复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》教学课件（WORD版）第九章 数学物理方程的定解问题

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 下篇数学物理方程 一物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数 Chapter9数学物理方程的定解问题 Abstracts:1.根据物理问题导出多变量数理方程一偏微分方程 2.给定数理方程的附加条件:初始条件、边界条件、物理条件(自然 条件,连接条件)和周期条件等,从而与数理方程一起构成定解问题 3.数理方程的线性性导致解的叠加原理 4.非齐次方程的齐次化方案 数理方程的来源(状态描述、变化规律) 翻译 I. Classical Newton Mechanics[质点力学m=F(r,t)]( Newton),连续体力学 弹性体力学杆振动,a(F,1)-a2u(F,)=0(3+ID波动方程) 弹性定律) t 膜 流体力学:质量(流)守恒律:0D+v:[D(D0=0 热力学物态方程:2+[GD)VFG)=BC2=( D Euler) P(F,) II. Electrodynamic Mechanics(Maxwell equations) 乐D,d=1Jo=vD=∮E=们=V×E= 手=0→V=0手厅亚=』(+b=V=+ E=Vu,B=VxA,(n小满足波动方程 Lorenz力公式→力学方程; Maxwell eqs.+电导定律→电报方程。 III Statistic Mechanics(Boltzmann-Gibbs statistics) 热传导方程: aT kV2T=o 特别:稳态(9=0)V2=0 aplace equation) 扩散方程:9-Dy2=0 ot IV. Quantum Mechanics: Schrodinger's equation(Schrodinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein) i Hutu at 2m

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 1 下篇 数学物理方程 —物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数 Chapter 9 数学物理方程的定解问题 Abstracts: 1. 根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程； 2. 给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然 条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题； 3. 数理方程的线性性导致解的叠加原理; 4. 非齐次方程的齐次化方案。 一、 数理方程的来源（状态描述、变化规律） 1. 翻译 I．Classical Newton Mechanics [质点力学 mr F r t = ( , ) ](Newton)，连续体力学 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 0 (3 1D ( , ) [ ( , ) ( , )] 0; v( , ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) ( , )(Euler eq.). ( , ) u r t a u r t t r t r t v r t t r t p r t v r t v r t f r t t r t          −  = +          +   =    +  = =   弹性定律 基本方程 弦 弹性体力学 杆 振动： 波动方程); 膜 流体力学：质量（流）守恒律： 热力学物态方程：     II.Electrodynamic Mechanics (Maxwell equations) ; ; 0 0; ( ) . , , ( , ) D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A        =   =  =    =     =   =  = +    = +   = − =             d d d d d d d 满足波动方程。 Lorenz力公式 力学方程；Maxwell eqs.+电导定律 电报方程。 III. Statistic Mechanics (Boltzmann-Gibbs statistics): 2 2 0; 0. T k T t D t     −  =      −  =   热传导方程： 扩 散方程： 特别: 稳态（ 0 t  =  ）: 2  =  0 (Laplace equation). IV. Quantum Mechanics: Schr dinger’s equation (Schr dinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein) 2 2 . 2 u i u Vu t m  = −  + 

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 2.分类 物理 方程 数学分类 0- 双曲线 波动方程ⅴ2u 输运方程 能量:热传导a 抛物线 质量:扩散 kVu=O 稳态方程 椭圆型 Laplace equation Vu=0 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤: (1)定变量:找出能够表征物理过程的物理量作为未知数(特征量,科学思 维上设为已知),并确定影响未知函数的自变量 (2)立假设:抓(取)主要因素,舍(弃)次要因素,将问题“理想化” “无理取闹”(物理乐趣;大胆假设,小心求证) (3)取局部:从研究物体内部中找出微小的局部(微元),相对于此局部的 一切高阶无穷小量均可忽略-线性化。 (4)找作用:根据已知物理规律或定律,找出局部和邻近部分的作用关系。 (5)列方程:根据物理规律在局部上的表现,联系局部作用列出微分方程。 1.弦的横振动方程(1+1D) uix, t) [一根张紧( interaction between particles)的 柔软弦的微小横振动问题] (1)定变量:取弦的平衡位置为x轴。表征横振 动的物理量为各点的横向位移 l(x,t),故速度为u1和加速度为un (2)立假设:1)弦的横振动是微小的,< 因此, sina s tangs a,csg1,又:a= tande a,:2(<1 2)弦是柔软的,即在它的横截面内不产生应力,则在拉紧的情 况下弦上相互间的拉力即张力T(x,1)始终是沿弦的切向(等

