Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU Chapter10行波法和分离变量法本征值问题 上章复习:数理方程的导出与定解问题:泛定方程加上定解条件(例如,初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等)。 目标:求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。 般定解问题的分解: L[=f,[=0.=0.[[可=f, g: 2=0,| p q: 0 u,le0=y. u,l0=y. uL0=0. u,lo=0 解出问题I、II得1,2,l3则一般问题的解为=l1+2+l3 求解问题I是基础,问题I可转化为I或II,问题III有多种解法。 bstract:求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等,这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用,在其使用条件下,自然导致了问题的核心一本征值问题。 求解常微分方程:一般先求通解,再用某些定解条件定其参数 求解偏微分方程,即使求得通解,亦难于由定解条件来确定解(因 为含有任意函数)一本征值问题可解决此类问题。 维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式(不讲解) 1.行波法和d' Alembert公式(以无限长弦的自由振动为例) ln-a2l=0(-∞<x<∞)(无界区域) 其中q(x)和v(x)是已知函数。 P(x) y(x) 特征方程:sa(d)-a=0.解象」x-am=C1 于是作代换 l+at=C2 5=xa,原方程化简为-4aU=0解之得U=(5)+f(m),这是因为 n=x+ ar (x,)=U(5,),1=U;+Un,x=U5g+Um+U+Un, u=-aU talu=aU tau -au-aU
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 10 行波法和分离变量法 本征值问题 上章复习：数理方程的导出与定解问题：泛定方程加上定解条件（例如，初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等）。 目标：求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。 一般定解问题的分解： 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0, 0, , ~ , ~ 0, ~ , ~ 0, , , 0, 0, . . 0. 0. I II II t t t t t t t t L u f L u L u L u f g g u u u u u u u u = = = = = = = = = = = = = = = = = + + = = = = = = = = I 解出问题I、II、III得 1 2 3 u u u , , , 则一般问题的解为 u = u1 + u2 + u3 ， 求解问题 I 是基础，问题 II 可转化为 I 或 III，问题 III 有多种解法。 Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。 求解常微分方程：一般先求通解，再用某些定解条件定其参数； 求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来确定解（因 为含有任意函数）—本征值问题可解决此类问题。 一、 一维无界空间域的自由振动问题 达朗伯公式（不讲解） 1．行波法和 d’Alembert 公式（以无限长弦的自由振动为例）: ( ) 2 0 0 0 ( ), ( ); ( ), tt xx t t t u a u x u x u x = = − = − = = 无界区域 其中 (x) 和 (x) 是已知函数。 特征方程： 2 2 2 2 2 u u a t x = 0 d d 2 2 − = a t x . 解得 + = − = 2 1 x at C x at C .于是作代换 = + = − x at x at ，原方程化简为 4 0 2 − a U = .解之得 ( ) ( ) U = f 1 + f 2 ，这是因为 2 2 2 2 ( , ) ( , ), , , , , x xx t tt u x t U u U U u U U U U u aU aU u a U a U a U a U = = + = + + + = − + = + − −
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 其中f(5)和f2(n)是分别以ξ,n为宗量的任意函数。因此, (x.D)=f(x-an)+f2(x+ar),将之代入初始条件,有 f(x)+f2(x)=(x) d1(x)+2(x)=v(x)→f(x)-f2(x) y(a)da (x)=9x) y(a)da+ 这就确定了f和f2的函数形式 5(x)=o(x)+IIw(ade u(x,t)=o(x-ar)+p(x+at x na r-a ia oda d' Alembe公式。 物理意义: 在时空点(x,1)波形如f(x-am),到了下一时空点 (x+△x,t+△t 波形变为如 中X和t 仍形如 fLx+Ar-a(t+At)]=fL(x-at)+Ax-aAr]= f(x-ar ) 则x=aM→a=→沿之速度,也就是说,f(x-a) 是一个沿文轴正方向以速度a传播的行波;同理, f2(x+an)是一个沿轴负方向以速度a传播的行波。 在 d'alembert公式中 第一项表示由初位移激发的行波在t=0时的波形为o(x),以后分成相等 的两部分,独立地向左右传播,速率均为a 第二项表示由初速度激发的行波,t=0时在x处的速度为y(x),在t时刻, 它将左右对称地扩展到[x-a,x+ad]的范围,传播速率也都是a 另外需要说明的是,这里我们没有明确写出边界条件,即 (x,1)→>0或(x,),有界。严格来说,的确应该明确写出无穷远
