电动力学习题课(四) Apr 28th, 2009 1 Example 1 如Fg(1)所示,(a)课件十五讲第3页; (b)课件十三讲选做题。 (b) Figure1:例一示意图 解:我们将严格解和等效解两种方法来求解此题 (a)§严格解 根据Biot- Savart定律 B(可)=dud (1.1) IS 4丌 (1.3) ds 其中Eq、1.2)和Eq(1.3)应用了公式: dxA=/(dsxV)×A (A×B)×C=B(C·A-AC.B) (1.6)
电动力学习题课（四） Apr 28th, 2009 1 Example 1 如Fig(1)所示，(a)课件十五讲第3页； (b)课件十三讲选做题。 μ2 ( )a ( )b R Φ μ1 B0 x Figure 1: 例一示意图 解：我们将严格解和等效解两种方法来求解此题。 (a) §严格解 根据Biot-Savart定律： B~ (~r) = µ0 4π I P Id~` 0 × ( ~r − ~r 0 |~r − ~r 0 | 3 ) (1.1) = µ0I 4π Z S (dS~ 0 × ∇0 ) × ( ~r − ~r 0 |~r − ~r 0 | 3 ) (1.2) = µ0I 4π Z S (dS~ 0 × ∇) × ( ~r 0 − ~r |~r 0 − ~r| 3 ) = µ0I 4π Z S n ∇( ~r 0 − ~r |~r 0 − ~r| 3 · dS~ 0 ) − (∇ · ~r 0 − ~r |~r 0 − ~r| 3 ) dS~ 0 o (1.3) = µ0I 4π ∇ nZ S ~r 0 − ~r |~r 0 − ~r| 3 · dS~ 0 o (1.4) 其中Eq.(1.2)和Eq.(1.3)应用了公式： I P d~` × A~ = Z S (dS~ × ∇) × A~ (1.5) (A~ × B~ ) × C~ = B~ (C~ · A~) − A~(C~ · B~ ) (1.6) 1
下面来考虑立体角,根据定义: do (1.7) ds -|3 联立Eq1(14)和Eq(1.8) B(=-P0VO 丌 等效解详细过程参见课件,基本思想如Fig(1a)所示,把整个电流回路等效成一系列微小电路 回路的叠加,然后利用磁标势方法得到总磁场。很明显,两种方法的结果一致 (b)§严格解详细过程参见课件十三讲的例3,思路就是严格求解泊松方程。 §等效解下面给出两种方法 1.(3维磁偶极子等效)根据严格解的结果,可以算出介质的表面磁化线电流密度: 其中 =2Bo42-p1 p1p2+ 基于Eq(1.10)所示的电流分布,可做如下等效 Q ●A Figure2:等效原理图1 那么高度为△的扁平盒所对应的磁偶极子为 d=/ aro sin Rdo·2R△( sin gex- cos oey) (1.12) ex丌R2a0△C (1.13) 进一步磁化强度为 M 2B012= (1.14) u12+ul
下面来考虑立体角，根据定义： Ω = Z dΩ = Z S dS~ · R~ R3 (1.7) = Z S ~r − ~r 0 |~r − ~r 0 | 3 · dS~ 0 (1.8) 联立Eq.(1.4)和Eq.(1.8)： B~ (~r) = − µ0I 4π ∇Ω (1.9) §等效解 详细过程参见课件，基本思想如Fig(1a)所示，把整个电流回路等效成一系列微小电路 回路的叠加，然后利用磁标势方法得到总磁场。很明显，两种方法的结果一致。 (b) §严格解 详细过程参见课件十三讲的例3，思路就是严格求解泊松方程。 §等效解 下面给出两种方法: 1. (3维磁偶极子等效)根据严格解的结果，可以算出介质的表面磁化线电流密度： ~α = ˆezα0 sin φ (1.10) 其中 α0 = 2B0 1 µ1 µ2 − µ1 µ2 + µ1 (1.11) 基于Eq.(1.10)所示的电流分布，可做如下等效： x dm Φ A θ z Δl ( )a ( )b Figure 2: 等效原理图1 那么高度为∆`的扁平盒所对应的磁偶极子为： ∆~m = Z d~m = Z π 0 α0 sin φRdφ · 2R∆`(sin φ eˆx − cos φ eˆy) (1.12) = ˆexπR2α0∆` (1.13) 进一步磁化强度为： M~ ≡ ~m V = 2B0 1 µ1 µ2 − µ1 µ2 + µ1 eˆx (1.14) 2
