14 柱函数 柱坐标系(p,d)中 Helmholtz方程经分离变量为 z"+Z=0 v2w,.2+Am,2=0平2,{4+y由=0 P2R+PR+a-H)P2-xR=o 包含了y,μ与λ三个分离变量常数,其中A为时空分离引进的分离变量常数 类似于球坐标系,φ满足的方程最为简单,利用φ的周期条件可确定本征值γ及相应的本征函数。 dpm( )= Am cos m + Bm sin m Φ"+yΦ=0 d+2x)=小(d) 或 n(6)=Amem4+Bme-m● 接下来,是利用Z满足的微分方程及边界条件确定本征值 还是利用R满足的微分方程及边界条件确定本征值A-p? 视问题的条件而定 关于Z的微分方程容易求解,为此,要讨论R满足的微分方程应有何种形式的解 141 Bessel方程的解 当λ-μ>0时,令:A-μ=k2,则R满足的微分方程为 p2R"+pR+(2p2-m)R=0 做变换:x=kp,y(x)=R(p),则R满足的微分方程化为 se方程 这里为更一般地讨论问题,将m2写成P2,γ不再限制于正整数 9 Besse函数及其生成函数 1.基于 Besse微分方程(参见§64节) 由Bes方程:x2y+xy+(x2-y2)y=0可知,x=0是正则奇点 在微分方程的正则奇点邻域,根据 Frobenius and fuchs定理,方程有一个以下形式的解 y(x)=xx,co*0,s称为指标。 在§64已讨论,对于一般的 Bessel方程,可求得两个指标分别为:s=±v Bessel方程的两个解称为 Bessel函数,表为
14 柱函数 柱坐标系 (ρ, ϕ, z) 中Helmholtz方程经分离变量为 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0 包含了 γ, μ 与 λ 三个分离变量常数，其中 λ 为时空分离引进的分离变量常数。 类似于球坐标系，Φ 满足的方程最为简单，利用 Φ 的周期条件可确定本征值 γ 及相应的本征函数。 Φ″ + γ Φ = 0 Φ(ϕ + 2 π) = Φ(ϕ) ⟶ γ = m2 Φm(ϕ) = Am ′ cos m ϕ + Bm ′ sin m ϕ 或 Φm(ϕ) = Am m ϕ + Bm - m ϕ , m = 0, 1, 2, … 接下来，是利用 Z 满足的微分方程及边界条件确定本征值 μ， 还是利用 R 满足的微分方程及边界条件确定本征值 λ - μ？ 视问题的条件而定。 关于 Z 的微分方程容易求解，为此，要讨论 R 满足的微分方程应有何种形式的解。 14.1 Bessel 方程的解 当 λ - μ > 0 时，令：λ - μ = k2，则 R 满足的微分方程为 ρ2 R″ + ρ R′ + k2 ρ2 - m2 R = 0 做变换： x = k ρ, y(x) = R(ρ)，则 R 满足的微分方程化为： x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 Bessel 方程 (1.1) 这里为更一般地讨论问题，将 m2 写成 v2 ， v 不再限制于正整数。 Bessel 函数及其生成函数 1. 基于 Bessel 微分方程 （参见 § 6.4节 ） 由 Bessel 方程：x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 可知， x = 0 是 正则奇点。 在微分方程的正则奇点邻域，根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程有一个以下形式的解 y(x) = xs k=0 ∞ ck xk, c0 ≠ 0, s 称为指标。 在 §6.4 已讨论，对于一般的 Bessel方程，可求得两个指标分别为： s = ±v。 Bessel方程的两个解称为Bessel函数，表为：
2 z14anb x 2+r n1(052k!r(k+T+1)2 J(x), (-1) x2A-y y2(x) J-"(x) 台dk!r(k-y+1) 但J-(x)与J(x)仅在v不为整数时才线性独立 V=m为整数时,J-m(x)=(-1)Jm(x),二者线性相关,为此,构造了另一个解: y()=20s7)()-()=M()称为Nmm函数或第二类Besl函数 SlnT丌 这样,无论v是否整数,J(x)都与M(x)线性无关。我们就得到 Bessel方程的两个线性独立 ()=(- x)2k+ 般阶数Bess函数的级数表示 台k!r(k++1) (cos v r)J,(x)--(x) Nr(x)= 有的文献写成Y(x) SInyI (n-k-1)!/x)2k-n (-1) n(x=-Jn(x)In (k+n+1)+(k+1) k! T Ek!(k+n)! (广 注意J(x)的级数是全平面内闭一致收敛的,并且在x→0时,J(x)有界,而N(x)无界 对非整数阶,第二类Bes函数( Neumann函数)的级数形式复杂得多,式中dgam函数如()=a I(=) 以上就是我们在§64得到的一些结论 这些结论源自于 Bessel微分方程的级数解— thanks to Frobenius and Fuchs 2基于生成函数(参见§34节) 另一方面,由解析函数的 Laurent展开(参见§34的例题),可知 ep|(-r)=SJx)p此式在除原点之外的整个复平面t之内:内闭一致收敛 其中:J(x)≡ (-1)P 为整数阶 Bessel函数 2m!r(n+m+1)(2 因此,函数 v(,D=ep|5(t-r)称为 bessel函数的生成函数 比较级数表示,可知由生成函数定义的Bes函数和由 Bessel微分方程得出的 Bessel函数两者一致。 ·回顾在 Legendre函数: 我们从生成函数定义得到了在x=±1处有界的 Legendre函数,再导出递推关系,进而, 由递推关系导出由生成函数定义的 Legendre函数满足 Legendre方程,从而完成两个定义一致性的证明 当然,也可对生成函数应用二项式展开,得到 Legendre函数的级数表示,再比较两种级数表示证明一致性。 我们这里直接比较:生成函数定义的 Bessel数与微分方程定义的 Bessel函数的级数形式,证明了一致性 当然,也可以从递推关系,得到由生成函数定义的 Bessel函数应满足的微分方程,进而证明一致性。 基于 Bessel函数的生成函数,还可以得到平面波展开公式 令生成函数中的t=ie6,则有 9= exp[ i u cos 6=∑ho(c"= PJn(u)elne 再令=kp,p=√x2+y2,则有