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 2 其 中 ( ) f 1 和 ( ) f 2 是 分 别 以 , 为 宗 量 的 任 意 函 数 。 因 此 ， ( , ) ( ) ( ) u x t = f 1 x − at + f 2 x + at ，将之代入初始条件，有 1 2 f x f x x ( ) ( ) ( ); + = 0 ' ' 1 2 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d . x x af x af x x f x f x C a − + = − = − + 0 0 0 1 0 2 ( ) 1 ( ) ( )d , 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( )d . 2 2 2 x x x x x C f x a x C f x a = − + = + − 这就确定了 1 f 和 2 f 的函数形式， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + — d’Alembert 公式。 2．物理意义： 在时空点 ( , ) xt 波形如 1 f x at ( ) − ，到了下一时空点 ( , ) x x t t + + , 波 形 变 为 如 1 1 1 f x x a t t f x at x a t f x at [ ( )] [( ) ] ( ), + − + = − + − = − 仍形如 则 ˆ x x a t a x t = = → 沿 之速度, 也就是说， ( ) f 1 x − at 是一个沿 x ˆ 轴正方向以速度 a 传播的行波；同理， ( ) f 2 x + at 是一个沿 x ˆ 轴负方向以速度 a 传播的行波。 在 d’Alembert 公式中， 第一项表示由初位移激发的行波在 t = 0 时的波形为 (x) ，以后分成相等 的两部分，独立地向左右传播，速率均为 a . 第二项表示由初速度激发的行波， t = 0 时在 x 处的速度为 (x) ，在 t 时刻， 它将左右对称地扩展到 x − at, x + at 的范围，传播速率也都是 a . 另外需要说明的是，这里我们没有明确写出边界条件，即 ( , ) → 0 x→ u x t 或 x→ u(x,t) 有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 的条件。但是,对具体问题而言,这个条件可以由(x)和y(x)的具体形 式来得到保证。o(x)和v(x)总是会局限在一个有限的范围内,即,当增 大时,(x)和v(x)都会足够快地趋于0.因此,从d’ Alembert解就可 以看出,在有限的时间内,(x,1)总还是在一个有限的范围内才不为0.从 概念上说,所谓无穷长弦,当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示: 在我们所考察的时间和空间范围内,端点的影响可以忽略不计 二、一维半无界域的自由振动问题初始条件的延拓(不讲解) 1.齐次边界条件:端点(x=0)固定 0(x≥0) l-0=o(x),u1|==v(x); 其中p(x)和v(x)是已知函数。因为(x)和y(x)以及(x,1)仅仅在x≥0有 定义,不能直接应用无界区域的 d' Alembert公式 为了能够应用 d alembert公式,要设法将p(x)和v(x)以及l(x,1)的 定义域延拓到x<0(与 Fourier展开时所作的延拓相似),并要满足边界 条件-。=0.如果这样的解(x,1)(-<x<∞)找到了,那么它的x≥20的 部分就是原定解问题的解 Jo(x) x20, y(x)x≥0, x<0 <0 U(x,)= d(x-an)+Φ(x+a),1 H(ade 为确定Φ,屮,将之代入边界条件,得 (x)==a0)+oa)+1ry(ada=0(≥0) 记y=a,上式改写为
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 3 的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由 (x) 和 (x) 的具体形 式来得到保证。 (x) 和 (x) 总是会局限在一个有限的范围内，即，当 x 增 大时， (x) 和 (x) 都会足够快地趋于 0 . 因此，从 d’Alembert 解就可 以看出，在有限的时间内， u(x,t) 总还是在一个有限的范围内才不为 0 . 从 概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示： 在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。 二、 一维半无界域的自由振动问题 初始条件的延拓（不讲解） 1．齐次边界条件：端点 ( 0) x = 固定： ( ) 2 0 0 0 0 0 , ( ), ( ); 0, tt xx t t t x u a u x u x u x u = = = − = = = = 其中 (x) 和 (x) 是已知函数。因为 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 仅仅在 x 0 有 定义，不能直接应用 无界区域 的 d’Alembert 公式。 为了能够应用 d’Alembert 公式，要设法将 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 的 定义域延拓到 x 0 （与 Fourier 展开时所作的延拓相似），并要满足边界 条件 0 0 = x= u . 如果这样的解 u x t x ( , ) (− ) 找到了，那么它的 x 0 的 部分就是原定解问题的解。 ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x = ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x = ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d , 2 2 x at x at x at x at U x t a + − − + + = + 为确定 , ，将之代入边界条件，得 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 0 2 2 at x at at at U x t a = − − + = + = (t 0). 记 y = at ，上式改写为
