并矢 1.定义 b两个矢量并写在一起,称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢?这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示 先看一个例子 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑厂对的投影矢量用 Proof表示 Prof=(f,元)元=(亓 f·丽o丽·f 丽就被称为并矢。 两阶并矢的定义为动b=∑a∑qe=∑abe(j=123) 2.运算规律 除交换率外,并矢服从初等代数的运算规律 结合律 m(ab)=(ma)b=a(mb)=mab (ab) c=a(bc) 分配率:a(b+)=b+c 但b≠ 单位并矢/=∑ee,任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 ·a=a·I= 3.基本的几个并矢的矩阵形式 单位并矢I
一、 并矢 1. 定义 ab 两个矢量并写在一起，称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示。 先看一个例子： 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑 f 对 n 的投影矢量用 Pr n oj f 表示 Pr ( ) ( ) or n oj f f n n n n f f nn nn f = = ⎯⎯→ nn 就被称为并矢。 两阶并矢的定义为 ( , 123) i i j j i j i j i j ij ab a e a e a b e e i j = = = 2. 运算规律 除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律 结合律： m ab ma b a mb mab ( ) = = = ( ) ( ) (ab c a bc ) = ( ) 分配率： a b c ab ac ( + = + ) 但 ab ba 单位并矢 i i i I e e = ，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 I a a I a = = 3. 基本的几个并矢的矩阵形式 单位并矢 I
010 0 并矢ab a, b a,b, ab3 ab= ab a2b2 a,b 6 a, b, a,b, 并矢di aa, a,d2 a=a24 a21 4.张量分析 并矢的散度 V (Gb)=va(ab)+v6 b =(Va a)b+(ve a)b =(va ab+(a-v6b 标量标量 V·(ab是矢量 例: 1.V =∑0∑re =aree ∑ ∑ 2.A(r)为常矢量 V(4(r)=(v.4)+(n)V) V·A(r)F+A(r)Vr (vA()+r)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = 并矢 ab 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b = 并矢 aa 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a = 4. 张量分析 并矢的散度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b ab ab ab a b a b a b a b = + = + = + 标量 标量 (ab ) 是矢量 例： 1. r i i j j i j i j i j ij ij i j ij i i i e r e r e e e e e e I = = = = = 2. A r( ) 为常矢量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A r r A r r A r r A r r A r r A r r A r I = + = + = +
并矢的积分变换公式 高斯公式:∮dN7=d了 证:T=ab,T=∑abe dN,T=d∑an1=∑d∑=∑d了 ∑行/=∮ 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式:4(x7)=手 J)a(列)习可面(x)面 、曲线正交坐标系简介 在一般曲线正交坐标系中,空间一点p的位置用三个坐标l,l2,2表示。沿这些坐标增 加方向的单位矢量e,2,e3,沿这三个方向的线元为 dl, =h,du,, dl=h,du,, d,=h,du 对于球坐标系 l1 ll2 内=1,2=F,内=rsin 在曲线坐标系中有一般公式 1 a 1 gerth h 1 ap h,h, ap nh可a|h2可 h,h,h, h2 h, V·AV×A 也许有人会说V,V2q形式在在曲线坐标系中更加麻烦了? 但当@具有某种对称性后 q具有球对称(r,O,q)=0(r)时
并矢的积分变换公式 高斯公式： V s d T dS T = 证： T ab = ， j i j i i T a b e = j i ij j j i ij j V V V V ij j i j j j s s j d T d T e e d T e d T e ds T ds T = = = = = 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式： ( ) S l ds T dl T = 证： ( ) j j j j j j ( ) S S S l j j j l ds T ds T e e ds T e dl T dl T = = = = 二、曲线正交坐标系简介 在一般曲线正交坐标系中，空间一点 p 的位置用三个坐标 1 u ， 2 u ， 3 u 表示。沿这些坐标增 加方向的单位矢量 1 e ， 2 e ， 3 e ，沿这三个方向的线元为 1 1 1 dl h du = ， 2 2 2 dl h du = ， 3 3 3 dl h du = 对于球坐标系 1 u r = ， 2 u = ， 3 u = 1 h =1， 2 h r = ， 3 h r = sin 在曲线坐标系中有一般公式 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 e e e h u h u h u = + + 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 h h h h h h h h h u h u u h u u h u = + + A A 也许有人会说 ， 2 形式在在曲线坐标系中更加麻烦了？ 但当 具有某种对称性后 具有球对称 ( , , ) ( ) r r = 时
r2 ar 大家看到这么简单的形式一定非常兴奋,只是Vp,Vp的形式太复杂,如果可以求出在 曲线坐标系中的V形式,那就好了,可是,可以吗? 2 r≠0 r roar ar 严2c(2 0 但在r≠0时,上为奇点,无法求导数。我们在这里介绍一种方法。 dv=limA a) =lim a→0J a lim dQ2 Bardi a→0 r2dr =lim-12丌 作积分变换r=ap
