复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数.doc_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数特点： 1）过程繁杂乏味, 结果简单精彩。 2）问题复杂，思路原始。 3）想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。 4）学思路方法，用时查手册、程序。一、基本概念及通解结构 1. 二阶线性常微分方程的标准形式 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 变系数方程，非齐次，其非齐次项 f (x) 亦称为自由项。 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 齐次方程 y (x) + p0 y (x) + q0 y(x) = 0 二阶线性常系数齐次微分方程。对于一般 n 阶线性齐次常微分方程，可以用算符 L 作用到函数 y(x) 上的形式表示： 1 0 1 0 d d d d , , , , ( ) 0 d d d d n n n n L y x x x x x − −     =   ， L 是各阶微商的线性函数，最高阶为 n ，称为 n 阶线性微分算符。所谓线性，指算符 L 中，仅仅包含 y(x) 的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。 2. 方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇）为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数的解析性决定。常点：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在 0 x x = 点是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的常点。奇点：如果 p(x) 和 q(x) 中的一个（或两个）在 0 x x = 点是不解析，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的奇点。正则奇点：如果 0 x x = 点为方程的奇点，但在该点函数 ( ) ( ) 0 x − x p x 和 ( ) ( ) 2 0 x − x q x 都是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的正则奇点（二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。 3. 齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x − −      =   的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x + By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + +  = 的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基（Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为零。这条定理是显而易见的，如果 1 y 和 2 y 是线性相关的，则令 Ay1 (x) + By2 (x) = 0 . 将其微商便得到方程组     +  = + = 0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2 =    = y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / . = − 反之，当   0 时，只有平凡解： A = B = 0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：  =  ( y y y y 1 2 2 1 , , . ) ( ) ii）对数连续性： ( ) 0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x  =  = = = = iii）线性相关性：  =  = = ( y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ). ) 如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的两个线性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x = Ay x + By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 ) = 和 y (x0 ) =  ,就可以确定常数 A 和 B

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )  −  y x y x 得， ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y  − y y  + p x y y  − y y  = f x y x ，即 ( ) ( )( ) ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x  −  +  −  = . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y     = ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x − − = . 作代换 Q(x) = (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x    = ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x −  −  =  − ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x −  x = ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x = −   ]. 所以   = − x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么   = − x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于    = − =  −  =        x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ，再积分，即得           = x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得           −  =         −               =               = x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1    = −  = ]. 二、常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x − x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 存在唯一

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 5 的、满足定解条件 0 0 y(x ) = c 和 0 1 y (x ) = c 的解析解 y(x) . 既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点 0 x 为展开中心的 Taylor series: ( 0 ) 0 ( ) , n n n y x c x x  = = −  其中 0 1 c c, 已知。逐项微分得 ( ) 1 0 1 '( ) n n n y x nc x x  − = = −  和 ( ) 2 0 2 ''( ) ( 1) . n n n y x n n c x x  − = = − −  将这些带入二阶线性常微分方程，就可以确定系数{ n c }—这种表示理论的“坐标值”。该幂级数在收敛圆内即为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的解—级数解,其收敛半径是 R. 2．勒让德方程（Legendre’s equation） (1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y  − xy  + l l + y = ，（ l 为常数，l 阶 Legendre’s equation）. 物理上球对称 Laplace 方程在  方向 ( cos ) x =  ，角动量量子数 l 取零或正整数；当然数学上 l 还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12 and 13. 第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。 Legendre’s equation 的系数函数是 2 1 2 ( ) x x p x − = − 和 2 1 ( 1) ( ) x l l q x − + = ，它们在 x = 0 点都是解析的，即 x = 0 是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’s equation 的解也是解析的。因此该解可展成以 x0 = 0 为中心的 Taylor series. 第二步：把解写成 0 ( ) n n n y x c x  = = ，再求出 y (x) 和 y (x) 的级数，代入方程。 y = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 ++ cn x n +, y  = c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 ++ ncn x n−1 +, y  = 2 1c2 + 3 2c3 x ++ n (n −1)cn x n−2 +. 第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系 n c 和 n+2 c 的递推公式（RR，其中 0 1 c c, 已知）

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k + − − − − + = + − − − − + − + = + − − = − − − − − + + − + = + 第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x = c y x + c y x ，其中， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k  + = − − − − − + + − + = + +  它们在 x  1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x =1 即当 x = 1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如， ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , 2 ! k k l k l l l l k l k y k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k +         + + + +     = = − + +     +     − +               +  + + + − = + +                     因此，由 Gauss 判别法可知，它是发散的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k  +   = + +     当   1 时，   n=1 un 收敛；而当   1 时，   n=1 un 发散]。物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x =  − + cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x = 1 时方程的解也必须是有限的。为使方程的解在整个区间−1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n +2  − ( ) ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间−1 x 1 都是有限的。例如，当 l = 0 时， y0 (x) = 1， ( ) 1 y x 发散. 当 l =1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x) = x 1 . 当 l = 2 时， 2 0 2 3 y (x) = 1− x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l = 3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x) = x − x . 一般地，当 l = 2n 时， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k = = − − − − − + + + − = + + = − + −   ( ) 1 y x 发散。令 c1 = 0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x = c y x 有限。当 l = 2n +1 时， ( ) 0 y x 发散， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k + = + = − − − − − + + + = + + + + + = − + + + + −   令 c0 = 0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x = c y x 有限（正是我们要的解）。如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x =1 时， y(x) = 1 ，则上面的多项式解称为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l = 2n 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 0 1 n n c n − = − ，当 l = 2n +1 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 1 1 n n c n + = − .（需要繁琐的运算，请自己验算）例如，当 l = 0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1 = = .当 l =1 时， 1 y x x x ( ) P ( ) = = . 当 l = 2 时， ( ) 2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x = = − .当 l = 3 时 y x (5x 3x) 2 1 ( ) 3 = − . 一般地，当 l = 2n 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k − = − = = − − −  . 当 l = 2n +1 时

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k + − + + = + − = = − + − + −  . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果：当 − −  = l l 1 ' 0,1,2, 时， l l l l ( 1) '( ' 1), + = + l ' 和 l 给出的结果是相同的。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l  0. 2. 总之， l = 0,1,2, ， P ( ) l y x = 且 P (1) 1 l = 和多项式的最高次幂的系数为 ( ) ( ) 2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l  + − = +  d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征值 l = 0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对称性对应守恒量， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l =  = + = ( ) 2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm     = + ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z =  = =    ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm     = (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m      + − = − + 球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0 + = ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0) = =  ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k = + 级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0 + =  ，已知初始( t = 0 )/边界( x = 0 )条件： 0 1 y(0) = a , y (0) = a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t  = = + + + + + + =  ，（8.1）逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t  − − =  = + + + + + =  （8.2） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t  − − =  + =  =  +  + +  − + =  − = +  +   （8.3）

复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

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