y1(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ≡ Jv(x), y2(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v ≡ J-v (x) 但 J-v(x) 与 Jv(x) 仅在 v 不为整数时才线性独立。 当 v = m 为整数时，J-m(x) = (-1)m Jm(x)，二者线性相关，为此，构造了另一个解： y2(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π ≡ Nv(x) 称为 Neumann 函数或第二类 Bessel 函数 这样，无论 v 是否整数， Jv(x) 都与 Nv(x) 线性无关。我们就得到Bessel方程的两个线性独立解。 Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v , 一般阶数 Bessel 函数的级数表示 Nv(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π , 有的文献写成 Yv(x) Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 - 1 π k=0 n-1 (n - k - 1)! k ! x 2 2 k-n - 1 π k=0 ∞ (-1)k k ! (k + n)! [ψ(k + n + 1) + ψ(k + 1)] x 2 2 k+n 注意 Jv(x) 的级数是全平面内闭一致收敛的，并且在 x 0 时，Jv(x) 有界，而 Nv(x) 无界。 对非整数阶，第二类Bessel函数（Neumann函数）的级数形式复杂得多，式中digamma函数 ψ(z) = Γ′(z) Γ(z) 。 以上就是我们在 §6.4 得到的一些结论。 这些结论源自于 Bessel 微分方程的级数解 —— thanks to Frobenius and Fuchs. 2. 基于生成函数 （参见 §3 .4节） 另一方面，由解析函数的Laurent展开（参见 § 3.4 的例题），可知 exp x 2 t - t -1 = n=-∞ ∞ Jn(x) t n 此式在除原点之外的整个复平面 t 之内：内闭一致收敛 其中：Jn(x) ≡ m=0 ∞ (-1)m m! (n + m)! x 2 n+2 m = m=0 ∞ (-1)m m! Γ(n + m + 1) x 2 n+2 m 为整数阶 Bessel函数 因此，函数 w(z, t) = exp z 2 t - t -1 称为Bessel函数的生成函数 。 比较级数表示，可知由生成函数定义的Bessel函数和由Bessel微分方程得出的Bessel函数两者一致。 回顾在Legendre函数： 我们从生成函数定义得到了在 x = ±1 处有界的Legendre函数 ，再导出递推关系 ，进而， 由递推关系导出由生成函数定义的Legendre函数满足Legendre方程 ，从而完成两个定义一致性的证明 。 当然，也可对生成函数应用二项式展开 ，得到Legendre函数的级数表示 ，再比较两种级数表示证明一致性 。 对 Bessel函数： 我们这里直接比较 ：生成函数定义的Bessel函数与微分方程定义的Bessel函数的级数形式 ，证明了一致性 。 当然，也可以从递推关系 ，得到由生成函数定义的Bessel函数应满足的微分方程 ，进而证明一致性 。 基于Bessel函数的生成函数，还可以得到平面波展开公式。 令生成函数中的 t = θ，则有 exp u 2 θ + - θ = exp[ u cos θ] = n=-∞ ∞ Jn(u) θ t n = n=-∞ ∞ n Jn(u) n θ 再令 u = k ρ, ρ = x2 + y2 ，则有 2 z14a.nb
z14a. nb exp(i k p cos 0= i"Jn(k p)eine Jacobi-- Anger公式 jacobi.- Anger公式将平面波表示为一些列柱面波的叠加。这个公式多用于分析圆柱体的波散射问题。 文件z1401包含番 Mathematica代码,显示平面波、柱面波以及平面波表示为柱面波的动画及图形。 3几个低阶 Bessel函数与 Neumman函教图 注意整数阶 Bessel函数无法表为初等函数形式。 Bessel [2, x] BesselJ[l,x Bessel [2,x] c1ear["G1oba1★"] gl =Plot[[BesselJ[O, x], BesselJ[l, x], BesselJ[2, x]y Plotstyle+[[Red], [Magenta, Dashed], [Blue, DotDashed]] PlotLabel- BesselJ [n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions",LegendMarkerSize +[30, 151]] g2= Plot[[BesselY[o, x], Bessel [l, x], BesselY [2, x]) [x,0, 10), PlotRange+[-5,1 Plotstyle+[[Red], [Magenta, Dashed], [Blue, DotDashed]] PlotLabel- Bessel [n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions",LegendMarkerSize +[30, 151]] Grid[[igl, Spacer[50], 921)] Jn(x) -Jo(r) Y(x) Yo() 02 J1(x) Y1(x) 8、10 J2(x) 例题 日例1.计算积分:|=c-xb(bx)dx,a>b>0 利用Bese函数的级数表示:m)=(1) Edk!r(k+ 1) (广 (-1)(b dx,因为幂级数内闭一致收敛,积分求和可交换次序 fk!r(k+1)(2 (I)(b exx2kdx,利用Ak=eax+dx=-A-1=-A Eo k! k
