复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第二章 复变函数积分 Integrals of complex variable functions

016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct Chapter2复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions 复变函数积分( Integrals of complex variable functions 定义:设|是复平面C上的一条可求长的有向曲线,函数f()在l上有定 义,沿l取分点0=a,x1,2…,n1,zn=b,从z1→zk的一小段上 任取一点,作和数∑/(5=-=-)=∑/(Ak,如果当弧段 大1k(k=12…,n)的最大长度δ→>0时,此和数的极限存在,且 与zk和5的选取无关,那么这个极限值称为f(=)沿曲线l的积分, 记作/(=n/ *)一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合 fre)d==ou+iv)d(x+iy)=f(udx-vdy)+i rdx + udy) 因此,根据实变函数线积分的知识,可以知道,如果l是分段光滑的, f(=)在l上连续,复变函数积分一定存在 )可以把f()沿曲线的积分化为关于参数t的积分 B 参数方程::=(),即f()=o)() 其中(α,B)由曲线端点(a,b)的参数值确定 2.性质 (1)若1=4+l2+…+1,则(=∑f()d ()J/()d=f()d,其中表示l的逆向

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 一、 复变函数积分(Integrals of complex variable functions) 1．定义：设 l 是复平面 C 上的一条可求长的有向曲线，函数 f (z) 在 l 上有定 义，沿 l 取分点 z0  a,z1 ,z2 ,  ,zn1 ,zn  b ，从 k k z  z 1 的一小段上 任取一点 k  ，作和数              n k k k n k k k k f z z f z 1 1  1  ，如果当弧段 k k 1 z z  （ k 1,2,  ,n ）的最大长度   0 时，此和数的极限存在，且 与 k z 和 k  的选取无关，那么这个极限值称为 f (z) 沿曲线 l 的积分， 记作          n k k k l z f z z f z k 1 max 0 ( )d lim  . *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合            l l l l f (z)dz (u iv)d( x iy) (udx vdy) i (vdx udy) . 因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果 l 是分段光滑的， f (z) 在 l 上连续，复变函数积分一定存在。 **) 可以把 f (z) 沿曲线 l 的积分化为关于参数 t 的积分 [参数方程： z   (t) ]，即 ( )d [ ( )] '( )d , l f z z f t t t        其中 ( , )   由曲线端点 ( , ) a b 的参数值确定。 2．性质： (1) 若 n l  l  l  l 1 2 ，则     n k l l k f z z f z z 1 ( )d ( )d . (2)      l l f (z)dz f (z)dz ，其中  l 表示 l 的逆向

f()+c3/()k=cJ(k+cJ() (4)/(=)|sJ(=址=J/(=)≤M,其中M是(=的上界 L是曲线l的长。 例1.求Rezd,l为:(沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+2i;(i)沿 虚轴由0→2i,再平行于实轴2i→1+2i;(i)沿直线由0→1+2i 解:令z=x+,则 Re==x=u(x,y), v(x,y)=0, d==dx+ idy 对于①,Re=L减d+1dy=d+ 对于(,jRed=对+Jdx=f0d+x:d 对于(i) jRL减d+4=+2=12+ 虽然积分的起末点相同,但三种结果不同,这是由于f(z)=x不是解析函数 例2.=k,其中1以==-1为起点,==1为终点,路径为:()直线段 (i)上半单位圆周;(i)下半单位圆周。(练习) 解:()l的参数方程为:z=x,x∈[-1],所以d=dx,则 J===lldr=xdr (i)的参数方程为:z=e",θ∈[,z],所以d=e"dO,则 =ed=°d==2 (i)的参数方程为:z=e°,O∈[x,所以d=e"d,则 de= ied

