12 正交曲线坐标系 分离变量法是求解数理方程(偏微分方程)的常用方法 在分离变量法中,我们需要齐次边条,再把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条,进而求解本征值问题。 例如:当边界在x=a平面时,在直角坐标系中,我们可以轻易地把多元函数的1类齐次边条化为单变量函数的齐次边条 uxy2=l-=0-=0x(a)10)2)moL=0→Xa)=0 但如果边界是球面,取直角坐标系显然不能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条 直角坐标系将得到:u(x,y,,ol2+)+=a=0 X(r)Yo)Z)7( 无法得到单变量函数的齐次边条 这时应该取球坐标(r,6,卣),在球坐标中进行分离变量,从而有 u(r,B,d,D=a=0“=的吗的10,Rr)66)(6)了0 R(a)=0 所以,要利用分离变量法,应该取合适的坐标系,使得 边界在所取的坐标系中对应于某一个坐标变量等于常数 这样才能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条,从而利用齐次边条定出本征值、本征函数。 所以我们有以下结论:体系的边界决定了我们应该取什么样的坐标系。或者,说得更迷人或更迷蒙一点 体系的对称性决定了坐标系。 对 Laplace方程(波动方程可化为 Helmholtz方程,比 Laplace方程稍微复杂,分离变量的做法相同),数学上证明了 只有在11种坐标系中才能通过分离变量求解。这11种坐标系包括(常用的): 直角坐标系、球坐标系、圆柱坐标系 当然还有:椭圆柱坐标系、抛物柱面坐标系、扁球面坐标系、长球面坐标系、圆锥坐标系等等。 因为我们要在球坐标系、圆柱坐标系中应用分离变量法,为此我们需要了解一些曲线坐标系的常识, 如:梯度、散度、旋度、特别是 Laplacian(2)的表达形式,因为数理方程大多涉及 Laplacian(四2)运算。 这里的推导没有涉及各种几何意义,可作为大部分数学教材的一种 alternative 121正交曲线坐标系 Q直角坐标系中的矢量分析公式 先回顾直角坐标系的矢量分析公式。除特别说明,以下公式中隐含了对重复指标求和( Einstein求和约定) 位置矢量、微分线元:对空间上以直角坐标(x,y,z)表征的任意一点P, 位置矢量:F=xtx+yby+2=xt,为从坐标原点到P点的矢量。其中x1=x,x2=y,x3=z
12 正交曲线坐标系 分离变量法是求解数理方程（偏微分方程）的常用方法。 在分离变量法中，我们需要齐次边条，再把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，进而求解本征值问题。 例如：当边界在 x = a 平面时，在直角坐标系中，我们可以轻易地把多元函数的 I 类齐次边条化为单变量函数的齐次边条 u(x, y, z, t)x=a = 0 u(x,y,z,t)=X(x) Y(y) Z(z) T (t) X(x) Y(y) Z(z) T(t) x=a = 0 ⟶ X(a) = 0 但如果边界是球面，取直角坐标系显然不能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条。 直角坐标系将得到 ：u(x, y, z, t)x2+y2+z2= a2 = 0 u(x,y,z,t)=X(x) Y(y) Z(z) T (t) X(x) Y(y) Z(z) T(t) x2+y2+z2= a2 = 0 无法得到单变量函数的齐次边条 。 这时应该取球坐标 (r, θ, ϕ)，在球坐标中进行分离变量，从而有： u(r, θ, ϕ, t)r=a = 0 u(r,θ,ϕ,t)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) T(t) R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) T(t) r=a = 0 ⟶ R(a) = 0 所以，要利用分离变量法，应该取合适的坐标系，使得 边界在所取的坐标系中对应于某一个坐标变量等于常数 。 这样才能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，从而利用齐次边条定出本征值、本征函数。 所以我们有以下结论：体系的边界决定了我们应该取什么样的坐标系。或者，说得更迷人或更迷蒙一点， 体系的对称性决定了坐标系 。 对Laplace方程（波动方程可化为Helmholtz方程，比Laplace方程稍微复杂，分离变量的做法相同），数学上证明了： 只有在11种坐标系中才能通过分离变量求解。这11种坐标系包括（常用的）： 直角坐标系 、球坐标系 、圆柱坐标系 当然还有：椭圆柱坐标系、抛物柱面坐标系、扁球面坐标系、长球面坐标系、圆锥坐标系等等。 因为我们要在球坐标系、圆柱坐标系中应用分离变量法，为此我们需要了解一些曲线坐标系的常识， 如：梯度、散度、旋度、特别是 Laplacian（∇2）的表达形式，因为数理方程大多涉及 Laplacian （∇2）运算。 这里的推导没有涉及各种几何意义，可作为大部分数学教材的一种 alternative。 12.1 正交曲线坐标系 直角坐标系中的矢量分析公式 先回顾直角坐标系的矢量分析公式。除特别说明，以下公式中隐含了对重复指标求和（Einstein 求和约定）。 位置矢量、微分线元：对空间上以直角坐标 (x, y, z) 表征的任意一点 P， 位置矢量 ：r = x e x + y e y + z e z = xi e i，为从坐标原点到 P 点的矢量。其中 x1 = x, x2 = y, x3 = z
2 z12anb 1=,2=y,t3=2=为直角坐标的三个基矢,这三个基矢与空间点的位置无关,长度为l。 微分线元:d=xdx+bydy+2d==dx,因坐标{xl发生变化导致的位置矢量的变化 上式表明:若保持其它坐标不变,只让坐标x发生一微小变化,位置矢量沿e方向移动了长度dx 梯度:对标量函数(x,y,z) vφ(x,y, 其中x1=x,x2=y,x3=x,a 1=x,p2=py,23=己 性质:全微分d428,y+d=(x,y,=)d,其中dr=2dx为微分线元 上式表明 因坐标{x}变化导致函数的变化d,等于该函数的梯度与位置矢量的微分线元d之标量积 又:让位置矢量沿某方向e做一微小变化:d=2dl,函数值的变化为: 2),d=1cy),ad1=4=b,Vx 上式表明 梯度与任意方向单位矢量的标量积等于函数沿该方向的方向导数。 以上两个性质作为是推导一般坐标系中梯度、散度、旋度和 Laplacian等各种表达式的基础 散度:对矢量函数讠x,y,-)=1(x,y,z)+2(x,y,)+(x,y,2)=H ⅴ·真(x,y,) av av3 av3 =01,其中a1V 旋度:对矢量函数真xy,)=(x,y,z)+2(x,y,2)+3(x,y,2)=H 色123 xxy)=|a1a2a3/=/a吃 av av3 dv2 av dx3 d Iv xPi, y. )=c 若下标犹=123及其循环置换 其中E为Lev-Cwa符号:={-1若下标=321及其循环置换 0其它 d×b=m己ab或更简单些:a,(a×b)=-1b Levi-Cvta符号满足:{=-=-=-任意两下标互换,差一负号 Eyk Emmk dim o n ojm 6m=30m-0m=20m Laplacian:对标量函数(x,y,) ax00n9a,.其中0= V2y(x,y,)=-+-+ laplacian V2的平移、转动不变性 容易看出, Laplacian在坐标平移变换下是不变的 坐标平移:x=x+a;i=1,2,3,满足 dx