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 2 2. 分类 物理过程 方 程 数学分类 振动与波 波动方程 2 2 2 2 1 0 u u a t   − =  双曲线 输运方程 2 0 u k u t    −  =   能量：热传导 质量：扩 散 抛物线 稳态方程 Laplace equation 2  = u 0 椭圆型 二、 数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： (1) 定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思 维上设为已知），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓(取)主要因素，舍（弃）次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理乐趣；大胆假设，小心求证）。 （3）取局部：从研究物体内部中找出微小的局部（微元），相对于此局部的 一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 1．弦的横振动方程（1+1D） [一根张紧(interaction between particles)的 柔软弦的微小横振动问题] (1)定变量：取弦的平衡位置为 x 轴。表征横振 动的物理量为各点的横向位移 u(x,t) ，故速度为 t u 和加速度为 tt u . (2)立假设：1）弦的横振动是微小的，  1， 因此， sin tan      ，cos 1 ，又 tan u x    =   ，  1    x u . 2) 弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情 况下弦上相互间的拉力即张力 T(x,t) 始终是沿弦的切向(等

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 价于弦上相互间有小的弹簧相连一最简单的相互作用! 3)所有外力都垂直于x轴,外力线密度为F(x,t) 4)设(细长)弦的线密度为p(x,1),重力不计。 (3)取局部:在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。质量:p(x,t)dx 长山(+((即这一小吸的长度在报 动过程中可以认为是不变的,因此它的密度px)不随时间变化,另 外根据 Hooke定律δF=-kδx可知,张力r(x,1)也不随时间变化,我 们把它们分别记为p(x)和7(x) (4找作用:找出弦段dx所受的力。外力:F(x,)dx,垂直于x轴方向 张力变化:( Cosa)ls-( Cosa)=7(x+dx)-7(x),x方向紧绷, (Tsina)l-(Tsina)=(T)-(7)=(u),dx 垂直于x轴方向 (5)冽列方程:根据牛顿第二定律 T(x+dx)-7(x)=0,因x方向无位移,故T(x+dx)=7(x)=T P(x)dxu,=F(x, t)dx+(Tu,)dx= F(x, tdx+Tudx ∞4n=f(x,1),其中(x=大(x2)是单位质量所受外力 T 如果弦是均匀的,即p为常数,则可写a=为弦振动的传播速度,则 um-a'u r =f(, 对于自由运动,即无源∫=0,这个方程简化为齐次方程:un-a2ln=0 在有界实空间的适当边界条件下,通过分离变量和求解本本征值问题, 得到与a啊相关的本征值,再与实验频率相比较,即可求得材料的a

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 3 价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用！)。 3) 所有外力都垂直于 x 轴，外力线密度为 F(x,t) . 4) 设（细长）弦的线密度为 (x,t) ，重力不计。 (3)取局部：在点 x 处取弦段 dx , dx 是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。 质量： (x,t)dx . 弧长： x x x u ds dx du 1 d d 2 2 2          = + = + （即这一小段的长度在振 动过程中可以认为是不变的，因此它的密度 (x,t) 不随时间变化，另 外根据 Hooke 定律   F k x = − 可知，张力 T(x,t) 也不随时间变化，我 们把它们分别记为 (x) 和 T (x) . (4)找作用：找出弦段 dx 所受的力。外力： F(x,t)dx ，垂直于 x 轴方向； 张力变化：(T T T x x T x cos | cos | ( d ) ( )   ) x x x +d − = + − ( ) , x 方向紧绷， ( sin | sin | | | d ) x x x x x x x x x d d ( ) ( ) ( ) ( )x T T Tu Tu Tu x   + + − = − = , 垂直于 x 轴方向。 (5)列方程：根据牛顿第二定律 T(x + dx) − T(x) = 0 ，因 x 方向无位移，故 T(x + dx) = T(x) = T . x x u F x t x (Tu ) x F x t x Tu x ( )d tt = ( , )d + x x d = ( , )d + xxd 即 u f (x,t) T utt − xx =  ，其中  ( , ) ( , ) F x t f x t = 是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的，即  为常数，则可写  T a = 为弦振动的传播速度，则 ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = . 对于自由运动，即无源 f  0 ，这个方程简化为齐次方程： 2 0 tt xx u a u − = . 在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题， 得到与 a 啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得材料的 a