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU d(-y)+d(y),1 xmn人、(akda=0(≥0) 由此可见,Φ,平的形式(当其宗量为负值时)可以取为(取法不唯 只要满足上式即可)Φ(-y)=-Φ(y),(-y)=-(y)(≥0) un=0(-∞ 问题转化为{n=d(x) ∫o(x) -(-x)x时 p(x+ar)-(at-x) y(a)da+y(B)dB 2 p(x+at)-( y(a)de 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解 p(x-ar)+o(x+at ),I (x+ar l(x,) 2 x"(a)da(≤-) p(x+at)-(at-x) y(a)da((>-) 物理意义:此解的t≤一部分与无界区域问题的解形式 上是完全一样的,这说明了这样一个事实,对弦上某一点 x来说,由于波的传播速度是a,来自x=0端点的扰动需
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 4 ( ) ( ) 1 ( )d 0 2 2 y y y y a − − + + = (y 0). 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为（取法不唯一， 只要满足上式即可） (−y) = −( y) ，(−y) = −( y) (y 0). 问题转化为 ( ) 2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x = = − = − = = − − = = − − 注意到， x + at 一定大于等于 0 （因为 x 0 ），但 x − at 可正可负，因此， 当 x − at 0 ，即 a x t 时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 当 x − at 0 ，即 a x t 时， 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( ) d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a + − + − + − − − + + = + + − − + − − = + + + − − = + 综上所述，我们得到原定解问题（ x 0 ）的解 ( ) ( ) 1 ( )d ( ); 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( ). 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + − − + 物理意义：此解的 a x t 部分与无界区域问题的解形式 上是完全一样的，这说明了这样一个事实，对弦上某一点 x 来说，由于波的传播速度是 a ，来自 x = 0 端点的扰动需
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 要经历x的时间才能影响到x点。当t≤x时,端点的影响尚未到达x点,这时x 点的振动就如同无界弦一样。 在端点固定的情况下,端点处永远是波节,所作延拓是奇延拓。当波在端点 处发生反射时,反射波位相将与入射波形相反,即位相有一突变值x一半波损失 (详见教材p202-203):当波碰到原点时立刻变号(方向与大小均变号),即x=0处 的合成波是波节u(x)=0反射后反射波继续传播,不过此波与原来波的位相有 突变值(大小与方向均变号) 但是,在端点自由的情况下(如半无界杆的x=0端是自由的) ul_=p(x);u,Lo=y(x), x<O(x)=/(x)x≥2 q(x)x≥0, x<0 (x,D) d(x-an)+Φ(x+a) ade 为确定Φ,屮,将之代入边界条件,得
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 5 要经历 a x 的时间才能影响到 x 点。当 a x t 时，端点的影响尚未到达 x 点，这时 x 点的振动就如同无界弦一样。 在端点固定的情况下，端点处永远是波节，所作延拓是奇延拓。当波在端点 处发生反射时，反射波位相将与入射波形相反，即位相有一突变值 —半波损失 （详见教材 pp202-203）：当波碰到原点时立刻变号（方向与大小均变号），即 x = 0 处 的合成波是波节 u x( ) 0; = 反射后反射波继续传播，不过此波与原来波的位相有一 突变值 (大小与方向均变号)。 但是，在端点自由的情况下（如半无界杆的 x = 0 端是自由的）： ( ) 2 0 0 0 0 0 , ( ); ( ), 0. tt xx t t t x x u a u x u x u x u = = = − = = = = ( ) 0; ( ) ? 0. x x x x = ( ) 0; ( ) ? 0. x x x x = ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d , 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 为确定 , ，将之代入边界条件，得
