) + β2 y′ (b) = 0 (1.1) 记得我们是要把解写成以下形式： y(x) = a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ ， G(x, x′ ) 称为Green 函数 (1.2) 以下我们要求 Green 函数，当让应该导出Green 函数应该满足的微分方程与边界条件。显然，如果 Green 函数G(x, x′ ) 也满足如下边界条件，则由 (1.2) 给出的 y(x) 必满足边界条件 (1.1)  α1 G(a, x′ ) + α2 G′ (a, x′ ) = 0 β1 G(b, x′ ) + β2 G′ (b, x′ ) = 0 注意此边条与 x′ 无关，只要 a ≤ x′ ≤ b (1.3) 未得到 Green 函数 G(x, x′) 满足的微分方程，将算符 ℒ 作用于 (1.2) 两边，记得 y(x) 满足微分方程： ℒ y(x) = f (x) 得：左边 = ℒ y(x) = f (x) 右边 = ℒ a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ = a b [ℒ G(x, x′ )] f (x′ ) x′ 记得 ℒ 只作用于 x 左边 = 右边 ⟹ f (x) a b [ℒ G(x, x′ )] f (x′ ) x′ ⟹ ℒ G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) 格林函数G(x, x′ ) 的微分方程与边界条件为： ℒ G (x, x′ ) =  x p(x) G(x, x′ ) x - q(x) G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) α1 G(a, x′ ) + α2 G′ (a, x′ ) = 0 β1 G(b, x′ ) + β2 G′ (b, x′ ) = 0 与原非齐次微分方程问题相比：  x p(x) y x  - q(x) y = f (x) α1 y(a) + α2 y′(a) = 0 β1 y(b) + β2 y′(b) = 0 出别在非齐次项（蓝色部分）。那么，格林函数G(x, x′ ) 的微分方程是否比原问题更容易求解？首先，格林函数G(x, x′ ) 满足的微分方程在 x ≠ x′ 时退化为齐次方程！应该比原方程容易求解。其次，格林函数G(x, x′) 与非齐次项 f (x) 无关，物理上非齐次项表明外界的扰动，因而格林函数 G(x, x′) 应该反映系统本身的响应性质。数学上，只要求出格林函数 G(x, x′)，不同的非齐次项 f (x)，只需将它带入同一个积分即可。 y(x) = a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ 接下来，我们讨论如何求解格林函数G(x, x′ ) 满足的微分方程：  x p(x) G(x, x′) x  - q(x) G(x, x′) = δ(x - x′) 如前所述，格林函数G(x, x′ ) 的微分方程在 x ≠ x′ 时退化为齐次方程，相对容易，为此我们假设 x x′ 时：G(x, x′ ) = G2 (x, x′ ) 那么在 x = x′ 时如何连接？一个合理的假设是：G(x, x′ ) 在区间 a ≤ x ≤ b 连续，即 lim xx′ G1(x, x′ ) = lim xx′ G2(x, x′ ) 2 z16a.nb

接着，将格林函数 G(x, x′ ) 的微分方程对 x 从 x′ - ϵ 到 x′ + ϵ 积分  x p(x) G(x, x′ ) x - q(x) G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) 两边对 x 从 x′ - ϵ 到 x′ + ϵ 积分 p(x) G(x, x′ ) x x′-ϵ x′+ϵ = 1 利用了 q(x)，G(x, x′ ) 在 x′ 连续， lim ϵ0 x′-ϵ x′+ϵ q(x) G(x, x′ ) x = 0 lim xx′ G2(x, x′ ) x - lim xx′ G1(x, x′ ) x = 1 p(x′ ) 小结：构造格林函数 1. 由齐次方程：  x p(x) G(x, x′) x  - q(x) G(x, x′) = 0 构造： x x′：G(x, x′) = G2 (x, x′ ) 2. 由边界条件：  α1 G(a, x′) + α2 G′(a, x′) = 0 β1 G(b, x′) + β2 G′(b, x′) = 0 及 lim xx′ G1(x, x′) = lim xx′ G2(x, x′) lim xx′ G2(x, x′) x - lim xx′ G1(x, x′) x = 1 p(x′) 确定4个待定常数 ☺ 例：构造以下非齐次微分方程和边界条件的格林函数 y′′ - k2 y = f (x), 0 ≤ x ≤ L y(0) = y(L) = 0, 解：格林函数满足的方程： 2 G(x, x′ ) x2 - k2 G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) x ≠ x′ 时，退化为齐次方程： x x′ ：G2(x, x′ ) = B1 -k x + B2 k x 由边界条件：G1(0, x′ ) = G2(L, x′ ) = 0 ⟹ A1 + A2 = 0 B1 -k L + B2 k L = 0 ⟹ G(x, x′ ) = G1(x, x′ ) = A -k x - A k x 0 < x < x′ G2(x, x′ ) = B -k x - B k x-2 k L x′ < x < L 利用： lim xx′ G1(x, x′ ) = lim xx′ G2(x, x′ ) lim xx′ G2(x, x′ ) x - lim xx′ G1(x, x′ ) x = 1 p(x′ ) = 1 解得 G(x, x′ ) = G1(x, x′ ) = - sinh ( k x) sinh(k L - k x′ ) k sinh(k L) 0 < x < x′ G2(x, x′ ) = - sinh ( k x′ )sinh(k L - k x) k sinh(k L) x′ < x < L  格林函数可改写成如下形式 G(x, x′ ) =  u(x) v(x′ ) 0 < x < x′ u(x′ ) v(x) x′ < x < L 分离变量？这其实反映了互易性质 (reciprocity)：G(x, x′ ) = G(x′ , x) 从物理上理解： G(x, x′ ) 其实是在空间 x′ 处的点源，在空间另一点 x 的效应 G(x′ , x) 其实是在空间 x 处的点源，在空间另一点 x′ 的效应对一般体系，两者当然满足互易性质。  格林函数仅依赖于微分方程与边条，与非齐次项（外源）无关  一旦求得格林函数，非齐次微分方程的解表为： y(x) = 0 L G(x, x′ ) f (x′ ) x′ z16a.nb 3

Clear[f] f[x_] := x; DSolve[y''[x] - k2 y[x]  f[x], y, x]; ys = Simplify[y[x] /. %[[1]]]; eq1 = ys /. x  0; eq2 = ys /. x  L; sol = Solve[{eq1  0, eq2  0}, {C[1], C[2]}]; ys = Simplify[ys /. sol[[1]]] yt = Integrate[ G f[t], {t, 0, L}]; Simplify[ys - yt, {0 < x < L}] -k (L-x) L + k (L+x) L + x - 2 k L x (-1 + 2 k L) k2 0 16.2 偏微分方程的格林函数现在，再进一步，来看偏微分方程。多变量 ℒ u(r  ) = -4 π ρ(r  ) 这里 ℒ 是微分算符，暂时认为 r  代表偏微分方程的 3 个空间变量。假设函数定义于区域 D，边界为 B。满足一定的边界条件。例如： ℒ = ∇2+k2 Helmholtz 算符 ℒ = ∇2 Laplace算符现在，我们假设这些算符的格林函数 Gr  , r ′  为： ℒ′ Gr , r ′  = -4 π δ r  -r ′  故，对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为 ℒ′ u(r ′ ) = -4 π ρ(r ′ ) (1) ℒ′ Gr  , r ′  = -4 π δ r  -r ′  (2) 这里认为算符 ℒ′ 所用于空间变量 r ′ 。4 π 因子仅为讨论方便。 Gr , r ′ ×(1) - u(r ′ )×(2) 并对 r  积分，得： D Gr  , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr  , r ′  3 r ′ = -4 π D Gr  , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 4 π D δ r  -r ′  u(r  ) 3 r ′ ⟹ u(r ) = D Gr , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr  , r ′  3 r ′ 假设算符具有 Sturm-Liouville 形式： ℒ = ∇ ·p(r ) ∇ - q(r ) 或 ℒ′ = ∇′ ·p(r ′ ) ∇′  - q(r ′ ) u(r ) = D Gr , r ′  ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′  ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr , r ′  3 r ′ = D G ρ 3 r ′ + 1 4 π D [G ∇′ ·(p ∇′ u) - u ∇′ ·(p ∇′ G)] 3 r ′ z16a.nb 5

