复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》教学课件（WORD版）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU Chapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特点 1)过程繁杂乏味,结果简单精彩。 2)问题复杂,思路原始。 3)想法既笨(非小技巧)又绝顶聪明 4)学思路方法,用时查手册、程序 基本概念及通解结构 1.二阶线性常微分方程的标准形式 y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x)变系数方程,非齐次, 其非齐次项f(x)亦称为自由项 y"(x)+P(x)y(x)+q(x)y(x)=0 齐次方程 y"(x)+P0y(x)+q0y(x)=0 二阶线性常系数齐次微分方程。 对于一般n阶线性齐次常微分方程,可以用算符L作用到函数y(x)上的 形式表示 (x)=0 dx" dx"- dx d L是各阶微商的线性函数,最高阶为n,称为n阶线性微分算符。所谓线 性,指算符L中,仅仅包含(x)的各阶微商(包括零阶)的一次幂项 2.方程的常点和正则奇点(特点:常点非常,奇点更奇) 为进行比较普遍的讨论,我们取方程的宗量为复变量 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是,解的解析性由系数 的解析性决定。常点:如果系数函数p(x)和q(x)在x=x点是解析的,则 x0点称为二阶线性常微分方程的常点。 奇点:如果p(x)和q(x)中的一个(或两个)在x=x点是不解析,则x点 称为二阶线性常微分方程的奇点 正则奇点:如果x=x点为方程的奇点,但在该点函数(x-x0)(x)和 (x-x)q(x)都是解析的,则x点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 (二阶奇点可解,有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换) 3.齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特 点： 1） 过程繁杂乏味, 结果简单精彩。 2） 问题复杂，思路原始。 3） 想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。 4） 学思路方法，用时查手册、程序。 一、 基本概念及通解结构 1. 二阶线性常微分方程的标准形式 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 变系数方程，非齐次， 其非齐次项 f (x) 亦称为自由项。 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 齐次方程 y (x) + p0 y (x) + q0 y(x) = 0 二阶线性常系数齐次微分方程。 对于一般 n 阶线性齐次常微分方程，可以用算符 L 作用到函数 y(x) 上的 形式表示： 1 0 1 0 d d d d , , , , ( ) 0 d d d d n n n n L y x x x x x − −     =   ， L 是各阶微商的线性函数，最高阶为 n ，称为 n 阶线性微分算符。所谓线 性，指算符 L 中，仅仅包含 y(x) 的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。 2. 方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇） 为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数 的解析性决定。常点：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在 0 x x = 点是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的常点。 奇点：如果 p(x) 和 q(x) 中的一个（或两个）在 0 x x = 点是不解析，则 0 x 点 称为二阶线性常微分方程的奇点。 正则奇点：如果 0 x x = 点为方程的奇点，但在该点函数 ( ) ( ) 0 x − x p x 和 ( ) ( ) 2 0 x − x q x 都是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 （二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。 3. 齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 定理一(迭加原理):若y(x)和y2(x)是n阶线性微分方程(共有n个解) 凵”d y(x)≡Lny(x)=0 的两个解,则A(x)+b2(x)也是该方程的解(A和B是两个任意常数)。 定理二:若y(x)和y2(x)是方程 y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x=Lyx)=0 的两个特解,则y(x)和y2(x)线性无关的充要条件是:它们的朗斯基 (Wmom)列式(数学: Wronsky行列式)(,x)=(m)ay 不为 零。这条定理是显而易见的,如果y和y2是线性相关的,则令 y1(x)+B2(x)=0.将其微商便得到方程组 Ay+ By2=0 Ayi+ By?=0 当△=,|=0时,有非零的A和B解,此即n/y=-AB反之,当 y2 △≠0时,只有平凡解:A=B=0,此即表示y和y2是线性无关的(两者 的比值是x的函数)。 Wronski行列式的性质: i)交换对称性:△(y1,y2)=△(y2y) i)对数连续性:△(x1)吗= dlogyil=dogn dlog x o d logx - i)线性相关性:△(,y2)=0 for all x)→y2=y(c= const.) 如果y(x)和y2(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的两个线 性独立解(称为特解),那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此,对于这个方程来说,{v(x),y2(x)是完备系(基本解而 y(x)=(x)+B2(x)为通解。有了通解,再根据定解条件:y(x0)=a和 y(x0)=B,就可以确定常数A和B

