6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor或 Laurent级数,这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分,还可用于求解二阶线性常微分方程 许多物理规律都用微分方程描述,其中最常见的是二阶线性常微分方程,它的一般形式是 +p(-)-+q(-)w=f(-) (1.1) 如果∫()=0,则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言,指的是自单 变量,并非指常系数 在不同的物理问题中,常遇到的二阶线性常微分方程有:(这里的x可看为复变量) (1.2) Bessel方程 ry+xy+(r-m)y=0 Laguerre方程 xy+(1-x)y+ay=0 ermita方程 Chebyshev方程:(1-x2)y"-xy+n2y=0 Hypergeometric E: x(x-1)y+[(1+a+b)x-cly +aby=0 Confluent hypergeometri方程 xy+(c-x)y-ay=0 这些方程都是二阶线性常微分方程,因此数学上,每一个方程都有两个线性无关的解,本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到,这些方程的解各对应于一类特殊函数,而这些特殊函数在一般情况下,大都无法表示为简单的初等函数。因 此,无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解,因此就把解析解在此邻域展开成级数,于是,这些特殊函数解常用级数 我们将以 Legendre方程和 Bessel方程方程为例,学习二阶线性常微分方程级数解法, 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系,从而确定级数。这种解法也称 Frobenius解法。 61二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 +p() 其中p()和q()称为方程的系数。显然,方程的性质由其系数确定。特别是,方程解的形式与解的解析性也由系数的解析 确定 通常,人们并不需要在整个复平面内求解方程,更感兴趣的是求解某点0邻域的解(邻域可大可小)
6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor 或 Laurent 级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分，还可用于求解二阶线性常微分方程。 许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = f (z) (1.1) 如果 f (z) = 0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单 变量，并非指常系数。 在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的 x 可看为复变量） Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 (1.2) Bessel 方程： x2 y″ + x y′ + x2 - n2 y = 0 (1.3) Laguerre 方程： x y″ + (1 - x) y′ + a y = 0 (1.4) Hermite 方程： y″ - 2 x y′ + 2 α y = 0 (1.5) Chebyshev 方程： 1 - x2 y″ - x y′ + n2 y = 0 (1.6) Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 (1.7) Confluent hypergeometric 方程： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 (1.8) 这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因 此，无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表 示。 我们将以Legendre 方程和 Bessel 方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法， 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称 Frobenius 解法。 6.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 (1.9) 其中 p(z) 和 q(z) 称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性 确定。 通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点 z0 邻域的解（邻域可大可小）
2z06a.nb 因此,若要在某点二的邻域求解微分方程,系数函数p()和q()在=0的性质就显得特别重要,为此,做以下定义 常点:如果在0点,p()和q()都解析,则称为方程的常点 ■奇点:如果在0点,p()或q(=)不解析,则0称为方程的奇点 正则奇点:在=0点,p()或q()不解析,但(2-=0)p(-)和(-=0)2q()都解析。 ·非正则奇点:在0点,连(二-=0)p()或(-=0)2q()也不解析 无穷远点的判断:方程做自变量变换z=1/4,则方程(19)化为 0 c1ear["G1oba1★"] v0=w[1/3]/.s→z w1=Dw[1/s],s/.s→z w2=D[w[1/3],【s,2)]/.s→z; eq=(w2+p[z]wl +q[z]wo)/z+1/si [s] Expand[eq/c](★将w[]的系数化为*) WISI [S] [s] (1.10)可写成 +P—+Qw=0,P(= 显然,当且仅当心和具 有以下形式时,P与Q(Q才解析 24+a22+a323+ =b44+bs5+ 因为这时对应于:P=-a2-a34+…,Q(=b4+bs+…在《=0均解析 从而∠=0是(1.10)的常点,对应地,z=∞是(1.9)的常点。 若心和引不具有(1形式,c=0G=)就是微分方程的奇点 若和引一具有以下形式,则(=0是(1.10)的正则奇点,对应地,=∞是(19)的正则奇点 (1.12) 2 为这时对应于:P)= a2-a35+…,Q=+-+…在=0,P(和2Qo均解析。 (1.7)式的超几何方程:x(x-1)y"+(1+a+b)x-cly+aby=0 系数为:p(x)= 故:二=0,1,∞是方程的三个正则奇点。 例:(1.8)式的合流超几何方程:xy"+(c-x)y-ay=0 系数为:p(x)= C-x glx 故:z=0是方程的正则奇点,z=∞则是非正则奇点