exp[ k ρ cos θ] = n=-∞ ∞ n Jn(k ρ) n θ —— Jacobi-Anger 公式 Jacobi-Anger公式将平面波表示为一些列柱面波的叠加。这个公式多用于分析圆柱体的波散射问题。 文件 z14-01 包含 Mathematica 代码，显示平面波、柱面波以及平面波表示为柱面波的动画及图形。 3. 几个低阶Bessel函数与 Neumman函数图 注意整数阶Bessel函数无法表为初等函数形式。 BesselJ[1, x] BesselY[2, x] BesselJ[1, x] BesselY[2, x] Clear["Global`*"] g1 = Plot[{BesselJ[0, x], BesselJ[1, x] , BesselJ[2, x] }, {x, 0, 10}, PlotRange {-1 / 2, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, DotDashed}}, PlotLabel BesselJ[n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions", LegendMarkerSize {30, 15}]]; g2 = Plot[{BesselY[0, x], BesselY[1, x] , BesselY[2, x] }, {x, 0, 10}, PlotRange {-5, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, DotDashed}}, PlotLabel BesselY[n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions", LegendMarkerSize {30, 15}]]; Grid[{{g1, Spacer[50], g2}}] 2 4 6 8 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Jn(x) J0(x) J1(x) J2(x) 2 4 6 8 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 Yn(x) Y0(x) Y1(x) Y2(x) 4. 例题 ☺ 例 1. 计算积分： I = ∫0 ∞ -a x J0(b x) x, a > b > 0 解：利用Bessel函数的级数表示 ：J0(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + 1) x 2 2 k I = 0 ∞ -a x k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + 1) b x 2 2 k x, 因为幂级数内闭一致收敛 ，积分求和可交换次序 = k=0 ∞ (-1)k k ! k ! b 2 2 k 0 ∞ -a x x2 k x, 利用 Ak = 0 ∞ -a x xk x = k a Ak-1 = k ! ak A0 = k ! ak+1 z14a.nb 3
k!24,利用:|-2|=(-12b! (-1)4b2k(2k)! (证明见下注) 2kk!k! 利用:(1+t)= 注:(1)二项式系数 连续k个间隔为 (-r)(-r-1)( 注意这里r不必为正整数 从P+k-1开始,k个间隔为1的数 r+k-1 =(-)(k 所以: 2/=(-1y/k-2) 2|=(-1y =1)(2k-1)=(-1y (2k-1)!!(2k)! 2k! 2k (2k)! 22k(k!)2 ()个4bxdx=-1称为Lhmz公式 a +l 成立的条件为:Rea>0且Re(a±ib)≥0(尽管这里只对a>b>0情况进行证明。) 对复数a△多值函数√口+取p+VGa+>例的分枝 Integrate[ eax BesselJ[0,bx],【x,0,∞}, Assumptions沙(Re[a]>0}] ConditionalExpression Re[a]≥Abs[Im[b] 142 Besse函数的递推关系 Q递推关系 当然,可以类似于 Legendre,从生成函数导出递推关系。只是这种做法仅适用于整数阶Bess函数 对一般 Bessel函数,通常从级数表示出发,导出递推关系 Bessel函数最基本的递推关系为
= k=0 ∞ (-1)k k ! k ! b2 k 22 k (2 k)! a2 k+1 , 利用： - 1 2 k = (-1)k (2 k)! 22 k k ! k ! （证明见下注 ） = 1 a k=0 ∞ - 1 2 k b a 2 k , 利用：(1 + t)r = k=0 ∞ r k t k for t 0 且 Re (a ± b) ≥ 0 （尽管这里只对 a > b > 0 情况进行证明 。） 对复数 a, b，多值函数 a2 + b2 取 a + a2 + b2 > b 的分枝 Integrate[-a x BesselJ[0, b x], {x, 0, ∞}, Assumptions {Re[a] > 0}] ConditionalExpression 1 a 1 + b2 a2 , Re[a] ≥ Abs[Im[b]] 14.2 Bessel 函数的递推关系 递推关系 当然，可以类似于Legendre，从生成函数导出递推关系。只是这种做法仅适用于整数阶Bessel函数。 对一般Bessel函数，通常从级数表示出发，导出递推关系。 Bessel函数最基本的递推关系为： 4 z14a.nb