e 1 = e x, e 2 = e y, e 3 = e z 为直角坐标的三个基矢 ，这三个基矢与空间点的位置无关 ，长度为 1。 微分线元 ： r = e x x + e y y + z e z z = e i xi， 因坐标 {xi} 发生变化导致的位置矢量的变化 上式表明 ：若保持其它坐标不变 ，只让坐标 xi 发生一微小变化 ，位置矢量沿 e i 方向移动了长度 xi 梯度：对标量函数 φ(x, y, z) ∇φ(x, y, z) = ∂ φ ∂ x e x + ∂ φ ∂ y e y + ∂ φ ∂ z e z = e i ∂i φ, 其中 x1 = x, x2 = y, x3 = z, ∂i φ ≡ ∂ φ ∂ xi , e 1 = e x , e 2 = e y , e 3 = e z 性质：全微分 φ = ∂ φ ∂ x x + ∂ φ ∂ y y + ∂ φ ∂ z z = [∇φ(x, y, z)]· r , 其中 r = e i xi 为微分线元 上式表明 ： 因坐标 {xi} 变化导致函数的变化 φ，等于该函数的梯度与位置矢量的微分线元 r 之标量积。 又：让位置矢量沿某方向 e l 做一微小变化 ： r = e l l，函数值的变化为 ： φ = [∇φ(x, y, z)]· r = [∇φ(x, y, z)]· e l l ⟹ φ l = e l ·∇φ(x, y, z) 上式表明 ： 梯度与任意方向 单位矢量 的标量积等于函数沿该方向的方向导数 。 以上两个性质作为是推导一般坐标系中梯度 、散度、旋度和 Laplacian 等各种表达式的基础 。 散度：对矢量函数 V(x, y, z) = V1(x, y, z) e x + V2(x, y, z) e y + V3(x, y, z) e z = Vi e i ∇ ·V(x, y, z) = ∂ V1 ∂ x1 + ∂ V2 ∂ x2 + ∂ V3 ∂ x3 = ∂iVi , 其中 ∂i Vi = ∂ Vi ∂ xi 旋度：对矢量函数 V(x, y, z) = V1(x, y, z) e x + V2(x, y, z) e y + V3(x, y, z) e z = Vi e i ∇ V(x, y, z) = e 1 e 2 e 3 ∂1 ∂2 ∂3 V1 V2 V3 = e 1 ∂ V3 ∂ x2 - ∂ V2 ∂ x3 + e 2 ∂ V1 ∂ x3 - ∂ V3 ∂ x1 + e 3 ∂ V2 ∂ x1 - ∂ V1 ∂ x2 = ϵijk e i ∂ jVk, ∇ V(x, y, z) i = ϵijk ∂ jVk = ∂ jVk ϵjki 其中 ϵijk 为 Levi - Civita符号：ϵijk = 1 若下标 ijk = 123 及其循环置换 -1 若下标 ijk = 321 及其循环置换 0 其它 Levi - Civita符号满足： ab = ϵijk e i aj bk 或更简单些 ：e i ·ab = ϵijk aj bk ϵijk = -ϵjik = -ϵikj = -ϵkji 任意两下标互换 ，差一负号 ϵijk ϵmnk = δim δ jn - δin δ jm ϵi jk ϵm jk = δim δ jj - δij δ jm = 3 δim - δim = 2 δim Laplacian：对标量函数 φ(x, y, z) ∇2 φ(x, y, z) = ∂2 φ ∂ x1 2 + ∂2 φ ∂ x2 2 + ∂2 φ ∂ x3 2 = ∂i ∂i φ, 其中 ∂i φ = ∂ φ ∂ xi Laplacian ∇2 的平移、转动不变性 容易看出，Laplacian 在坐标平移变换下是不变的 坐标平移 ：xi ′ = xi + αi i = 1, 2, 3, 满足： ∂ x j ∂ xi ′ = δi j 定义：∂i φ = ∂ φ ∂ xi , ∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ 2 z12a.nb
z12anb 3 显然:af 从而: Laplacian V2=001y=00y Laplacian在转动变换下也是不变的 对于一个由 Euler角(a,B,y)确定的转动,空间同一点新旧坐标的变换关系为 cos ar cos Bcos siny -cos a cos Bsiny-sin a cos y os a sin B x=A/x转动矩阵:A=| sin a cos y- cos a siny- sin a cos Bsiny+ cos a cosy sin a sin B 转动矩阵满足:AT=A1 x/=}x Alap=Aya/p a xf ax dx daiy=ar [Ak Ok]= AikOkdiy= Ai aklAagl AkA020/9=Ai}A,0k09=6k0209=0/0 Q正交曲线坐标系 空间上的任意一点P可以用直角坐标(x,y,2)或(x1,x2,x3)表征 若果存在一组独立、连续、可微的单值函 a1=f(x1,x2,x3),2=左(x1,x2,x3),=f(x1,x2,x3) 并且其反函数 也独立、连续、可微、单值 那么P点的坐标就也可以用(1,n2,n3)表征,因为(x1,x2,x3)与(u1,n2,l3)一一对 (,n2,3)称为空间点P的曲线坐标 用曲线坐标来描述空间任意点位置的坐标系称为曲线坐标系 典型的曲线坐标系如: x2+y2+=) 圆球坐标系 rsin e sin d =rcos e 0 柱坐标系:{y=p psin d x 个函数独立的要求为: Jacobi行列式不等于0 ≠0