因此，若要在某点 z0 的邻域求解微分方程，系数函数 p(z) 和 q(z) 在 z0 的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。 ◼ 常点：如果在 z0 点， p(z) 和 q(z) 都解析，则 z0 称为方程的常点 ◼ 奇点：如果在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，则 z0 称为方程的奇点 正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。 ◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 /ζ，则方程 (1.9) 化为 2w ζ2 + 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ w ζ + 1 ζ4 q 1 ζ w = 0 (1.10) Clear["Global`*"] w0 = w[1 / ζ] /. ζ z; w1 = D[w[1 / ζ], ζ] /. ζ z; w2 = D[w[1 / ζ], {ζ, 2}] /. ζ z; eq = (w2 + p[z] w1 + q[z] w0) /. z 1 / ζ; c = Coefficient[eq, w ''[ζ]]; Expand[eq / c] (* 将 w′′[ζ] 的系数化为1 *) q 1 ζ w[ζ] ζ4 + 2 w′ [ζ] ζ - p 1 ζ w′ [ζ] ζ2 + w′′[ζ] (1.10) 可写成 2w ζ2 + P(ζ) w ζ + Q(ζ) w = 0, P(ζ) = 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ , Q(ζ) = 1 ζ4 q 1 ζ 显然，当且仅当 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式时 ， P(ζ) 与 Q(ζ) 才解析， p 1 ζ = 2 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b4 ζ4 + b5 ζ5 + ⋯, (1.11) 因为这时对应于 ：P(ζ) = -a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b4 + b5 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 均解析， 从而 ζ = 0 是 (1.10) 的常点，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的常点。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。 p 1 ζ = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯, (1.12) 因为这时对应于 ：P(ζ) = 2 - a1 ζ - a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b2 ζ2 + b3 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析。 ☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 系数为：p(x) = (1 + a + b) x - c x(x - 1) , q(x) = a b x(x - 1) , 故： z = 0, 1, ∞ 是方程的三个正则奇点 。 例： (1.8) 式的合流超几何方程 ： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 系数为：p(x) = c - x x , q(x) = - a x , 故： z = 0 是方程的正则奇点 ，z = ∞ 则是非正则奇点 。 2 z06a.nb
z06anb 3 以下 Mathematica代码的运算结果与(1.11)和(1.12)式比较表明: z=∞是超几何方程的正则奇点(当ab≠0时),是合流超几何方程的非正则奇点 C1ear["G1。ba1"] ·c /.x→1/y; x(x-1 .x→1/y 1 Series [pl, y,0, 4]] Series[ql, [ y,0, 41 Series[q2, [ y,0,41 (1+a+b)y+(1+a+b-c)y2+(1+a+b-c)y3+(1+a+b-c)y4+oy]5 aby+aby+aby+o[y]5 1+cy+o[y]5 ay+oli 62二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理: d -w 对二阶线性常微分方程:-+p(-) 1.如果=0是微分方程的常点,则在0的邻域-=0<R,即:p(-)和q(=)的解析区域, 该微分方程必存在两个如下形式的线性独立解 ()=)ckc-=0),其中 2.如果〓0是微分方程的正则奇点,则在0的邻域-〓0|<R )p()和(-x0)2q)的解析区域 该微分方程至少存在一个如下形式的解 ()=Sc2C=-=0,其中:co≠0,p是常数,称为指标 对非正则奇点,求解困难得多,幸亏,物理上常见的微分方程(1.2)-(1.8)的非正则奇点都在二=∞。 Q正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点,可将级数解代入原微分方程,求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre方程为例说明 而对微分方程的正则奇点,必须先求出指标p。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程,但必须先利用=的最低幂次的系数为零
以下 Mathematica 代码的运算结果与 (1.11) 和 (1.12) 式比较表明 ： z = ∞ 是超几何方程的正则奇点 （当 a b ≠ 0 时），是合流超几何方程的非正则奇点 。 Clear["Global`*"] p1 = (1 + a + b) x - c x (x - 1) /. x 1 / y; q1 = a b x (x - 1) /. x 1 / y; p2 = c - x x /. x 1 / y; q2 = a x /. x 1 / y; Series[p1, {y, 0, 4}] Series[q1, {y, 0, 4}] Series[p2, {y, 0, 4}] Series[q2, {y, 0, 4}] (1 + a + b) y + (1 + a + b - c) y2 + (1 + a + b - c) y3 + (1 + a + b - c) y4 + O[y]5 a b y2 + a b y3 + a b y4 + O[y]5 -1 + c y + O[y]5 a y + O[y]5 6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理： 对二阶线性常微分方程 ：2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 1. 如果 z0 是微分方程的常点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：p(z) 和 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程必存在 两个如下形式的 线性独立解 ： w(z) = k=0 ∞ ck(z - z0) k, 其中： c0 ≠ 0 2. 如果 z0 是微分方程的正则奇点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：(z - z0) p(z) 和 (z - z0) 2 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程至少存在 一个如下形式的解 ： w(z) = k=0 ∞ ck(z - z0) k+ρ, 其中：c0 ≠ 0，ρ 是常数，称为指标 。 对非正则奇点 ，求解困难得多 ，幸亏，物理上常见的微分方程 (1.2) - (1.8) 的非正则奇点都在 z = ∞ 。 正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点，可将级数解代入原微分方程，求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre 方程为例说明。 而对微分方程的正则奇点，必须先求出指标 ρ 。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程，但必须先利用 z 的最低幂次的系数为零， z06a.nb 3