z14a. nb Ir J,(x)=xJx-(x) (1.2) [xJ(x)]=-x-rJ+1(x) 以下基于级数表示给出证明。 Ir.(x)I dxl kirk+r+n2 级数内闭一致收敛,可逐项求导 =P((2k+2n 利用:I(k+v+1)=(k+y)r(k+v) dk!(k+v+1) Edk!ru+v) 2/ xXix x-"J(x)= 级数内闭一致收敛,可逐项求导 k!(k+v+1)(2 Irk 注意因为有2k因子,求和指标k可从1开始 ETk!r(k+v+1) (-1) 其中k=k+1 k!r(k++1+1)(2 由基本递推关系(1.2)得 x"J(x)]=x"J-(x) vx-,(x)+x'(x)=xJ,-(x) x,(x)=-x-u+(x) yx-1J1(x)+x"J(x)=-x"J+( vJ(x)+x(x)=x-I(x) 分别消去J和小,可得两个递推关系 J-1(x)-J+(x)=2/(x) (x)+(29)/令v=0,可得:-1()=6(x) (1.3) 注意上式对任意阶数y成立 由第二类Bese函数Nx)的定义:Nx)=cosn)J(x)-J-(x) 可得N(x)满足相同的递推关系 -[xN(x)]=xN-1(x) N1-1(x)-N+1(x)=2N(x) xM(x)=-x-N+1(x) N(x)+M()s3 Q柱函数 满足以下递推关系的函数 x"Z(x)l=x"Z、-1(x) 称为柱函数 例1.试证明柱函数必满足 Bessel方程,反之不然 证明:类似于 Legendre函数,现在需要从递推关系导出微分方程
x [xv Jv(x)] = xv Jv-1(x) x [x-v Jv (x)] = -x-v Jv+1(x) (1.2) 以下基于级数表示给出证明。 x [xv Jv(x)] = x xv k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 级数内闭一致收敛 ，可逐项求导 = k=0 ∞ (-1)k (2 k + 2 v) k ! Γ(k + v + 1) x2 k+2 v-1 1 22 k+v , 利用：Γ(k + v + 1) = (k + v) Γ(k + v) = xv k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v) x 2 2 k+v-1 = xv Jv-1(x) x [x-v Jv(x)] = x x-v k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 级数内闭一致收敛 ，可逐项求导 = k=1 ∞ (-1) k 2 k k ! Γ(k + v + 1) x2 k-1 1 22 k+v , 注意因为有 2 k 因子，求和指标 k 可从 1 开始 = -x-v k′=0 ∞ (-1) k′ k′ ! Γ(k′ + v + 1 + 1) x 2 2 k′+v+1 其中 k = k′ + 1 = -x-v Jv+1(x) 由基本递推关系 (1.2) 得： x [xv Jv(x)] = xv Jv-1(x) x [x-v Jv (x)] = -x-v Jv+1(x) ⟹ ν xv-1 Jv(x) + xν Jv ′(x) = xv Jv-1(x) -ν x-v-1 Jv(x) + x-ν Jv ′(x) = -x-v Jv+1(x) ⟹ ν Jv(x) + x Jv ′(x) = x Jv-1(x) -ν Jv(x) + x Jv ′(x) = -x Jv+1(x) 分别消去 Jv 和 Jv ′，可得两个递推关系： Jv-1(x) - Jv+1(x) = 2 Jv ′(x) Jv-1(x) + Jv+1(x) = 2 v x Jv(x) 令 v = 0，可得：-J1(x) = J0 ′ (x) (1.3) 注意上式对任意阶数 v 成立。 由第二类Bessel函数 Nv(x) 的定义：Nv(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π 可得 Nv(x) 满足相同的递推关系 ： x [xv Nv(x)] = xv Nv-1(x) x [x-v Nv(x)] = -x-v Nv+1(x) 和 Nv-1(x) - Nv+1(x) = 2 Nv ′(x) Nv-1(x) + Nv+1(x) = 2 v x Nv(x) (1.4) 柱函数 满足以下递推关系的函数 x [xv Zv(x)] = xv Zv-1(x) x [x-v Zv(x)] = -x-v Zv+1(x) 称为 柱函数 ☺ 例 1. 试证明柱函数必满足Bessel方程，反之不然。 证明：类似于Legendre函数 ，现在需要从递推关系导出微分方程 。 z14a.nb 5
