如果发现公式打不开,请下载 mathtype,就可看到 下载地址htt1064130.17:82/ 数学预备知识 矢量 1.矢量定义:在三维欧几里德空间中,矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体用带 箭头的字母表示a 矢量和满足以下规则 交换率:a+b=b+a 结合律:(a+b)+c=a+(b+d 2.矢量的分量形式 三维空间迪卡儿坐标系x,y,中,选择一组正交标准化基e,,e分别为x,y,单位矢量。 a=ae +a.e.+a.e. 3.矢量乘法 在三维空间中定义了两个乘法操作 点积:定义a·b=a,b+a1b+ab 叉积:定义axb=aana b, b 对于三个矢量,三维空间中定义了复合乘法操作 三重标积(混合积)A(BxC)=bb,b A(BxC)=B1(C×)=C(AxB B(AxC)=C(B×A)=A(CxB 三重矢科×(园xC)=()B-(,B 三重矢积没有乘法交换率Ax(BxC)≠(×B)×C 4.位置矢量,位移矢量,间距矢量,位置矢量 位置矢量:F=xex+ye,+e 距离:r=同=v际F=√x+y2+2
如果发现公式打不开，请下载 mathtype，就可看到 下载地址 http://10.64.130.17:82/ 数学预备知识 一、矢量 1. 矢量定义：在三维欧几里德空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体用带 箭头的字母表示 a 。 矢量和满足以下规则： 交换率： a b b a + = + 结合律： (a b c a b c + + = + + ) ( ) 2. 矢量的分量形式 三维空间迪卡儿坐标系 x y z , , 中，选择一组正交标准化基 , , x y z e e e 分别为 x y z , , 单位矢量。 x x y y z z a a e a e a e = + + 3. 矢量乘法 在三维空间中定义了两个乘法操作。 点积：定义 x x y y z z a b a b a b a b = + + 叉积：定义 x y z x y z i j k a b a a a b b b = 对于三个矢量，三维空间中定义了复合乘法操作 三重标积（混合积） ( ) x y z x y z x y z a a a A B C b b b c c c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B C A C A B B A C C B A A C B = = = − = = 三重矢积 A B C A C B A B C = − ( ) ( ) ( ) 三重矢积没有乘法交换率 A B C A B C ( ) ( ) 4. 位置矢量，位移矢量，间距矢量，位置矢量 位置矢量： x y z r xe ye ze = + + 距离： 2 2 2 r r r r x y z = = = + +
F方向的单位矢量en 无限小位移矢量:dl=dF=de1+dhe,+de 间距矢量:R=P-P=(x-x)e2+(y-y)e,+(=-2)e F为场点( field point观察点)的位置矢量,P'为源点( source point)的位置矢量 δn称为 kronecker delta 6.=e.e= if i=j 0Ji≠j 性质:AB=∑4B=∑4B·=∑4B 称为 Levi-civita symbol或 Levi-civita tensor fjk=123231312 Ek=e·(exek)= Jfik=132213321 otherwise 性质:(B×C)=∑4(BxC)=∑=a4BCe1(e,xc)=2ABC 1.简单表示右手系中基矢量的矢积:e×e=∑E 2.任意两个下标互换,差异负号,如E=-6 3.单重求和(对重复下标求和) 66-δ6 4.两重求和
r 方向的单位矢量 r r e r = 无限小位移矢量： x y z dl dr dxe dye dze = = + + 间距矢量： R r r x x e y y e z z e = − = − + − + − ' ' ' ' ( ) x y z ( ) ( ) r 为场点（field point 观察点）的位置矢量， r ' 为源点（source point）的位置矢量。 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 R x x y y z z = − + − + − ' ' ' 二、 , ij ijk ij 称为 kronecker delta 1 0 ij i j if i j e e if i j = = = 性质： i i j j i j i j i j ij ij ij ij A B Ae B e A B e e A B = = = ijk 称为 Levi-civita symbol 或 Levi-civita tensor 1 123 231 312 ( ) 1 132 213 321 0 ijk i j k if ijk e e e if ijk otherwise = = = − = 性质： ( ) i i j j k k ijk i j k i j k ijk i j k ( ) ( ) ijk ijk ijk A B C Ae B e C e A B C e e e A B C = = = 1. 简单表示右手系中基矢量的矢积： i j ijk k k e e e = 2. 任意两个下标互换，差异负号，如 ijk ikj = − 3. 单重求和（对重复下标求和） im in ijk mnk im jn in jm jm jn =−= 4. 两重求和