z06a.nb 得到一个关于指标的一元二次方程(称为指标方程),先求出指标p 最简单的情况,该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解 但如果不幸遇到:一元二次方程重根或两根之差为整数,情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见,讨论正则奇点出现于x=0,这里将x看成复变量。 若x=0为正则奇点,微分方程必可改写成如下形式 (思考一下为什么? x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,其中:g(x)和hx)在x=0点解析 (1.13) 据 Frobenius& Fuchs定理,该微分方程必定存在一个如下形式的解 =x,其中+0(若为常点,则对应于P=0) 对级数形式的yx)求导 y(x)=>(+p)akx+p-l y"(x)=(k+p)(k+p-1)ax+2 (1.14) 再将g(x)和h(x)作 Taylor展开 gx)=80+g1x+g2x2+ 代入微分方程(1.13)式,将得到以下形如>gx=0的幂级数形式 +p+p-1)+(k+p)(80+g1x+g2x2+…)+(ho+hx+hx2+…)ax+=0 因为是解析函数的展开,由唯一性定理,各幂次的系数ck=0 看最低幂次x项的系数(对应于上式的k=0项):p-1)+p8o+llao=0 由 Frobenius& Fuchs定理,形式解的系数ao≠0,故可得到一个关于指标的一元二次方程: p-1)+gp+h=0→p2+(g-1)p+h=0称为指标方程 (1.15 指标方程是一元二次方程,显然有两个根,以下分三种不同情况讨论 ■指标方程有两个不同的根P2≠p1,且两根之差不是整数:p2-p1≠n 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程的两个解可写成 n(x)=x(ao+ax+ax2+…)y2(x)=(6+dx+ax2+…) 因为P-p1是非整数,故y2(x)/y(x)不可能等于常数,y2x)和y(x)线性无关,其线性组合构成微分方程的通解 故指标方程两根之差为非整数时,微分方程的两个线性无关解写成 y()=yx,a*0,y2()=x∑,*0 (1.16) 其中系数ak与∝,可将yx)与y2(x)代入原微分方程来确定(见下一节) ■指标方程有重根:这时必有:p2=p1=(1-80)/2 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程必定有一个解可写成 y1(x)=y(a+a1x+a2x2+…),a≠0 (1.17) 其中系数ak可将y1(x)代入微分方程来确定。 由y(的形式,可导得:五=+9()(作为练习,不妨试推导) 这里以qk(x)表示仅含x的0次或正幂次的函数(x=0邻域的解析函数)
得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标 ρ。 最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关， 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。 但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见，讨论正则奇点出现于 x = 0，这里将x 看成复变量。 若 x = 0 为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式 （思考一下为什么？这样才能保证 x p(x) 和 x2 q(x) 解析）： x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析 (1.13) 据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解： y = xρ k=0 ∞ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点 ，则对应于 ρ = 0） 对级数形式的 y(x) 求导, y′(x) = k=0 ∞ (k + ρ) ak xk+ρ-1, y″(x) = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ak xk+ρ-2, (1.14) 再将 g(x) 和 h(x) 作 Taylor 展开， g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, h(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + … 代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如 k ck xk = 0 的幂级数形式 ， k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x2 + … + h0 + h1 x + h2 x2 + … ak xk+ρ = 0 因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。 看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程： ρ(ρ - 1) + g0 ρ + h0 = 0 ⟹ ρ2 + (g0 - 1) ρ + h0 = 0 称为指标方程 (1.15) 指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。 ◼ 指标方程有两个不同的根 ρ2 ≠ ρ1，且两根之差不是整数：ρ2 - ρ1 ≠ n 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2 a0 ′ + a1 ′ x + a2 ′ x2 + …, 因为 ρ2 - ρ1 是非整数 ，故 y2(x)/ y1(x) 不可能等于常数 ，y2(x) 和 y1(x) 线性无关 ，其线性组合构成微分方程的通解 。 故指标方程 两根之差为非整数 时，微分方程的 两个线性无关解 写成： y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = xρ2 k=0 ∞ ak ′ xk, a0 ′ ≠ 0 (1.16) 其中系数 ak 与 ak ′，可将 y1(x) 与 y2(x) 代入原微分方程来确定 （见下一节 ）。 ◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, a0 ≠ 0 (1.17) 其中系数 ak 可将 y1(x) 代入微分方程来确定 。 由 y1(x) 的形式，可导得： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x), （作为练习 ，不妨试试推导 ） 这里以 qk(x) 表示仅含 x 的 0 次或正幂次的函数 （x = 0 邻域的解析函数 ）。 4 z06a.nb