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x − −      =   的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x + By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。 定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + +  = 的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基 （Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为 零 。 这条定理是显而易见的 ， 如 果 1 y 和 2 y 是线性相关的 ， 则 令 Ay1 (x) + By2 (x) = 0 . 将其微商便得到方程组     +  = + = 0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2 =    = y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / . = − 反之，当   0 时，只有平凡解： A = B = 0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者 的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：  =  ( y y y y 1 2 2 1 , , . ) ( ) ii）对数连续性： ( ) 0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x  =  = = = = iii）线性相关性：  =  = = ( y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ). ) 如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的两个线 性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x = Ay x + By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 ) = 和 y (x0 ) =  ,就可以确定常数 A 和 B

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 定理三:若y(x)是方程yx)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的一个特解,则 方程的另一个线性无关的特解为( See adv.Math) y2(x)=y1(x) 「p(x)drt [证明]既然y(x)和y2(x)是方程的解,所以 y(x)+p(x)y1(x)+q(x)y(x)=0, y2(x)+p(x)y2(x)+q(x)y2(x)=0 由于y1(x)和y2(x)是线性无关的,因此它们的 Wronski行列式不为 零,即M()=P=0.0)×y-(2×男,可得 vy -V23)+p(x)(y2-V2y=0 因此,(y2-y2)=p(xyy-y2y) 此即, p(xA.积分后可得△()=2△(,y)=e∫mxd] 由于日兰|=-P2=△(x)1 expF p(x)d dx(y VI 再积分,即得n2(x)=H(+Jp(x)dr 4.非齐次方程的通解 定理四:若y1(x)和y2(x)是方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的两个线 性无关解,则相应非齐次方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x) 的一个特解为 y(x)=2(2C(d-x(x)xD(x)dx, △(x) 其中A功)≈/1y2是 Wronski行列式 [证明]设y3(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x)的任一特解,即 y?(x)+p(x)y3(x)+q(x)y2(x)=f(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 3 定理三：若 ( ) 1 y x 是方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的一个特解，则 方程的另一个线性无关的特解为（See Adv. Math.）  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1   = − . [证明] 既然 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程的解，所以 y1 (x) + p(x)y1 (x) + q(x)y1 (x) = 0 , (1) y2 (x) + p(x)y2 (x) + q(x)y2 (x) = 0. (2) 由于 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是线性无关的，因此它们的 Wronski 行列式不为 零，即 ( ) 0 1 2 1 2     = y y y y x . 2 1 (1) (2)  −  y y ，可得 (y1 y2  − y2 y1 )+ p(x)(y1 y2  − y2 y1 ) = 0. 因此， ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d d y y y y p x y y y y x  −  = −  −  . 此即， = −   ( ) d d p x x . 积分后可得 ( )    (x) =  y , y = exp − p(x)dx 1 2 . 由于    = −  =  −  =        p x x y y x y y y y y y y x exp ( )d ( ) 1 d d 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 再积分，即得  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1   = − . 4. 非齐次方程的通解 定理四：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的两个线 性无关解，则相应非齐次方程 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 的一个特解为    −  = x x f x y x x y x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 ， 其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x    = 是 Wronski 行列式。 [证明] 设 ( ) 3 y x 为方程 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 的任一特解，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y  x + p x y  x + q x y x = f x . (3)

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU (3)×y(x)-()×y3(x)得 Oy""+p(x)0y'-yay=f(x)y(x) 即(y3-y1)+p(xuy3-yy)=f(x)y(x) 令Q(x)=△(y3,y1)= ,则上式变为 do(x) p(xo(x)=f(xy,(x) 作代换Q(x)=△(x)(x),其中△(x) 得 (x)-△(x p(x)△(x)(x)=f(x)y1(x),即 △(x) dr=f(x)(x),[利用了dA(x)=-p(x)A(x) 所以(x)=-f(x)y(x)x.那么Q(x)=-△(x)「f(x)y(x) △(x) △(x) 由于4(1=-M=-9=(x)[()dx, d △(x) 再积分,即得y(x)=y(x) △(x)rf(x)y1(x) △(x) 用分步积分改写,即得 y(224d △(x) f(x)y,(x) yI(x △(x)|-y(x)/)(x)y(x)△(x) △(x)y2 y(rf(x)y(r/(x)y2(x) △(x) 其中,我们利用了y()=(22=y(2p(xx1 、常点邻域方程的级数解法 1.解的存在和唯一性定理:如果系数函数p(x)和q(x)在圆域|x-x<R 内是解析的,则在此圆域内,方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0存在唯一