显然：∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ = ∂ φ ∂ xk ∂ xk ∂ xi ′ = ∂ φ ∂ xk δi k = ∂ φ ∂ xi = ∂i φ 从而：Laplacian ∇2 φ = ∂i ∂i φ = ∂i ′ ∂i ′ φ Laplacian 在转 动变换下也是不变的 对于一个由 Euler 角 (α, β, γ) 确定的转动 ，空间同一点新旧坐标的变换关系为 ： xi ′ = Ai j x j 转动矩阵 ：A = cos α cos β cos γ - sin α sin γ -cos α cos β sin γ - sin α cos γ cos α sin β sin α cos β cos γ - cos α sin γ -sin α cos β sin γ + cos α cos γ sin α sin β -sin β cos γ sin β sin γ cos β 转动矩阵满足 ：AT = A-1 ⟹ Ai j -1 = Aj i , x j = Aj i -1 xi ′ ⟹ ∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ = ∂ x j ∂ xi ′ ∂ φ ∂ x j = Aj i -1 ∂ j φ = Ai j ∂ j φ ∂i ′ ∂i ′ φ = ∂i ′ [Ai k ∂k φ] = Ai k ∂k ∂i ′ φ = Ai k ∂k [Ai j ∂ j φ] = Ai k Ai j ∂k ∂ j φ = Ak i -1 Ai j ∂k ∂ j φ = δ j k ∂k ∂ j φ = ∂ j ∂ j φ 正交曲线坐标系 空间上的任意一点 P 可以用直角坐标 (x, y, z) 或 (x1, x2, x3) 表征。 若果存在一组独立、连续、可微的单值函数 u1 = f1(x1, x2, x3), u2 = f2(x1, x2, x3), u3 = f3(x1, x2, x3) 并且其反函数 x = x1 = f 1(u1, u2, u3), y = x2 = f 2(u1, u2, u3), z = x3 = f 3(u1, u2, u3) 也独立、连续、可微、单值， 那么 P 点的坐标就也可以用 (u1, u2, u3) 表征，因为 (x1, x2, x3) 与 (u1, u2, u3) 一一对应。 (u1, u2, u3) 称为空间点 P 的曲线坐标。 用曲线坐标来描述空间任意点位置的坐标系称为曲线坐标系。 典型的曲线坐标系如： 圆球坐标系 ： x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ u1 = r = x2 + y2 + z2 1/2 u2 = θ = cos-1 z r , ρ = x2 + y2 1/2 u3 = ϕ = cos-1 x ρ , y ≥ 0 2 π - cos-1 x ρ , y < 0 圆柱坐标系 ： x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z u1 = ρ = x2 + y2 1/2 u2 = ϕ = cos-1 x ρ , y ≥ 0 2 π - cos-1 x ρ , y < 0 u3 = z 三个函数独立的要求为：Jacobi 行列式不等于 0。 J = ∂ (u1, u2, u3) ∂ (x1, x2, x3) = ∂ u1 ∂ x1 ∂ u1 ∂ x2 ∂ u1 ∂ x3 ∂ u2 ∂ x1 ∂ u2 ∂ x2 ∂ u2 ∂ x3 ∂ u3 ∂ x1 ∂ u3 ∂ x2 ∂ u3 ∂ x3 ≠ 0 z12a.nb 3
z12a nb 在直角坐标系和一般曲线坐标系中,位置矢量产分别表为: ,=,=p,= 即:位置矢量产是坐标的矢量函数 由于坐标变化导致位置矢量的变化,称为微分线元dP,表为全微分形式 其中 0≠( 显然,产:2、x)即为直角坐标中三个单位长度的基矢,因为r=2x中的己为常矢量 现在来看a的方向。以为例。 1 a1的几何意义:在空间某点,保持坐标n和3不变,仅让坐标砌作一微小变化 位置矢量产相对于a1的变化率。 而保持坐标n2和不变,让坐标m1变化,点在空间的轨迹(跑出的曲线)称为坐标曲线n1 显然,坐标曲线a由下列参数方程给出 x2=70,的,的因此坐标曲线的切向为:21+①2+0a2=a x3=/3(u1,n2,l3) 所以,坐标曲线m的切向就是aru,,n) 的方向(此处是方向相同,大小尚未归一) 通常,取坐标曲线a切向的单位矢量作为曲线坐标系的一个基矢a1,因此,曲线坐标系的三个基矢为 ,=一=-,h=|a= 利用了t 这里在直角坐标系中利用 Pythagorean定理求得a的长度h并进行归一化得a P=2dx=adu=h a du d 注意曲线坐标系的基矢尽管长度均为1,但是其方向与空间位置有关,依然是{u1,n2,l3}的函数 即:曲线坐标系的基矢可能不是常矢量。(尽管其长度已归一化,方向会变。) 这一点不同于直角坐标系,后者的三个基矢t都是常矢量 微分线元dP的长度,利用直角坐标系中btk=6k dFdF=(tdx)1(dx)=(2,)dxdx)=dxdx dxk axk ax ax ax2 ax ax3 a g构成的矩阵称为度规。度规的对角元g=h(注意这里gu的两个重复指标不求和) 如果=司={。(,则对应的曲线坐标系称为,正之曲线坐标系 对正交曲线坐标系:4,d=dxdx=dud(注意这里三个重复指标仅对i求和一次)
在直角坐标系和一般曲线坐标系中，位置矢量 r 分别表为： r = e i xi = r (x1, x2, x3) = r (u1, u2, u3), e 1 = e x , e 2 = e y , e 3 = e z 。 即：位置矢量 r 是坐标的矢量函数。 由于坐标变化导致位置矢量的变化，称为微分线元 r ，表为全微分形式 r = ∂ r (x1, x2, x3) ∂ xi xi = e i xi = ∂ r (u1, u2, u3) ∂ ui ui = ai ui, 其中： ∂ r (x1, x2, x3) ∂ xi = e i, ∂ r (u1, u2, u3) ∂ ui = ai 显然， ∂ r (x1, x2, x3) ∂ xi 即为直角坐标中三个单位长度的基矢，因为 r = e i xi 中的 e i 为常矢量。 现在来看 ai 的方向。以 a1为例。 a1 = ∂ r (u1, u2, u3) ∂ u1 定义式 = ∂ x1(u1, u2, u3) ∂ u1 e 1 + ∂ x2(u1, u2, u3) ∂ u1 e 2 + ∂ x3(u1, u2, u3) ∂ u1 e 3 = ∂ xi ∂ u1 e i a1 的几何意义 ：在空间某点 ，保持坐标 u2 和 u3 不变，仅让坐标 u1 作一微小变化 ， 位置矢量 r 相对于 u1 的变化率 。 而保持坐标 u2 和 u3 不变，让坐标 u1 变化，点在空间的轨迹（跑出的曲线）称为 坐标曲线 u1。 显然，坐标曲线 u1由下列参数方程给出 x1 = f 1(u1, u2, u3) x2 = f 2 (u1, u2, u3) x3 = f 3 (u1, u2, u3) , 因此坐标曲线 u1 的切向为： ∂ x1 ∂ u1 e 1 + ∂ x2 ∂ u1 e 2 + ∂ x3 ∂ u1 e 3 = a1 所以，坐标曲线 u1 的切向就是 a1 = ∂ r (u1, u2, u3) ∂ u1 的方向 （此处是方向相同 ，大小尚未归一 ）。 