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU a(at)+p(at) H(at)-p-ar) 2 2 0(≥0) 记y=at,上式改写为 d(-y)+Φ(y)平(y)-平(-y) 0(y≥ 由此可见,Φ,的形式(当其宗量为负值时)可以取为 )(≥0) 其中第一个式子来源于Φ(-y)+Φ(y)=0,这是偶延拓问题转化为 ln-aux=0(-∞<x<∞) ≥0 Jv(x) x20 y(-x)x<0 注意到,x+at一定大于等于0,但x-at可正可负,因此, 当x-an≥0,即1≤时,(x0)=(x-ar)+(x+am)1rm, y(a)da t<0 u(x,t=p(at-x)+o(r+ar),1(rr+ar +o(a)da+oy()da p(x+ar)+o(at-x),1 (0 y(ada (B)dB p(x+at)+p(at-x)+lr tar v(a)da+。v(B)dB 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解: p(x-ar)+o(x+at) y(a)da 2a Jx-ar 0(x+a)+y(a-x)1 y(a)de 6
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 6 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) 0 = − − + − + = = a at at at at u x t x x (t 0). 记 y = at ，上式改写为 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) = − − + − + a y y y y (y 0). 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为 (−y) = ( y) ，(−y) = ( y) (y 0), 其中第一个式子来源于 − + = ( ) ( ) 0, y y 这是偶延拓. 问题转化为 ( ) 2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x = = − = − = = − = = − 注意到， x + at 一定大于等于 0 ，但 x − at 可正可负，因此， 当 x − at 0 ，即 a x t 时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 当 x − at 0 ，即 a x t 时， 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a + − + − + − − + + = + + − + + − = + − + + − = + + 综上所述，我们得到原定解问题（ x 0 ）的解: 0 0 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + + − + +
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 2.非齐次边界条件: a2u.=0(x≥0 0(x≥0) lnx=0(x≥0) P(x) L=(x) 0, y(x), 叫4-=() 0 f(r 定解问题的解u(x,1)等于问题I的解4(x,1)和问题I的解a2(x,1)之和,即 u(, 1=u,(x, t+u,, 4) 定解问题I的解u4(x,1)前面已经给出, p(x-an)+(x+a),1 y(adat≤ l1(x,) p(x+at)-p(at-x)I[+ar y(a)da I 现在讨论定解问题I的求解, (1)因为该系统既没有外力作用,初始条件又为0,所以x=0点的扰 动是系统振动的唯一原因(来源),因此,在x≥0区域,只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以,变量x和t只能以x-at或t--的组合形 式出现于解中,而不能以另一种形式x+at或t+-的组合形式出现。 (2)就x点来说,当1<时,x=0点的扰动尚未影响到这点,这点仍 处在平衡位置,所以解的形式是:4()( (3)最后,由边界条件确定F的具体形式,得F(t)=f()(t≥0) 所以,n2(x,1)=f|1
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 7 2．非齐次边界条件： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 0 , ( ); ( ); 0; ( ), ( ), 0, ( ). 0. ( ). tt xx tt xx tt xx t t t t t t x x x u a u x u a u x u a u x u x u x u u x u x u u f t u u f t = = = = = = = = = − = − = − = = = = = + = = = = = = I II 定解问题的解 u(x,t) 等于问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 和问题 II 的解 ( , ) 2 u x t 之和，即 ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 u x t = u x t + u x t . 定解问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 前面已经给出， 1 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + − − + 现在讨论定解问题 II 的求解， （1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为 0 ，所以 x = 0 点的扰 动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在 x 0 区域，只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以，变量 x 和 t 只能以 x − at 或 a x t − 的组合形 式出现于解中，而不能以另一种形式 x + at 或 a x t + 的组合形式出现。 （2）就 x 点来说，当 a x t 时， x = 0 点的扰动尚未影响到这点，这点仍 处在平衡位置，所以解的形式是： 2 ( , ) H x x u x t F t t a a = − − . （3）最后，由边界条件确定 F 的具体形式，得 F(t) = f (t) (t 0 .) 所以， 2 ( , ) H . x x u x t f t t a a = − −