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )  −  y x y x 得， ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y  − y y  + p x y y  − y y  = f x y x ， 即 ( ) ( )( ) ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x  −  +  −  = . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y     = ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x − − = . 作代换 Q(x) = (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x    = ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x −  −  =  − ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x −  x = ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x = −   ]. 所以   = − x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么   = − x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于    = − =  −  =        x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ， 再积分，即得           = x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得           −  =         −               =               = x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1    = −  = ]. 二、 常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x − x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 存在唯一

Methods of Mathematical Physics(2016. 1 1)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaaPhys FDU 的、满足定解条件y(x)=c0和y(x0)=c1的解析解y(x) 既然解是唯一存在的,而且是解析的,则可将其设为以常点x为展开中 心的 Taylor series:y(x)=∑cn(x-x0),其中cc已知。逐项微分得 (x)=∑ncn(x-x)和yx)=∑m(n-1)cn(x-x)2.将这些带入二阶线 性常微分方程,就可以确定系数{cn}一这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的解一级数解其收敛 半径是R 勒让德方程( Legendre' equation) -x2)y”-2xy++1)y=0,(1为常数,1阶 Legendre's equation) 物理上球对称 Laplace方程在θ方向(x=cosO),角动量量子数/取零或 正整数;当然数学上l还可取其它值;本质上,含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题:本征值以量子数表示,本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12and13. 第一步:考察方程的性质,即判断展开中心点的奇性 Legendre's equation的系数函数是p()=1y和y()s4(+1,它们 在x=0点都是解析的,即x=0是方程的常点。由上面的定理可知, Legendre's equation的解也是解析的。因此该解可展成以x0=0为中心的 Taylor series. 第二步:把解写成y(x)=∑cx,再求出y(x)和y(x)的级数,代入方程。 y=co+c1x+c2x+c3x+……+Cnx"+ y’=c1+2c2x+3c2x2+…+ncnx"1+…, y"=2lc2+32c3x+…+n(n-l)k 第三步:将方程中同次幂项归并,由其系数和为零得出联系cn和cm,的递推 公式(RR,其中Cnc已知)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 5 的、满足定解条件 0 0 y(x ) = c 和 0 1 y (x ) = c 的解析解 y(x) . 既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点 0 x 为展开中 心 的 Taylor series: ( 0 ) 0 ( ) , n n n y x c x x  = = −  其 中 0 1 c c, 已知。 逐 项 微 分 得 ( ) 1 0 1 '( ) n n n y x nc x x  − = = −  和 ( ) 2 0 2 ''( ) ( 1) . n n n y x n n c x x  − = = − −  将这些带入二阶线 性常微分方程，就可以确定系数{ n c }—这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的解—级数解,其收敛 半径是 R. 2．勒让德方程（Legendre’s equation） (1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y  − xy  + l l + y = ，（ l 为常数，l 阶 Legendre’s equation）. 物理上球对称 Laplace 方程在  方向 ( cos ) x =  ，角动量量子数 l 取零或 正整数；当然数学上 l 还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12 and 13. 第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。 Legendre’s equation 的系数函数是 2 1 2 ( ) x x p x − = − 和 2 1 ( 1) ( ) x l l q x − + = ，它们 在 x = 0 点都是解析的，即 x = 0 是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’s equation 的解也是解析的。因此该解可展成以 x0 = 0 为中心的 Taylor series. 第二步：把解写成 0 ( ) n n n y x c x  = = ，再求出 y (x) 和 y (x) 的级数，代入方程。 y = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 ++ cn x n +, y  = c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 ++ ncn x n−1 +, y  = 2 1c2 + 3 2c3 x ++ n (n −1)cn x n−2 +. 第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系 n c 和 n+2 c 的递推 公式（RR，其中 0 1 c c, 已知）