z06anb5 由于当=+q(x),故x=0是当的单极点,且留数为p1 现在,如何找另一个线性无关解? 设另一个线性无关解为:y2(x)=ux)y(x),则 3=ly1 +uy, 3=y1+2uyi+l 代入微分方程:x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,整理得 是微分方程的解此项为 ryu+2x2yud+xgy1+ry+xgy+hy1 u=o 进而得到关于u的微分方程:"+-u+u=0(注:此时y(x)看成已知函数) 代入g(x)的 Taylor展开式:g(x)=8+81x+g2x2+…,可得: ”+(2连++9()=0.其中9(0=8+gx+…,仅含x的0次或正幂次 VIx 代入式:=+9(,并利用指标方程重根p2=p1=(1-)2,上式化为 +2p+2q1(x)+qx)n +93(x)w=0 (1.19) qx)仅含x的0次或正幂次 9()两边同积分m=-hnx+q4(x),==-e≈(x, 这里q4(x)和q5(x)都只含x的0次或正幂次子项, q5()是c(的展开,q3(x)=m+96(x,其中96(x)仅含x的正幂次项 =-+q6(x)→u=mnx++k1x+k2x2+…,.(其中:m≠0,而ko来自积分常数) n2(x)=u(x)y1(x)=no yi(x)Inx+(Ko+1x+*2x2+.y(x) 故指标方程重根时,微分方程的两个线性无关解写成:(思考:为何m不见了? y(x)=x >ak, ao+0, y2(x)=y(x)Inx+xou)berk (1.20) ■指标方程两根之差为整数:p2=p1-P,其中整数p>0 类似上一种情况,我们仍有(1.17及(1.18) 把y=凸+91(x)代入(11式,并利用指标方程(115的两根之和满足:p2+p1=1-,(18)式化为: K≠0 p+I xp 命l= kp+2x2+…注意最低幂次为xP y2(x)=mr)yI C y(x)=x5ax→n()241()hx+2x,其中利用了:p=p1-p 故指标方程两根之差为整数时,微分方程的两个解写成
由于 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，故 x = 0 是 y1 ′ y1 的单极点 ，且留数为 ρ1。 现在，如何找另一个线性无关解 ？ 设另一个线性无关解为 ：y2(x) = u(x) y1(x) ， 则 y2 ′ = u′ y1 + u y1 ′ ， y2 ″ = u″ y1 + 2 u′ y1 ′ + u y1 ″ 代入微分方程 ：x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0，整理得： x2 y1 u″ + 2 x2 y1 ′ u′ + x g y1 u′ + x2 y1 ″ + x g y1 ′ + h y1 y1 是微分方程的解，此项为0 u = 0 进而得到关于 u 的微分方程 ： u″ + 2 y1 ′ y1 u′ + g x u′ = 0 （注：此时 y1(x) 看成已知函数 ） 代入 g(x) 的 Taylor 展开式：g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, 可得： u″ + 2 y1 ′ y1 + g0 x + q2(x) u′ = 0, 其中 q2(x) = g1 + g2 x + … ，仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.18) 代入式： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，并利用指标方程重根 ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2，上式化为 ： u″ + g0 + 2 ρ1 x + 2 q1(x) + q2(x) u′ = 0 ρ1=(1-g0) 2 u″ + 1 x + q3(x) u′ = 0 ， q3(x) 仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.19) u″ u′ = - 1 x - q3(x) 两边同积分 ln u′ = -ln x + q4(x) ，⟹ u′ = 1 x q4(x) = 1 x q5(x)， 这里 q4(x) 和 q5(x) 都只含 x 的 0 次或正幂次子项 ， q5(x) 是 q4(x) 的展开，q5(x) =η0 η0≠0 + q6(x), 其中 q6(x) 仅含 x 的正幂次项 u′ = 1 x [η0 + q6(x)] ⟹ u = η0 ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … （其中：η0 ≠ 0, 而 κ0 来自积分常数 ） y2(x) = u(x) y1(x) = η0 y1(x) ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … y1(x) 故指标方程重根时 ，微分方程的两个线性无关解写成 ：（思考：为何 η0 不见了？线性齐次方程 ，同除以 η0 ≠ 0） y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = y1(x) ln x + xρ1 k=0 ∞ bk xk (1.20) ◼ 指标方程两根之差为整数：ρ2 = ρ1 - p, 其中整数 p > 0 类似上一种情况 ，我们仍有 (1.17) 及 (1.18)。 把 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x) 代入 (1.18) 式， 并利用指标方程 (1.15) 的两根之和满足 ：ρ2 + ρ1 = 1 - g0， (1.18) 式化为： u″ + g0 + 2 ρ1 x + q3(x) u′ = 0 利用：g0+2 ρ1 = 1+p u″ u′ = - 1 + p x + q3(x) ⟹ ln u′ = -(1 + p) ln x + q4(x) ⟹ u′ = 1 xp+1 q4(x) = κ0 xp+1 + κ1 xp + ⋯ + κp x + κp+1 + κp+2 x + ⋯ , κ0 ≠ 0 ⟹ u = - κ0 p xp - κ1 (p - 1) xp-1 + ⋯ + κp ln x + κp+1 x + 1 2 κp+2 x2 + ⋯ 注意最低幂次为 x-p y2(x) = u(x) y1 (x) y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk ⟹ y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2 m=0 ∞ bk xk，其中利用了 ：ρ2 = ρ1 - p 故指标方程两根之差为整数时 ，微分方程的两个解写成 ： z06a.nb 5