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 (3)         l l l c f (z) c f (z) dz c f (z)dz c f (z)dz 1 1 2 2 1 1 2 2 . (4)       l l l f (z)dz f (z) dz f (z) dl ML ，其中 M 是 f (z) 的上界， L 是曲线 l 的长。 例 1．求 l Re zdz ，l 为：(i)沿实轴由 0 1 ，再平行于虚轴 11 2i ；(ii) 沿 虚轴由 0  2i ，再平行于实轴 2i 1 2i ；(iii)沿直线由 0 1 2i. 解：令 z  x  iy ，则 Re z  x  u(x, y)，v(x, y)  0，dz  dx idy . 对于(i)， z z x x i x y x x i y i l l l 2 2 1 Re d d d d 1 d 2 0 1 1 2 0             . 对于(ii)， 2 1 Re d d d 0 d d 1 0 2 3 4 0             z z i x y x x i y x x l l l . 对于(iii)， y  2x , y i y z z x x i x y x x i l l l             2 1 d 2 Re d d d d 2 0 1 5 5 0 . 虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于 f z x ( )  不是解析函数。 例 2．l z dz ，其中 l 以 z0  1 为起点， z1 1 为终点，路径为：(i)直线段； (ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习） 解：(i) l 的参数方程为： z  x ， x1,1 ，所以 dz  dx ，则 d d 2 d 1 1 0 1 1       z z x x x x l . (ii) l 的参数方程为： i z  e ， 0,  ，所以   d d i z  ie ，则 d i d i d 2 0 0 0                 i i i i l z z e e e e . (iii) l 的参数方程为： i z  e ， ,0 ，所以   d d i z  ie ，则 d i d i d 2 0 0 0                 i i i i l z z e e e e

例3.计算积分/=三d,其中1为实圆环1s≤2的上半部分的边界 方向为环形区域的正方向(靠右行) 解: =|-d= +++.月 lx dx 2ie de 咋看起来∫(x)=二=e20在D内解析,应该有 f(=)dz=0 其实不然,f∫=cos2θ+isin2,仅仅依赖于θ而非依赖于p 0=,≠一V=COS2日,0=V,≠一一l=Sin20→非解析。 例4.计算积分Ln d,(n=1,2…),其中C是以点a为圆心, r为半径的圆,积分方向为逆时针方向 解:曲线C的参数方程为:z-a=me(0≤q≤2) 2丌i n 这个积分与半径r及常点a的位置无关,并且必须在复平面上,其实 =ln(二-a)l=2mi是个纯虚数 、科希定理( Cauchy theorem) 上节讲述的是一般复变函数积分(主要是例子)。一般来说,它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关,还与该曲线段的具体形状有关 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的f()能使积分()d 与曲线段l的具体形状无关——这正是解析函数。 Cauchy定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 例 3．计算积分   l z z z I d ，其中 l 为实圆环 1 z  2 的上半部分的边界， 方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解：       1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 3 3 d d 2 d d d 2 d 2 1 2 1 1 1 1 3 3 4 . 3 l l c l c i i i i i i i i z z I z z z z x e x e x ie x ie x e x e e e                                          咋看起来 2 ( ) z i f z e z    在 D 内解析，应该有 ( )d 0 C f z z   . 其实不然， f i   cos2 sin2   ，仅仅依赖于  而非依赖于  ： 1 2 0 cos 2 u v         ， 1 2 0 sin 2 v u           非解析。 例 4．计算积分   1 d n n C I z z a    ，（ n 1,2, ) ，其中 C 是以点 a 为圆心， r 为半径的圆，积分方向为逆时针方向。 解：曲线 C 的参数方程为： i z  a  re (0   2).   ( 1) 2 2 1 0 0 1 1 i 2 n 1 d d d 0 n 2,3 i n i n n n in n C e i I z ire z a r e r                         , 这个积分与半径 r 及常点 a 的位置无关，并且必须在复平面上，其实 1 d ln( ) | 2 c c z I z a i z a        是个纯虚数。 二、 科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。一般来说，它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的 f (z) 能使积分 l f (z)dz 与曲线段 l 的具体形状无关——这正是解析函数。Cauchy 定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@ Phys. FDU 函数的有力工具(是基础,非目标) 单连通区域:对于区域D,如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中, 曲线上的所有点都在D内,则称D为单通区域 复连通区域:在单通区域内挖去所有奇点(可以是几个 点、几条线、几个区域)而组成的区域 境界线走向:沿境界线行走,区域总在左边的走向规定 (定义)为正向 1.单连通区域的 Cauchy定理;如果f(x)在闭单连通域D 中解析,则沿D中任何一个分段光滑的闭曲线l有f()d=0 证明:为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f(-)在D中连续(其实,后面会看到,只要f(-)在D中解析, 即f()存在,则∫"(z)也存在,因而f(z)连续),即四个偏导 数 连续。在此条件下可以应用 Green公式(*) P(x, y)dx+o(r, y)d a0 aP xdy于复变函数积分,有 f()d=中(u+)d(x+y) 手(dx-yd)+小 ay 根据 Cauchy-Riemann条件,马上得到/()d=0 注意(*) a, Pdxdy= dx a, Pdy P(x,y2 (x)-P(x,y,x))]x ∫P(x,y(x)x-∫P(x,y2(x灿x=∮P 由于 Green公式的要求,这里所说的单连通区域只能是一个有界 域,即,不能是包含∞点在内的(无界)域。以后我们会看到

