复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》教学课件（A）07 狄拉克δ函数

7 狄拉克6函数 71狄拉克6函数 δ函数是一种广义函数 generalized function,也称分布 distribution 1935年由物理学家狄拉克( Paul dirac)在物理上引入 950 Laurent schwartz通过广义函数理论,从数学证明了其正确性。 更多关于广义函数的介绍,可参阅小册子 1. J Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions"( Cambridge University 1958) SetDirectory [NotebookDirectory[]] Import["figgeneralizedfun jpg"] Q5函数的物理定义 中心位于x0长度为l、总电量为q=1的均匀带电细线段,电荷的线密度A(x)可写成 lx-xol>1/2 满足A 现让细线段的长度l→0,这时的线电荷密度变为 x-x0≠0 a(x) 仍然满足:x(x)dx=q=1 因此,将定义在区间(-∞,+∞)上,满足上述两条件的函数,称为一维6函数,即

7 狄拉克 δ 函数 7.1 狄拉克 δ 函数 δ 函数是一种广义函数 generalized function，也称分布 distribution。 1935年由物理学家狄拉克 (Paul Dirac) 在物理上引入。 1950 Laurent Schwartz 通过广义函数理论，从数学证明了其正确性。 更多关于广义函数的介绍，可参阅小册子 M. J. Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions " (Cambridge University 1958). SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["figgeneralizedfun.jpg"]  δ 函数的物理定义 中心位于 x0 长度为 l 、总电量为 q = 1 的均匀带电细线段，电荷的线密度 λ(x) 可写成： λ(x) = 0 x - x0 > l/ 2 q l = 1 l x - x0 ≤ l/ 2 满足 -∞ ∞ λ(x) x = q = 1 现让细线段的长度 l  0，这时的线电荷密度变为 λ(x) = 0 x - x0 ≠ 0 ∞ x - x0 = 0 仍然满足 ：-∞ ∞ λ(x) x = q = 1 因此，将定义在区间 (-∞, +∞) 上，满足上述两条件的函数，称为一维 δ 函数，即：

2z07a.nb 定义了一维δ函数,则带电为q,中心位于x=x0,长度趋于0的细小线段,其线电荷密度A(x)=qo(x-xol 起初,物理上定义6函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后,才有严格的数学理论 因此,我们在涉及δ函数等式的证明方面,均通过所谓用“物理学家的证明方法”来论证,牺牲了数学上的严谨性。 “物理学家的证明方法”:对于涉及δ函数的证明,本节均通过判断下式是否成立来论证 fx)D1(x)dx=f(x)D2()dx→D1(x)=D2(x),其中f)为任意的连续函数 也就是说,这里说的证明,与其说是证明,不如说是一种理解、说明 若希望更严谨的数学论证,请参阅 Lighthill," An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions Q6函数的性质 =~/0c-)dx=/o,对任意的连续函数f() 证明:利用6函数的定义 =f(x)6(x-xo)dx=limf(x)6(x-x0)dx,其中E→0+表示E>0且E→0 ff(x)-f(xo)18( dx t f(xo)d(x-xo)dx ff(x)-f(xo)]8(x-xo)dx ≤lmn|Ux)-f(x)bx-xo)dx,连续函数:g→0时,U(x)-fxo)<n ≤ 2.o(x-x0)=o(x0-x) 证明:利用涉及δ函数的“物理学家的证明方法”,设:左边为D1(x),右边为D2(x) ti= f(x)D x)dx=f(x)8(x-xo)dx=f(ro) *i= f()D2(x)dx=f()8(xo-x)dx f(x-1)o()d(-1)=f(x0) 左=右,故 =D2(x),即:6(x-x0)=0(xo-x) 3. g(x)oCr-xo)=g(xo)d(x-xo 明:类似地,设:左边为D1(x),右边为D2(x) f(x)D(r)dr= f(x)g(x)d(r-xo)dx=f(ro)gxo f(x)D2dx=|fx)g(xo)x-x)dx=/(o)8xo),得证 推论 ▲特别注意:f(x)ox)=g(x)o(x)不能导出f(x)=g(x),因为f(x)o(x)=f(0)(x), f(x)b(x)=g(x)ox)=f(0)=g(0)