8m8-5Sm=30im-oim 5.三重求和 EEk=21=6 三、场的微分运算 所谓场,就是在空间不同点上会取不同志的一种物理量。例如,温度就是一种场一一这种情 况下是一种标量场 标量场:指空间一点对应值为标量,写成f(x,y,=) 矢量场:指空间一点对应值为矢量,写成f(x,y,z) 矢量场可用一组箭头来表达,每支箭头的大小和方向为画出箭头那一点上的矢量场之值。 对于一个场,不管是矢量场还是标量场,我们如何来瞄述场随空间的变化呢?我们是否也能 求场对x,y,z的偏导来反映空间中一点与周围点的关系呢? 对于标量场我们可以用场分别对x,y,z的偏导组成的矢量来瞄述空间中一点与周围点的关 系,我们称之为梯度 图1-1矢量场可用一姐前头来表 达,每支能头的大小和方向为画出 箭头的那一点上的矢最场之值 图表1矢量图 热区 T=40- T(%y2) T=如· 冷区 T# JOS 图21酒度T是标量场的一个例子,与空间每一点(=,yn)相 联系的有一个数量(x,3明),所有处于标记着一20°的那个 面(图中所示为0处的一条曲线)上之点都有相阿溫度,箭头 是热流矢量h的一些标本 图表2标量图
3 2 ijk mjk im jj in jm im im im = − = − = 5. 三重求和 2 6 ijk ijk ii = = 三、场的微分运算 所谓场，就是在空间不同点上会取不同志的一种物理量。例如，温度就是一种场——这种情 况下是一种标量场。 标量场：指空间一点对应值为标量，写成 f x y z ( , , ) 矢量场：指空间一点对应值为矢量，写成 f x y z ( , , ) 矢量场可用一组箭头来表达，每支箭头的大小和方向为画出箭头那一点上的矢量场之值。 对于一个场，不管是矢量场还是标量场，我们如何来瞄述场随空间的变化呢？我们是否也能 求场对 x y z , , 的偏导来反映空间中一点与周围点的关系呢？ 对于标量场我们可以用场分别对 x y z , , 的偏导组成的矢量来瞄述空间中一点与周围点的关 系，我们称之为梯度。 图表 1 矢量图 图表 2 标量图
+可+可它是一个失量,梯度的几何意义是指向函数厂的最大变化 率方向,大小即为函数变化率。 f。。_(00。0 gd∫可以简化为grad∫=e+e,+e 我们把ax+a+2简写成y V称为Del,或矢量微分算符 对于矢量场我们比较关心闭合曲面的流量即散度,和绕行一闭合曲线的环流即旋度 散度V·∫ 旋度V× 例题 x 2x.2 ax ay az y 利用复合函数求导能简化求导过程 Vf(r)=Vr, Vf(r)=(Vr), Vf(r)=(vr)x 设r2=f(r) Vr2= rvR ay az V·F az
x y z f f f grad f e e e x y z = + + 它是一个矢量，梯度的几何意义是指向函数 f 的最大变化 率方向，大小即为函数变化率。 grad f 可以简化为 x y z x y z f f f grad f e e e e e e f x y z x y z = + + = + + 我们把 x y z e e e x y z + + 简写成 称为 Del，或矢量微分算符 对于矢量场我们比较关心闭合曲面的流量即散度，和绕行一闭合曲线的环流即旋度。 散度 f 旋度 f 例题 1. 2 2 2 , , , , r r x y z x y z x y z r e r r r r = + + = = = 2. ( ) ( ) 2 2 2 2 r x y z x y z , , 2 ,2 ,2 x y z = + + = 利用复合函数求导能简化求导过程 ( ) df f r r dr = ， ( ) ( ) df f r r dr = ， ( ) ( ) df f r r dr = 设 2 r f r = ( ) 2 = = r r r r 2 2 3. 2 2 3 1 1 1 r r r e r r r r = − = − = − 4. 2 2 2 , , , , r r x y z x y z x y z r e r r r r = + + = = = 5. r x y z , , , , 3 ( ) x y z = =
6.V×r= 四、矢量乘积的梯度,散度,旋度 首先,如何展开 vof)ar(of)*aloy )+a(9) ax()+9a2()+()+9(0)+()+a(U) 8()+2(x)+2()+9()+9()+9() (vq)f+o(V·∫) 事实上,我们不必这样用分量展开 V算符在方向关系上是一个矢量,所以他的运算具有矢量的特点而V不同与普通矢量,它 是微分算符,所以我们在其运算中考虑到微分运算的特点,不能把它与普通矢量任意对调位 置 v{9) 去除Ⅴ的微分性 (q)+v,() vn(/)+v(q/) =vo)./+ov,f V()=V×(/)+V7×(q (V。9)×f+o;xf V()=V(78)+V(7g) 7×(xg)+(7v)+×(×)+(V)厂 1)首先去除V的微分性质 2)V一定要放在要作用的函数之前(如Ⅴ×∫正确∫×V;错误) 二重算符的作用 梯度的散度 vf) 梯度的旋度V×(V
6. i j k r x y z x y z = 四、 矢量乘积的梯度，散度，旋度 首先，如何展开 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x x y y z z x y z x y z f f f f x y z f f f f f f x x y y z z f f f f f f x y z x y z f f = + + = + + + + + = + + + + + = + 事实上，我们不必这样用分量展开 算符在方向关系上是一个矢量，所以他的运算具有矢量的特点而 不同与普通矢量，它 是微分算符，所以我们在其运算中考虑到微分运算的特点，不能把它与普通矢量任意对调位 置。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f f + = + = + 去除 的微分性 ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f g g f f f g f g f g f g f g g f g f = + = + + + Tips 1) 首先去除 的微分性质 2) 一定要放在要作用的函数之前（如 f f 正确 f f 错误） 二重算符的作用 梯度的散度 ( f ) 梯度的旋度 ( f )