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 怎么运动:源(非齐次)驱动或边界驱动和初始驱动 杆的纵振动方程(1+1D) [一根弹性( Clinear interaction between particles)均匀细杆的微小纵振动问题] (1)定变量:取细长杆的放置为x轴。表征 纵振动的物理量为各点x离开 平衡位置的纵向位移v(x,) pO,t) (2)立假设:1)振动方向与杆的方向一致 2)均匀细杆,同一横界面上各 点的质量密度ρ,横截面面积 S与杨氏模量Y(应力与应变 之比值)都是常量(常数)。 3)杆有弹性,服从 Hooke定律:应力P与相对伸长成正比,即 P(x,)=y2(xD,其中Px)单位横截面上的内力(相互作 用),方向沿x轴正方向,但是力F=P(F,1)AS是沿该截面法 向(外向)的。x施给x截面的力(拉力)的方向:-x;同 理P(x+△AxD)AS=y1AS为x中Ax施给x+Ax截面方向 的力(拉力),其方向:(这种取法类似于紧绷弦的受力分析)。 4)外力与杆的方向一致,各点时刻t单位横截面上的外力为 F(x,)(例如每个弹簧都用绳子牵引着),重力不计。 (3)取局部:在点x处取杆微段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点。 质量:p(x,t)Sdx. 绝对伸长:△Mm=-l 相对伸长:==,(应力)。 (4)找作用:找出杆的这个微段所受的力。外力:F(x,)Sdx; 应力变化:(2S)-(m2S)2=(Yn,S)dx= Yu sdx

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 4 怎么运动：源（非齐次）驱动或边界驱动和初始驱动。 2．杆的纵振动方程（1+1D） [ 一 根 弹 性 (linear interaction between particles)均匀细杆的微小纵振动问题] (1)定变量：取细长杆的放置为 x 轴。表征 纵振动的物理量为各点 x 离开 平衡位置的纵向位移 u(x,t) . (2)立假设：1) 振动方向与杆的方向一致。 2) 均匀细杆，同一横界面上各 点的质量密度  ，横截面面积 S 与杨氏模量 Y （应力与应变 之比值）都是常量（常数）。 3) 杆有弹性，服从 Hooke 定律：应力 P 与相对伸长成正比，即 x u x t P x t Y   = ( , ) ( , ) , 其中 P x t ( , ) :单位横截面上的内力（相互作 用），方向沿 x 轴正方向，但是力 F P r t S =  ( , ) 是沿该截面法 向（外向）的。 x −施给 x 截面的力（拉力）的方向： −x ˆ ；同 理 ( , ) | x x u P x x t S Y S x +   +   =   为 x 中 x +  施给 x x + 截面方向 的力（拉力），其方向: x ˆ （这种取法类似于紧绷弦的受力分析）。 4) 外力与杆的方向一致，各点时刻 t 单位横截面上的外力为 F(x,t) （例如每个弹簧都用绳子牵引着），重力不计。 (3)取局部：在点 x 处取杆微段 dx ,dx 是如此之小，以至可以把它看成质点。 质量： (x,t)Sdx . 绝对伸长： x x x u = u − u + , 相对伸长： ux x u =   （应力）。 (4)找作用：找出杆的这个微段所受的力。外力： F(x,t)Sdx ； 应力变化：(Yu S) (Yu S) (Yu S) x Yu S x x x xx x x x x x d d d − = = +