2.(2维偶极子等效)关于2维磁偶极子的定义参看教材P141习题53。等效方法如下: -甲 Figure3:等效原理图2 即用yz平面内的两条无穷长直导线代替介质表面磁化电流对空间磁场的贡献。2维磁偶极子的 矢势为: A GI, r2+2rR sin (1.15) 1 exIn(1+ 4rR sin g 2rRsin g 1I4Rsinφ Aimed sin g (1.18) 其中 mi2a=exI·2B (1.19) 对比严格结果和Eq(1.17),得: BoRe 2-1 (1.20) 1p2+P1 进一步磁化强度为 M 2B 12-1 S (1.21) Eq(1.14)和Eq1(1.21)得到的结果一致,即这两种等效方法是等价的。 那么下面来考虑圆柱内外的磁场和矢势(下面计算基于第一种等效方法)。 对于圆柱外A点,其矢势为 A( (1.22) 2 T horde(cos 8 sin oe2 -sin e ey) (1.23) BoR pp2-11 e r A2+Hr
2. (2维偶极子等效)关于2维磁偶极子的定义参看教材P141习题5.3。等效方法如下： x -I +I Figure 3: 等效原理图2 即用yz平面内的两条无穷长直导线代替介质表面磁化电流对空间磁场的贡献。2维磁偶极子的 矢势为： A~ = ˆez µ1I 4π ln r 2 + 2rR sin φ r 2 − 2rR sin φ (1.15) = ˆez µ1I 4π ln(1 + 4rR sin φ r 2 − 2rR sin φ ) ≈ eˆz µ1I 4π 4R sin φ r (1.16) = ˆez µ1|~m2d| 2π sin φ r (1.17) (1.18) 其中 ~m2d = ˆexI · 2R (1.19) 对比严格结果和Eq.(1.17)，得： ~m2d = ˆexB0R 2 2π µ1 µ2 − µ1 µ2 + µ1 (1.20) 进一步磁化强度为： M~ ≡ ~m S = 2B0 1 µ1 µ2 − µ1 µ2 + µ1 eˆx (1.21) Eq.(1.14)和Eq.(1.21)得到的结果一致，即这两种等效方法是等价的。 那么下面来考虑圆柱内外的磁场和矢势(下面计算基于第一种等效方法)。 对于圆柱外A点，其矢势为： A~(~r) = µ1 4πr2 Z ∆~m × eˆr (1.22) = µ1 4πr2 Z +π/2 −π/2 πR2α0rdθ(cos θ sin φ eˆz − sin θ eˆy) (1.23) = B0R 2 sin φ r µ2 − µ1 µ2 + µ1 eˆz (1.24) 3
Eq(1.24)和课件上的结果一致。 再考虑圆柱体内部,对比严格解的结果可知 B2=B0+p1 (1.25) 显然在横向外场条件下,无穷长柱的退极化因子是号。 讨论 1)在纵向外场条件下,无穷长柱的退极化因子是多少? 2)题(b)的等效解法实际上参考了严格解的结果,如果我们不知道严格解,该怎样用等效解法? 3)这两道题是关于磁场等效解法的,对比以前的电场等效解法,有什么相同和不同之处? 4)对比Eq(1.25)和介质球的退极化电场: E2= Eo-oP 26 我们会发现退极化场的符号一正一负,为什么? 2 Example 2 (磁像法)无限大平面上下分别充满磁导率为山1和μ2的均匀线性介质,在1区距离界面为a的地方 有一无限长且平行于界面的导线,电流为I,求空间磁场。 