通常，取坐标曲线 u1切向的单位矢量作为曲线坐标系的一个基矢 u 1，因此，曲线坐标系的三个基矢为： u i = ai ai = ai hi , hi = ai = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 , 利用了 ai = ∂ x1 ∂ ui e 1 + ∂ x2 ∂ ui e 2 + ∂ x3 ∂ ui e 3 这里在直角坐标系中利用 Pythagorean 定理 求得 ai 的长度 hi 并进行归一化得 u i r = e i xi = ai ui = hi u i ui, ai = e k ∂ xk ∂ ui 注意曲线坐标系的基矢 u i 尽管长度均为1，但是其方向与空间位置有关，依然是 {u1, u2, u3} 的函数 即：曲线坐标系的基矢 u i 可能不是常矢量。（尽管其长度已归一化，方向会变。） 这一点不同于直角坐标系，后者的三个基矢 e i 都是常矢量。 微分线元 r 的长度，利用直角坐标系中 e k · e k′ = δk k′ r · r = e i xi· e j x j = e i · e j xi x j = xi xi = ai ui· a j uj = ai ·aj ui uj = e k · e k′ ∂ xk ∂ ui ∂ xk′ ∂ uj ui u j = ∂ xk ∂ ui ∂ xk ∂ uj ui uj = gij ui u j gij = ai ·aj = ∂ xk ∂ ui ∂ xk ∂ uj = ∂ x1 ∂ ui ∂ x1 ∂ uj + ∂ x2 ∂ ui ∂ x2 ∂ uj + ∂ x3 ∂ ui ∂ x3 ∂ uj , gij 构成的矩阵称为 度规。度规的对角元 gii = hi 2 （注意这里 gii 的两个重复指标不求和 ） 如果 gij = ai ·aj = hi 2, i = j 0, i ≠ j ，则对应的曲线坐标系称为 ：正交曲线坐标系 对正交曲线坐标系 ： r · r = xi xi = hi 2 ui ui （注意这里三个 重复指标仅对 i 求和一次 ） 4 z12a.nb
z12a nb5 对正交曲线坐标系,总可以对三个两两正交的单位矢量:a1,a2,a3的下标进行适当的调整,使得: i1×i2=D3,i2i3=D1,l3x=a2 这种正交曲线坐标系称为右手系 Take-home message,对正交曲线坐标系,有 dr= e dxs a dushi nidu dFdP=dxdx= gudud正交系 h i dudu 几何意义:若仅仅让第i个坐标作微小变化d山,对应的微分线元长度为:hdl不是d 因此,对正交曲线坐标系中,函数(1,l2,u3)沿a方向的方向导数为 09而非 这里沿方向意味着另两个坐标没有变 Q正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度与 Laplacian 梯度: 当正交曲线坐标(1,,l3)发生一微小变化时,标量函数(x1,x2,x3)=(n,l2,l3)发生的改变可表为函数的全微分 另一方面,当坐标发生一微小变化时,位置矢量的微分线元dP为 d=er=, a du 而梯度的意义就在于:因坐标变化导致函数值的变化dy,等于该函数的梯度与微分线元d的标量积。 令:正交曲线坐标中梯度V=a1m1+a22+a3a,并利用正交曲线坐标系:D,D=:a= d=(Vy),d=(a)h2D2d=01hd如相互独立 (这里不对i求和) 从而:4=12a++一叭 h3 du3 其中:h= 上式即为正交曲线坐标系中梯度的表达式 两个关系式: (a)Vl=-D1证明:以a替代梯度表达式中的y即得。(令=l代入V即得) (b)a1=h2h3(Vn2)x(Vn3),a2=h3h1VxVu,a3=hh2 VungU,类比于:t=1xb3 证明:据(a),Vb22 n3 (Vu2)x(u)-A2xA3 A1 hn h3 h h 这里利用了a1,a2,a3两两垂直构成右手系 散度 在正交曲线坐标系,矢量函数:p(x,y,)=1(u1,l2,n3)a1+h2(un,l2,l)a2+n,n,v3)a
对正交曲线坐标系 ，总可以对三个两两正交的单位矢量 ：u 1, u 2, u 3 的下标进行适当的调整 ，使得： u1×u2 = u 3, u2×u3 = u 1, u3×u1 = u 2 这种正交曲线坐标系称为 右手系。 2 1 2 3 1 3 Take-home message，对正交曲线坐标系，有： r = e i xi = ai ui = hi u i ui , r · r = xi xi = gij ui uj 正交系 hi 2 ui ui , hi = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 1/2 几何意义 ：若仅仅让第 i 个坐标 ui 作微小变化 ui，对应的微分线元长度为 ：hi ui 不是 ui 因此，对正交曲线坐标系中 ，函数 φ(u1, u2, u3) 沿 u i 方向的方向导数为 ： 1 hi ∂ φ ∂ ui 而非 ∂ φ ∂ ui 。 这里沿 u i 方向意味着另两个坐标没有变 。 正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度与Laplacian 梯度： 当正交曲线坐标 (u1, u2, u3) 发生一微小变化时，标量函数 φ(x1, x2, x3) = φ(u1, u2, u3) 发生的改变可表为函数的全微分 φ = ∂ φ ∂ xi xi = ∂ φ ∂ ui ui 另一方面，当坐标发生一微小变化时，位置矢量的微分线元 r 为 r = e i xi = hi u i ui 而 梯度的意义 就在于：因坐标变化导致函数值的变化 φ，等于该函数的梯度与微分线元 r 的标量积。 令：正交曲线坐标中梯度 ∇φ = α1 u 1 + α2 u 2 + α3 u 3, 并利用正交曲线坐标系： u i ·u j = ai ·aj hi hj = δij φ = ∂ φ ∂ ui ui = (∇φ)· r = (αj u j)·hi u i ui = αi hi ui ui 相互独立 αi = 1 hi ∂ φ ∂ ui （这里不对 i 求和） 从而： ∇φ = 1 h1 ∂ φ ∂ u1 u 1 + 1 h2 ∂ φ ∂ u2 u 2 + 1 h3 ∂ φ ∂ u3 u 3 , 其中： hi = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 1/2 上式即为正交曲线坐标系中梯度的表达式。 两个关系式： (a) ∇ui = 1 hi u i 证明： 以 ui 替代梯度表达式中的 φ 即得。（令 φ = ui 代入 ∇φ 即得） (b) u 1 = h2 h3(∇u2)(∇u3), u 2 = h3 h1 ∇u3 ∇u1, u 3 = h1 h2 ∇u1 ∇u2, 类比于： e 1 = e 1× e 3 证明：据 (a), ∇u2 = u 2 h2 , ∇u3 = u 3 h3 ⟶ (∇u2)(∇u3) = u 2 u 3 h2 h3 = u 1 h2 h3 , 这里利用了 u 1, u 2, u 3 两两垂直构成 右手系。 散度： 在正交曲线坐标系，矢量函数：V(x, y, z) = V1(u1, u2, u3) u 1 + V2(u1, u2, u3) u 2 + V3(u1, u2, u3) u 3 z12a.nb 5