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 5)列方程:根据牛顿第二定律 ASaxu F(x, tSx+ Yu Sdx lx=f(x,1),其中f(x,1) F l 令 为杆振动的传播速度,则|n-aln=f(x,1) 自由振动:齐次方程;受迫振动:非齐次方程 注意:杆中应力与相对位移成正比,因而做纵振动:虽然弦中位移Δn在 x轴方向为零,但是粒子之间的相互作用力 即张力T使得弦紧绷着,因而做橫振动。 3.薄膜的横振动方程(不要求) (张紧的柔软膜的微小振动问题) 定变量:各点的横向位移u(x,y,1),从而速度为 l2,加速度为un 立假设:1)膜是柔软的,即在它的横界面内不产 生应力,膜上任一点的表面张力 T(x,y,1)必在过这一点的切平面内 2)膜振动是微小的,张力的仰角<1,因此 T= Tsin a≈ T tan a=T 3)所有外力都垂直于0-xy面,外力面密度为F(x,y,D) 4)膜是均匀的,即,密度p为常数。 取局部:在点(xy)处取一小块模dS,质量:p(x,1)dS 找作用:找出膜所受的力。外力:F(x,y,)dS,垂直于0-xy面 张力变化:541=75and

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 5 (5)列方程：根据牛顿第二定律 S xu F x t S x Yu S x  d tt = ( , ) d + xx d 即， u f (x,t) Y utt − xx =  ，其中  ( , ) ( , ) F x t f x t = . 令  Y a = 为杆振动的传播速度，则 ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = . 自由振动：齐次方程; 受迫振动：非齐次方程。 注意：杆中应力与相对位移成正比，因而做纵振动；虽然弦中位移 u 在 x 轴方向为零，但是粒子之间的相互作用力 即张力 T 使得弦紧绷着，因而做横振动。 3．薄膜的横振动方程 (不要求) （张紧的柔软膜的微小振动问题） 定变量：各点的横向位移 u(x, y,t) ，从而速度为 t u ，加速度为 tt u . 立假设：1) 膜是柔软的，即在它的横界面内不产 生 应 力， 膜上 任一 点的 表 面张 力 T(x, y,t) 必在过这一点的切平面内。 2) 膜振动是微小的，张力的仰角  1 ，因此， sin tan u u T T T T n    =  =  . 3) 所有外力都垂直于 0 − xy 面，外力面密度为 F(x, y,t) . 4) 膜是均匀的，即，密度  为常数。 取局部：在点 (x, y) 处取一小块模 dS ，质量： (x,t)dS . 找作用：找出膜所受的力。外力： F x y t S ( , , )d ，垂直于 0 − xy 面； 张力变化：     = l l u l n u T dl T d

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU =ac0n.)+1c0组mx,x)+ sin(T, y)d dy ay 列方程:根据牛顿第二定律 adSu, F(x, ndS+TI (n+un)=f(xn),其中f( F(x,y,1) 令 则|n-av2=f(x,y,1) 应力张量7=x21x2z2,其中x是作用于垂直于k轴的平面上的力, T TT 其方向沿l轴,如rn是y面上沿x轴的力(k,l=1,2,3) 1f12/13 刚体=1x,转动惯量张量7=1l2l2 In=dm(x+x2+33)5+(1) -x, 1, 1=Jdm(x+x)为对x的转动惯量,12=」 Sdmx 42=1=jdmx为惯量积 Review:在上述振动问题中存在弹性力,一来有恢复力-kVu,二来有加速度 所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的,有l 4.热传导方程(3+1D热传导现象,热传导定律和能量守恒) (1)定变量:点(x,y,z)在I时刻的温度为u(x,y,x,)(热量无法直接测量)。 (2)立假设:1)已知两个物理量物质密度p(x,y,z)一单位体积的质量比热 c(x,y,z)一在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2)给定物质内部的热源强度Q(x,y,z,1)一在单位时间单位体积 6

