电动力学习题课(五) May 22th, 2009 1 Example 1 如Fig1所示,线密度为μ1和μ2的两根弦相连于z=0,现有一列波从弦1入射,若忽略连接点质 量,试求反射波和透射波的振幅和相位。 Incident wave Figure1:例一示意图 解:1维绳波的运动方程为: 02102 0202at2 )f(2,t) 其中f(z,t)是位置为处的弦在时刻的横向位移,U=√T/是波速。 取体系的试探解为 ∫(z,t) Al +are orz0 下面考虑边界条件,首先f(z,t)在z=0处连续: lim f(z, t)=lim f(a, t) (1.3) 其次,如果忽略连接点的质量,f(x,t)的一阶导数在z=0处也连续 af 联立Eq(1.2-1.4) AI+a (1.5) (1.6) 解得: k1+k2 (1.7) 2k1 k1+k2 (1.8)
电动力学习题课（五） May 22th, 2009 1 Example 1 如Fig1所示，线密度为µ1和µ2的两根弦相连于z = 0，现有一列波从弦1入射，若忽略连接点质 量，试求反射波和透射波的振幅和相位。 1 Knot Knot 2 z f Incident Wave Figure 1: 例一示意图 解：1维绳波的运动方程为： ¡ ∂ 2 ∂z2 − 1 v 2 ∂ 2 ∂t2 ¢ f(z, t) = 0 (1.1) 其中f(z, t)是位置为z处的弦在t时刻的横向位移，v = p T/µ是波速。 取体系的试探解为： f(z, t) = ½ AI e i(k1z−ωt) + ARe i(−k1z−ωt) for z 0 (1.2) 下面考虑边界条件，首先f(z, t)在z = 0处连续： lim z→0− f(z, t) = lim z→0+ f(z, t) (1.3) 其次，如果忽略连接点的质量，f(z, t)的一阶导数在z = 0处也连续： ∂f ∂z ¯ ¯ ¯ z→0− = ∂f ∂z ¯ ¯ ¯ z→0+ (1.4) 联立Eq.(1.2-1.4)： AI + AR = AT (1.5) k1(AI − AR) = k2AT (1.6) 解得： AR = ³k1 − k2 k1 + k2 ´ AI (1.7) AT = ³ 2k1 k1 + k2 ´ AI (1.8) 1
又 U1 (1.9) 故 AR Ar (1.10) 2+01 20 A Ar U2+01 进一步假定 Ar≡Ae0AR≡ arboR AT=Arer Eq(1.12)代入Eq、(110,1.11) A (1.13) 01 Ari(8r-8n) A (1.14) ·若1>P2,即v10→6n-r=0 sin(bx-67)=0cos(67-01)>0→67-6=0 (1.16) 即6r=6R=6r,反射位相为0,故称无半波损失 物理上来说,经典力学中的金弦带着棉线振动,电动力学中的电磁波从光密介质到光疏介 质,对应着这种情况。 若 即v1>v,那么 (6R-6)=0cos(6R-b)0→6r-6=0 (1.18) 即6r=6+丌=6r,反射位相为丌,故称半波损失 物理上来说,经典力学中的棉线带着金弦振动,电动力学中的电磁波从光疏介质到光密介 质,对应着这种情况。 讨论 1)根据Eq(1.13114)可以得到: ·全反射:2=0,即2→∞; ·全透射:=v1,即p2=p1 2)若将弦2浸入一无穷大的粘滞流体中,粘滞阻力为: (1.19) 其中γ为粘滞系数,试求透射波的行为 Answer (x,1)=Ae高72e(k2-) (1.20) 3)总结上题,对比经典绳波和电磁波的异同,并写出对应关系
又 k1v1 = k2v2 (1.9) 故： AR = ³v2 − v1 v2 + v1 ´ AI (1.10) AT = ³ 2v2 v2 + v1 ´ AI (1.11) 进一步假定： AI ≡ AI e iδI AR ≡ ARe iδR AT ≡ AT e iδT (1.12) Eq.(1.12)代入Eq.(1.10,1.11): ³AR AI ´ e i(δR−δI ) = v2 − v1 v2 + v1 (1.13) ³AT AI ´ e i(δT −δI ) = 2v2 v2 + v1 (1.14) • 若µ1 > µ2，即v1 0 ⇒ δR − δI = 0 (1.15) sin(δT − δI ) = 0 cos(δT − δI ) > 0 ⇒ δT − δI = 0 (1.16) 即δI = δR = δT，反射位相为0，故称无半波损失。 物理上来说，经典力学中的金弦带着棉线振动，电动力学中的电磁波从光密介质到光疏介 质，对应着这种情况。 • 若µ1 v2，那么 sin(δR − δI ) = 0 cos(δR − δI ) 0 ⇒ δT − δI = 0 (1.18) 即δI = δR + π = δT，反射位相为π，故称半波损失。 物理上来说，经典力学中的棉线带着金弦振动，电动力学中的电磁波从光疏介质到光密介 质，对应着这种情况。 讨论： 1)根据Eq.(1.13,1.14)可以得到： • 全反射：v2 = 0，即µ2 → ∞; • 全透射：v2 = v1，即µ2 = µ1。 2)若将弦2浸入一无穷大的粘滞流体中，粘滞阻力为： ∆Fdrag = −γ ∂f ∂t ∆z (1.19) 其中γ为粘滞系数，试求透射波的行为。 Answer: f(z, t) = Ae− ωγ 2k2T z e i(k2z−ωt) (1.20) 3)总结上题，对比经典绳波和电磁波的异同，并写出对应关系。 2