6z12a.nb 散度:vx,y,)=V·(V1ln)+·(2an2)+·(3a)注意在正交曲线坐标系中,山不是常矢量。 d=,1)利的,Vh()x利用V=)+P =V(V1h2h3)(2xVn3)+(V1h2h3)V·(VaxV)第一项利用关系式(b) v(1h2h3) 度h2b利用了V(Va2)x(n3=Ⅳx(a2)Vn3-1x(Vn)V=0 1(h的)。,1(hh。⊥a(nhh I a(i h h3) 实际上a1·Vy等于p沿a1方向的方向导数,从而:a1·Vy== aI h au auy 注意坐标u1做微小变化时,位置矢量沿a1方向的变化长度为hd而非dm,故: au a4 al au 类似可得:d a(, h3 hy) a(3h1h2) d3 h, h, h3 a h h, hy h3 au 从而:|v.px,y,=)= 1 a(1 h3) a(2 hg hn) a(3h1 h2) V·Ia)x(Vv)=0的证明 Vu=du, Vv=dv, (Vu)x(Vv)=Er( u)(a v) v·Vu)x(以=ak[tyk(01n)(0/v)=(0y)euk(ok;n)l+(1n)leyk(ak0)l euk(0k01u):因为出现Lev- Civita符号,故i,j,k三下标应各不相同才不为0 不是一般性,当j=1时,因隐含着对,k求和,故(,k)=(2,3)和(3,2) ,6)=2,3时,00,=03021=02036=213=-1、两者之和=0 (,k)=(3,2)时,ak01u=a203u, 故:k(Ok01n)=0,类似地:ek(0k0/v)=0=V·m)×(m)=0 (okdiu=VX(V 旋度 在正交曲线坐标系,矢量函数:p(x,y,z)=V1(m1,l2,n2)a1+H2(1,n2,l3)a2+Vf(u1,n,3)a3 散度:Vx真x,y,)=Vx(V1a1)+Vx(2a2)+x(v3a2) c=Vx(Ha)利o,Vx(HhVm)利用Vxv有=(V1)x+Px v(I h)x(Vu1)+(ih)Vx(vun n, =V(1h1)×一,其中利用了Vx(Va1)=0 l[ a(vip) 1a(h)。-1(h) h h, au a3×a1利用a3x1=a2,a2xB1=- h lh3 au3 1[a(h),1a(2h2 类似可得: h,lh auy 2=110a1-10a h3 l hy
散度：∇ ·V(x, y, z) = ∇ ·(V1 u 1) d1 + ∇ ·(V2 u 2) d2 + ∇ ·(V3 u 3) d3 注意在正交曲线坐标系中 ，u i 不是常矢量 。 d1 = ∇ ·(V1 u 1) 利用(b) ∇ ·[V1 h2 h3(∇u2)(∇u3)] 利用 ∇ ·V A = (∇V) ·A + V ∇ ·A = ∇(V1 h2 h3)·(∇u2 ∇u3) +(V1 h2 h3) ∇ ·(∇u2 ∇u3) 第一项利用关系式 (b) = ∇(V1 h2 h3) 标量函数的梯度 · u 1 h2 h3 , 利用了 ∇ ·[(∇u2)(∇u3)] = [∇ (∇u2)]·∇u3 - [∇ (∇u3)]·∇u2 = 0 = 1 h1 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 u 1 + 1 h2 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u2 u 2 + 1 h2 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u3 u 3 · u 1 h2 h3 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 实际上 u 1 ·∇φ 等于 φ 沿 u 1 方向的方向导数 ，从而：u 1 ·∇φ = ∂ φ ∂ l1 = 1 h1 ∂ φ ∂ u1 ≠ ∂ φ ∂ u1 。 注意坐标 u1 做微小变化时 ，位置矢量沿 u 1 方向的变化长度为 h1 u1 而非 u1，故： ∂ φ ∂ l1 ≠ ∂ φ ∂ u1 类似可得 ：d2 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V2 h3 h1) ∂ u2 , d3 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V3 h1 h2) ∂ u3 从而： ∇ ·V (x, y, z) = 1 h1 h2 h3 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 + ∂ (V2 h3 h1) ∂ u1 + ∂ (V3 h1 h2) ∂ u3 ∇ · [(∇u)(∇v)] = 0 的证明。 ∇u = ∂i u, ∇v = ∂ j v, (∇u)(∇v) = ϵi j k (∂i u) (∂ j v), ∇ ·[(∇u)(∇v)] = ∂k [ ϵi j k (∂i u) (∂ j v)] = (∂ j v) [ϵi j k (∂k ∂i u) ] + (∂i u) [ϵi j k (∂k ∂ j v) ] ϵi j k (∂k ∂i u) ：因为出现 Levi - Civita 符号，故 i, j, k 三下标应各不相同才不为 0 不是一般性 ，当 j = 1 时，因隐含着对 i, k 求和，故 (i, k) = (2, 3) 和 (3, 2) (i, k) = (2, 3) 时，∂k ∂i u = ∂3 ∂2 u = ∂2 ∂3 u, ϵi j k = ϵ213 = -1 (i, k) = (3, 2) 时，∂k ∂i u = ∂2 ∂3 u, ϵi j k = ϵ312 = 1 两者之和 = 0 故：ϵi j k (∂k ∂i u) = 0，类似地：ϵi j k (∂k ∂ j v) = 0 ⟹ ∇ · [(∇u)(∇v)] = 0 其实：ϵi j k (∂k ∂i u) = ∇ ×( ∇u ) = 0 旋度： 在正交曲线坐标系，矢量函数：V(x, y, z) = V1(u1, u2, u3) u 1 + V2(u1, u2, u3) u 2 + V3(u1, u2, u3) u 3 散度：∇ V(x, y, z) = ∇ (V1 u 1) c1 + ∇ (V2 u 2) c2 + ∇ (V3 u 3) c3 c1 = ∇ (V1 u 1) 利用(a) ∇ (V1 h1 ∇u1) 利用 ∇ V A = (∇V) A + V ∇ A = ∇(V1 h1)(∇u1) +(V1 h1) ∇ (∇u1) 此项为0 = ∇(V1 h1) u 1 h1 , 其中利用了 ∇ (∇u1) = 0 = 1 h1 1 h1 ∂ (V1 h1) ∂ u1 u 1 + 1 h2 ∂ (V1 h1) ∂ u2 u 2 + 1 h3 ∂ (V1 h1) ∂ u3 u 3 u 1 利用 u 3 u 1 = u 2, u 2 u 1 = -u 3 = 1 h1 1 h3 ∂ (V1 h1) ∂ u3 u 2 - 1 h2 ∂ (V1 h1) ∂ u2 u 3 类似可得 ： c2 = 1 h2 1 h1 ∂ (V2 h2) ∂ u1 u 3 - 1 h3 ∂ (V2 h2) ∂ u3 u 1 c3 = 1 h3 1 h2 ∂ (V3 h3) ∂ u2 u 1 - 1 h1 ∂ (V3 h3) ∂ u1 u 2 6 z12a.nb