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 函数的有力工具（是基础，非目标）。 单连通区域：对于区域 D，如果 D 内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中， 曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。 复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个 点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定 （定义）为正向。 1. 单连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则沿 D 中任何一个分段光滑的闭曲线 l，有 ( )d  0 l f z z . 证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f (z) 在 D 中连续（其实，后面会看到，只要 f (z) 在 D 中解析， 即 f (z) 存在，则 f (z) 也存在，因而 f (z) 连续），即四个偏导 数 y v x v y u x u         , , , 连续。在此条件下可以应用 Green 公式（*）                    l S x y y P x Q P(x, y)dx Q(x, y)dy d d 于复变函数积分，有 ( )d ( )d( ) ( d d ) ( d d ) d d d d . l l l l S S f z z u iv x iy u x v y i v x u y v u u v x y i x y x y x y                                       根据 Cauchy-Riemann 条件，马上得到 ( )d  0 l f z z . 注意（*）： 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 d d d d [ ( , ( ) ( , ( ))]d ( , ( )d ( , ( )d ( , )d . b b y x y y S a y x a b a l a b P x y x P y P x y x P x y x x P x y x x P x y x x P x y x                  由于 Green 公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界 域，即，不能是包含  点在内的（无界）域。以后我们会看到

016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct 即使∫(=)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0。 推论一:如果f(二)在闭单连通域D中解析,则复变积分()d与路径 无关。或者说,只要保持两端点固定,积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2.复连通区域的 Cauchy定理:如果f(z)是闭复连通域D中的单值解析函数 (需要做手脚!),则有∑5f()d=0,其中4(k=12…,m是 D的全部境界线(正方向)。 证明:(略) 推论二:对于闭复连通域上的单值解析函数,沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 f(=)d ∫(=)d 推论三:设∫(=)是闭区域(单连通或复连通)D上的解析函数,对于 D内的一条闭曲线1,当它在D内连续变形时积分值∫/()d=始 终保持不变(但是奇点区不能穿过,也只能绕过一次!)。 一个常用结果: n ,其中,a在曲线C内 当n=0,1,2,…,(=-a)"在全平面解析,由 Cauchy Theorem,Ln=0, 对于n=-1-2,…,(z-a)”在z=a点不解析,由推论三,我们总可 以把围绕a的任一闭曲线C变为以a为圆 心的圆周,然后利用前面例题的结果

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 即使 f (z) 在  点解析，它绕  点一周的积分也可以并不为 0。 推论一：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则复变积分 l f (z)dz 与路径 无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 是闭复连通域 D 中的单值解析函数 （需要做手脚！），则有 ( )d 0 1     n k l k f z z ，其中 l (k 1,2, , n) k   是 D 的全部境界线（正方向）。 证明：（略） 推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 1 ( )d ( )d . k n l l k f z z f z z       推论三：设 f (z) 是闭区域（单连通或复连通） D 上的解析函数，对于 D 内的一条闭曲线 l ，当它在 D 内连续变形时积分值 l f (z)dz 始 终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。 一个常用结果：   2 1 d 0 otherwise n n C i n I z a z           ，其中， a 在曲线 C 内。 当 n  0,1,2, ， n (z  a) 在全平面解析，由 Cauchy Theorem， 0 n I  ， 对于 n  1,2, ， n (z  a) 在 z  a 点不解析，由推论三，我们总可 以把围绕 a 的任一闭曲线 C 变为以 a 为圆 心的圆周，然后利用前面例题的结果