由柱函数的定义(递推关系)可得:{()"2()+x2(0)=x2z(0) 有(1),(2)消去z得:J(x)=-J(x)-J-1(x) 递推关系中最大与最小下标差2,J应该满足二阶微分方程。为此 (2)式对x求导得:-z(x)+z"(x)+xZ"(x)=-2+(x)-xZ+1(x) (1)式v→+1得:(v+1)Z+(x)+xZ+1(x)=x2(x) 上两式消去Z1得:-Zx)+z(x)+xZ(x)=vZ(x)-xZ(x) 再利用(2)消去Z+1:-xz(x)+xz(x)+x2zr(x)=vvZ,(x)-xZ(x)-x2z(x) 整理:x2z(x)+xz2(x)+(x2-y2)Zx)=0此即Bese方程 反之, Bessel函数J(x)满足 Bessel方程,C;(x)=vJ(x)也必满足 Bessel方程 但:[x"Cx)=[x"vJ(x)=vx"J(x)=vx"Jy-1(x) x"C-1(x)≠xCr-1(x) 尽管Cx)=vJ(x)满足 Bessel方程,但它并非柱函数 目例2.计算积分:1=0(1-)xdx,其中4a)=0 解:利用柱函数递推关系:[x"Jx)=xyJ1-1(x)一 x"J(ax)=x"J-1(ax):x的幂次比J的阶数多1,必能写成全微分形式 =[(-x2)4ax)xdx=[(1-x)-[ x,(ax)ldx分部积分 (1-2)xJ(axl x,(ax)(2x)dx x2x)dx幂次比阶数多1 r22(axdx=J2(a) 接下去利用已知条件J(a)=0和递推关系降阶 由递推关系:J(x)+小2(x)=-J1(x)→J2(a 故:l=-J1(a) 目例3.试求:=Jx) cos xdx 解:l=xJ(x)cos x o(r)cos rdx =xJo(x)cos x- [x Jo(r)cos x-xJo(r)sin x]dx FIH: Jo(x)=1(r) x Jo(x)cos x+IxJ(x)]cosx+rJo(x)sinx/dx xJo(x)cosx+ I[xJ(x)]sin.xy' dx xJo(x)cosx +x,(r)sin x
由柱函数的定义 （递推关系） 可得： (1) v Zv(x) + x Zv ′(x) = x Zv-1(x) (2) - v Zv(x) + x Zv ′(x) = -x Zv+1(x) 有(1), (2) 消去 Zv ′ 得：Jv+1(x) = 2 v x Jv(x) - Jv-1(x) 递推关系中最大与最小下标差 2，Jv 应该满足二阶微分方程 。为此 (2) 式对 x 求导得： -v Zv ′(x) + Zv ′(x) + x Zv ″(x) = -Zv+1(x) -x Zv+1 ′ (x) (1) 式 v ⟶ v + 1 得：(v + 1) Zv+1(x) +x Zv+1 ′ (x) = x Zv(x) 上两式消去 Zv+1 ′ 得：-v Zv ′(x) + Zv ′(x) + x Zv ″(x) = v Zv+1(x) - x Zv(x) 再利用 (2) 消去 Zv+1：-v x Zv ′(x) + x Zv ′(x) + x2 Zv ″(x) = v [v Zv (x) - x Zv ′(x)] - x2 Zv(x) 整理：x2 Zv ″(x) + x Zv ′(x) + x2 - v2 Zv(x) = 0 此即 Bessel 方程。 反之，Bessel函数 Jv(x) 满足Bessel方程 ，Cv(x) = v Jv(x) 也必满足Bessel方程 ， 但：[xv Cv(x)]′ = [xv v Jv(x)]′ = v[xv Jv(x)]′ = v xv Jv-1(x) = v v - 1 xv Cv-1(x) ≠ xv Cv-1(x) 尽管 Cv(x) = v Jv(x) 满足Bessel方程 ，但它并非柱函数 。 ☺ 例 2. 计算积分： I = ∫0 1 (1 -x2 J0(a x) x x，其中 J0(a) = 0 解：利用柱函数递推关系 ： [xv Jv(x)]′ = xv Jv-1(x) ⟶ 1 a [xv Jv(a x)] ′ = xv Jv-1(a x)：x 的幂次比 J 的阶数多 1，必能写成全微分形式 I = 0 1 1 - x2 J0(a x) x x = 0 1 1 - x2 1 a [x J1(a x)] ′ x 分部积分 = 1 a 1 - x2 x J1(a x) 0 1 - 1 a 0 1 x J1(a x) (-2 x) x = 2 a 0 1 x2 J1(x) x = 2 a 0 1 1 a x2 J2(a x) ′ x = 2 a2 J2(a) 幂次比阶数多 1 接下去利用已知条件 J0(a) = 0 和递推关系降阶 ， 由递推关系 ：J0(x) + J2(x) = 2 x J1(x) ⟶ J2(a) = 2 a J1(a) 故：I = 4 a3 J1(a) ☺ 例 3. 试求：I = 0 x J0(x) cos x x 解：I = x J0(x) cos x 0 x - 0 x x [J0(x) cos x]′ x = x J0(x) cos x - 0 x [x J0 ′ (x) cos x - x J0(x) sin x] x 利用：J0 ′ (x) = -J1(x) = x J0(x) cos x + 0 x [x J1(x)] cos x + x J0 (x) [x J1(x)]′ sin x x = x J0(x) cos x + 0 x {[x J1(x)] sin x}′ x = x J0(x) cos x + x J1(x)sin x 6 z14a.nb
14a. nb Clear [x]i Integrate[ BesselJ[0,x]c。s【x],x] FunctionExpand [% x HypergeometricPEQ BesselJ [0, x] Cos [x]+x BesselJ [l, x sin[x] 目例4.试证明:6(x)+2∑(x)=1 解:由生成函数 (x)a 类似地:c(r1-川|=Jm()厂m级数绝对收敛 两式相乘:左边=1=右边= Jm(x)Jn(x)A k ∑ JA()Jk+dx)/ 展开的唯一性:t的零次幂系数为1 6(x)+2)(x)=1 展开的唯一性:t的1次幂系数为0 J(x)Jk+1(x)=0 其实:A(x)4x1(x)=Sk(x)4t(x)+A(x)1(x),第二项令k=-k 并利用Jk=(-14:=)Jx)k+(x)+)(-)(x)(-1-1k-1(x) =SJ(x)k(x)-S(x)k1()=0 Sum[BesselJ [n, x] BesselJ[n+l, x], [n,-10001, 100001] Q数值计算 目例5.试设计一种算法计算 Bessel函数J(x),n为整数。 2 解:由递推关系:J-1(x)+J+(x)=-J(x)→Jm+1(x)=-J(x)-Jm1(x)