δ(x - x0) = 0 x - x0 ≠ 0 ∞ x - x0 = 0 ， -∞ ∞ δ(x - x0) x = 1 定义了一维 δ 函数，则带电为 q ，中心位于 x = x0，长度趋于 0 的细小线段，其线电荷密度 λ(x) = q δ(x - x0)。 起初，物理上定义 δ 函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后，才有严格的数学理论。 因此，我们在涉及 δ 函数等式的证明方面，均通过所谓用“物理学家的证明方法”来论证，牺牲了数学上的严谨性。 ◼ “物理学家的证明方法”：对于涉及 δ 函数的证明，本节均通过判断下式是否成立来论证。 -∞ ∞ f (x) D1(x) x = -∞ ∞ f (x) D2(x) x ⟹ D1(x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数 也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "  δ 函数的性质 1. I = ∫-∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x) 证明：利用 δ 函数的定义 I = -∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x) δ(x - x0) x, 其中 ε  0+ 表示 ε > 0 且 ε  0 = lim ε0+ x0-ε x0+ε [f (x) -f (x0)] δ(x - x0) x Δ + lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x0) δ(x - x0) x = Δ + f (x0), Δ = lim ε0+ x0-ε x0+ε [f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x ≤ lim ε0+ x0-ε x0+ε f (x) - f (x0) δ(x - x0) x， 连续函数 ：ε  0 时, f (x) - f (x0) < η ≤ lim ε0+ η x0-ε x0+ε δ(x - x0) x = lim ε0+ η = 0 2. δ(x - x0) = δ(x0 - x) 证明：利用涉及 δ 函数的 “物理学家的证明方法 ”，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x) 左 = -∞ ∞ f (x) D1(x) x =  -∞ ∞ f (x) δ(x - x0) x = f (x0) 右 = -∞ ∞ f (x) D2(x) x = -∞ ∞ f (x) δ(x0 - x) x 令x0-x = t ∞ -∞ f (x0 - t) δ(t) (-t) = f (x0) 左 = 右，故： D1(x) = D2(x)，即：δ(x - x0) = δ(x0 - x) 3. g(x) δ(x - x0) = g(x0) δ(x - x0) 证明：类似地，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x) -∞ ∞ f (x) D1(x) x = -∞ ∞ f (x) g(x) δ(x - x0) x = f (x0) g(x0) -∞ ∞ f (x) D2(x) x = -∞ ∞ f (x) g(x0) δ(x - x0) x = f (x0) g(x0), 得证。 ▲ 推论：x δ(x) = 0 ▲ 特别注意：f (x) δ(x) = g(x) δ(x) 不能导出 f (x) = g(x)，因为f (x) δ(x) = f (0) δ(x) ， f (x) δ(x) = g(x) δ(x) ⟹ f (0) = g(0) 2 z07a.nb

z07anb 3 4.若(x)为连续函数,且(x)仅有一阶零点x,k=1,2,…,N,则 dlp(x)l= Et l'(xa) 证明:因为6函数仅在其宗量(自变量)为0时才不为0,故 o[y(x)=>ckd(r- 两边同时对x从x-E到x+E积分,取E→0+使得y(x)在积分区间[x-E,x+El仅有一个零点x dlp(r)ld dls(r)I 注意在一阶零点x邻域,连续函数y(x)≠0=y(x)≠0 b(dt,其中t=(x),x-E(x-8)即y(x)>0时 6()dt=--,当y(x1+E)<g(x1-ε)即φ(x)<0时 y(E)JcCrel y'(x川 ▲推论 d(x-b/a) 6(x-a)+O(x d(ax-b) d(x2-a2)= 6(sin x)=5 6(x-kn a Q5函数的常用极限表达式 sin-( u) e-r=lim

