电动力学习题课(六) Jun 12th. 2009 1 Example 1 如Fg1所示,一对半径为n1和r2的同轴导体构成了一个波导,其中r∈(r1,r2)的区域,z0的部分是相对介电常数为e的电介质,试求 (a)此波导中的TEM波模; (b)假如有一束TEM模电磁波从一z方向入射,求体系的反射系数和透射系数。 Interface Vacuum Medium Er Vacuum Medium E Figure1:例一示意图 解:(a)先讨论z>0的区域,由于考虑的是TEM模,即E2=B2=0,故可设: E2(F, w)=En(r, y)expi(k2z-wt) B2(, w)= B(a, y)expli(k22-wt)) (1.2) 其中E,B1表示电场和磁场在xy平面内 (k2)2=()2 (1.3) 那么1 V·E2(7,u)=0→V·Ein(x,y)=0 (1.4) V×E2(F,u)=iB2(7,)→V×E1(x,y)=0 (1.5) 柱坐标(,,z)下, V·A 1 0Ao 0A 10A:0A)+0)+ A aA aA do az pA)-0 p
电动力学习题课（六） Jun 12th, 2009 1 Example 1 如Fig1所示，一对半径为r1和r2的同轴导体构成了一个波导，其中r ∈ (r1, r2)的区域，z 0的部分是相对介电常数为²r的电介质，试求： (a)此波导中的TEM波模； (b)假如有一束TEM模电磁波从−z方向入射，求体系的反射系数和透射系数。 z r1 Vacuum r2 Vacuum Medium εr Medium εr Interface Figure 1: 例一示意图 解：(a)先讨论z > 0的区域，由于考虑的是TEM模，即Ez = Bz = 0，故可设： E~ 2(~r, ω) = E~ k(x, y) exp{i(k2z − ωt)} (1.1) B~ 2(~r, ω) = B~ k(x, y) exp{i(k2z − ωt)} (1.2) 其中E~ k, B~ k表示电场和磁场在xy平面内， (k2) 2 = ³ω c ´2 · ²r (1.3) 那么1 ∇ · E~ 2(~r, ω) = 0 ⇒ ∇ · E~ k(x, y) = 0 (1.4) ∇ × E~ 2(~r, ω) = iωB~ 2(~r, ω) ⇒ ∇ × E~ k(x, y) = 0 (1.5) 1柱坐标(ρ, φ, z)下， ∇ · A~ = 1 ρ ∂ ∂ρ(ρAρ) + 1 ρ ∂Aφ ∂φ + ∂Az ∂z ∇ × A~ = ˆeρ ³1 ρ ∂Az ∂φ − ∂Aφ ∂z ´ + ˆeφ ³∂Aρ ∂z − ∂Az ∂ρ ´ + ˆez 1 ρ ³ ∂ ∂ρ(ρAφ) − ∂Aρ ∂φ ´ ∇ψ = ˆeρ ∂ψ ∂ρ + ˆeφ 1 ρ ∂ψ ∂φ + ˆez ∂ψ ∂z 1
由Eq2(1.5)知,可以引入一标量函数φ,有 (1.6) 联立Eq1(1614)得 (1.7) Eq(1.7)是泊松方程,其解为: C2Inr +D (1.8) 那么 E2=ep- expi(k2z-wt) (1.9) 进而 k2×E2=E expli(k2t-wt)1 其中C2是一常数,c是光速。Eq(1.9,1.10)就是此波导z>0区域的TEM模式的电磁场,类似可求 出波导z<0区域的TEM模式的电磁场 B1=7p(12- (1.12) 其中C1是一常数,c是光速,k1=u/c (b)现有一束TEM模式的电磁波从真空入射到交界面z=0,不妨假设反射波和透射波还 是TEM模式,那么入射波用Eq、(1.1112)来表示,透射波用Eq(1.9,1.10)来表示,反射波记为 E i(k12+wt)I (1.13) B rc exp(-i(k1z +wt)y (1.14) 然后根据EH场的切向分量连续,可得: (1.15) r TC 解Eq(1.15,1.16)可得: (1.18) 1+ vEr 那么反射系数R和透射系数T为 R C32_(1-e (1.19) +√er (1.20) 讨论: 1)试通过边界条件确定C1,C2,C3 2)题(b)的解答中假定了反射波和透射波都是TEM波,能否证明? 3)一般的圆柱形、矩形波导都是不支持TEM模的,而此题的同轴电缆支持TEM模,实际上可以 证明:金属封闭单连通截面波导不支持TEM模式的电磁波,试证明之并思考物理上的理解
