复旦大学物理系 2011~2012学年第一学期期末考试试卷 A卷 囟B卷 课程名称:数学物理方法 课程代码:PHYS1306.01 开课院系:物理系 考试形式:闭卷(2012.01.1) 姓名 学号: 专业 题号 2 4 总分 得分 (可能用到的公式列在试卷的下一页) 1.简答题:(8分×4) (1)试对l=1,2,3求:/P()rdr (2)画出 Neumann函数Y(x),Y(x)的示意图,从x→0到Y(x)的第四个根。 (3)截面积为S杨氏模量Y的均匀细杄长l,x=l端固定,x=0端与弹性系数 为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定,当细杆本身处平衡位置时弹簧也处于 自然状态,试写出杆纵振动的边界条件 (4)半无限长均匀细杆,截面积S,杨氏模量Y,初始时静止且不拉不压 从t=0开始,x=0端受压力∫= sin wt的作用,求杆的纵振动u(x,t) (5)球心于原点的球壳内外半径分别为a/2和a,内外球面电势分别为cos2bsin 和cos2θ,求球壳外(r>a区)的电势。 2.(20分)一长度为l的均匀细杆侧面绝热,起始时杄温度为0,自t=0开始杆两 端保持温度,求t>0时刻杆上的温度u(x,t) 3.〔20分)半径为b的圆形薄板,板面绝热,初始温度ω,板边缘保持温度为α! 求板内各处温度变化。 4.(20分)阳光照射到半径为a的均匀介质球,设阳光的热流强度为,球与零温 环境按牛顿冷却定律交换热量,求达到稳定状态时球心温度
复旦大学物理系 2011 ∼ 2012 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 × B 卷 课程名称：数学物理方法 课程代码：PHYS130006.01 开课院系：物理系 考试形式：闭卷 (2012.01.11) 姓名： 学号： 专业： 题号 1 2 3 4 5 总分 得分 （可能用到的公式列在试卷的下一页） 1. 简答题: （8分 × 4） (1) 试对 l = 1, 2, 3 求：∫ 1 −1 Pl(x)xdx (2) 画出 Neumann 函数 Y0(x), Y1(x) 的示意图，从 x → 0 到 Y1(x) 的第四个根。 (3) 截面积为 S 杨氏模量 Y 的均匀细杆长 l，x = l 端固定，x = 0 端与弹性系数 为 k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定，当细杆本身处平衡位置时弹簧也处于 自然状态，试写出杆纵振动的边界条件。 (4) 半无限长均匀细杆，截面积 S，杨氏模量 Y ，初始时静止且不拉不压。 从 t = 0 开始，x = 0 端受压力 f = sin ωt 的作用，求杆的纵振动 u(x, t)。 (5) 球心于原点的球壳内外半径分别为 a/2 和 a，内外球面电势分别为 cos2 θ sin ϕ 和 cos2 θ，求球壳外（r ≥ a 区）的电势。 2. （20分）一长度为 l 的均匀细杆侧面绝热，起始时杆温度为 0，自 t = 0 开始杆两 端保持温度 u0，求 t > 0 时刻杆上的温度 u(x, t)。 3. （20分）半径为 b 的圆形薄板，板面绝热，初始温度 u0，板边缘保持温度为 u1。 求板内各处温度变化。 4. （20分）阳光照射到半径为 a 的均匀介质球，设阳光的热流强度为 q0，球与零温 环境按牛顿冷却定律交换热量，求达到稳定状态时球心温度。
5.(20分)长为l的弦两端固定,从t=0开始,受外力密度为 A sin wt的作用, 弦的横方程可表为:ut-a2urx= h sin wt。试写出弦横振动u(x,t)的定解问题, 并求其强迫振动项υ。即:令u=υ+,使ω满足齐次方程和齐次边条,v即为 强迫振动项。 可能用到的公式 -2)-2y+10+1)-1m2]y=0|y++-)y=0-wy=/) x=0有限的解 y=Pm() x2y"+xy-(k2x2+2)y=0 x=0有限 y=I,(.r) P(a)=1,P1(x)=x,P2(x)=3(3x2-1),‖x(x)=xJ(x),/J(x)xdr=x(x) (+1)P+1(x)=(2l+1)xP(x)-lP2-1(x) Jn+1()=a Jn(a)-Jn-I(c P(a)pk(ar)dc 2(m+m)! 2+1(mn-m) {z0]6 其中:Jbzm]=0 1 a au nT T n: papa tpa 10 r2 ar a r2 sin 0 a0 06 2002
5. （20分）长为 l 的弦两端固定，从 t = 0 开始，受外力密度为 A sin ωt 的作用， 弦的横方程可表为：utt − a 2uxx = h sin ωt。试写出弦横振动 u(x, t) 的定解问题， 并求其强迫振动项 v。即：令 u = v + w，使 w 满足齐次方程和齐次边条，v 即为 强迫振动项。 可能用到的公式 (1 − x 2 )y ′′ − 2xy′ + [ l(l + 1) − m2 1 − x 2 ] y = 0, x 2 y ′′ + xy′ + (k 2x 2 − ν 2 )y = 0 x=0 有限的解 =⇒ y = Jν(kx) x=0 有限的解 =⇒ y = P m l (x) x 2 y ′′ + xy′ − (k 2x 2 + ν 2 )y = 0 x=0 有限的解 =⇒ y = Iν(kx) P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1), [xJ1(x)]′ = xJ0(x), ∫ J0(x)x dx = xJ1(x) (l + 1)Pl+1(x) = (2l + 1)xPl(x) − lPl−1(x) Jn+1(x) = 2n x Jn(x) − Jn−1(x), ∫ 1 −1 P m l (x)P m k (x)dx = 2 2l + 1 (n + m)! (n − m)! δlk ∫ a 0 rJ0 [ x (0) n a r ] J0 [ x (0) m a r ] dr = a 2 2 J 2 1 [x (0) n ]δmn, 其中：J0[x (0) n ] = 0 ∇2u = 1 ρ ∂ ∂ρ( ρ ∂u ∂ρ) + 1 ρ 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 , ∫ l 0 sin nπx l sin mπx l dx = l 2 δmn ∇2u = 1 r 2 ∂ ∂r( r 2 ∂u ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ( sin θ ∂u ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2