4. 若 φ(x) 为连续函数，且 φ(x) 仅有一阶零点 xk, k = 1, 2, …, N，则 δ[φ(x)] =  k=1 N δ(x - xk) φ′ (xk) 证明：因为 δ 函数仅在其宗量 （自变量） 为 0 时才不为 0，故 δ[φ(x)] =  k=1 N ck δ(x - xk)， 两边同时对 x 从 xl - ε 到 xl + ε 积分，取 ε  0+ 使得 φ(x) 在积分区间 [ xl - ε, xl + ε] 仅有一个零点 xl 右 = xl-ε xl +ε  k=1 N ck δ(x - xk) x =  k=1 N ck xl-ε xl+ε δ(x - xk) x = cl 左 = xl-ε xl+ε δ[φ(x)] x = xl-ε xl+ε δ[φ(x)] φ(x) φ′ (x) , 注意在一阶零点 xl 邻域，连续函数 φ′ (xl) ≠ 0 ⟹ φ′ (x) ≠ 0 =  φ(xl-ε) φ(xl+ε) δ(t) t φ′ (x) = 1 φ′ (ξ)  φ(xl-ε) φ(xl +ε) δ(t) t , 其中 t = φ(x)，xl - ε φ(xl - ε) 即 φ′(xl) > 0 时 1 φ′ (ξ) φ(xl -ε) φ(xl+ε) δ (t) t = - 1 φ′ (xl) , 当 φ(xl + ε) < φ(xl - ε) 即 φ′ (xl) < 0 时 = 1 φ′ (xl) ⟹ cl = 1 φ′ (xl) ⟹ δ[φ(x)] = k=1 N δ(x - xk) φ′ (xk) ▲ 推论 δ(a x - b) = δ(x - b/a) a , δx2 - a2 = δ(x - a) + δ(x - a) a , δ(sin x) =  k=-∞ ∞ δ(x - k π)  δ 函数的常用极限表达式 δ(x) = lim u∞ sin2(x u) π x2 u = lim n∞ n π -n2 x2 = lim ε0 ε πx2 + ε2 = lim ε0 n πn2 x2 + 1 z07a.nb 3

zOla. nb Clear["Global*" f[n] 1=P1ot[f[n0=3],f[n0=5],f[n0=7]},【x,-1,1}, PlotRange→{0,4 Dashing[o. 00])) PlotLabe1→f[n] PlotLegends→ ced[LineLegend[[style[n=3",Italic, 10] style["n=7",Italic, 10]],LegendMarkerSize+[30,10)],[0.8,0.7]]; fn1:=1 n 丌丌(n2x2+1) g2=P1ot[f[n0=5],f[n0=15],f[n0=45]},{x,-1,1}, PlotRange→{0,5}, Plotstyle+[Red],[Green, Dashed], [Blue, Dashing[o0]]1, PlotLabel→f[n] Placed[LineLegend[[style["n = 5", Italic, 10], style["n =15",Italic, 101 style["n=45", Italic, 101), LegendMarkerSize+[30,10]],[0.8,0.7]]i Sin[xn] f[n_] 93=Plot[{f[n0=5],f[n0=10],f[n0=20]},{x,-1,1},P1 stRange→{0,7 Plotstyle+[[Red], [Green, Dashed],[Blue, Dashing[o 0]11 Placed [LineLegend[[style["n =5", Italic, 10], Style["n=10", Italic, 10] style["n 20", Italic, 10]], LegendMarkerSize-[30,101],[o8,0.7]i 十 选取其中之一加以证明 丌x-+E e-0r(x2+2 r(r2+e) ■ Heaviside阶跃函数

Clear["Global`*"] f[n_] := n π -n2 x2 ; g1 = Plot[{f[n0 = 3], f[n0 = 5], f[n0 = 7]}, {x, -1, 1}, PlotRange  {0, 4}, PlotStyle  {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.00]}}, PlotLabel  f[n], PlotLegends  Placed[LineLegend[{Style["n = 3", Italic, 10], Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 7", Italic, 10]}, LegendMarkerSize  {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; f[n_] := 1 π n π (n2 x2 + 1) ; g2 = Plot[{f[n0 = 5], f[n0 = 15], f[n0 = 45]}, {x, -1, 1}, PlotRange  {0, 5}, PlotStyle  {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.0]}}, PlotLabel  f[n], PlotLegends  Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 15", Italic, 10], Style["n = 45", Italic, 10]}, LegendMarkerSize  {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; f[n_] := Sin[x n]2 π x2 n ; g3 = Plot[{f[n0 = 5], f[n0 = 10], f[n0 = 20]}, {x, -1, 1}, PlotRange  {0, 7}, PlotStyle  {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.0]}}, PlotLabel  f[n], PlotLegends  Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 10", Italic, 10], Style["n = 20", Italic, 10]}, LegendMarkerSize  {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; Grid[ {{g1, g2, g3}}] n = 3 n = 5 n = 7 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1 2 3 4 n -n2 x2 π n = 5 n = 15 n = 45 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1 2 3 4 5 n π2 n2 x2 + 1 n = 5 n = 10 n = 20 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1 2 3 4 5 6 7 sin2 (n x) π n x2 选取其中之一加以证明 。 lim ε0 ε πx2 + ε2 = lim ε0 ε lim ε0 π x2 + ε2 = 0 x ≠ 0 lim ε0 ε πε2 = ∞ x = 0 ⟹ lim ε0-∞ +∞ ε πx2 + ε2 x = lim ε0 1 π tg-1 x ε -∞ +∞ = 1 ◼ Heaviside 阶跃函数 4 z07a.nb