z12a.nba 整理:VxP(xy少=~1 hh h3 auau aus 对标量函数(x1,x2,x3)=(1,a2,l3) V·(Vy)=V v·[via+V2l2+l3a3l 1[a(1h2h3)a(2hh).d(V3h1h2) h, hr h3I au h, h, h3 a Q柱坐标系和球坐标系中的 laplacian V 坐标 a( ap 182pa24 e apap) p2lad2)a32 Laplacian[φ[p,φ,z],(p,φ,z},"cy1 indica1"] FullSimplify [% 0(0,0,2)[p,φ,z]+-(φ10,2;0)[,中,z]+pφ(1;0,0[p,中,z])+φ2,0,0[p,中,z] 球坐标: x=rsin 0 cos d 故:{h2 rsin e a0) sin 0 a 82
整理： ∇ V(x, y, z) = 1 h1 h2 h3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3 ∂ ∂ u1 ∂ ∂ u2 ∂ ∂ u3 h1 V1 h2 V2 h3 V3 Laplacian ∇2： 对标量函数 φ(x1, x2, x3) = φ(u1, u2, u3)， ∇2 φ ≡ ∇ ·(∇φ) = ∇ · 1 h1 ∂ φ ∂ u1 V1 u 1 + 1 h2 ∂ φ ∂ u2 V3 u 2 + 1 h3 ∂ φ ∂ u3 V3 u 3 = ∇ ·[V1 u 1 + V2 u 2 + V3 u 3] = 1 h1 h2 h3 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 + ∂ (V2 h3 h1) ∂ u2 + ∂ (V3 h1 h2) ∂ u3 = 1 h1 h2 h3 ∂ ∂ u1 h2 h3 h1 ∂ φ ∂ u1 + ∂ ∂ u2 h3 h1 h2 ∂ φ ∂ u2 + ∂ ∂ u3 h1 h2 h3 ∂ φ ∂ u3 柱坐标系和球坐标系中的 Laplacian ∇2 柱坐标： x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z 故： h1 = ∂ x ∂ ρ 2 + ∂ y ∂ ρ 2 + ∂ z ∂ ρ 2 1/2 = 1 h2 = ∂ x ∂ ϕ 2 + ∂ y ∂ ϕ 2 + ∂ z ∂ ϕ 2 1/2 = ρ h3 = ∂ x ∂ z 2 + ∂ y ∂ z 2 + ∂ z ∂ z 2 1/2 = 1 ∇2 φ = 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ φ ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2 φ ∂ ϕ2 + ∂2 φ ∂ z2 Laplacian[φ[ρ, ϕ, z], {ρ, ϕ, z}, "Cylindrical"]; FullSimplify[%] φ(0,0,2)[ρ, ϕ, z] + 1 ρ2 (φ(0,2,0)[ρ, ϕ, z] + ρ φ(1,0,0)[ρ, ϕ, z]) + φ(2,0,0)[ρ, ϕ, z] 球坐标： x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 故： h1 = ∂ x ∂ r 2 + ∂ y ∂ r 2 + ∂ z ∂ r 2 1/2 = 1 h2 = ∂ x ∂ θ 2 + ∂ y ∂ θ 2 + ∂ z ∂ θ 2 1/2 = r h3 = ∂ x ∂ ϕ 2 + ∂ y ∂ ϕ 2 + ∂ z ∂ ϕ 2 1/2 = rsin θ ∇2 φ = 1 r2 sin θ sin θ ∂ ∂ r r2 ∂ φ ∂ r + ∂ ∂ θ sin θ ∂ φ ∂ θ + 1 sin θ ∂2 φ ∂ ϕ2 z12a.nb 7
8z12a.nb Laplacian[φ【r,θ,中],(x,θ,中," Spherica1"] FullSimplify [9] 2(cct]2v00,2[x,O,的+cote]9010[x,,的]+ 0,20)[r,O,]+2r(,00[x,O,])+q20r,e, 取巧的方法: 柱坐标 sim1={x→pCos[中,Y→p8in[中}; sim3={ Arccos[c。s[中]]→φ t1=D[φ[p,中,z]//.sim2,{x,2}] t2=D[φ[p,中,z]//.sim2,{y,2}]; t3=D[φ[p,中,z]//.sim2,{z,2}]; t= Simplify[(tl + t2+t3)/. siml, [p>0, E Reals]] t= Simplify[t//. sim3] / TraditionalForm y(0,2,)(p, =) y(,0,o)(e, =) +p2o)(p,b,) p 七较V2g 1an).1(22 球坐标 sim1={x→rsin[e]cos[中,y→rsin[e]sin[中,z→rc。s[e] sim2: +V2+y2+2, p+Vx+y2, e+Arccos[=]++arccos Il im3=[ ArcCos[cos[e]]→e, ArCCos[cos[中]]→φ}; t1=D[φ[r,日,中]//.sim2,{x,2}]; t2=D[φ[r,θ,中]//.sim2,{Y,2}]; t3=D[φ[r,日,中]//.sim2,{z,2}]; = Simplify[(t1+t2+t3)/.sim1,(r>0,e∈Rea1s,φ∈Rea1s}] t= Simplify[t//.sim3,{x>0,00,0<e<丌,0≤φ≤2x}]// Traditiona1Form 02Vr,B,的)+2r0,B,d)+cot(yup(r,B,d)+csc2()y002r,B,d)+20r,B,d) a0)sin 0 a62