解:以介质分界面为xy平面,导线所在的平面簇中垂直于介质分界面的平面为x2平面,建立 坐标系 由于体系在x方向是平移不变的,因此只需考虑yz平面即可。类比电像法知: ·对于z>0区,磁场强度等效为原导线{I,(x,0,a)}和像导线{,(x,0,-a)}的叠加。 ·对于z<0区,磁场强度等效为像导线{I",(x,0,a)}的贡献。 那么体系的磁场强度为 e1+oe????? (21) z<0 H2 (22) 其中 a-rcos e e1=(0 A1,A1)A1={1+ (a-r cos 0) 1-1/2 r sin e 26 (23) e?=(o a+ 6 rsnd-4,42)42={1+-Psim6- 下面来匹配边界条件:在z=0,即θ=时,有 (H2-H1) (25) (B2-B1 (26) 联立Eq、2.1,2.2,252.6)得: I-I= I 1(I+1)=p2I (27
Eq.(1.24)和课件上的结果一致。 再考虑圆柱体内部，对比严格解的结果可知： B~ 2 = B~ 0 + 1 2 µ1M~ (1.25) 显然在横向外场条件下，无穷长柱的退极化因子是1 2。 讨论： 1）在纵向外场条件下，无穷长柱的退极化因子是多少？ 2）题(b)的等效解法实际上参考了严格解的结果，如果我们不知道严格解，该怎样用等效解法？ 3）这两道题是关于磁场等效解法的，对比以前的电场等效解法，有什么相同和不同之处？ 4）对比Eq.(1.25)和介质球的退极化电场： E~ 2 = E~ 0 − 1 3²0 P~ (1.26) 我们会发现退极化场的符号一正一负，为什么？ 2 Example 2 (磁像法)无限大平面上下分别充满磁导率为µ1和µ2的均匀线性介质，在µ1区距离界面为a的地方 有一无限长且平行于界面的导线，电流为I，求空间磁场。 解：以介质分界面为xy平面，导线所在的平面簇中垂直于介质分界面的平面为xz平面，建立 坐标系。 由于体系在x方向是平移不变的，因此只需考虑yz平面即可。类比电像法知： • 对于z > 0区，磁场强度等效为原导线{I,(x, 0, a)}和像导线{I 0 ,(x, 0, −a)}的叠加。 • 对于z 0 H~ 1 = I 2πr eˆ1 + I 0 2πr eˆ2 (2.1) z < 0 H~ 2 = I 00 2πr eˆ1 (2.2) 其中 eˆ1 = (0, a − r cos θ r sin θ A1, A1) A1 = {1 + (a − r cos θ) 2 r 2 sin2 θ } −1/2 (2.3) eˆ2 = (0, − a + r cos θ r sin θ A2, A2) A2 = {1 + (a + r cos θ) 2 r 2 sin2 θ } −1/2 (2.4) 下面来匹配边界条件：在z = 0，即θ = π 2时，有 ~n × (H~ 2 − H~ 1) = 0 (2.5) ~n · (B~ 2 − B~ 1) = 0 (2.6) 联立Eq.(2.1,2.2,2.5,2.6)得： ½ I − I 0 = I00 µ1(I + I0 ) = µ2I 00 (2.7) 4
解得 12-1 (2 (29) 12+p 讨论 )讨论I和Ⅳ"方向的关系 2)若界面为PMC和真空的交界面,求出此时的像电流并与电像法比较。 3)综合例1和例2,电介质与磁介质之间有什么异同? 3 Example 3 在准静态近似下,考虑下面的问题: (a)类比电容系数Cy,引入电感系数L; (b)如Fg(3)所示,电源为ve-’,求这两个电路中的电流 R L R Figure4:例三示意图 解:(a)考虑空间有n个电流回路,在准静态近似下,第k个回路满足: IR Rk=(Ve)k (3.1) 其中Φk表示第k个回路的磁通量,可以由第k个回路本身的磁场带来,也可以通过别的回路在 第k个回路处的磁场带来。因此类比电容系数,定义电感系数: Akili= lil (3.2) 很明显,L1是自感系数,L;(i≠j是互感系数,可以证明L=L(不是易证) Eq(3.2)代入Eq(31)得: Ik R,+ Lki s(t Eq(3.3)就是电工学中的基本方程