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 三、由简述到一般)例如:两端固定弦的自由振动问题 0(0<x<1,0 l=0;,u=0 u_=p(x); u, L-=v(x) 定解问题I型:齐次方程和齐次固定边界条件,非齐次初始条件。 第一步,分高变量 设u(x,t)=X(x)7(),将此l(x,)代入方程,即得 X(x)7()=a2X"(x)T() 等式两端除以a2X(x)(),就有了()=X"(x) a2T(1)X(x) 左端只是t的函数(与x无关),右端只是x的函数(与t无关)。因此,要左 端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与无关的常数。令这 个常数为-(参数),即(0)x(x)=-Z.由此得到两个常微分方程组 (1)X(x) )+aT(t)=0, (10 X"(x)+λX(x)=0 (10.2) 同样,将此u(x,1)代入边界条件,得X(0)=0,X(1)=0.(10.3) 这就是分离变量,即导出了函数K(x)满足的常微分方程和边界条件, 以及T(1)满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步求解本怔值问: 常微分方程X"(x)+AX(x)=0中含有一个待定常数λ,而定解条件 X(0)=0,Ⅺ()=0是一对齐次边界条件。只有当λ取某些特定值时,才有既 满足齐次常微分方程,又满足齐次边界条件的非零解Ⅺ(x).λ的这些特定值 称为本怔"( eigenvalue),相应的非零解称为本征函数( eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 8 （三、由简述到一般）例如: 两端固定弦的自由振动问题: ( ) 2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x = = = = − = = = = = [定解问题 I 型：齐次方程和齐次(固定)边界条件，非齐次初始条件]。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t) = X (x)T(t) ,将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ). = 等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t = . 左端只是 t 的函数(与 x 无关)，右端只是 x 的函数(与 t 无关)。因此，要左 端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这 个常数为 − (参数)，即 = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t .由此得到两个常微分方程组： 2 T t a T t ( ) ( ) 0, + = （10.1） X x X x ( ) ( ) 0. + = （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X (0) = 0 , X l( ) 0. = （10.3） 这就是分离变量，即导出了函数 X (x) 满足的常微分方程和边界条件， 以及 T (t) 满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步,求解本征值问题： 常微分方程 X (x) + X (x) = 0 中含有一个待定常数 ，而定解条件 X (0) = 0， X (l) = 0 是一对齐次边界条件。只有当 取某些特定值时，才有既 满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X (x) . 的这些特定值 称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 由方程(10.2)解得,X(x)=C1cosx+C2sin√Ax 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C,sin√=0 C1和C2不能同时为0,只能是sn√l=0,即√l=nm(n=12,3 于是只能取如下的一系列值-(7)(=123,相应的本任函 数为:x,(x)=5mx,记为;smzx这样求得的本征值有无穷多个,他 们可以用正整数n标记。我们把本征值和本征函数分别记为n和Xn(x) 第三步求解,外叠加出一般解 对于每一个本征值n,由T()+Aa2T()=0(10.1)解出相应的 n丌 n丌 T, (0: T,(t)=A, cos-at+ B, sinat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 n丌 u,(x,t)=A cOS at+B, sin"at sin 1, x(n=1,2, 3 n丌 这祥的特解有无穷个(n=12,3,…)。每一个特解都园时满又齐 次偏微分方程和齐次边界奈佧。单独任何一个特解不能满足定解冋题中 的初始条件。由于偏微分方程和逵界条件都是齐次的,把它们的特解线 性叠加起来,即 l,Cos nT n7 (x,1)=∑|A at+B sin at sin"x 这样得到的l(x,D)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数q(x)和v(x)定出叠加系数A和Bn 将上面的一般解代入初始条件,得