Laplacian[φ[r, θ, ϕ], {r, θ, ϕ}, "Spherical"]; FullSimplify[%] 1 r2 Csc[θ]2 φ(0,0,2)[r, θ, ϕ] + Cot[θ] φ(0,1,0)[r, θ, ϕ] + φ(0,2,0)[r, θ, ϕ] + 2 r φ(1,0,0)[r, θ, ϕ] + φ(2,0,0)[r, θ, ϕ] 取巧的方法： 柱坐标： sim1 = {x ρ Cos[ϕ], y ρ Sin[ϕ]}; sim2 = ρ x2 + y2 , ϕ ArcCos x ρ ; sim3 = {ArcCos[Cos[ϕ]] ϕ}; t1 = D[φ[ρ, ϕ, z] //. sim2, {x, 2}]; t2 = D[φ[ρ, ϕ, z] //. sim2, {y, 2}]; t3 = D[φ[ρ, ϕ, z] //. sim2, {z, 2}]; t = Simplify[(t1 + t2 + t3) /. sim1, {ρ > 0, ϕ ∈ Reals}]; t = Simplify[t //. sim3] // TraditionalForm φ(0,2,0) (ρ, ϕ, z) ρ2 + φ(0,0,2) (ρ, ϕ, z) + φ(1,0,0) (ρ, ϕ, z) ρ + φ(2,0,0) (ρ, ϕ, z) 比较 ∇2 φ = 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ φ ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2 φ ∂ ϕ2 + ∂2 φ ∂ z2 球坐标： sim1 = {x r Sin[θ] Cos[ϕ], y r Sin[θ] Sin[ϕ], z r Cos[θ]}; sim2 = r x2 + y2 + z2 , ρ x2 + y2 , θ ArcCos z r , ϕ ArcCos x ρ ; sim3 = {ArcCos[Cos[θ]] θ, ArcCos[Cos[ϕ]] ϕ}; t1 = D[φ[r, θ, ϕ] //. sim2, {x, 2}]; t2 = D[φ[r, θ, ϕ] //. sim2, {y, 2}]; t3 = D[φ[r, θ, ϕ] //. sim2, {z, 2}]; t = Simplify[(t1 + t2 + t3) /. sim1, {r > 0, θ ∈ Reals, ϕ ∈ Reals}]; t = Simplify[t //. sim3, {r > 0, 0 0, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2 π}] // TraditionalForm 1 r2 φ(0,2,0) (r, θ, ϕ) + 2 r φ(1,0,0) (r, θ, ϕ) + cot(θ) φ(0,1,0) (r, θ, ϕ) + csc2(θ) φ(0,0,2) (r, θ, ϕ) + φ(2,0,0) (r, θ, ϕ) 比较：∇2 φ = 1 r2 sin θ sin θ ∂ ∂ r r2 ∂ φ ∂ r + ∂ ∂ θ sin θ ∂ φ ∂ θ + 1 sin θ ∂2 φ ∂ ϕ2 8 z12a.nb
z12a. nb 9 122正交曲线坐标系中的分离变量 本节以柱坐标与球坐标为例,讨论在正交曲线坐标系中求解 Helmholtz方程的分离变量法。 Q为何关注 Helmhol方程 为何对 Helmholtz方程情有独钟?最常见的数理方程大致分为三类:波动方程、扩散方程、稳定问题的 Laplace方程。 从以下讨论可见, Laplace方程是 Helmholtz方程的特殊形式。 而波动方程和扩散方程在做了时空坐标分离之后,空间部分满足的微分方程也为 Helmholtz方程。 ■波动方程(此处仅讨论齐次标量波动方程,矢量波动方程的求解也以标量波动方程为基础) 标量波动方程:a为时空的标量函数 lm-a2V2u=0时空分离:(x,y,,D)=v(x,y,z)(代入波动方程 T"()y(x,y,x)-a2T(v2w(x,y,2)=0 a2Twx-A其中λ为常数。 从而:{r0+a2m0=0 空间部分w(x,y,)满足的就是 Helmhol方程。 v-w(x,, =)+Aw(x, y, =)=0 实际上,从时间函数f(n)满足的方程就可隐约看出:A≥0 因为,若λ<0,λ=-y2,必有T~ ethan,指数上升不合物理,指数下降很快衰减,不构成波 ■扩散方程(热传导方程) -a2V2u=0时空分离:txr,y,z,D=w(x,y,2)T()代入扩散方程 T(w(x,y, =)-1(ovw(x,, 3)=0- T( Vw(x, y, =) A其中λ为常数。 从而:{T(0+A()=0 2v(x,y,)+Aw(xy2=0空间部分 x,y,=)满足的也是 Helmholtz方程 实际上,从时间函数T()满足的方程就可隐约看出:A≥0 因为,若A<0,A=-y2,必有T~e2r,指数上升不合物 ■稳定问题的 Laplace方程 V2a=0相当于A=0的 helmholtz方程 因此,我们要讨论利用分离变量法求解标量 Helmholtz方程 Q柱坐标系中 Helmholtz方程的分高变量 利用柱坐标系的 Laplacian V2的表达式 1(a2g)a2 ap) p2la82 可得柱坐标系中 Helmholtz方程v2w(x,y,z)+Aw(x,y,z)=0化为 +Aw=0,其中A≥0为时空分离时引入的常数 分离变量,令:w(p,d,2)=R)d)Z(),代入上式 Helmholtz方程,有 Φ z d dR)RZ(d2 d 2Z
12.2 正交曲线坐标系中的分离变量 本节以柱坐标与球坐标为例，讨论在正交曲线坐标系中求解 Helmholtz 方程的分离变量法。 为何关注 Helmholtz 方程 为何对 Helmholtz 方程情有独钟？最常见的数理方程大致分为三类：波动方程、扩散方程、稳定问题的 Laplace 方程。 从以下讨论可见，Laplace方程是 Helmholtz 方程的特殊形式。 而波动方程和扩散方程在做了时空坐标分离之后，空间部分满足的微分方程也为 Helmholtz 方程。 ◼ 波动方程（此处仅讨论齐次标量波动方程，矢量波动方程的求解也以标量波动方程为基础） 标量波动方程 ：u 为时空的标量函数 utt - a2 ∇2 u = 0 时空分离 ：u(x, y, z, t) = w(x, y, z) T(t) 代入波动方程 T″(t) w(x, y, z) - a2 T(t) ∇2w(x, y, z) = 0 ⟶ T″(t) a2 T(t) = ∇2w(x, y, z) w(x, y, z) = -λ 其中 λ 为常数。 从而： T″(t) + λ a2 T(t) = 0 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 空间部分 w(x, y, z) 满足的就是 Helmholtz方程。 实际上，从时间函数 T(t) 满足的方程就可隐约看出 ：λ ≥ 0。 因为，若 λ < 0, λ = -γ2, 必有 T~ ± γ a t ，指数上升不合物理 ，指数下降很快衰减 ，不构成波 。 ◼ 扩散方程（热传导方程） ut - a2 ∇2 u = 0 时空分离：u(x, y, z, t) = w(x, y, z) T(t) 代入扩散方程 T′ (t) w(x, y, z) - a2 T(t) ∇2w(x, y, z) = 0 ⟶ T′ (t) a2 T(t) = ∇2w(x, y, z) w(x, y, z) = -λ 其中 λ 为常数。 从而： T′ (t) + λ a2 T(t) = 0 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 空间部分 w(x, y, z) 满足的也是 Helmholtz方程。 实际上，从时间函数 T(t) 满足的方程就可隐约看出 ：λ ≥ 0。 