zO7a nb 5 dH(x) 证明:令D(r)=H(x),D2()=(x) f(r)D(x)dx dH(x) dx分部积分→f(x)H(x H(r)f'(x)dx =f∞)-|f(x)dx=f(∞)-U(∞)-f0)=f(0 f(x) D(x)d f(r)o(x)dx=f(o)= Di(x)=D2(r) Q6函数的导数 定义:对任何一个在x=x0点具有连续导数的函数f(x),若 /()6(r-xo)dr=-/cr) =-f(x0) 均成立,则称6(x-x0)为6x-0的导数。记为:60x-x)=x 这个定义是利用普通函数的导数运算公式而得,即利用 d dc →f(x)o(x-x) o(x-xo)f(x)dx=-f(xo 当然,这只是物理上为运算方便引入。后来数学家用广义函数论给予了证明 类似地,继续利用普通函数的导数运算公式,可以定义δ函数的n阶导数。即 对任何一个在x=x点具有连续导数的函数f(x),若 d"f(r) f(x)o(x-xo)dx=(ly (lyAm(xo) dx Leto 成立,则6(x-x0)=2x一3为5x-期0的n阶导数 d ■6函数导数的性质 ·(x0-x0)=-b’(x-xo),利用“物理学家的证明方法”,易证 f(x)o(xo -x)dx= f(x0=06(0d(-0=|(x-00d/=-4/(x-0 f'(xo ·(x-x0)矿(x-x0)=-6(x-xo),利用“物理学家的证明方法”,易证 f(x)(x-xo6(x-xodx="y(x0-D-t6(o)4(-)=-“/an =-f(x0) Q三维6函数 对三维空间,相应地,在不同坐标系下,三维δ函数定义为 ox-x)(y-y)0(=-2) 直角坐标系 6(r-r)o(6-6)-d)球坐标系 rsin e (p-p7)(d-d)(=-=) 柱坐标系 其中利用了在三个坐标系下小体积元的表达式:dr= dx dyd=r2 sin edred= pdpd