6z06a.nb y1(x)=m)ax,a≠0,y2(x)=kpnx)hx+m)bx,b≠0 (1.21 其中6可能为零或非零。可以猜想 0时:与可能线性无关,例组y+xy+-:y=0 40时:ya*与x2x可能线性相关,例如整数阶Bst程(见下一节) 综合以上的讨论,对正则奇点, Frobenius& Fuchs定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x)=m)ax,ao≠0 (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定,可能仍然是上式形式,也可能如(1.20)或(121)的是带对数形式 这就给实际应用带来不便,因而,对正则奇点,通常是利用 Frobenius& Fuchs定理,求形如上式的第一个解 再利用 Wronskian行列式,由第一个解,求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解 如何求出形如(1.22)的第一个解?代入微分方程,求出各系数ak之间的关系。将在下两节讨论 Q解的解析延拓 通常,对二阶线性齐次常微分方程,人们总是在常点或正则奇点的邻域求解,为求方程在更大区域的解,需要做解析延 这就需要解决两个问题: 1.一个解w1经解析延拓成为1,后者还是不是原微分方程的解? 2.两个线性无关解w1,w2经解析延拓成为帝1,2,是否依然是线性无关? 以下例题回答着两个问题。 目例题:设w1是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的解,ⅳ是w1在区域G2内的解析延拓 试证1仍是原微分方程的解。(可看成微分方程在区域G2内的解 证明:为叙述简便,仅对〓=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 2w”+=g()w+h(-)w=0,因=0是常点或正则奇点,故g()和hx)在二=0点解析 设前满足:二2前+二g(-)的+h=)1=q(),需要证明〓∈G2时,q()=0 3=G1∩G2 因为節是w1在G2的解析延拓,故前在G2除孤立奇点之外解析 而g(-),H(-)也在G2除孤立奇点之外解析,故:q(-)在G2除孤立奇点之外解析 又由于ⅳ1是w1在G2的解析延拓,必存在G3=G1∩G2,在G3内,=w1 因G3=G1∩G2∈G1, 故对∈G3:w1是微分方程的解,=2w"+=8(2)w+h()w1=0 ∈G3,i1=w z2i"+〓8()的+h()1=0 即:对∈G3,q()=0,由解析函数的唯一性,对=∈G2,q()=0
y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2 k=0 ∞ bk xk，b0 ≠ 0 (1.21) 其中 κp 可能为 零 或 非零。可以猜想 ： κp = 0 时： xρ1 k=0 ∞ ak xk 与 xρ2 k=0 ∞ bk xk 可能线性无关 ，例如：x2 y″ + x y′ + x2 - 1 4 y = 0 κp ≠ 0 时： xρ1 k=0 ∞ ak xk 与 xρ2 k=0 ∞ bk xk 可能线性相关 ，例如整数阶Bessel方程 （见下一节 ） 综合以上的讨论，对正则奇点，Frobenius & Fuchs 定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定，可能仍然是上式形式，也可能如 (1.20) 或 (1.21) 的是带对数形式。 这就给实际应用带来不便，因而，对正则奇点，通常是利用Frobenius & Fuchs 定理，求形如上式的第一个解， 再利用 Wronskian 行列式，由第一个解，求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解。 如何求出形如 (1.22) 的第一个解？代入微分方程，求出各系数 ak 之间的关系。将在下两节讨论。 解的解析延拓 通常，对二阶线性齐次常微分方程，人们总是在常点或正则奇点的邻域求解，为求方程在更大区域的解，需要做解析延 拓。 这就需要解决两个问题： 1. 一个解 w1 经解析延拓成为 w 1，后者还是不是原微分方程的解？ ✓ 2. 两个线性无关解 w1, w2 经解析延拓成为 w 1, w 2，是否依然是线性无关？ ✓ 以下例题回答着两个问题。 ☺ 例题：设 w1 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的解， w 1是 w1 在区域 G2 内的解析延拓， 试证 w 1仍是原微分方程的解。（可看成微分方程在区域 G2 内的解） 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。 设 w 1 满足： z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = q(z)，需要证明 z ∈ G2 时，q(z) = 0 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 因为 w 1 是 w1 在 G2 的解析延拓 ，故 w 1 在 G2 除孤立奇点之外解析 ， 而 g(z), h(z) 也在 G2 除孤立奇点之外解析 ， 故：q(z) 在 G2 除孤立奇点之外解析 。 又由于 w 1 是 w1 在 G2 的解析延拓 ，必存在 G3 = G1 ⋂ G2，在 G3 内， w 1 = w1 因 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1， 故对 z ∈ G3：w1 是微分方程的解 ，z2 w1 ″ + z g(z) w1 ′ + h(z) w1 = 0 对 z ∈ G3， w 1 = w1 ⟹ z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = 0 即：对 z ∈ G3，q(z) = 0，由解析函数的唯一性 ，对 z ∈ G2，q(z) = 0 6 z06a.nb
z06a.nba 即:对z∈G2,2订+8()的+和()前=)=0≡仍是原齐次微分方程的解 目例题:设m1和w2是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的两个线性无关解, 1和前2分别是w1和2在区域G2内的解析延拓,试证前1和2仍然线性无关。 证明:为叙述简便,仅对z=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2w”+g(=)w+h(-)w=0,因二=0是常点或正则奇点,故g(=)和h()在二=0点解析。 由上例知,前1和前2仍原齐次微分方程的解。如何判断两个函数线性无关? 若w1与w2线性相关,则2=cw1,从而w1和w2的 Wronskian行列式为0。证明如下 W(v1,w2)≡ W1 Cl 若w1和w2的 Wronskian行列式为0,则wn1与w2线性相关,证明如下 m吗一n听=0=咝==mn=hW+→n=cm 故 Wronskian行列式为0是线性相关的充要条件(对2个以上的函数也是如此)。 现在需要从W(w1,w2)≠0证明W(W1,i2)≠0。利用解析函数唯一性定理。 G3=G1∩G2 令W(i1,2)=q(),显然q()在G2内是解析函数。现需要证明z∈G2时,q()≠0 用反证法:(与上一例题不同,这里要证明q(2)≠0,而非q()=0,故用反证法) 由于在G3=G1∩G2∈G1,w1与2线性无关,前1=W1,前2=2=W(1,前2)=W(1,w2)≠0, 若和前2线性相关,只能在区域G2\G1内线性相关。(G2\G1表示G2挖去G3剩下的部分 现在就设ⅳ1和在区域G2\G1线性相关,即:=∈G2\G1时,q()≡W(1,j2)≡0 由于q(x)在G2内是解析函数,在G2\G1区域q(2)≡0必导致在整个G2区域q(x)=0 从而在G3=G1∩G2∈G1,q(=)=0,这与在G3区域W(1,2)=W(甲1,w2)≠0矛盾。 故:W(1,2)在整个G2区域不为零,即前和2在整个G2区域线性无关 这两个例题表明,可以在一个小区域求微分方程的(线性无关)解,再通过解析延拓,得到大区域的(线性无关)解 当然,前提是微分方程在大区域内存在解析解。 63方程常点邻域的级数解 上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式,本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解 求以下 Legendre方程在x=0邻域的解,l为已知常数 (1-x)y"-2xy+l+1)y=0,px)= (1.23) 显然:x=0是方程的常点。由 Frobenius and fuchs定理,常点邻域存在两个如下形式的线性独立解 (x)=Sx,其中:c*0,在x=0点的邻域<1