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 6 ( ) (u u ) S y u u x y x u x y u x y u y x u y l y u x x u n y l y u n x x u l n u xx yy S xx yy l l l l l d d d d d d d d cos( , ) cos( , ) d sin( , ) sin( , ) d = + = +           +   = −           −   =         +   =         +   =           列方程：根据牛顿第二定律 dSutt = F(x,t)dS + T(uxx + uyy )dS ，即 (u u ) f (x,t) T utt − xx + yy =  ，其中 ( , , ) ( , , ) F x y t f x y t  = . 令  T a = ，则 2 2 ( , , ) tt u a u f x y t −  = . 应力张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 T              =       ，其中 kl  是作用于垂直于 k 轴的平面上的力， 其方向沿 l 轴，如 xx  是 yz 面上沿 x 轴的力 ( , 1,2,3). k l = 刚体 0 J I =  ,转动惯量张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 I I I I I I I I I I     =       , 222 1 2 3 d [( ) ( 1) ], kl kl kl k l I m x x x x x   + + + −   2 2 11 2 3 I m x x  + d ( )  为对 x 的转动惯量, 12 1 2 21 2 1 I mx x I mx x = = = d d   为惯量积。 Review: 在上述振动问题中存在弹性力，一来有恢复力− ku, 二来有加速度 , utt 所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的，有 . t u 4．热传导方程(3+1D 热传导现象,热传导定律和能量守恒) (1)定变量：点 (x, y,z) 在 t 时刻的温度为 u(x, y,z,t) （热量无法直接测量）。 (2)立假设：1) 已知两个物理量:物质密度 (x, y,z)—单位体积的质量;比热 c(x, y,z) —在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2) 给定物质内部的热源强度 Q(x, y,z,t) —在单位时间单位体积

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。 3)物质内部热交换过程遵从 Fourier定律(热传导定律):流过 物质内部任意曲面的热流强度(在单位时间内垂直通过单位 面积的热量)q与温度梯度成正比,即q=-kV,其中,k>0 称为导热系数。q为辅助量 (3)取区域:体积元△V,它的边界面为S (4找作用:在单位时间内, 通过整个S面流入的热量为(*) 仔qds=-V △F中物质产生的热量为cr 温度升高所需热量为qa0d (5)列方程:由物质内部热交换过程的能量守恒定律,有 d(热增)=邢fvd(吸热)+fOd(热源) (*):例如上图中方向、通过y截面在M时间内体积元△V吸热 q4y△△M-ql△y△=O o q(r, AVA/a,au (k)△△t 同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式(将面积分化为体积分),末个等式用到了热传导定律。 由于△V是任意的,因此, v·q+Q kVu+O 如果p和c是常数,令a2=k,则 a2V2u=∫(x,y,x,1),其中f(G,1)=Q/cr 稳定态(=0):V=-a2 (Piosson eq); 无外源(f=0):V2u=0( Laplace eq

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 7 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。 3) 物质内部热交换过程遵从 Fourier 定律（热传导定律）：流过 物质内部任意曲面的热流强度（在单位时间内垂直通过单位 面积的热量） q  与温度梯度成正比，即 q = −ku  ，其中， k  0 称为导热系数。 q  为辅助量。 (3)取区域：体积元 V ，它的边界面为 S . (4)找作用：在单位时间内， 通过整个 S 面流入的热量为（*） q S q V S V d d       −  = −   ; V 中物质产生的热量为 Q V V d   ; 温度升高所需热量为 V t u c V d      . (5)列方程：由物质内部热交换过程的能量守恒定律，有 d ( ) d d V V V u c V q V Q V t      = −  +     热增 （吸热） （热源）. （*）：例如上图中 x ˆ 方向、通过 yz 截面在 t 时间内体积元 V 吸热： | | ( , ) ( ) . x x x u q y z t q y z t q x t V t k V t x x x +        −    = −   =      同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式（将面积分化为体积分），末个等式用到了热传导定律。 由于 V 是任意的，因此， = −  +    q Q t u c   k u Q t u c =  +   2  . 如果 和c 是常数，令 c k a  = 2 ，则 ( , , , ) 2 2 a u f x y z t t u −  =   , 其中 f r t Q c ( , ) =  . 稳定态 ( 0) : u t  =  2 2 f u a  = − (Piosson eq.); 无外源 ( 0) : f = 2  = u 0 (Laplace eq.）