例1.如果函数f()在00,存在δ>0,使得-d<6时, 有Kx-a)(-)-A<E.(解析函数一致性定理!)所以 乐/()2m45=-)()-40<2m→0 因此,5(=2m4.只要imf()=A/(-a) 例2(X).设C为不经过a与-a的正向简单闭路,a为不等于零的任 何复数,试就C与a,-a的位置关系,计算Ⅰ dz 解: 2-2 因为C不经过a与-a,故C与a,-a的位置关系有四种可能: (1)a与-a同时位于C的外部,I=0; (2)a位于C的内部,-a位于C的外部, dz dz (2 C (3)-a位于C的内部,a位于C的外部

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6 例1． 如果函数 f (z) 在 0  z  a  R 环 域 内解析，且 z a f z A z a    lim ( ) ( ) (这个数值类似于、但不是留数,Residue)，则 f z z iA C d  2  ，曲线 C 为 D 内绕 a 点的闭曲线。 证明： z i C z a d 2 1    .     2 0 2 0 d 2 d d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d . C z a r C z a r z a r A f z z iA f z z z z a z a f z A z z a z a f z A z z a z a f z A r r z a f z A                                     z a f z A z a    lim ( ) ( ) ，即，任给   0 ，存在   0 ，使得 z  a   时， 有 (z  a) f (z)  A   . （解析函数一致性定理！）所以   2 0 d 2 ( ) ( ) d 2 0 C f z z iA z a f z A             . 因此， f z z iA C d  2  . 只要 lim ( ) / ( ). z a f z A z a    例 2（X）．设 C 为不经过  与 的正向简单闭路，  为不等于零的任 何复数，试就 C 与  ， 的位置关系，计算    C z z I 2 2 d  . 解：           z   z  z  1 1 2 1 1 2 2 . 因为 C 不经过  与 ，故 C 与  ， 的位置关系有四种可能： （1）  与 同时位于 C 的外部， I  0 ； （2）  位于 C 的内部， 位于 C 的外部，           i i z z z z z z I C C C                   2 0 2 d d 1 2 d 1 2 2 ; （3） 位于 C 的内部，  位于 C 的外部

016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct I ajC 二+a)2 (4)a与-a同时位于C的内部,由推论二,有 5:2a=5.=20a+f =0 (X)解析函数不定积分( Undefine integrals) 定理:设f()是单连通域D内的解析函数,二0是D内的一个定点,在D 内定义函数,F()=[f(5)d5,则F(x)也是D内的解析函数,且 F()=f(-),同时,对D内的任意两点x1和2,有 f()d5=F(=2)-F(=1) 证明:为了证明F(x)是解析的,只需要直接 求出它的导数就可以了。设z是D内 一点,z+A是它的邻点,则 F()=.f()d5, F(二+△)=f(A4,因为积分与 路径无关,所以, △2=(+4(日2=1广“d,由此可得, △F f()d2-f(=) "9-小2r(3 由于f(=)是解析的,它一定连续,即,对于任给E>0,存在δ>0, 使得当-<6时,|f(4)-f(=)<E,[只要<d,同时5点落在 以二点为中心,A为半径的圆内,就有(5)-f()<6]所以 4(ys、1 △F A=,即得F()=mF =f() 这就证明了F()在D内处处可导,是D内的解析函数,并且