即： 对 z ∈ G2，z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = q(z) = 0 ⟹ w 1 仍是原齐次微分方程的解 。 ☺ 例题：设 w1和 w2 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的两个线性无关解， w 1 和 w 2 分别是 w1 和 w2 在区域 G2 内的解析延拓 ，试证 w 1 和 w 2 仍然线性无关 。 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。 由上例知 ， w 1 和 w 2 仍原齐次微分方程的解 。如何判断两个函数线性无关 ？ 若 w1 与 w2 线性相关 ，则 w2 = c w1, 从而 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0。证明如下 ： W(w1, w2) ≡ w1 w2 w1 ′ w2 ′ = w1 c w1 w1 ′ c w1 ′ = 0 若 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0，则 w1 与 w2 线性相关 ，证明如下 ： w1 w2 w1 ′ w2 ′ = w1 w2 ′ - w2 w1 ′ = 0 ⟹ w2 ′ w2 = w1 ′ w1 ⟹ ln w2 = ln w1 + c ⟹ w2 = c w1 故 Wronskian 行列式为 0 是线性相关的充要条件 （对 2 个以上的函数也是如此 ）。 现在需要从 W(w1, w2) ≠ 0 证明 W( w 1, w 2) ≠ 0。利用解析函数唯一性定理 。 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 令 W( w 1, w 2) = q(z)， 显然 q(z) 在 G2 内是解析函数 。现需要证明 z ∈ G2 时，q(z) ≠ 0 用反证法 ：（与上一例题不同 ，这里要证明 q(z) ≠ 0，而非 q(z) = 0，故用反证法 ） 由于在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，w1 与 w2 线性无关 ，w 1 = w1, w 2 = w2 ⟹ W(w 1, w 2) = W(w1, w2) ≠ 0， 若 w 1 和 w 2 线性相关 ，只能在区域 G2 \ G1 内线性相关 。（G2 \ G1 表示 G2 挖去 G3 剩下的部分 ） 现在就设 w 1 和 w 2 在 区域 G2 \ G1 线性相关 ，即：z ∈ G2 \ G1 时，q(z) ≡ W( w 1, w 2) ≡ 0 由于 q(z) 在 G2 内是解析函数 ，在 G2 \ G1 区域 q(z) ≡ 0 必导致在整个 G2 区域 q(z) ≡ 0 从而在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，q(z) ≡ 0，这与在 G3 区域 W (w 1, w 2) = W(w1, w2) ≠ 0 矛盾。 故：W( w 1, w 2) 在整个 G2 区域不为零 ，即 w 1 和 w 2 在整个 G2 区域线性无关 。 这两个例题表明，可以在一个小区域求微分方程的（线性无关）解，再通过解析延拓，得到大区域的（线性无关）解。 当然，前提是微分方程在大区域内存在解析解。 6.3 方程常点邻域的级数解 上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式，本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解。 求以下 Legendre 方程在 x = 0 邻域的解，l 为已知常数。 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0， p(x) = - 2 x 1 - x2 , q(x) = l(l + 1) 1 - x2 (1.23) 显然：x = 0 是方程的常点。由 Frobenius and Fuchs 定理，常点邻域存在 两个如下形式的线性独立解 y(x) = k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x < 1 z06a.nb 7
8z06a.nb 如何确定解?把上式代入微分方程,求得各系数ck之间的关系。 为此,上式求导,可得:(把出现在微分方程的每一项均化为bx形式,以便比较系数) y=Sk-1)a*2=Sk+1)k+2)2x,xy"=5k-1)ax 各项均以∑hx的形式出现,代入微分方程 (k+1)(k+2)ck+2-k(k-1)ck-2kck+l+1)ck]x=0 据 Taylor展开的唯一性知各幂次系数为0 (k+1)(k+2)ck+2-[k(k+1)-l+1)ck=0 从而得到系数之间的递推关系 (k+1)(k+2) 利用这个递推关系,可得: (2n-1-2)(2n+l-1) (2n-1-2)(2n+1-1)(2n-1-4)( C2n-4 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3) D(2n-2+7+1)(2n-4+7+ )(l+1 c0,其中(a)n为 Pochhammer符号,可表为r函数:(a)n r(a+ n) a4计 (2n)! r(a) +1c1,与c2n类似地推导 l)! 所有的偶次幂项均由c0确定,奇次幂项由c1确定, Legendre方程的通解为 y(x)=coo(x)+cy1(x,其中yo(x)只含偶次幂项,y(x)只含奇次幂项。 (x)= x2k, yI(x) (2k)!(2 f(2k+1)!(2k(2 所以, Legendre方程(1.23)有两个线性无关的解,一个是奇次幂级数,一个是偶次幂级数 对于一般的l,级数无法化简为初等函数形式,也就是说, Legendre方程的解是 Legendre函数(特殊函数) 由于 Legendre方程(123)是线性齐次微分方程,y(x)是解,任意常数与y(x)的乘积,依然是解 (1-x2)D[Y[x],{x,2] Y【x],x]+n(n+1)y[x] DSolve[eq =0, y[x], x] (Y[,C[l LegendreP[n, x]+C[2] Legendre[n, x])) 更多关于 Legendre方程的解的性质,将在后面的章节讨论。本章的内容主要是:微分方程的级数解法( Frobenius解法)