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 9 由方程（10.2）解得, 1 2 X x C x C x ( ) cos sin . = + 将这个通解代入边界条件（10.3）,就有 1 2 0; sin 0. C C l = = C1 和 C2 不能同时为 0，只能是 sin l = 0 ，即 l = n (n =1,2,3, ). 于是 只能取如下的一系列值： 2 = l n n (n =1,2,3, ) ；相应的本征函 数为: ( ) sin , n n X x x l = 记为: sin . n x l 这样求得的本征值有无穷多个，他 们可以用正整数 n 标记。我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并叠加出一般解： 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t + a T t = （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n ( ) = cos + sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n ( , ) cos sin sin = + (n =1,2,3, .) 这样的特解有无穷多个 (n =1,2,3, ) 。每一个特解都同时满足齐 次偏微分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解问题中 的初始条件。由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线 性叠加起来，即 = = + 1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 0(x)=∑Asi (10.4) v(x)=∑",B,sin"x (10.5) 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数: 本征函数的正交性:[(x)x()=0≠m) 本征函数的模方:x,x)=x:(=5(n=123) 因此,在(10.4)式两端同乘以Xn(x)=sn"x,并逐项积分,就得到 7X ∫∑4 noX ZX p(x)sin sIn sIn ∑4 sin nn sin mht x dx=∑456m=4 所以,A=x)sm"dx 同样可以得到,Bn=W(x)sn";dx.这样,根据初始条件中的 已知函数o(x)和y(x),计算出积分,就可以得到叠加系数A和B, 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步,解的物解:就两端固定弦来说,固有频率中有一个最小值, 即=,称为基频。共它固有频都是它的数1,称为频。个同 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程,同时边界条件亦可分离变量(如 齐次边界条件);常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题,由此解 出一系列本征值和本征函数族。 ln=alnl(0<x<,0<t<∞) 再例如 lxl=o=0,u(x,0)=0,1(x,O)=v(x)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 10 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l = = = = 第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 本征函数的正交性: X x X x x (n m) l n m = ( ) ( )d 0, 0 . 本征函数的模方: 2 ( ) ( )d 0 2 2 l X x X x x l n = n = . (n =1,2,3, .) 因此，在(10.4)式两端同乘以 x l m X x m ( ) = sin ，并逐项积分，就得到 0 0 1 0 1 1 ( )sin d sin sin d sin sin d . 2 2 l l n n l n n nm m n n m x n x m x x x A x l l l n x m x l l A x A A l l = = = = = = = 所以， = l n x l n x x l A 0 ( )sin d 2 . 同样可以得到， = l n x l n x x n a B 0 ( )sin d 2 . 这样，根据初始条件中的 已知函数 (x) 和 (x) ，计算出积分，就可以得到叠加系数 An 和 Bn ， 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步, 解的物理解释：就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值， 即 l a 1 = ，称为基频。其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程，同时边界条件亦可分离变量（如 齐次边界条件）；常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题，由此解 出一系列本征值和本征函数族。 再例如: ( ) 2 0, 0 ,0 , | 0, ( ,0) 0, ( ,0) ( ). tt xx x x l t u a u x l t u u x u x x = = = = =