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU Const y|2l2|3.2 4·3c (n+2(n+1)cn y 2.10 n(n-D)c IC 2 2 l(+1)y|(+1)col+1|l(+1)c2 l(+1)c lc2+/(+1)co=0 (-D(+ x:3·2c3-2lc1+l(l+1)c1=0, 得c3 -)+2 3·2 CI (2-1)(+3) x2:4·3c4-2lc2-22c2+ll+1l2=0,得 4.3 (2-1(-+1)+3) 5·4c5-3·2c3-2·3c3+l(+1)cs3=0,得 x": (n+2)(n+1)cn+2-n(n-1)c,, +1(+1)c,=0, recurrence relations (n+2)(n+ 特别注意:cn2x(n-) 第四步:由递推公式求出偶次幂项的系数c2k与co之间以及奇次幂项的系数 C2k与c1之间的关系式,于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数 (2k-2-1)(+2k-1) (2k)(2k-1) 2k-2-1)(2k-4-1)(+2k (2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3) (2k-2-)(2k-4-1)()(+)(+2k-3)(+2k-1 6

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 6 Const. x 2 x … n x … y  2 1 2  c 3 2 3  c 4 3 4  c … 2 ( 2)( 1) + + n+ n n c … − x y  2 2 1 2 −  c … n − n(n −1)c … − 2xy  2 1 1 −  c 2 − 2  2c … − 2nc1 … l(l +1) y 0 l(l +1)c 1 l(l +1)c 2 l(l +1)c … n l(l +1)c … 0 2 0 x c l l c : 2 1 ( 1) 0  + + = ， 得 ( )( ) 2 0 2 1 1 c l l c  − + = ; 1 3 1 1 x c c l l c : 3 2 2 1 ( 1) 0  −  + + = ， 得 ( )( ) 3 1 3 2 1 2 c l l c  − + = ; 2 4 2 2 2 x c c c l l c : 4 3 2 1 2 2 ( 1) 0  −  −  + + = ，得 ( )( ) ( )( )( )( ) 0 4 2 4! 2 1 3 4 3 2 3 c l l l l c l l c − − + + =  − + = 3 5 3 3 3 x c c c l l c : 5 4 3 2 2 3 ( 1) 0  −  −  + + = ， 得 ( )( ) ( )( )( )( ) 1 5 3 5! 3 1 2 4 5 4 3 4 c l l l l c l l c − − + + =  − + = … … 2 : ( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0 n n n n n x n n c n n c nc l l c + + − − − + + = + ，得 recurrence relations ( )( ) ( )( ) n n c n n n l l n c 2 1 1 2 + + − + + + = . 特别注意： 2 ( ) . n n c n l c +  − 第四步：由递推公式求出偶次幂项的系数 k c2 与 0 c 之间以及奇次幂项的系数 2k+1 c 与 1 c 之间的关系式，于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 4 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 4 1 2 3 2 1 . 2 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k − − − − + − = − − − − − + − + − = − − − = − − − − − + + − + − =