Clear[x]; Integrate[BesselJ[0, x] Cos[x], x] FunctionExpand[%] x HypergeometricPFQ 1 4 , 3 4 , 1 2 , 1, 3 2 , -x2 x BesselJ[0, x] Cos[x] + x BesselJ[1, x] Sin[x] ☺ 例 4. 试证明：J0 2(x) + 2 n=1 ∞ Jn 2( x) = 1 解：由生成函数 ：exp x 2 t - t -1 = n=-∞ ∞ Jn(x) t n 类似地： exp x 2 t -1 - t = m=-∞ ∞ Jm(x) t -m 级数绝对收敛 两式相乘 ：左边 = 1 = 右边 = n=-∞ ∞ m=-∞ ∞ Jm(x) Jn(x) t n-m 令 m = k n - m = l ⟹ 1 = l=-∞ ∞ k=-∞ ∞ Jk(x) Jk+l(x) t l 展开的唯一性 ：t 的零次幂系数为 1 ⟹ k=-∞ ∞ Jk(x) Jk(x) = 1 J-n(x) = (-1)n Jn(x) J0 2(x) + 2 n=1 ∞ Jn 2( x) = 1 展开的唯一性 ：t 的 1 次幂系数为 0 ⟹ k=-∞ ∞ Jk(x) Jk+1(x) = 0 其实： k=-∞ ∞ Jk(x) Jk+1(x) = k=0 ∞ Jk(x) Jk+1(x) + k=-∞ -1 Jk(x) Jk+1(x), 第二项令 k = -k′ 并利用 J-k = (-1)k Jk： = k=0 ∞ Jk(x) Jk+1(x) + k=∞ 1 (-1)k′ Jk′(x) (-1)k′-1 Jk′-1(x) = k=0 ∞ Jk(x) Jk+1(x) - k=0 ∞ Jk(x) Jk+1(x) = 0 Sum[BesselJ[n, x] BesselJ[n + 1, x], {n, -10 001, 10 000}] 0 数值计算 ☺ 例 5. 试设计一种算法计算Bessel函数 Jn(x)，n 为整数。 解：由递推关系 ：Jv-1(x) + Jv+1(x) = 2 v x Jv(x) ⟶ Jn+1(x) = 2 n x Jn(x) - Jn-1(x) z14a.nb 7
可否像 Legendre多项式那样迭代:Pn1(x)= xp(x) Pr-I(r) 即由Jx),J1(x)求出2(x),以此类推?No!以x=1为例 正向迭代: 先利用番 Mathematica代码先算出Jo()及J(1) nn(x) 再由迭代关系:Jn+1(x)=-Jm(x)-Jl-1(x)一直计算到/2s(1) 记由此算法计算得到的Bese函数为:J(x) 令误差mn(x)=Logn (x)-J(x) 右图画出x=1时n(x)与n的关系 由图可见,这种算法在n=20时n20~30,意味着相对误差达10°,结果完全没有意义。 失败原因?看A1)=Lg/a)--( B,(r) Jm-(r) 分子是利用递推关系计算J+(x)时的两项之差 分母是分子所含两项中的一项 °oo 右图画出x=1时B(x)与n的关系 由图可见,这种算法在n=10时B10~2,意味着在从Jx)与o(x)计算1(x)丢失了两位有效数字 注:假设有一个有7位有效数字的数a=1.234567且 相当于b≈1.234567 101≈1.22234(这里保留7位有效数字) a,b相减的运算a-b=0.012223仅有5位有效数字,丢失了2位有效数字 即:当(a-b)/b=10-2时,a-b的值相比于a或b丢失了2位有效数字 从图还可以看到,βn(x)随n单调下降,意味着这种丢失有效数字的现象随着迭代愈发严重 因此,我们不可能期望在做了十几次迭代后,还能得到精确的值。——一正向迭代是不稳定的 到这种情况,通常采用逆向迭代法,即由n较大时的函数值,逆向求解n较小时的函数值 先利用番 Mathematica代码先算出J3o(1)及小31(1) 再由选代关系:J(m)25从(1…1(x,一直计算到b(1) 由此算法计算得到的Bee函数记为:Jn(x) -14.0 令相对误差nx)=Log 3(x)-J(x) Jn(x) 右图画出x=1时nx)与n的关系 由图可见,这种算法在保证结果的相对误差都在10-14逆向迭代是稳定的 如何取起始值 给定一个x值,由J(x)的性质可知,logx n(x)随n增大而下降, lim J(x)=0 右图为x=1时M(x随n的变化 可看出随n增大,n(x迅速下降
可否像Legendre多项式那样迭代 ：Pn+1(x) = (2 n + 1) (n + 1) x Pn(x) - n (n + 1) Pn-1(x) 即由 J0(x), J1(x) 求出 J2(x), 以此类推 ？No！ 以 x = 1 为例。 正向迭代 ： 先利用 Mathematica 代码先算出 J0(1) 及 J1(1) 再由迭代关系 ：Jn+1(x) = 2 n x Jn(x) -Jn-1(x) 一直计算到 J25(1) 记由此算法计算得到的Bessel函数为 ：J n(x) 令误差 ηn(x) = Log10 J n(x) - Jn(x) Jn(x) 右图画出 x = 1 时 ηn(x) 与 n 的关系 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 5 10 15 20 n -10 10 20 30 40 ηn(x) 由图可见，这种算法在 n = 20 时 η20 ∼ 30, 意味着相对误差达 1030，结果完全没有意义 。 失败原因 ？