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 5.扩散方程(扩散现象、扩散定律和质量守恒) 特征量: particle density p(F,t) 辅助量: current density j(F,1)(在单位时间流过单位面积的质量)。 扩散定律:j=-DvpG=p).D为扩散系数。 微元:进入体积元△V内的质量 扩散 -+J,+j AVA (DP,)+(Dp )+-(Dp JAvAt 质量增加:△=P△VM.(为何没有空间导数?在微元内!) 质量守恒:PAM=( Dnm)+(Dp)△M 均匀系统:p-Dvp=0 有源(例如核反应或者内部粒子产生源): f(F,1) P p=f △ 稳定:Dv2p=-f;无源:V2p=0 6.1)静电场方程: VE=p(x,y)/l5,又因为VxE=0,必有E=-V(x,y,2) Vu=-p(x,y, =)/6o,(Piosson eq. 2)真空中 Maxwe l1 Equations: VE=p/Eo, VE=-aB/at V.B=0.,V×B=A+5OE/ot 3) EM Wave equations ae 1 a2E 无源 V×B)=5o t V×(V (V×E)=V(vE)+vE, C2VE=O. They are just the EM Wave Equations

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 8 5．扩散方程（扩散现象、扩散定律和质量守恒） 特征量：particle density ( , ) r t . 辅助量：current density j r t ( , ) (在单位时间流过单位面积的质量)。 扩散定律： j D j v = −     ( ). D 为扩散系数。 微元：进入体积元 V 内的质量 ( ' ' ') [ ( ') ( ') ( ')] . x y z x y z j j j V t D D D V t x y z       = − + +   + +      = 扩散 定律 质量增加：  =     V V t t .（为何没有空间导数？在微元内！） 质量守恒： [ ( ') ( ') ( ')] . t x y z V t D D D V t x y z          = + +      均匀系统： 2 0   t −  = D . 有源（例如核反应或者内部粒子产生源）： ( , ) m t f r t V   =  : 2 ;   t −  = D f 稳定： 2 D f  = −  ; 无源: 2  =  0. 6．1）静电场方程： ( ) 0  = E x y z   , , / , 又因为   E = 0  ，必有 E = −u(x, y,z)  ， ( ) 2 0  = − u x y z   , , / , (Piosson eq.). 2）真空中 Maxwell Equations： 0 0 0 0 , , 0, . E E B t B B j E t        =   = −    =   = +   3）EM Wave Equations: 无源： ( ) 2 2 0 0 2 2 2 1 , E E B t t c t       = =    ( ) ( ) ( ) 2 , B E E E E t   =  − = −  = −  +   2 2 2 2 0. E c E t  −  =  They are just the EM Wave Equations 0 0 1 c ,   =