散度的梯度V(V 旋度的散度V(V×f) 旋度的旋度V×(V 000 f,-f, a2 a2 82 a2 a 02 Qx2+a2+x2|=V.V称为 laplacian算符,简写为p 2)V×(V)=(VxV)f 3)V(Vv·)不常用 4)V(x)=(×v)7 5)V×(V f)=V(v刀)-(V)/=v(v.刀 例A为任意矢量 1)(A.V)F=4+Ax+4。(x,y,=) Avr=AC+A +y +z
散度的梯度 ( f ) 旋度的散度 ( f ) 旋度的旋度 ( f ) 1） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f f f f , , , , x y z x y z f f f x y z f x y z = = + + = + + 2 2 2 2 2 2 x y z + + = 称为 laplacian 算符，简写为 2 2） = ( f f ) ( ) 3） ( f ) 不常用 4） = ( f f ) ( ) 5） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = − = − f f f f f 例 A 为任意矢量 1) ( ) y z ( , , A ) x y z A r A A A x y z x = + + = 2) ( ) 2 2 2 y z r x y z x y z A A A A x = + + + + 3)
(AxV)×F=∑Ax∑9r ∑A×0x ∑(Aa)x)x ∑=m(A,× 5(A1∑两 ∑=k(AO)(exE) 5n(A,再) ∑∑n5m(A ∑En叭=26m A,26en=->2Ae,=-2A 四、并矢 b两个矢量并写在一起,称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢?这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示。 先看一个例子: 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑∫对n的投影矢量用 Pro n, f表示
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k l k l r A e e r = A e e r = A e e r = A e r = A e r e A r e e A r e A i i j j i j i i j j ij i j i j ij ijk i j k ijk ijk i j l l ijk l ijk i j ijkl ijk klm i j l m ijklm ijk klm i lj ij l A = = = = e A e 2 A 2 e 2A e 2A m km i ijk mjk m im jk ijk mjk im jk i im m i i im i = − = = − = − = − 四、 并矢 ab 两个矢量并写在一起，称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示。 先看一个例子： 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑 f 对 n 的投影矢量用 Pr n oj f 表示
Po/=(元)元=(:0) 历就被称为并矢。 两阶并矢的定义为动b=∑qbe(,j=123) 除交换率外,并矢服从初等代数的运算规律 结合律:m(a)=(m)b=(mb)=mb c=a bc 分配率:a(b+d)=ab+d 但b=bi 单位并矢/=∑ee,任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 并矢的散度与旋度 v(ab)=va (Gb)+vo (ab (va a)b+(vg a)b =(vaa)b+(av5)b 并矢的积分变换公式 高斯公式:dvT=中dST 证:7=b,7;=∑abe 手dN,T=手d∑7=∑:d2a=∑∮dN了 =∑卤行=∮d 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式:,(vx可)=m a()-∑和=∑引(闪)∑手 dlT
Pr ( ) ( ) or n oj f f n n n n f f nn nn f = = ⎯⎯→ nn 就被称为并矢。 两阶并矢的定义为 ( , 123) i j i j ij ab a b e e i j = = 除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律 结合律： m ab ma b a mb mab ( ) = = = ( ) ( ) (ab c a bc ) = ( ) 分配率： a b c ab ac ( + = + ) 但 ab ba = 单位并矢 i i i I e e = ，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 I a a I a = = 并矢的散度与旋度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b ab ab ab a b a b a b a b = + = + = + 并矢的积分变换公式 高斯公式： V s d T dS T = 证： T ab = ， j i j i i T a b e = j i ij j j i ij j V V V V ij j i j j j s s j d T d T e e d T e d T e ds T ds T = = = = = 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式： ( ) S l ds T dl T = 证： ( ) j j j j j j ( ) S S S l j j j l ds T ds T e e ds T e dl T dl T = = = =