解得： I 0 = µ2 − µ1 µ2 + µ1 I (2.8) I 00 = 2µ1 µ2 + µ1 I (2.9) 讨论： 1）讨论I,I0和I 00方向的关系。 2）若界面为PMC和真空的交界面，求出此时的像电流并与电像法比较。 3）综合例1和例2，电介质与磁介质之间有什么异同？ 3 Example 3 在准静态近似下，考虑下面的问题： (a)类比电容系数Cij，引入电感系数Lij； (b)如Fig(3)所示，电源为V0e −iωt，求这两个电路中的电流。 V R1 L11 L22 R2 L12 Figure 4: 例三示意图 解：(a)考虑空间有n个电流回路，在准静态近似下，第k个回路满足： IkRk = (Ve)k − dΦk dt (3.1) 其中Φk表示第k个回路的磁通量，可以由第k个回路本身的磁场带来，也可以通过别的回路在 第k个回路处的磁场带来。因此类比电容系数，定义电感系数： Φk ≡ Xn i=1 LkiIi = LkiIi (3.2) 很明显，Lii是自感系数，Lij (i 6= j)是互感系数，可以证明Lij = Lji(不是易证)。 Eq.(3.2)代入Eq.(3.1)得： IkRk + Lki dIi dt = (Ve)k (3.3) Eq.(3.3)就是电工学中的基本方程。 5
(b)根据Eq(3.3) I1R1+L11+L12l2 (34) I2B2+L22l2+L21I1=0 (3 设 (36) q(36)代入Eq(3.4)和Eq(3.5)得 1Ri-iwlui1-iwly (3.7) R2-iw L22i2-iw l21i1 (38) 令 Z1=Ri-iwli Z2= R2- iw L2y t=-iwL12 =-iwL2i (3.9) 则Eq(37)和Eq2(3.8)化为 21Z1+i2t vo Z2 解得: t2-Z122 t2-Z122 进一步得到: L u2L12L22+iuL122 Z2 R2 R2+w2 L22 即 WL12 √R2+u2L2 (3.14) ard i arctan( R2 315) 显然,两电路的耦合越大,即L12越大,电路2中的电流越大。 讨论 )为什么说Eq、(3.1)是准静态近似下成立的? 2)考虑Eq(313)的几种极限情况并讨论之
(b)根据Eq.(3.3): I1R1 + L11˙I1 + L12˙I2 = V0e −iωt (3.4) I2R2 + L22˙I2 + L21˙I1 = 0 (3.5) 设 I1 = i1e −iωt I2 = i2e −iωt (3.6) Eq.(3.6)代入Eq.(3.4)和Eq.(3.5)得： i1R1 − iωL11i1 − iωL12i2 = V0 (3.7) i2R2 − iωL22i2 − iωL21i1 = 0 (3.8) 令 Z1 = R1 − iωL11 Z2 = R2 − iωL22 t = −iωL12 = −iωL21 (3.9) 则Eq.(3.7)和Eq.(3.8)化为： i1Z1 + i2t = V0 (3.10) i1t + i1Z2 = 0 (3.11) 解得： i1 = − Z2 t 2 − Z1Z2 V0 i2 = t t 2 − Z1Z2 V0 (3.12) 进一步得到： i2 i1 = − t Z2 = iωL12 R2 − iωL22 = −ω 2L12L22 + iωL12R2 R2 2 + ω2L 2 22 (3.13) 即： | i2 i1 | = p ωL12 R2 2 + ω2L 2 22 (3.14) arg(i2 i1 ) = arctan(− R2 ωL22 ) (3.15) 显然，两电路的耦合越大，即L12越大，电路2中的电流越大。 讨论： 1）为什么说Eq.(3.1)是准静态近似下成立的？ 2）考虑Eq.(3.13)的几种极限情况并讨论之。 6