H(x) =  0 x < 0 1 x ≥ 0 ， ⟹ H(x) x = δ(x) 证明：令 D1(x) = H(x) x ，D2(x) = δ(x)  -∞ +∞ f (x) D1(x) x =  -∞ +∞ f (x) H(x) x x 分部积分 f (x) H(x) -∞ +∞ - -∞ +∞ H(x) f ′ (x) x = f (∞) - 0 ∞ f ′ (x) x = f (∞) - [f (∞) - f (0)] = f (0) -∞ +∞ f (x) D2(x) x = -∞ +∞ f (x) δ(x) x = f (0) ⟹ D1(x) = D2(x)  δ 函数的导数 定义：对任何一个在 x = x0点具有连续导数的函数 f (x)，若 -∞ ∞ f (x) δ′ (x - x0) x = -  f (x) x x=x0 = -f ′ (x0) 均成立，则称 δ′ (x - x0) 为 δ(x - x0) 的导数。记为：δ′ (x - x0) =  δ(x - x0) x 这个定义是利用普通函数的导数运算公式而得，即利用 -∞ ∞ f (x)  δ(x - x0) x x 分部积分 f (x) δ(x - x0) -∞ ∞ - -∞ ∞ δ(x - x0) f ′(x) x = -f ′ (x0) 当然，这只是物理上为运算方便引入。后来数学家用广义函数论给予了证明。 类似地，继续利用普通函数的导数运算公式，可以定义 δ 函数的 n 阶导数。即： 对任何一个在 x = x0 点具有连续导数的函数 f (x)，若 -∞ ∞ f (x) δ(n) (x - x0) x = (-1) n  n f (x) xn x=x0 = (-1) n f (n) (x0) 成立，则 δ(n) (x - x0) = n δ(x - x0) xn 为 δ(x - x0) 的 n 阶导数。 ◼ δ 函数导数的性质  δ′(x0 - x0) = - δ′ (x - x0)，利用“物理学家的证明方法”，易证 -∞ ∞ f (x) δ′ (x0 - x) x t=x0-x t=∞ t=-∞ f (x0 - t) δ′ (t) (-t) = -∞ ∞ f (x0 - t) δ′ (t) t = -  f (x0 - t)  t t=0 = f ′ (x0)  (x - x0) δ′(x - x0) = -δ (x -x0)，利用“物理学家的证明方法”，易证  -∞ ∞ f (x)[(x - x0) δ′ (x -x0)] x t=x0-x  t=∞ t=-∞ f (x0 - t)[-t δ′ (t)] (-t) = - [t f (x0 - t)]  t t=0 = -f (x0)  三维δ 函数 对三维空间，相应地，在不同坐标系下，三维 δ 函数定义为： δr  - r ′  = δ(x - x′) δ(y - y′) δ(z - z′ ) 直角坐标系 1 r2 sin θ δ(r - r′) δ(θ - θ′ ) δ(ϕ - ϕ′ ) 球坐标系 1 ρ δ(ρ - ρ′ ) δ(ϕ - ϕ′ ) δ(z - z′ ) 柱坐标系 其中利用了在三个坐标系下小体积元的表达式： τ = x y z = r2 sin θ r θ ϕ = ρ ρ ϕ z z07a.nb 5

0(t-a)dr=l,/()dr-a)dr=f(a) 在三维空间,一个位于P=a的点电荷q,其电荷密度表为:p)=qP-a) Q例题 目例1:求位于P=a点电偶极子的电荷密度p() 解:对位于a处的点电荷,电荷密度可表为:p)=q0-a 电偶极子由相距很近的一对点电荷构成 设电偶极子的两个点电荷-q与+q分别位于P=a与P=a+7 电偶极矩p=lmq7并且: lim qx(1的高阶项)=0 把电荷密度表为两点电荷之和:9=q(+-=a-2)-6-可 对c-a-)做1-r展开:-a-1--a+(1)V-a)+(7的高阶项) 4-a-1=67-)+(16-+(7的高阶项 这一步似乎相当野蛮,一个不连续的函数,居然做 Taylor展开。但基于广义函数理论,却是正确的 代入PG的表达式得:=-小V5-a+q×(7的高阶项) 取极限{→ lmd-,V6-a)+mgx(7的高阶项)=pV6-a 从而,一个位于P=a的点电偶极子,其电荷密度 ()=-pV6(F-a) 0例2:求对应于:j/()b(x-x)dx=-(xo)的三维形式 8(x-a)dx=l, f()8(x-a)dx=f(a) :1,|f() 其导数形式:|f(x)6(x-x0)dx=-f(x0)对应的三维形式如何? 三维标量函数的“导数”可能是梯度矢量:V(P-a,矢量函数可同另一个矢量函数至少构成两种不同的乘积 标量积:4=8,V6P-dr=|vBnb-alr-[go-a}dr m一司山-Jp一a0d,利用了散度定理,J∫vd=gmd =0,积分 矢量积: x数6一ld+(x到列)]6-adr,利用了旋度定理:v×dr=dn×d