看 βn(x) = Log 2 n x Jn(x) - Jn-1(x) Jn-1(x) 分子是利用递推关系计算 Jn+1(x) 时的两项之差 分母是分子所含两项中的一项 右图画出 x = 1 时 βn(x) 与 n 的关系 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 5 10 15 20 n -3 -2 -1 0 1 βn(x) 由图可见，这种算法在 n = 10 时 β10 ∼ 2, 意味着在从 J 9(x) 与 J 10(x) 计算 J 11(x) 丢失了两位有效数字 。 注：假设有一个有7位有效数字的数 a = 1.234567 且： (a - b) b = 10-2; 相当于 b = 1.234567 1.01 = 1.22234 （这里保留7位有效数字 ）， a, b 相减的运算 a - b = 0.012223 仅有5位有效数字 ，丢失了 2 位有效数字 即：当 (a - b)/b = 10-2 时，a - b 的值相比于 a 或 b 丢失了 2 位有效数字 。 从图还可以看到 ， βn(x) 随 n 单调下降，意味着这种丢失有效数字的现象随着迭代愈发严重 。 因此，我们不可能期望在做了十几次迭代后 ，还能得到精确的值 。—— 正向迭代是不稳定的 逆向迭代 ： 遇到这种情况 ，通常采用逆向迭代法 ，即由 n 较大时的函数值 ，逆向求解 n 较小时的函数值 。 先利用 Mathematica 代码先算出 J30(1) 及 J31(1) 再由迭代关系 ：Jv-1(x) = 2 v x Jv(x) - Jv+1(x)，一直计算到 J0(1) 由此算法计算得到的Bessel函数记为 ：J n(x) 令相对误差 ηn(x) = Log J n(x) - Jn(x) Jn(x) 右图画出 x = 1 时 ηn(x) 与 n 的关系 ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦ 0 5 10 15 20 25 n -14.5 -14.0 -13.5 -13.0 ηn(x) 由图可见，这种算法在保证结果的相对误差都在 10-14 —— 逆向迭代是稳定的 如何取起始值 ？ 给定一个 x 值，由 Jn(x) 的性质可知 ， Jn(x) 随 n 增大而下降 ，lim n∞Jn(x) = 0 右图为 x = 1 时 Jn(x) 随 n 的变化 可看出随 n 增大，Jn(x) 迅速下降 ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ 5 10 15 20 n -20 -15 -10 -5 0 log(Jn(x)) 8 z14a.nb
z14a. nb 因此,若要计算某个m值的Jm(xo) ,--+1(xo)=0 再由 Bessell函数的逆向迭代关系 求出所有阶数的值:Jn(xo),n=0,1,2,…,m 尽管2(0)≠m(x0,但m(0)女 =a与n无关 因而从J(x0)到Jxo)只需除以一个与n无关的常数,也就是重整( renormalize) 如何重整? 利用Bes函数的生成函数 cr=∑4(Pm 令 J(x)+2)J2k(x)=1 而:S=30x)+2)2(x) O,(x) 给出 Bessel函数 由图可见,这种算法在保证结果的相对误差<10-13(图中取nmax=150) 文件z14-02包含这些迭代计算的备 Mathematica代码 也可利用:56(x)+2(x)=1重整 当然,也可利用其它算法计算Jo(x),利用、Jo(x)的值来重整 143 Bessel函数的其他性质 Q微商表示 类似于 Legendre多项式的 Rodrigues表示,整数阶Bess!函数,也可以表示为微商形式。 出发点依旧是柱函数的两个基本递推关系 对整数阶 Bessel函数:利用柱函数的递推关系式 令:U(x)≡ d Un(x) d[x"Jn(x) =-x"n+(x)=-x Un(r) 即:Um+1(x) [Un(x)l r dx 进一步化为:Jn(x)=(-1)x 1 d y 对 Neumman函数也有类似公式,以为 Neumman函数也是柱函数 即:Na()=(-yx2 对半奇数阶Besl函数,先化为球 Bessel函数,再推导
因此，若要计算某个 m 值的 Jm(x0) 可取 nmax ≫ m, 令： J nmax+1(x0) = 0 J nmax (x0) = ε ∼ 10-100 再由Bessel函数的逆向迭代关系 ： J n-1(x0) = 2 n x J n(x0) - J n+1(x0) 求出所有阶数的值 ：J n(x0), n = 0, 1, 2, … m 0 10 20 30 40 50 60 70 n 220 240 260 280 300 rn(x) 尽管 J n(x0) ≠ Jn(x0)，但 rn(x0) = J n(x0) Jn(x0) = α 与 n 无关， 因而从 J n(x0) 到 Jn(x0) 只需除以一个与 n 无关的常数 ，也就是重整 （renormalize） 如何重整 ？ 利用Bessel函数的生成函数 (x/2) (t-t-1) = n=-∞ ∞ Jn(x) t n 令 t = 1 ⟶ J0 (x) + 2 k=1 ∞ J2 k(x) = 1 而：S = J 0(x) + 2 k=1 ∞ J 2 k(x) 则： J n(x) S 给出Bessel函数 Jn(x) 的值。 0 10 20 30 40 50 60 70 n -15.5 -15.0 -14.5 -14.0 -13.5 -13.0 ηn(x) 由图可见 ，这种算法在保证结果的相对误差 < 10-13 （图中取 nmax = 150） 文件 z14-02 包含这些迭代计算的 Mathematica代码 也可利用 ：J0 2(x) + 2 n=1 ∞ Jn 2( x) = 1 重整 当然，也可利用其它算法计算 J0(x)，利用 J0(x) 的值来重整 。 14.3 Bessel 函数的其他性质 微商表示 类似于Legendre多项式的 Rodrigues 表示，整数阶Bessel函数，也可以表示为微商形式。 出发点依旧是柱函数的两个基本递推关系。 对整数阶Bessel函数：利用柱函数的递推关系式 令：Un(x) ≡ Jn(x) xn ⟶ Un(x) x = [x-n Jn(x)] x = -x-n Jn+1(x) = -x Un+1(x) 即：Un+1(x) = - 1 x x [Un(x)] = - 1 x x [Un(x)] = (-1)n+1 1 x x n+1 [U0(x)] 进一步化为 ：Jn(x) = (-1)n xn 1 x x n J0(x) 对Neumman函数也有类似公式 ，以为Neumman函数也是柱函数 即：Nn(x) = (-1) n xn 1 x x n N0(x) 对半奇数阶Bessel函数，先化为球Bessel函数，再推导。 z14a.nb 9