4)进一步,考虑下面的体系 Figure2:示意图 质量为m的物体悬于弹性系数为k的弹簧一端,连着一根无穷长线密度为p的弦,试求此物体 的振动行为(忽略重力) Answer:体系的衰减常数为 (1.2 弱阻尼,即β小,物体仍在振荡:波速慢,弦质轻和物体重,比如说铁球系着棉线 ·过阻尼,即β大,物体不振荡:波速快,弦质重和物体轻,比如说纸球系着铁线。 思考:这个例子对应电动力学中的什么体系? 2 Example 2 求证:对于两种各向同性均匀介质的交界面,若入射电磁波是TE(TM)极化,则反射波和透射波 也是TE(TM极化。 证:建立坐标系,取介质的交界面为xy平面 考虑TE极化波,不妨设入射波电场E沿y方向,波矢在xz平面内,即 E=Eie: exp i(ki. T-wt) 其中 k i= kr.i+kzia (22) (23) e;为表示入射电场方向的单位矢量。类似可以写出反射波和透射波的电场E (24) sin 8r cos ori+sin A, sin org+ cos 8r2 (25) kt= ki+k2t (26) et= sin A, cos o. i sin 8, sin tg+cos 0 i (27)
4)进一步，考虑下面的体系： Figure 2: 示意图 质量为m的物体悬于弹性系数为k的弹簧一端，连着一根无穷长线密度为ρ的弦，试求此物体 的振动行为（忽略重力）。 Answer:体系的衰减常数为： β = ρv0 2m (1.21) • 弱阻尼，即β小，物体仍在振荡：波速慢，弦质轻和物体重，比如说铁球系着棉线； • 过阻尼，即β大，物体不振荡：波速快，弦质重和物体轻，比如说纸球系着铁线。 思考：这个例子对应电动力学中的什么体系？ 2 Example 2 求证：对于两种各向同性均匀介质的交界面，若入射电磁波是TE(TM)极化，则反射波和透射波 也是TE(TM)极化。 证：建立坐标系，取介质的交界面为xy平面。 考虑TE极化波，不妨设入射波电场E~沿y方向，波矢~k在xz平面内，即： E~ = Eieˆi exp {i( ~ki · ~r − ωt)} (2.1) 其中 ~ki = kxxˆ + kzizˆ (2.2) eˆi = ˆy (2.3) eˆi为表示入射电场方向的单位矢量。类似可以写出反射波和透射波的电场E~： ~kr = kxxˆ + kzrzˆ (2.4) eˆr = sin θr cos φrxˆ + sin θr sin φryˆ + cos θrzˆ (2.5) ~kt = kxxˆ + kztzˆ (2.6) eˆt = sin θt cos φtxˆ + sin θt sin φtyˆ + cos θtzˆ (2.7) 3
然后写出H场 1=-k1×E E hexp{i(k1·r-ut)} 其中 h2=k1Xe;=一k+kx2 (29) 类似写出反射波和透射波的H场 kezr sin B, sin or i +(kzr sin er cos or -kz cos Br)g+kr sin 8, sin r 2(2.10) kxt sin et sin o i+(kat sin et cos ot - kr cos 01)g+kr sin e, sin t i 下面考虑边界条件: E=E2 H= h 得到 Er sin B, cos r= Et sin At cos t (214) 8, cos pr-kz cos 0r) (kxt sin B, cos ot- kz cos B) (2.15) 1 另外根据横波条件 ke=kE 得到 kir sin 8, cos r hzr cos 0r (2.17) kix sin At cos ot kzt cos 8t =0 联立Eq1、2.14,217,2.18)得: kezr er cos er= kzt et cos et 联立Eq1、2.15217,2.18)得: E. cos e 220) 联立Eq、2.19,220)得: ki kxt k2 Et cos 6,=0 (221) u1 kxr 42 那么 t 进而 换言之 (224) 即反射波和透射波都是TE极化。 讨论 1)类似TE极化的证明,给出TM极化的证明 2)证明中其实用到了材料是各向同性且均匀这个条件,思考为什么?