V∞ δr  - a  τ = 1， V∞ f (r  ) δr  - a  τ = f (a) 在三维空间，一个位于 r  = a 的点电荷 q，其电荷密度表为： ρq(r  ) = q δr  - a  例题 ☺ 例 1：求位于 r  = a 点电偶极子的电荷密度 ρp(r  ) 解：对位于 a 处的点电荷 ，电荷密度可表为 ： ρq(r  ) = q δr  - a 电偶极子由相距很近的一对点电荷构成 。 设电偶极子的两个点电荷 - q 与 + q 分别位于 r  = a 与 r  = a + l  电偶极矩 p = lim q∞ l  0 q l  并且：lim q∞ l  0 q   l  的高阶项  = 0 把电荷密度表为两点电荷之和 ：ρp(r  ) = q δr  - a - l   - δr  - a 对 δr  - a - l   做 Taylor 展开： fr  - a - l   = f r  - a + -l  ·∇ f r  - a +  l  的高阶项  即：δr  - a - l   = δr  - a + -l  ·∇δr  - a +  l  的高阶项 , 这一步似乎相当野蛮 ，一个不连续的函数 ，居然做 Taylor 展开。但基于广义函数理论 ，却是正确的 。 代入 ρp(r  ) 的表达式得 ：ρp(r  ) = q-l  · ∇δr  - a + q   l  的高阶项  取极限  q  ∞ l  0 ： ρp(r  ) = lim q∞ l  0 q-l  ·∇δr  - a + lim q∞ l  0 q   l  的高阶项 此极限为0 = -p·∇δr  - a 从而，一个位于 r  = a 的点电偶极子 ，其电荷密度 ： ρp(r  ) = -p·∇δ r  - a ☺ 例 2：求对应于： ∫ f (x) δ′(x - x0) x = -f ′(x0) 的三维形式。 一维：-∞ ∞ δ(x - a) x = 1，-∞ ∞ f (x) δ(x - a) x = f (a) 三维：V∞ δr  - a τ = 1，V∞ f (r  ) δr  - a τ = f (a) 其导数形式 ： f (x) δ′ (x - x0) x = -f ′(x0) 对应的三维形式如何 ？ 三维标量函数的 “导数” 可能是梯度 矢量：∇δr  - a，矢量函数可同另一个矢量函数至少构成两种不同的乘积 标量积：I1 = V∞ g(r  )·∇δr  - a τ = V∞ ∇ ·g(r  ) δr  - a τ -V∞ ∇ · g(r  ) δr  - a  τ = S∞ n· g(r  ) δr  - a σ 在表面，δr  - a   = 0，积分为0 - V∞ ∇ ·g(r  ) δr  - a  τ，利用了散度定理 ：V ∇ ·A  τ = S n·A σ = -∇ ·g(r  )  r  =a 矢量积：I2 = V∞ g(r  )∇δr  - a τ = -V∞ ∇ g(r  ) δr  - a τ + V∞ ∇ g(r  ) δr  - a τ = -S∞ n  g(r  ) δr  - a σ 在表面，δr - a  = 0，积分为0 + V∞ ∇ g(r  ) δr  - a  τ，利用了旋度定理 ：V ∇ A  τ = S nA σ = ∇ g(r  )  r  =a 6 z07a.nb

z07anb 7 当然,也可以与标量函数构成乘积 ls=L/(0)vo(t-a)dr= vkm dr-a)ldr-Ivfo]o(t-a)dr 叫--Jna,利用了梯度定理:「vdr=gmd 生表面,-a)=0,积分为 ▲偶极矩 Pp(idr=L[-pvo(-alidr=-(vo(r-a)) plier =-(|6-(dr=|(pm-=p 其中:V·(=(pV=p(刊=p=p为单位张量

当然，也可以与标量函数构成乘积 ： I3 = V∞ f (r  ) ∇δr  - a τ = V∞ ∇f (r  ) δr  - a τ -V∞ ∇ f (r  ) δr  - a τ =  S∞ n f (r  ) δr  - a σ 在表面，δr  -a  = 0，积分为0 -  V∞ ∇ f (r  ) δr  - a  τ，利用了梯度定理 ： V (∇A)  τ =  S n A σ = -∇ f (r  ) r  =a ▲ 偶极矩 V∞ ρp(r  ) r  τ = V∞ -p·∇δr  - a r  τ = -V∞ { ∇ δr  - a· p } r  τ = - V∞ { ∇δ r  - a· p r   τ = ∇ · p r   r  =a = p 其中：∇ · p r   = p·∇ r  = p· ∇r   = p·I  = p, I  为单位张量 z07a.nb 7