如何确定解？把上式代入微分方程，求得各系数 ck 之间的关系。 为此，上式求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为 k=0 ∞ bk xk 形式，以便比较系数 ） y′ = k=0 ∞ k ck xk-1, x y′ = k=0 ∞ k ck xk y″ = k=0 ∞ k(k - 1) ck xk-2 = k=0 ∞ (k + 1) (k + 2) ck+2 xk, x2 y″ = k=0 ∞ k (k - 1) ck xk 各项均以 k=0 ∞ bk xk 的形式出现 ，代入微分方程 ： k=0 ∞ [(k + 1) (k + 2) ck+2 - k(k - 1) ck - 2 k ck + l(l + 1) ck] xk = 0 据 Taylor 展开的唯一性知各幂次系数为 0 (k + 1) (k + 2) ck+2 - [k(k + 1) - l(l + 1)] ck = 0 从而得到系数之间的递推关系 ck+2 = k(k + 1) - l(l + 1) (k + 1) (k + 2) ck = (k - l) (k + l + 1) (k + 1) (k + 2) ck 利用这个递推关系，可得： c2 n = (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) 2 n (2 n - 1) c2 n-2 = (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) (2 n - l - 4) (2 n + l - 3) 2 n (2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) c2 n-4 = (2 n - 2 - l) (2 n - 4 - l) ⋯(-l) 总共有n项相乘 (2 n - 2 + l + 1) (2 n - 4 + l + 1) ⋯(l + 1) 总共有n 项相乘 (2 n) ! c0 c2 n = 22 n (2 n) ! - l 2 n l + 1 2 n c0, 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，可表为 Γ 函数： (a)n = Γ(a + n) Γ(a) = a(a + 1) ... ( 从a 开始， c2 n+1 = 22 n (2 n + 1)! - l - 1 2 n l 2 + 1 n c1, 与 c2 n 类似地推导 所有的偶次幂项均由 c0 确定，奇次幂项由 c1 确定，Legendre 方程的通解 为： y(x) = c0 y0(x) + c1 y1(x), 其中 y0(x) 只含偶次幂项 ， y1(x) 只含奇次幂项 。 y0(x) = k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 所以，Legendre 方程 (1.23) 有两个线性无关的解，一个是奇次幂级数，一个是偶次幂级数。 对于一般的 l，级数无法化简为初等函数形式，也就是说，Legendre 方程的解是Legendre 函数（特殊函数）。 由于Legendre 方程 (1.23) 是线性齐次微分方程， y0(x) 是解，任意常数与y0(x) 的乘积，依然是解。 eq = (1 - x2) D[y[x], {x, 2}] - 2 x D[y[x], x] + n (n + 1) y[x]; DSolve[eq 0, y[x], x] {{y[x] C[1] LegendreP[n, x] + C[2] LegendreQ[n, x]}} 更多关于Legendre 方程的解的性质，将在后面的章节讨论。本章的内容主要是：微分方程的级数解法（ Frobenius 解法）。 8 z06a.nb
z06a.nb 9 64方程正则奇点邻域的级数解 9 Bessel方程的解 求以下 Bessel方程在x=0邻域的解,v为已知常数 (x2-2) (1.24) 显然:x=0是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs定理,正则奇点邻域必定存在一个如下形式的解 1()=xSx,其中:c0*0,在x=0点的邻域|>0 比之于常点,求解过程多了一步:要推导并求解指标方程,若需要求解第二个解,还要看指标方程是否重根等等 先求指标方程。形式解求导,可得:(把出现在微分方程的每一项均化为Sb2x形式) y=Eo+p)ckrtp-l, xy=a+p)cka+ y=)(k+p)(k+p-1)cx-2,x2y=)(k+p)(k+p-1)cx+p 化为∑4形式 代入微分方程 ∑+p休+p-1)++p)-12]*+∑2x=0 (1.25 由最低幂次x(对应于k=0)的系数为0导出指标方程 再由x+1项(对应于k=1项)的系数为0,导出 V+1)2-y2]-1=0利用标程 (2p+1c=0若p+-12 最后,由k≥2项的系数为0,得递推关系 利用指标方程、ck= k(k+2 p) (1.26 故对于p=v,取c1=0,故 22n(n+v) 24n(n+v)(n-1)(+v-1 (-1y c0,其中(a)n为 Pochhammer符号,(a)h 22nn!(v+1)n r(a) C1=0 22n(3/2)n(+3/2)n 从而, Bessel方程有 n()=0x- 台k!(r+1) =c0x户(-1) k!r(k++1) 取
6.4 方程正则奇点邻域的级数解 Beseel 方程的解 求以下 Bessel 方程在 x = 0 邻域的解，v 为已知常数 x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0， p(x) = 1 x , q(x) = x2 - v2 x2 (1.24) 显然：x = 0 是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs 定理，正则奇点邻域 必定存在一个如下形式的解 y(x) = xρ k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x > 0 比之于常点，求解过程多了一步：要推导并求解指标方程，若需要求解第二个解，还要看指标方程是否重根等等。 先求指标方程 。形式解求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为 k ∞ bk xk+ρ 形式） y′ = k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ-1, x y′ = k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ y″ = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ-2, x2 y″ = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ x2 y = xρ+2 k=0 ∞ ck xk = k=0 ∞ ck xk+ρ+2 化为 ∑ k ∞ bk xk+ρ 形式 k=2 ∞ ck-2 xk+ρ 代入微分方程： k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) +(k + ρ) - v2 ck xk+ρ + k=2 ∞ ck-2 xk+ρ = 0 (1.25) 由最低幂次 xρ（对应于 k = 0）的系数为 0 导出指标方程 ρ2 - v2 c0 = 0 c0≠0 ρ2 - v2 = 0 ⟹ ρ1 = v, ρ2 = -v 再由 xρ+1项（对应于 k = 1 项）的系数为 0，导出 (ρ + 1)2 - v2 c1 = 0 利用指标方程 (2 ρ + 