= D G ρ 3 r ′ + 1 4 π D ∇′ ·[G p ∇′ u - u p ∇′ G] 3 r ′ u(r ) = D G ρ 3 r ′ + 1 4 π B n·[p G ∇′ u - p u ∇′ G] σ′ 上式表明只要按：ℒ′ Gr  , r ′  = -4 π δ r  -r ′  求出格林函数，则原非齐次微分方程：ℒ u(r  ) = -4 π ρ(r  ) 的解u(r )可由格林函数及边界条件确定。但同时，上式似乎表明，要求得非齐次微分方程：ℒ u(r  ) = -4 π ρ(r  ) 的解 u(r  )，不仅需要非齐次项 ρ(r )，还需要 u(r ) 在边界上的值并且其边界上的法向导数 n· ∇′ u 这似乎有点超定了，因为对这类椭圆形偏微分方程，我们知道定解条件是 Dirichlet 或 Neumann 条件，二选一即可这个佯谬实际上来自我们并没有给格林函数指定边界条件。格林函数还未完全确定。 u(r  ) = D G ρ 3 r ′ + 1 4 π B n·[p G ∇′ u - p u ∇′ G] σ′ 实际上，如果定解问题中 u(r ) 给定边界上的值（Dirichlet 条件），我们可以令 Gr , r ′  边界上的值为 0 来确定格林函数；如果定解问题中 u(r  ) 给定边界上法向导数（Neumann 条件），我们可以令 Gr , r ′  边界上法向导数为 0来确定格林函数。例如， u(r ) 在边界上的值给定时，我们令格林函数在边界上为 0，即： u(r  ) B 已知，令 G B = 0 确定格林函数 G，从而 u(r  ) = D G ρ 3 r ′ - 1 4 π B p u n·[∇′ G] σ′ 边界积分仅需要：u(r ) B （给定）与 n·[∇′ G] = ∂ G ∂ n ，后者由格林函数确定 16.3 一些二阶偏微分方程的格林函数以下通过一些例子，介绍一些二阶偏微分方程的格林函数。 ☺ 例 1. Poisson方程的格林函数解：格林函数方程，∇′ 作用于 r ′ ，函数定义于整个空间（自由空间） ∇′2 Gr  , r ′  = -4 π δ r  -r ′  δ 函数对点 r  是旋转对称的，故，Gr , r ′  对点 r  是旋转对称，从而：Gr , r ′  = Gr  -r ′  为此，不失一般性，可假设 r ′ - r  = R , ∇′2 = ∇R 2 格林函数的方程变为：∇R 2 G(R) = -4 π δ (R ) 而：∇R 2 = 1 R2 ∂ ∂ R R2 ∂ ∂ R - L  2 R2 , L  为轨道角动量算符，仅作用于角度 ∇R 2 G(R) = -4 π δ (R) ⟹ 1 R2  R R2 G(R) R = -4 π δ(R ) 对空间积分：R2 G(R) R = -1，其中利用了： δ(R ) 3R = 1 再做积分：R2 G(R) R = -1 ⟹ G(R) = 1 R ⟹ Gr  , r ′  = 1 r  -r ′  6 z16a.nb

Gr , r ′  实际上就是在 r ′ 处的单位正电荷在 r  处的静电势 Poisson方程：∇′2 u(r ′ ) = -4 π ρ (r ′ ) 的解： u(r  ) =  Gr , r ′  ρ (r ′ ) 3 r ′ =  ρ (r ′ ) r  -r ′  3 r ′ —— 熟知的结果 ☺ 例 2. Helmholtz方程的格林函数解：格林函数方程，∇′ 作用于 r ′ ，函数定义于整个空间（自由空间） ∇′2+k2 Gr , r ′  = -4 π δ r  -r ′  δ 函数对点 r  是旋转对称的，故，Gr  , r ′  对点 r  是旋转对称，从而：Gr , r ′  = Gr  -r ′  为此，不失一般性，可假设 r ′ - r  = R , ∇′2 = ∇R 2 格林函数的方程变为：∇R 2 +k2 G(R) = -4 π δ (R ) 而：∇R 2 = 1 R2 ∂ ∂ R R2 ∂ ∂ R - L  2 R2 , L  为轨道角动量算符，仅作用于角度 ∇R 2 +k2 G(R) = -4 π δ (R) ⟹ 1 R2  R R2 G(R) R + k2 G(R) = -4 π δ(R ) ⟹ 1 R 2 R2 [R G(R)] + k2 G(R) = -4 π δ(R ) R ≠ 0 时，微分方程变为齐次方程： 2 R2 [R G(R)] + k2 R G(R) = 0 ⟹ R G (R) = A+  k R + A- - k R G(R) = A+  k R R + A- - k R R 向外辐射的球面波 Sommerfeld 辐射条件 G(R) = A+  k R R 方程： 1 R2  R R2 G(R) R +k2 G(R) = -4 π δ(R ) 两边积分：lim R0 R2 G(R) R = -1 ⟹ A+ = 1 Gr , r ′  =  k r  -r ′  r  - r ′  ☺ 例 3. 波动方程的格林函数解：格林函数方程，∇′ 作用于 r ′ ，函数定义于整个空间（自由空间） ∇′2 Gr  , r ′ , t - t ′  - 1 c2 ∂2 ∂ t ′2 Gr  , r ′ , t - t ′  = -4 π δ r  -r ′  δ (t - t ′ ) δ 函数对点 r  是旋转对称的，故，Gr , r ′  对点 r  是旋转对称，从而：Gr , r ′ , t - t ′  = Gr  -r ′ , t - t ′  为此，不失一般性，可假设 r ′ - r  = R , ∇′2 = ∇R 2 同时，这里以假设线性系统满足时间平移不变性（解与时间原点无关）微分方程先对 t - t ′ 做Fourier变换： G  r , r ′ , ω = 1 2 π -∞ ∞ Gr , r ′ , t  ω t t z16a.nb 7