由Eq.(1.5)知，可以引入一标量函数ϕ，有 E~ k = ∇ϕ (1.6) 联立Eq.(1.6,1.4)得： ∇2ϕ = 0 (1.7) Eq.(1.7)是泊松方程，其解为： ϕ = C2 ln r + D (1.8) 那么 E~ 2 = ˆeρ C2 r exp{i(k2z − ωt)} (1.9) 进而 B~ 2 = 1 ω ~k2 × E~ 2 = ˆeφ C2 √ ²r rc exp{i(k2z − ωt)} (1.10) 其中C2是一常数，c是光速。Eq.(1.9,1.10)就是此波导z > 0区域的TEM模式的电磁场，类似可求 出波导z < 0区域的TEM模式的电磁场： E~ 1 = ˆeρ C1 r exp{i(k1z − ωt)} (1.11) B~ 1 = ˆeφ C1 rc exp{i(k1z − ωt)} (1.12) 其中C1是一常数，c是光速，k1 = ω/c。 (b)现有一束TEM模式的电磁波从真空入射到交界面z = 0，不妨假设反射波和透射波还 是TEM模式，那么入射波用Eq.(1.11,1.12)来表示，透射波用Eq.(1.9,1.10)来表示，反射波记为： E~ r = ˆeρ C3 r exp{−i(k1z + ωt)} (1.13) B~ r = −eˆφ C3 rc exp{−i(k1z + ωt)} (1.14) 然后根据E,H场的切向分量连续，可得： C1 r + C3 r = C2 r (1.15) C1 rc − C3 rc = C2 √ ²r rc (1.16) 解Eq.(1.15,1.16)可得： C2 = 2 1 + √ ²r C1 (1.17) C3 = 1 − √ ²r 1 + √ ²r C1 (1.18) 那么反射系数R和透射系数T为： R = ¯ ¯ ¯ C3 C1 ¯ ¯ ¯ 2 = ³1 − √ ²r 1 + √ ²r ´2 (1.19) T = ¯ ¯ ¯ C2 C1 ¯ ¯ ¯ 2 · √ ²r = 4 √ ²r (1 + √ ²r) 2 (1.20) 讨论： 1)试通过边界条件确定C1, C2, C3。 2)题(b)的解答中假定了反射波和透射波都是TEM波，能否证明？ 3)一般的圆柱形、矩形波导都是不支持TEM模的，而此题的同轴电缆支持TEM模，实际上可以 证明：金属封闭单连通截面波导不支持TEM模式的电磁波，试证明之并思考物理上的理解。 2
2 Example 2 如Fig2所示,空间有一无穷长带电导线,电荷线密度为入,原来静止,后突然以恒定速率v沿 着轴正向运动,求空间P点(xo,0,0)的磁场。 例二示意图 解:根据题意,电流分布为: j(7,t)=入o(x)6(y)(t)2 其中(t)为阶跃函数。那么P点的失势A: Ap()=/(t-- F-Fl (22) 21/0(0(1-产)di t a)如果txo/e,则2 AP(, t) (25) + pA11+1-(妞 (26) 进一步,P点的磁场可以得到: a)如果t<xo/c,则 Bp=0 2积分公式: In
2 Example 2 如Fig2所示，空间有一无穷长带电导线，电荷线密度为λ，原来静止，后突然以恒定速率v沿 着z轴正向运动，求空间P点(x0, 0, 0)的磁场。 + + + + + + + λ z x v P x0 Figure 2: 例二示意图 解：根据题意，电流分布为： ~j(~r, t) = λvδ(x)δ(y)θ(t)ˆz (2.1) 其中θ(t)为阶跃函数。那么P点的失势A~： A~ P (~r, t) = µ0 4π Z ~j(~r 0 , t − 1 c |~r − ~r 0 |) |~r − ~r 0 | d~r 0 (2.2) = ˆz µ0 4π Z λvδ(x 0 )δ(y 0 )θ(t − 1 c |~r − ~r 0 |) |~r − ~r 0 | d~r 0 = ˆz µ0λv 4π Z +∞ −∞ θ(t − 1 c p x 2 0 + z 02 ) p x 2 0 + z 02 dz 0 (2.3) a)如果t x0/c，则2 A~ P (~r, t) = ˆz µ0λv 4π Z + √ (ct) 2−x 2 0 − √ (ct) 2−x 2 0 1 p x 2 0 + z 02 dz 0 (2.5) = ˆz µ0λv 4π ln ¯ ¯ ¯ 1 + p 1 − ( x0 ct ) 2 1 − p 1 − ( x0 ct ) 2 ¯ ¯ ¯ (2.6) 进一步，P点的磁场可以得到： a)如果t < x0/c，则 B~ P = 0 (2.7) 2积分公式： Z dx √ x 2 + a 2 = ln ¯ ¯ ¯ x + √ x 2 + a 2 a ¯ ¯ ¯ 3