然后写出H~ 场： H~ i = 1 ωµ1 ~ki × E~ i ≡ Ei ωµ1 hˆ i exp {i( ~ki · ~r − ωt)} (2.8) 其中 hˆ i = ~ki × eˆi = −kzixˆ + kxzˆ (2.9) 类似写出反射波和透射波的H~ 场： hˆ r = −kzr sin θr sin φrxˆ + (kzr sin θr cos φr − kx cos θr)ˆy + kx sin θr sin φrzˆ (2.10) hˆ t = −kzt sin θt sin φtxˆ + (kzt sin θt cos φt − kx cos θt)ˆy + kx sin θt sin φtzˆ (2.11) 下面考虑边界条件： E~ k 1 = E~ k 2 (2.12) H~ k 1 = H~ k 2 (2.13) 得到： Er sin θr cos φr = Et sin θt cos φt (2.14) Er µ1 (kzr sin θr cos φr − kx cos θr) = Et µ2 (kzt sin θt cos φt − kx cos θt) (2.15) 另外根据横波条件： ~kr · E~ r = ~kt · E~ t = 0 (2.16) 得到： kx sin θr cos φr + kzr cos θr = 0 (2.17) kx sin θt cos φt + kzt cos θt = 0 (2.18) 联立Eq.(2.14,2.17,2.18)得： kzrEr cos θr = kztEt cos θt (2.19) 联立Eq.(2.15,2.17,2.18)得： k 2 1 µ1 Er cos θr = k 2 2 µ2 Et cos θt (2.20) 联立Eq.(2.19,2.20)得： ( k 2 1 µ1 kzt kzr − k 2 2 µ2 )Et cos θt = 0 (2.21) 那么 cos θt = 0 ⇒ θt = π 2 (2.22) 进而 θr = θt = φr = φt = π 2 (2.23) 换言之 eˆr = ˆet = ˆy (2.24) 即反射波和透射波都是TE极化。 讨论： 1)类似TE极化的证明，给出TM极化的证明。 2)证明中其实用到了材料是各向同性且均匀这个条件，思考为什么？ 4
3 Example 3 如Fig3所示,空间中有厚度为h的一层膜置于另外一种背景材料中,现有一束电磁波从介质1入射 到体系中,求结构的反射系数 h Figure3:例三示意图 解:若光从介质入射到介质与j的表面,记反射系数为ry,透射系数为t,类似地我们可以 定义r:和t1(定义针对于逆光路),那么我们可以通过 Fresnel's law和能量守恒得到下面的两个 关系 ti -rijr (31) (32) 那么计及多次反射和透射我们可以写出该体系的反射系数(出射电场振幅与入射电场振幅之 n2+∑t21r237212t12exp(-i*2mk2h) (33) n12+∑(-1n-2121(1-m12)ep(-i*2nk) n=1 r23exp(-i*2k1)∑(-1)2212exp(-*2(n-1)k, +n2∑(-1)"r22ep(-*2nk:) r12+r23 exp Ck zh 1+r12723exp(-i*2k2h) (34) 其中 i (35) 注:推导中利用了下面的级数展开 1 af(ar) 1+ m ax r=∑(-1y(1++x=∑(-n(36) 讨论 1)根据Eq2(34),思考是否在某些条件下体系是全反射或者全透射? 2)这里的推导默认入射波是平面波,而实际中大部分光源是激光,因此如果将入射波改为高斯 光束,结果如何
3 Example 3 如Fig3所示，空间中有厚度为h的一层膜置于另外一种背景材料中，现有一束电磁波从介质1入射 到体系中，求结构的反射系数。 1 2 3 …... θ h Figure 3: 例三示意图 解： 若光从介质i入射到介质i与j 的表面，记反射系数为rij , 透射系数为tij，类似地我们可以 定义rji和tji (定义针对于逆光路)，那么我们可以通过Fresnel’s Law 和能量守恒得到下面的两个 关系： tij tji − rijrji = 1 (3.1) rij = −rji (3.2) 那么计及多次反射和透射我们可以写出该体系的反射系数（出射电场振幅与入射电场振幅之 比）r: r = r12 + X +∞ n=1 t21r n 23r n−1 21 t12 exp(−i ∗ 2nkzh) (3.3) = r12 + X +∞ n=1 (−1)n−1 r n 23r n−1 12 (1 − r 2 12) exp(−i ∗ 2nkzh) = r23 exp(−i ∗ 2kzh) X +∞ n=1 (−1)n−1 r n−1 23 r n−1 12 exp(−i ∗ 2(n − 1)kzh) +r12X +∞ n=0 (−1)n r n 23r n 12 exp(−i ∗ 2nkzh) = r12 + r23 exp(−i ∗ 2kzh) 1 + r12r23 exp(−i ∗ 2kzh) (3.4) 其中 kz = ω c q n 2 2 − n 2 1 sin2 θ (3.5) 注：推导中利用了下面的级数展开 1 1 + x = X +∞ n=0 1 n! ∂ n f(x) ∂xn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x=0 · x n = X +∞ n=0 1 n! (−1)nn!(1 + x) −(1+n) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x=0 · x n = X +∞ n=0 (−x) n (3.6) 讨论： 1)根据Eq.(3.4)，思考是否在某些条件下体系是全反射或者全透射？ 2)这里的推导默认入射波是平面波，而实际中大部分光源是激光，因此如果将入射波改为高斯 光束，结果如何？ 5