10 z14anb x'J(x)=x"J-1(x) I**l n(x)=r"+lim-1( xJ(x)]=-x-"J+1( Ix" jn(x)=-x"n+I() 令:U(x)≡ Jn(x) d Un(x) drain(x) -x"n+I(x)=-x Un+l(x) 即:Un+1(x)= Un(x)]=(-1)m Uo(x) 进一步化为:(x)=(-1)x Jo(x)比较:4(x)=(-/d 对第二类球Bese函数也有类似公式。 J(x)无法表示为初等函数,(x)是否可以表为初等函数? 台k++)(2)中取r=1 在级数表示:J()=(-1) (-1) 2 =(yx=如x,其中利用了:(=V,2k(2k+1)=(2k+D x台d(2k+1)! J1(x)-J1(x) -N1(x) 利用了M( COS vT)J-J smnv丌 k!rk+1 (-1)x2k k!22k+1 xk!24(2k-1) =-—,其中利用了 Vr,2k!(2k-1)!1=(k)! sinx n(x)=(-1y J(x)=(-1)x2 Rayleigh公式 nn(x)=(-1)2x2 n(x)=-(-1yx 目例1.在§13.1中,我们讨论了 Jacobl-Anger公式,即:把平面波展开为柱面波之叠加。 试证明 Rayleigh方程,即:将平面波展开为球面波之叠加 exp[ i y]=)i(21+ 1)in(kr)P (cos y) Rayleigh方程 比较: exp[i k pcos=)pJkp)cn6 Jacobi- Anger公式
jn(x) = π 2 x J n+1 2 (x) 由： x [xv Jv(x)] = xv Jv-1(x) x [x-v Jv (x)] = -x-v Jv+1(x) 令：v=n+1/2 x xn+1 jn(x) = xn+1 jn-1(x) x [x-n jn(x)] = -x-n jn+1(x) 令：Un(x) ≡ jn(x) xn ⟶ Un(x) x = [x-n jn(x)] x = -x-n jn+1(x) = -x Un+1(x) 即：Un+1(x) = - 1 x x [Un(x)] = (-1)n+1 1 x x n+1 [U0(x)] 进一步化为 ：jn(x) = (-1) n xn 1 x x n j0 (x) 比较： Jn(x) = (-1)n xn 1 x x n J0(x) 对第二类球Bessel函数也有类似公式 。 J0(x) 无法表示为初等函数 ， j0(x) 是否可以表为初等函数 ？ 在级数表示 ： Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 中取 v = 1 2 ，则 j0(x) = π 2 x J 1 2 (x) = π 2 k=0 ∞ (-1)k k ! Γ k + 1 + 1 2 x 2 2 k = π 2 k=0 ∞ (-1)k x2 k k ! 22 k Γ k + 1 + 1 2 = π 2 k=0 ∞ (-1)k x2 k k ! 22 k 2-k-1 (2 k + 1)!! Γ 1 2 = 1 x k=0 ∞ (-1) k x2 k+1 (2 k + 1)! = sin x x , 其中利用了 ：Γ 1 2 = π , 2k k ! (2 k + 1)!! = (2 k + 1)! n0(x) = π 2 x N1 2 (x) = cos π 2 J 1 2 (x) - J -1 2 (x) sin π 2 , 利用了 Nv = (cos v π) Jv - J-v sin v π = - π 2 x J -1 2 (x) = - π 2 x k=0 ∞ (-1)k k ! Γ k + 1 - 1 2 x 2 2 k-1/2 = - π x k=0 ∞ (-1)k x2 k k ! 22 k Γ k + 1 - 1 2 = - π x k=0 ∞ (-1)k x2 k k ! 2k (2 k - 1)!! Γ 1 2 = -1 x k=0 ∞ (-1)k x2 k (2 k)! = - cos x x , 其中利用了 ：Γ 1 2 = π , 2k k ! (2 k - 1)!! = (2 k)! 从而： jn(x) = (-1)n xn 1 x x n j0 (x) = (-1)n xn 1 x x n sin x x nn(x) = (-1)n xn 1 x x n n0(x) = -(-1)n xn 1 x x n cos x x —— Rayleigh 公式 ☺ 例 1. 在§ 13.1中，我们讨论了 Jacobi-Anger 公式，即：把平面波展开为柱面波之叠加。 试证明 Rayleigh方程，即：将平面波展开为球面波之叠加。 exp[ k r cos γ] = l=0 ∞ l (2 l + 1) jl(k r) Pl(cos γ) —— Rayleigh 方程 (1.5) 比较：exp[ k ρ cos θ] = n=-∞ ∞ n Jn(k ρ) n θ —— Jacobi - Anger 公式 10 z14a.nb