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7           i i z z z z z z I C C C                    0 2 2 d d 1 2 d 1 2 2 ; （4）  与 同时位于 C 的内部，由推论二，有 0 d d d 2 2 2 2 2 2                       i i z z z z z z I C C C . 三、 （X）解析函数不定积分 (Indefine integrals) 定理：设 f (z) 是单连通域 D 内的解析函数， 0 z 是 D 内的一个定点，在 D 内定义函数，   z z F z f 0 ( ) ()d ，则 F(z) 也是 D 内的解析函数，且 F(z)  f (z) ， 同 时 ， 对 D 内 的 任 意 两 点 1 z 和 2 z ， 有 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z      . 证明：为了证明 F(z) 是解析的，只需要直接 求出它的导数就可以了。设 z 是 D 内 一点,z z 是它的邻点，则   z z F z f 0 ( ) ()d ，      z z z F z z f 0 ( ) ()d ，因为积分与 路径无关，所以，            z z z f z z F z z F z z F ()d ( ) ( ) 1 ，由此可得，   1 ( ) ( )d ( ) 1 1 ( ) ( ) d ( ) ( ) d . z z z z z z z z z F f z f f z z z f f z f f z z z                           由于 f (z) 是解析的，它一定连续，即，对于任给   0 ，存在   0， 使得当   z   时， f ()  f (z)   ，[只要   z  ，同时  点落在 以 z 点为中心， z 为半径的圆内，就有 f ()  f (z)   ] 所以           z z f z z F 1 ( ) ，即得 ( ) lim ( ) 0 f z z F F z z        . 这就证明了 F(z) 在 D 内处处可导，是 D 内的解析函数，并且

016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct F"(二)=f(-) 根据原函数的定义:如果Φ(二)=f(=),则Φ(=)称为f(=)的 原函数。可见F(=)是f(二)的一个原函数。对于给定的一个函数f() 来讲,原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。 这是因为,如果Φ()与Φ2(-)都是f(-)的原函数,则 Φ(-)=f(-),Φ2()=f(-).所以 (2)-a()=(2)-a()=f)-f(=)=0,即 d1(=)-Φ2(=)=C 现在证明∫f(5d5=F(=2)-F(=)设)也是f(c)的一个 原函数,那么,(=)=F()+C=「f(5A5+C,显然=a)=C, 于是上式又可写为: f()d5=Φ(-)-(二0)=F()-F(=0).因而, f()d5=F(=2)-F(=1) f()的原函数的集合称为f()的不定积分,记为「f(d5 四、科希积分公式( Cauchy integral formula) Cauchy定理最直接、最重要的结果是 Cauchy公式。对于区域D上的解 析函数,这一公式建立了边界和区域内各点的关系,即,它在边界上的值决 定了它在D内任意一点的值 1.有界区域的 Cauchy积分公式:设f(z)是闭单连通区域D上的解析函数, 1为区域境界线,则对区域内任一点,有f(=)=1f25,其中 积分路线沿l的正方向。 证明:因为f()=f()51d=1gf( d5,所以只要证明

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 F(z)  f (z). 根据原函数的定义：如果 (z)  f (z) ，则 (z) 称为 f (z) 的 原函数。可见 F(z) 是 f (z) 的一个原函数。对于给定的一个函数 f (z) 来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。 这是因为，如果 ( ) 1  z 与 ( ) 2  z 都是 f (z) 的原函数，则 ( ) ( ) 1  z  f z ， ( ) ( ) 2  z  f z . 所以  1 ( ) 2 ( )  1 ( )   2 ( )  ( )  ( )  0   z   z z z f z f z ，即 1 (z) 2 (z)  C. 现在证明 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z      . 设 (z) 也是 f (z) 的一个 原函数，那么， z F z C f C z z       0 ( ) ( ) ()d ，显然 (z0 )  C ， 于是上式又可写为： ( )d ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z F z F z z z          . 因而， ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z      . f (z) 的原函数的集合称为 f (z) 的不定积分，记为  z f ( )d . 四、科希积分公式 (Cauchy integral formula) Cauchy 定理最直接、最重要的结果是 Cauchy 公式。对于区域 D 上的解 析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决 定了它在 D 内任意一点的值。 1．有界区域的 Cauchy 积分公式：设 f (z) 是闭单连通区域 D 上的解析函数， l 为区域境界线，则对区域内任一点 z ，有    l z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) ，其中 积分路线沿 l 的正方向。 证明：因为        l l z f z i z i f z f z       d ( ) 2 1 d 1 2 1 ( ) ( ) ，所以只要证明