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU (2k+1)(2k (2k-1-1)(2k-3-1) (2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2) k-1-1)(2k-3-1)(1-)(1+2)…(1+2k-2)(1+2k) 1)! 第五步:写出解的最后形式,确定级数的收敛半径 (x)=cay(x)+cy1(x),其中 =1+X(2k-2-(2k-4-)(-)(+)(+2k-3+2k-x2 (2k) (2k-1-1)(2k-3-1)…(1-1)(l+2)…(l+2k-2)(+2k 2k+1 =x+ (2k+1) 它们在x1时,∑n收敛:而当≤1时,∑发散 物理要求y(±1)有界!→问题:能否适当选取参数l,使当x取实数值时,y(x)的 特解在区间x≤1上保持有限?答:yes 在下篇我们将看到, Legendre'seq中宗量x常常是球坐标中的cosb,因为 e∈0],因而x=cosO∈[-1,+1我们知道,球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k + − − − − + = + − − − − + − + = + − − = − − − − − + + − + = + 第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x = c y x + c y x ，其中， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k  + = − − − − − + + − + = + +  它们在 x  1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x =1 即当 x = 1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如， ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , 2 ! k k l k l l l l k l k y k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k +         + + + +     = = − + +     +     − +               +  + + + − = + +                     因此，由 Gauss 判别法可知，它是发散的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k  +   = + +     当   1 时，   n=1 un 收敛；而当   1 时，   n=1 un 发散]。 物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的 特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x =  − + cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 任何方向取值不会是无限大的,这就要求当x=±1时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间-1≤x≤1上有限,我们必须让l为整数。 只有这样,无穷级数才被截断[上面第三步特别注意:cn2(n-1)cnl,y或 y退化为多项式。这些多项式在区间-1≤x≤1都是有限的。 例如,当l=0时,y(x)=1,y(x)发散.当l=1时,y0(x)发散, y(x)=x.当/=2时,y0(x)=1 3 x,(x)发散.当l=3时,y0(x)发散, y(x)=x-x3.一般地,当l=2n时, y(x)=1+ (2k-2-2n)(2k-4-2n)(-2n)2n+1)2n+3)-2n+2k- (2n+2k) (2n) (2k)(n+k)(n-k)! y1(x)发散。令c1=0,则y(x)=c(x)有限。当1=2n+1时,y0(x)发散, H(x)=x+(2k-1-1)(2k-3-1)(1-(+2)(+4)·(+2k) (2k+1) n(n+N文(一N(2k+1)(m+k+)秒小这 (2n+2k+2) k=0 令co=0,则y(x)=c1y1(x)有限(正是我们要的解) 如果我们选择c和c1使得当x=1时,y(x)=1,则上面的多项式解称 为 Legendre多项式,并记为P(x)即当1=2n时,选=(-yg2n-), 当1=2+1时,选a=(-ygn+D)(需要繁琐的运算,请自己验算) 例如,当l=0时,y(x)=P(x)=1.当l=1时,yx)=P{(x)=x 当=2时,y(x)=P(x)=5(3x2-1)当=3时y(x)= (4n-2k) 般地,当=2n时,y()=P2(x)=(N(2n-6)n-2D 当l=2n+1时

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x = 1 时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间−1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。 只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n +2  − ( ) ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间−1 x 1 都是有限的。 例如，当 l = 0 时， y0 (x) = 1， ( ) 1 y x 发散. 当 l =1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x) = x 1 . 当 l = 2 时， 2 0 2 3 y (x) = 1− x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l = 3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x) = x − x . 一般地，当 l = 2n 时， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k = = − − − − − + + + − = + + = − + −   ( ) 1 y x 发散。令 c1 = 0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x = c y x 有限。当 l = 2n +1 时， ( ) 0 y x 发散， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k + = + = − − − − − + + + = + + + + + = − + + + + −   令 c0 = 0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x = c y x 有限（正是我们要的解）。 如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x =1 时， y(x) = 1 ，则上面的多项式解称 为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l = 2n 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 0 1 n n c n − = − ， 当 l = 2n +1 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 1 1 n n c n + = − .（需要繁琐的运算，请自己验算） 例如，当 l = 0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1 = = .当 l =1 时， 1 y x x x ( ) P ( ) = = . 当 l = 2 时， ( ) 2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x = = − .当 l = 3 时 y x (5x 3x) 2 1 ( ) 3 = − . 一般地，当 l = 2n 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k − = − = = − − −  . 当 l = 2n +1 时

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU y(x)=P2n(x)=∑(-) (4n+2-2k) 2k(2n+1-k)(2n+1-2k) 说明:1.习惯上l的取值为0和正整数,因为当/取负整数时,给出相同的结果: 当-1-1==0,1,2,…时,1(1+1)=(+1)和l给出的结果是相同的 Legendre' s equation具有这种对称性。物理上取l≥0. 2.总之,=0,1,2,…,y=P(x)且P/(1)=1和多项式的最高次幂的系数为 (2l) 1):P(x)构成正交、完备、封闭和归一集:∫P(x)P(x)dx=,,0m(se 1+1/2 hapter 12)封闭:P(x)及其各种运算均属于此 Hillbert空间。 3.本征值问题:泛定Eq+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值l=0,1,2…和本征函数P(x) 4.对称性对应守恒量,[,的=0→12=1(1+1)h2,l=0,1,2, Ym(O,q)=l(1+1)h2Ym(O,9),[L2,H=0→L2=m(m=0,土1,+2,…±) LYm(,9)=mhYn(29).Ymn(0,9)=(-1)", (2/+/-m) P"(cosO)em球谐函数 4r(+m)! 例如:Eq:y(x)+k2y(x)=0,条件:y(0)=c0,y(O)=c,众所周知解 y(x)= c cos kx+ -L sin kx.级数解亦如此,不过是级数形式而已:解微分方程 (t)+a2y(1)=0,已知初始(t=0)边界(x=0)条件:y(0)=an,y(0)=a1 [解]设此方程有如下形式的解 y=a0+a,/+a2t+a3l+.+a,t+ (8.1) 逐项微分,有y=a1+2a2t+3a12+…+m+…=∑mn (82) y=2l2+32a+…+n(n-1)a2+…=∑n(n-1)am"2 (83) )(n+1)an