r r e r r r = = 2 2 2 1 r r r r = 大家看到这么简单的形式一定非常兴奋，只是 ， 2 的形式太复杂，如果可以求出在 曲线坐标系中的 形式，那就好了，可是，可以吗？ 例： r r r = 1 1 2 3 r r r r 1 r r r r r r − − = = − = − ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 r r r r r r r r r r = = = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1 1 0 r r r r r r r r r r r = = − = 但在 r 0 时， 1 r 为奇点，无法求导数。我们在这里介绍一种方法。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 2 2 2 2 5 0 2 2 2 2 2 5 0 0 2 2 2 2 2 5 0 0 2 2 2 1 1 lim 3 lim 3 lim lim 12 a a a a dV dV r r a a r dV r a a r dr d r a a r dr r a → → → → = + − = + − = + = − + 作积分变换 r a =
°(p2+) 当然这个积分也可以用留数定理作,有兴趣的同学可以尝试一下。 V2-=-4xo6(r) 三、习题 v(ar) 鉴于V×F=0 ax(Vxr) ax(V×f)=V(a,f)-(aVF V(af)=4=4e1=4 =a v(x(axr))=v( ar-r(ar) Vra-V.(aF Vr2,a=}.a= v [F(a F)]=V, [F(ar)+var [F(ar)I =(af)(V·f)+[v(af)]产 3(a,f)+a,F=4a V·(F×(a×r)}=-2r.a 1.7 V.E sin(kF-o=V(k aE sin(kF- ak·r =kEo cos(k- F-or)
( ) ( ) 2 5 0 2 2 3 3 2 2 0 12 1 12 1 4 d = − + = − + = − 当然这个积分也可以用留数定理作，有兴趣的同学可以尝试一下。 2 1 4 ( )r r = − 三、习题 1.1 = (a r) ? 鉴于 =r 0 = + a r ( ) ? a r a r a r = − ( ) ( ) ( ) ( ) j j i i ij i j i i a r e A r Ae Ae a = = = = 1.1 ( ( )) ( ( )) ( ) 2 2 r a r ar r a r r a r a r = − = − 2 2 2 r r r a a r a r r = = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 4 ( ) r a r r a r r a r r a r r a r a r r a r r a r a r a r = + = + = + = = − (r a r r a ( )) 2 1.7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 sin sin cos E k r t E k r t k r k r k E k r t − − = = −
Vx「Esin(k,F-my)v(k-)×osn(k,F-0 k.-er ak·F ik.Eet dEe V×Ee v(k,)× k·F i×E 14 ∫4)dr=」jv((r)r=J4s(r)) =d4s(()=「4(示 0 例:磁偶极距 在远场条件下r>>r'因此 ()=ar+∫rdr AG)=均∫ar=Jja: j(r dr’j(r)=0 A(G)=均∫PFr 4丌 (F)r·r'dr rF=rr'sinecos,J()=Joee dr'=r'do
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 sin sin cos E k r t E k r t k r k r k E k r t − − = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 i k r t i k r t i k r t E e E e k r k r ik E e − − − = = ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 i k r t i k r t i k r t E e E e k r k r ik E e − − − = = 1.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 V V S S S A r d A r r d dS A r r dSn A r r dS n A r r = = = = = 例：磁偶极距 0 ( ) ( ) 4 j r A r d r = 在远场条件下 r r ' 因此 3 1 1 1 ' ' r r R r r r r = + − 0 0 3 ( ) ( ) ( ) ' 4 4 j r j r A r d r r d r r = + 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) 0 ( ) 0 4 j r A r d d j r r r n j r d j r r = = = = = 0 1 3 0 3 ( ) ( ) ' 4 ( ) ' 4 j r A r r r d r j r r r d r = = 0 ' r r rr j r j e ' 'sin cos ', ( ') ˆ = = d r d ' ' ' = B v q a m
Joe,rr'sin 8 cosφ'r"ds H Jjo(sing'e,+cosg'e,)rr'sin8coso'r'dg' sing.Jo(sin d'e,+coso'cosd'e, )dg' SIn 10.joe, cos o'dg in6.ie丌 A()=o sinb.a 例题:平行板电容器,上下面板分别位于=±,面电荷密度±。求 1.单位时间内流过xOy平面单位面积的动量P=0 2.上面板单位面积的受力 q 0 q 板间电场 E 动量流密度张量 G 2 7=56E-E=4+E=09 0 所以单位时间单位面积流进xOy平面的动量
0 3 0 ' 0 3 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 ˆ 'sin cos ' ' ' 4 (sin ' cos ' ) 'sin cos ' ' ' 4 sin (sin 'cos ' cos 'cos ' ) ' 4 sin cos ' ' 4 sin 4 x x j e rr r d r j e e rr r d r a j e e d r a j e d r a j e r = = + = + = = 0 2 2 ( ) sin ˆ 4 A r I a e r = 例题：平行板电容器，上下面板分别位于 2 d z = ，面电荷密度 。求 1． 单位时间内流过 xoy 平面单位面积的动量 P z=0 2． 上面板单位面积的受力 板间电场 0 q E ez = − 动量流密度张量 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 q q q q q x x y y z z q T E I EE e e e e e e = − = + − = − 所以单位时间单位面积流进 xoy 平面的动量
Og 上面板单位面积的受力为 F=小心7=-手示7=(-)
2 2 2 0 0 0 2 0 2 2 2 2 q q q z z x x z y y z z z q z P n T e T e e e e e e e e e e = = = + − = − 上面板单位面积的受力为 ( ) 2 0 2 q z z s s F dS T dsn T e T e = − = − = − − = −