因为，若 λ < 0, λ = -γ2, 必有 T~ γ2 a2 t ，指数上升不合物理 。 ◼ 稳定问题的Laplace方程 ∇2 u = 0 相当于 λ = 0 的Helmholtz方程。 因此，我们要讨论利用分离变量法求解标量 Helmholtz 方程。 柱坐标系中Helmholtz方程的分离变量 利用柱坐标系的Laplacian ∇2 的表达式 ∇2 φ = 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ φ ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2 φ ∂ ϕ2 + ∂2 φ ∂ z2 可得柱坐标系中Helmholtz方程 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 化为： 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ w ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2w ∂ ϕ2 + ∂2w ∂ z2 + λ w = 0, 其中 λ ≥ 0 为时空分离时引入的常数 。 分离变量，令：w(ρ, ϕ, z) = R(ρ) Φ(ϕ) Z(z)，代入上式 Helmholtz方程，有： Φ Z ρ ρ ρ R ρ + R Z ρ2 2 Φ ϕ2 + R Φ 2 Z z2 + λ R Φ Z = 0 z12a.nb 9
10 z12anb d( dR dΦ1d2Z d Z +A=0, 仅依赖于z,故必为常数 r dp( dpp dd2 z d= z d- 1442)+1+A=-12= pR dpl dp)e2 a do2 z d- 其中利用了左边与二无关,右边仅依赖于二,两者相等,必为常数,记为μ。从而有方程: p(4/*(-p)n2=、1d2 进而化为 +Q-Ap2-y0= PR"+pR+la-HP-yIR r dpt d 以上实现了变量分离,问题退化为一些常微分方程 但引进了三个待定常数:,,y,分别源自:分离时间、分离Z=)和分离4(d) 下一步就是把三元函数的边界条件化为单变量函数的边界条件 进而确定这些待定常数的允许取值,即求本征值与本征函数。我们将在下一章仔细讨论 Take-home message:柱坐标系中 Helmholtz方程的分离变量 z"+Z=0 V-w(p, o, =)+A w(e, o, = A20, Helmhol方程 PR+pR+a-HP2-yR= Q球坐标系中 Helmholtz方程的分高变量 利用球坐标系的 Laplacian表达式 可得球坐标系中 Helmholtz方程:V2w+Aw=0化为 1a(、a diaw +Aw=0, ae)sin20 862 其中λ为时空分离时引入的常数。 令:w(r,B,)=R()6(d),代入上式 Helmholtz方程,有 Φ d RΦ ro d2o +AReΦ=0 r2 dr dr)r2 sin e de sing de)r sin g d62 dΦ re dr dr)orin e de opr sing do +A=0 接下去,可先分出r Ar2=-l(1+1) 其中利用了左边与r无关,右边只依赖于r,两者相等,必为常数,记为-l+1) 从而有方程 (R)+ sing d (sin 60)+ @ e de ++1)=0 (sin 80,)+/(+ 1)sin-0 o de 也可先分出d
1 ρ R ρ ρ R ρ + 1 ρ2 Φ 2 Φ ϕ2 + 1 Z 2 Z z2 + λ = 0， 1 Z 2 Z z2 仅依赖于 z，故必为常数 1 ρ R ρ ρ R ρ + 1 ρ2 Φ 2 Φ ϕ2 + λ = - 1 Z 2 Z z2 = μ 其中利用了左边与 z 无关，右边仅依赖于 z，两者相等，必为常数，记为 μ。从而有方程： Z″ + μ Z = 0 ρ R ρ ρ R ρ + (λ - μ) ρ2 = - 1 Φ 2 Φ ∂ ϕ2 = γ 进而化为： Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ R ρ ρ R ρ + (λ - μ) ρ2 - γ = 0 ⟹ ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0 以上实现了变量分离，问题退化为一些常微分方程， 但引进了三个待定常数：λ, μ, γ，分别源自：分离时间、分离 Z(z) 和分离 Φ(ϕ) 下一步就是把三元函数的边界条件化为单变量函数的边界条件， 进而确定这些待定常数的允许取值，即求本征值与本征函数。我们将在下一章仔细讨论。 Take-home message: 柱坐标系中 Helmholtz 方程的分离变量 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 λ≥0, Helmholtz 方程 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0 球坐标系中Helmholtz方程的分离变量 利用球坐标系的Laplacian表达式 ∇2 φ = 1 r2 ∂ ∂ r r2 ∂ φ ∂ r + 1 r2 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ φ ∂ θ + 1 r2 sin2 θ ∂2 φ ∂ ϕ2 可得球坐标系中Helmholtz方程：∇2w + λ w = 0 化为 1 r2 ∂ ∂ r r2 ∂ w ∂ r + 1 r2 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ w ∂ θ + 1 r2 sin2 θ ∂2w ∂ ϕ2 + λ w = 0, 其中 λ 为时空分离时引入的常数 。 令：w(r, θ, ϕ) = R(r) Θ(θ) Φ(ϕ)，代入上式 Helmholtz方程，有： Θ Φ r2 r r2 R r + R Φ r2 sin θ θ sin θ Θ θ + R Θ r2 sin2 θ 2 Φ ϕ2 + λ R Θ Φ = 0 1 R r2 r r2 R r + 1 Θ r2 sin θ θ sin θ Θ θ + 1 Φ r2 sin2 θ 2Φ ϕ2 +λ = 0 接下去，可先分出 r 1 Θ sin θ θ sin θ Θ θ + 1 Φ sin2 θ 2 Φ ϕ2 = - 1 R r r2 R r - λ r2 = -l(l + 1) 其中利用了左边与 r 无关，右边只依赖于 r，两者相等，必为常数，记为 -l(l + 1)。 从而有方程： r r2 R′ +λ r2 -l(l + 1) R = 0 1 Θ sin θ θ (sin θ Θ′ ) + Φ″ Φ sin2 θ + l(l + 1) = 0 ⟶ sin θ Θ θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1)sin2 θ = - Φ″ Φ = γ 也可先分出 ϕ 10 z12a.nb