016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct 2m5-2-/()≈1f(5)-f(-) 1rf(5) d5=0即可 在D内做圆-=p,根据 Cauchy定理推论三(回 路变形,2n4(2=4=04=2m+42已 因为 f(5)-/(=) f(5)-f( - 又因 ∫n(5)-fc)d 为f(5在点连续,即任给6>0,存在δ>0,使得当-f(5).这样就解析延拓了:二从ξ离开一点点P,f()可由∫()完全决 定,再离开一点点,仍然如此, 解析函数的一致性定理 )a和y由C-R条件以微分形式相互联系,而非独立: i)解析函数是一种平面标量场,而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理 意义是以复变函数的积分形式关联。 *对于复连通区域上的单值解析函数∫(=),只要将积分路线l理 解为该区域的全部境界线(都取正方向),则 Cauchy公式仍然有效

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 d 0 ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1       l l z f f z i f z z f i         即可。 在 D 内做圆   z   ，根据 Cauchy 定理推论三(回 路变形)，                    l z z f f z z i f f z i d ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 . 因为 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) d , z z f f z f f z z z f f z                              又因 为 f () 在 z 点连续，即任给   0 ，存在   0 ，使得当   z   时， f ()  f (z)   . 因此，只要上面的    ，就有 d 2 0 ( ) ( )             z  z f f z . 所以有    l z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) . 注意：* 此证明亦说明，在     z 内（ z   ），虽然 1   z 的原函数（对数 函数）是多值函数，或者 1   z 做回路积分时，转一圈位相变化 2 （明显地，   z 是 1   z 的 奇 点 ），但是 f f z ( ) ( ) z     是解析函数 ; 只不过是 当 z  时 ， f z f ( ) ( )   . 这样就解析延拓了: z 从  离开一点点  ， f z( ) 可由 f ( )  完全决 定，再离开一点点，仍然如此,…——解析函数的一致性定理。 ** f f z ( ) ( ):   ⅰ） u 和 v 由 C-R 条件以微分形式相互联系，而非独立； ⅱ）解析函数是一种平面标量场，而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理 意义是以复变函数的积分形式关联。 *** 对于复连通区域上的单值解析函数 f (z) ，只要将积分路线 l 理 解为该区域的全部境界线（都取正方向），则 Cauchy 公式仍然有效

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct 「引理1(大圆弧引理)(*动机:定积分计算):如果∫(=)在区域D: Rs-d0,存在[与ag(x-a)无关的]M()>0,使当|=R>M时 (2-a)f(2)-K|<E,所以[。f()d-i(2-)≤E(2-)→0,即 im「f(d=iK(2-a) 2.[无界区域的 Cauchy积分公式]:设f(z)在闭曲线C及其外部的无界区域 f(Ed5 上是解析的,且lmnf()=0,则有f()=2mk5-0,其中积分路 线沿C的正方向(注意:现在正方向为顺时针方向)。 证明 C 在C外作一个以原点为圆心,R为半径的 大圆CA,这样,对于C和CA所围的复连 通区域,根据有界域 Cauchy积分公式, ∫(=) I r f(s 2m1k5 6个

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 [引理 1 (大圆弧引理)]（*动机：定积分计算）：如果 f (z) 在区域 D： R  z  a  ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z( D)   时， (z  a) f (z)一 致地趋于一个复常数 K ，则   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心、 R 为半径、夹角为  2 1 的圆弧， 1 2 z  a  R,  arg(z  a)  .（各向同性） 证明： lim ( ) / ( ). z f z K z a    因为   2 1 d      i z a z CR ，所以     2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a                          由于当 1 2   arg(z  a)  ，z   时， (z  a) f (z) 一致地趋于复常数 K，这意 味着任给   0 ，存在[与 arg(z  a) 无关的] M()  0 ，使当 z  R  M 时， (z  a) f (z)  K   ，所以 ( )d 0,  2 1 2 1    CR f z z iK            即   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR . 2．[无界区域的 Cauchy 积分公式]：设 f (z) 在闭曲线 C 及其外部的无界区域 上是解析的，且 lim ( )  0  f z z ，则有    C z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) ，其中积分路 线沿 C 的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。 证明： 在 C 外作一个以原点为圆心， R 为半径的 大圆 CR ，这样，对于 C 和 CR 所围的复连 通区域，根据有界域 Cauchy 积分公式，       C C z f z i f i f z R         d ( ) 2 1 d ( ) 2 1 ( )