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k + − + + = + − = = − + − + −  . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果： 当 − −  = l l 1 ' 0,1,2, 时 ， l l l l ( 1) '( ' 1), + = + l ' 和 l 给 出 的 结 果 是 相 同 的 。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l  0. 2. 总之， l = 0,1,2, ， P ( ) l y x = 且 P (1) 1 l = 和多项式的最高次幂的系数为 ( ) ( ) 2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l  + − = +  d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值 l = 0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对 称 性 对 应 守 恒 量 ， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l =  = + = ( ) 2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm     = + ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z =  = =    ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm     = (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m      + − = − + 球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0 + = ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0) = =  ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k = + 级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0 + =  ，已知初始( t = 0 )/边界( x = 0 )条件： 0 1 y(0) = a , y (0) = a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t  = = + + + + + + =  ， （8.1） 逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t  − − =  = + + + + + =  （8.2） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t  − − =  + =  =  +  + +  − + =  − = +  +   （8.3）

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 将(8.3)和(8.1)代入方程,我们得到 (212+o2a)+(3,2a+o2a)+…+[(n+2)( ∑[(n+2)(n+1 (84) 如果使方程有非零解,全部系数应为零,因此 2.1a,+2a=0 3·2a2+o2a1=0 5·4a5+O2a3=0 5·4 (n+2)n+ (2k2k-)“2(2k2k-1(2k-2(2k (-1)yo2 (-1)ya (2k)(2k-1X2k-2 (2k) a2k+1= (2k+1)(2k)(2k+1X2k)2k-1X2 (-1)a2 (-1)y (2k+1)(2k)X2k-1(2k-2)…32(2k+1) y=ao +a,I (2k) (- (-1) k+1 1-些t2 (2k)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 10 将（8.3）和（8.1）代入方程，我们得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 3 1 2 2 2 0 2 1 3 2 2 1 2 1 0. n n n n n n n a a a a t n n a a t n n a a t     +  + =  + +  + + + +  + + +     = +  + + =     （8.4） 如果使方程有非零解，全部系数应为零，因此 2 1 0 0 2  a2 + a = ， 即 0 2 0 2 2 2 1 2! a a a   = −  = − 3 2 1 0 2  a3 + a = ， 即 1 2 1 2 3 3 2 3! a a a   = −  = − 4 3 2 0 2  a4 + a = ， 即 0 4 2 2 4 4 3 4! a a a   =  = − 5 4 3 0 2  a5 + a = ， 即 1 4 3 2 5 5 4 5! a a a   =  = − … … ( 2) ( 1) 0 2 n +  n + an+2 + an = ，即 ( )( ) n an n n a 2 1 2 2 + + + = −  ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 ! 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 a k a k k k k a k k k k a k k a k k k k k k k     − = − − −  − = − − − = − = − − −  ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 3 4 2 1 2 2 1 2 1 ! 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a k a k k k k a k k k k a k k a k k k k k k k + − = + − −  − = + − − = + + = − − −      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 1 0 0 2 3 2 2 2 1 0 0 1 1 2! 3! 2 ! 2 1 ! 1 1 1 2! 2 ! 3! 2 1 ! 1 1 2! 2 ! k k k k k k k k k k k k k k k k k k y a a t a t a t a t a t k k a t t a t t t k k a a t t t k              +   + = =  = − − = + − − + + + + +     − − = − + + + + − + + +     +       − = − + + + + −          ( ) ( ) 2 1 3 2 1 0 1 3! 2 1 ! k k k k t t k   + + =   −   + + +   +   