b)如果t>xo/c,则 042 (28) 0 (29) 根据Eq(2.7,29)可得到下图: Figure3.P点磁场随时间变化的关系图,其中to=x0,B0=x 很明显,上图有三个区间: ·tto,磁场近似为静磁场: B 0入U 2丌x Bo 和安培定律的结果一致 讨论: 1)思考开关时间的物理意义,可参考Phys.Rev.B74,045123(2006) 2)试计算P点的电场强度和能流密度,进而算出辐射出去的能量,思考此能量的来源 3 Example 3 教材P281)若空间中的电磁场在静止坐标系S中可表示为(E,B),在以速度运动坐标系S中可 表示为(E,B),求证:(E,B)和(E,B)的变换关系为 E= En E⊥=(E+×B) B 33③3 1234 B c2
b)如果t > x0/c，则 B~ P = (∇ × A~)P = − ³∂Az ∂ρ ´¯ ¯ ¯ P φˆ (2.8) = φˆ µ0λv 2π 1 x0 p 1 − ( x0 ct ) 2 (2.9) 根据Eq.(2.7,2.9)可得到下图： 0 2 4 0 2 4 6 8 Magnetic Field time t 0 B0 Figure 3: P点磁场随时间变化的关系图，其中t0 ≡ x0/c, B0 ≡ µ0I 2πx0 . 很明显，上图有三个区间： • t < t0，磁场为0，但是存在一定的推迟时间； • t ≈ t0，磁场发散，思考为什么？ • t À t0，磁场近似为静磁场： B~ P → φˆ µ0λv 2πx0 = φˆ µ0I 2πx0 ≡ B~ 0 (2.10) 和安培定律的结果一致。 讨论： 1)思考开关时间的物理意义，可参考Phys. Rev. B 74, 045123 (2006)。 2)试计算P点的电场强度和能流密度，进而算出辐射出去的能量，思考此能量的来源。 3 Example 3 (教材P281)若空间中的电磁场在静止坐标系S中可表示为(E, ~ B~ )，在以速度~v的运动坐标系S中可 表示为(E~ ,B~ )，求证：(E, ~ B~ )和(E~ ,B~ )的变换关系为 E~ k = E~ k (3.1) E~ ⊥ = γ(E~ + ~v × B~ )⊥ (3.2) B~ k = B~ k (3.3) B~ ⊥ = γ(B~ − ~v c 2 × E~ )⊥ (3.4) 4
证:由于电磁场(E,B)构成二阶张量F,故不同参考系之间的变换关系为 (3.5) 其中an为洛伦兹变换。Eq1(35)写成矩阵方程为 F=a.F (36) 进而假定元沿x方向,那么 ] B1 iE (3.7) 00i6 B3 -B2 -iEl/ 0100 B30B1-iE2/ B2-B10 (38) 0 (B3-E2)-(B2+E3) -(B3-=E) 0 B -i(E2-B3)/c (B2+E3) B 0 Es +uB2)/ (3.9) iE y(E2-vB3)/c iy(E3 +uB2)/c 0 写成具体分量形式 B B +E3) B B√√E BB E2) 333 E2=7(E2-B3) 7(E3+vB2) 3.15) 般来说,可以把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解,则Eq、3.10~3.15)可写成 E‖=E 7(E+×B) (317 B (318) 7(B c2 证毕 4 Example 4 (教材P281)试求匀速运动点电荷的场。 解:设S系的原点固定在点电荷q上,则该点电荷相对于S是静止的,其场为
证：由于电磁场(E, ~ B~ )构成二阶张量Fµν，故不同参考系之间的变换关系为： F 0 µν = αµβανγFβγ (3.5) 其中αµβ为洛伦兹变换。Eq.(3.5)写成矩阵方程为： ↔ F 0 = ~α · ↔ F · ~α T (3.6) 进而假定~v沿x方向，那么 0 B3 −B2 −iE1/c −B3 0 B1 −iE2/c B2 −B1 0 −iE3/c iE1/c iE2/c iE3/c 0 (3.7) = γ 0 0 iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0 −iβγ 0 0 γ 0 B3 −B2 −iE1/c −B3 0 B1 −iE2/c B2 −B1 0 −iE3/c iE1/c iE2/c iE3/c 0 γ 0 0 −iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0 