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 7. Schro dinger方程 au h2 Vu+v()u Schro dinger方程不是输运方程。如果方程和边界条件均可分离变量 则分离变量法:设uF,1)=R()T(r)[取此特解形式,可得T(t)是振荡函数, 而与F无关,R(P)是幅度函数,与t无关],将此u(F,1)代入方程,即得 iR(F)r()=-v2R(r)m()+(F)R(F)r() 等式两端除以R(F7(,就有T()h2V2R()+()≡E 7(t)2mR(F) 后一个方程在适当条件下构成本征值问题,从而可解得本征值E,再解另外 一个方程得Tn(1)=7(0).如果En=ReEn,则 Schro dinger方程是波 动方程。如果E=ReEn+ iIme,则特解是T(1)=T(0)eme,当 lmEn0时,它指数增加(爆炸)。 三、二阶线性偏微分方程的分类和化简(不要求) a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 a,,u+2a,24+a22 u+b,,+b2 u,+ cu+f=o b)自变量变换时方程的性质 设=xy,a1x ≠0(这时可唯一解出x,y) 雅克比行列式:(5m)-ax0a_050n a(x,y)an anl ax ay ay ax 这儿为Q5≠0B+谷 ≠0 于是u(x,y)→u(,n)(变换后的函数仍用同一符号u)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 9 7．Schr .. o dinger 方程 2 2 ( ) . 2 u i u V r u t m  = −  +  Schr .. o dinger 方程不是输运方程。 如果方程和边界条件均可分离变量， 则分离变量法：设 u r t R r T t ( , ) ( ) ( ) = [取此特解形式，可得 T t() 是振荡函数， 而与 r 无关， R r( ) 是幅度函数，与 t 无关],将此 u r t ( , ) 代入方程，即得 2 2 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 i R r T t R r T t V r R r T t m = −  + 等式两端除以 R r T t ( ) ( ), 就有 2 2 '( ) ( ) ( ) . ( ) 2 ( ) T t R r i V r E T t m R r  = − +  后一个方程在适当条件下构成本征值问题，从而可解得本征值 . E n 再解另外 一个方程得 / ( ) (0) . n iE t T t T e n n − = 如果 Re , E E n n = 则 Schr .. o dinger 方程是波 动方程。 如果 Re Im , E E i E n n n = + 则特解是 Im / Re / ( ) (0) . E t i E t n n T t T e e n n − = 当 Im 0 E n  时，它指数衰减（衰竭），当 Im 0 E n  时，它指数增加（爆炸）。 三、二阶线性偏微分方程的分类和化简 (不要求) a) 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu + f = 0. b) 自变量变换时方程的性质 设    = = ( , ) ( , ) x y x y     ， 0 ( , ) ( , )    x y   （这时可唯一解出 x, y ）, 雅克比行列式： , ( , ) ( , ) , x y x y x y y x x y                    = = −          , 这儿仅为 0, 0, 0, 0. x y x y                 于是 u(x, y)  u(,) （变换后的函数仍用同一符号 u ）

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU A1l2+2 其中,41=a152+2a255y+a2 A2=a17 7y+a217y A12=a15,n+a2(,+5;n,)+a25,n Φ=Bl2+B2un+Cu+F,其中 B=a15xr+2a125x+a225+6,5+625 a1x+2a12+a2l+b12+b27 C=c, F=f 结论:二解线性偏微分方程经过自变量的可逆变换后,仍为二解线性偏 微分方程 变换的确定:变换的目的是化简方程,便于求解。为此,令A1=0, A2=0,方程即可简化。即 0 m2+2a12n7+a2n2=0 (b) 从中解出5=5(x,y),n=m(x,y),即所求化简方程的变换。如何从 (a)、(b)中解出=(x,y),n=n(x,y),由下述定理给出: 定理:设一阶二次常微分方程 dy 0 有两个解:q(x,y)=c,v(x,y)=d(c,d为常数),则 ∫5=o(x,y) 必分别满足方程(a)(b) 7=y(x,y) 证明:将o(x,y)=c两边对x求偏导,有,9+y=0,即,y=

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 10 A11u + 2A12u + A22u +  = 0 , 其中， 2 12 22 2 A11 = a11 x + 2a  x y + a  y , 2 12 22 2 A22 = a11x + 2a xy + a y , ( ) A12 = a11 xx + a12  x y +  yx + a22 y y ,  = B1u + B2u + Cu + F ，其中， B1 = a11 xx + 2a12 xy + a22 yy + b1 x + b2 y , B2 = a11xx + 2a12xy + a22 yy + b1x + b2 y , C = c, F = f . 结论：二解线性偏微分方程经过自变量的可逆变换后，仍为二解线性偏 微分方程。 变换的确定：变换的目的是化简方程，便于求解。为此，令 A11 = 0， A22 = 0 ，方程即可简化。即 2 0 2 12 22 2 a11 x + a  x y + a  y = , （a） 2 0 2 12 22 2 a11x + a xy + a y = . （b） 从中解出  =  (x, y) ， = (x, y) ，即所求化简方程的变换。如何从 (a),(b)中解出  =  (x, y) ， = (x, y), 由下述定理给出： 定理：设一阶二次常微分方程 0 d d 2 d d 12 22 2 11  − + =      a x y a x y a 有两个解： (x, y) = c ，  (x, y) = d （ cd, 为 常 数 ）， 则    = = ( , ) ( , ) x y x y     必分别满足方程(a),(b). 证明：将 (x, y) = c 两边对 x 求偏导，有，  x + y y  = 0 ，即， y x y    = −