iβγ 0 0 γ (3.8) = 0 γ(B3 − v c 2E2) −γ(B2 + v c 2E3) −iE1/c −γ(B3 − v c 2E2) 0 B1 −iγ(E2 − vB3)/c γ(B2 + v c 2E3) −B1 0 −iγ(E3 + vB2)/c iE1/c iγ(E2 − vB3)/c iγ(E3 + vB2)/c 0 (3.9) 写成具体分量形式： B1 = B1 (3.10) B2 = γ(B2 + v c 2 E3) (3.11) B3 = γ(B3 − v c 2 E2) (3.12) E1 = E1 (3.13) E2 = γ(E2 − vB3) (3.14) E3 = γ(E3 + vB2) (3.15) 一般来说，可以把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解，则Eq.(3.10∼3.15)可写成： E~ k = E~ k (3.16) E~ ⊥ = γ(E~ + ~v × B~ )⊥ (3.17) B~ k = B~ k (3.18) B~ ⊥ = γ(B~ − ~v c 2 × E~ )⊥ (3.19) 证毕。 4 Example 4 (教材P281)试求匀速运动点电荷的场。 解：设S系的原点固定在点电荷q上，则该点电荷相对于S是静止的, 其场为 E~ = 1 4πε0 q~r 0 r 03 B~ = 0 (4.1) 5
再设S系为实验室参考系,S系随着点电荷q相对于S系沿x轴以速度运动,则由上题的结论 得S系中的场强 Ey E Bx=0, By B 现在必须把产用S系中的坐标来表示,为此,设t=0时点电荷q正好与S系的原点重合,并且我们 在这一时刻测量空间的场,于是,根据洛伦兹变换有 =,y=y,2=4 (4.4) 所以,从S系的原点到观察点的距离r可表示成 2=1{x2+(2)2+(2)2 这样,S系中的电场强度为 E 4e02{x2+(x)2+()2]3/2 (4.6 q(1 eo(1-=)r2+ q(1-2)r re0[(1-2)r2+() (1-B2)7 4TEor(1-B2sin20)/2 (4.9) 式中θ是产与的夹角。不难算出磁感应强度 B E 根据Eq1(49.,4.10)知道匀速运动的点电荷场的特点是 ●场分布不再是球对称的,而是与θ有关 ●没有能流沿着径向方向辐射出去,而是在以电荷为中心的球面上流动; ●虽然能量并不沿着方向辐射出去,但在实验室系看,能流仍在做定向流,只伴随着电荷 起运动
再设S系为实验室参考系，S系随着点电荷q相对于S系沿x轴以速度~v运动，则由上题的结论 得S系中的场强： Ex = 1 4πε0 qx0 r 03 , Ey = 1 4πε0 γ qy0 r 03 , Ez = 1 4πε0 γ qz0 r 03 (4.2) Bx = 0, By = − 1 4πε0 γ υqz0 c 2r 03 , Bz = 1 4πε0 γ υqy0 c 2r 03 . (4.3) 现在必须把~r 0用S系中的坐标来表示，为此，设t = 0时点电荷q正好与S系的原点重合，并且我们 在这一时刻测量空间的场，于是，根据洛伦兹变换有 x 0 = γx, y0 = y, z0 = z (4.4) 所以，从S系的原点到观察点的距离r 0可表示成 r 0 = p x 02 + y 02 + z 02 = γ[x 2 + ( y γ ) 2 + ( z γ ) 2 ] 1/2 (4.5) 这样，S系中的电场强度为 E~ = 1 4πε0 q~r γ 2 [x 2 + ( y γ ) 2 + ( z γ ) 2 ] 3/2 (4.6) = 1 4πε0 q(1 − υ 2 c 2 )~r [(1 − υ2 c 2 )r 2 + υ2 c 2 x 2 ] 3/2 (4.7) = 1 4πε0 q(1 − υ 2 c 2 )~r [(1 − υ2 c 2 )r 2 + ( ~υ·~r c ) 2 ] 3/2 (4.8) = 1 4πε0 q(1 − β 2 )~r r 3 (1 − β 2 sin2 θ) 3/2 (4.9) 式中θ是~r与~v的夹角。不难算出磁感应强度 B~ = ~υ c 2 × E~ (4.10) 根据Eq.(4.9,4.10)知道匀速运动的点电荷场的特点是： • 场分布不再是球对称的，而是与θ有关； • 没有能流沿着径向方向辐射出去，而是在以电荷为中心的球面上流动； • 虽然能量并不沿着~r方向辐射出去，但在实验室系看，能流仍在做定向流，只伴随着电荷一 起运动。 6