1) c1 = 0 若ρ ≠ -1/2 c1 = 0 最后，由 k ≥ 2 项的系数为 0，得递推关系 ck = - ck-2 (k + ρ)2 - v2 利用指标方程 ck = - 1 k(k + 2 ρ) ck-2 (1.26) 故对于 ρ = v，取 c1 = 0，故 c2 n = - 1 22 1 n(n + v) c2 n-2 = (-1) 2 1 24 1 n(n + v) 1 (n - 1) (n + v - 1) c2 n-4 = (-1) n 1 22 n 1 n! 1 (v + 1)n c0, 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，(a)n = Γ(a + n) Γ(a) c2 n+1 = (-1) n 1 22 n 1 (3/ 2)n 1 (v + 3/ 2)n c1 = 0 从而，Bessel 方程有解： y1(x) = c0 xv k=0 ∞ (-1)k k ! (v + 1)k x 2 2 k = c0 xv k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(v + 1) Γ(k + v + 1) x 2 2 k 取 c0 = 1 2v Γ(v + 1) ，则 z06a.nb 9
10 z06anb ≡J(x) Bessel函数 台k!r(k++1) (1.27) 对于P=-,仍取c1=0,同时取c0=2I(-+1) 则第二个解为: (-1) ≡-,(x) Ed k!(-r+I)k k!r(k-y+1) (1.28) 那么,我们是否求得了Bss方程的两个线性独立解:y1(x)与yx)?还有三个问题: 1.求解过程分别对指标P=土y时取c022I(土+ ,若co=0,是否对应于平庸解?(即0解) 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以co 2.讨论中,我们总是取c1=0。实际上仅当指标ρ≠-1/2时才保证c1=0,讨论中总是取c1=0是否会导致“漏掉”一个解 当然在求得两个线性独立解时,不可能漏解,但若求得的两个解线性相关,是否是因为取c1=0导致的漏解? 3.最重要的,这两个解是否线性无关?因为对正则奇点, Frobenius and Fuchs定理只保证能求得一个解, 并不能保证求出的两个解线性无关。实际上,当p2-p1为整数时,两个解很可能是线性相关的 先回答第一个问题,c0=-1 2tr(±y+1) 0是否对应于平庸解?(对线性齐次微分方程,零是方程的平庸解。) 因为指标解以±v形式成对出现,不失一般性,可假设Rev>0 当ν为正整数p>0时, Gamma函数的宗量可能为负整数或0,co=0,是否对应于平庸解?非也! 看p=-=-p时系数之间的递推关系(126),设k>p并令k-p=m,从而:p=k-m 24k(k-1)(k-p)(k-p-1) =(-1)m 2mk(k-1)…(k-m+1)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1) 22(m+)k(k-1)…(k-m+1)(k-m)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1)k 上式最后一行的分母为0,表明递推至cp为止,c2(-1)=c2(-2)=…=C0=0,这样求和就不能从k=0项开始。 即:当v等于正整数p时,对应于p=-v的级数解的写法就复杂了,求和必须从k=p而非从k=0项开始 为规避这个复杂性,利用 Gamma函数,并令co= 把对应于p=-y的级数解之系数c2k写成 2-"I(y+1) 记得p=-y 22kk!T(k-+1) (-1)4-1 C2k-2 2k2k+2p)22-)(k-1)!I(k-v)2k(2k+2p) 此式(紫色表达式)满足系数之间的递推关系(1.26),同时 此式还自动保证在v等于正整数p时,c2(21)=c2(-2)=…=co=0,从而求和仍可从k=0项开始。 ■再回答第二个问题,当指标方程给出的解是P-2’°可以不为0,取C1=0是否会导致"漏掉解 对Bs方程,当有一个指标为-时,另一个指标必为+1,两个解(27)和(128)分别退化为 (-1) k!rk+
y1(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ≡ Jv(x) Bessel 函数 (1.27) 对于 ρ = -v，仍取 c1 = 0，同时取 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，则第二个解为： y2(x) = c0 x-v k=0 ∞ (-1)k k ! (-v + 1)k x 2 2 k = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v ≡ J-v(x) (1.28) 那么，我们是否求得了 Bessel 方程的两个线性独立解：y1(x) 与 y2(x) ？还有三个问题： 1. 求解过程分别对指标 ρ = ±v 时取 c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) ，若 c0 = 0，是否对应于平庸解? （即 0 解） 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以 c0 2. 讨论中，我们总是取 c1 = 0。实际上仅当指标 ρ ≠ -1/ 2 时才保证 c1 = 0，讨论中总是取 c1 = 0 是否会导致“漏掉”一个解。 当然在求得两个线性独立解时 ，不可能漏解 ，但若求得的两个解线性相关 ，是否是因为取 c1 = 0 导致的漏解 ？ 3. 最重要的，这两个解是否线性无关？因为对正则奇点，Frobenius and Fuchs 定理只保证能求得一个解， 并不能保证求出的两个解线性无关 。实际上，当 ρ2 - ρ1 为整数时 ，两个解很可能是线性相关的 。 ◼ 先回答第一个问题， c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) = 0 是否对应于平庸解？（对线性齐次微分方程，零是方程的平庸解。） 因为指标解以 ± v 形式成对出现 ，不失一般性 ，可假设 Re v > 0。 当 v 为正整数 p > 0 时，Gamma 函数的宗量可能为负整数或 0，c0 = 0，是否对应于平庸解 ？非也！ 看 ρ = -v = -p 时 系数之间的递推关系 (1.26)，设 k > p 并令 k - p = m，从而：p = k - m c2 k = - 1 22 1 k(k - p) c2 (k-1) = (-1)2 1 24 c2 (k-2) k(k - 1) (k - p) (k - p - 1) = (-1)m 1 22 m c2 (k-m) c2 p k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) 此项等于1 = (-1)m+1 1 22 (m+1) c2 (p-1) k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - m)(k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) (k - p - m) 此项等于0 上式最后一行的分母为 0，表明递推至 c2 p 为止，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，这样求和就不能从 k = 0 项开始。 即：当 v 等于正整数 p 时，对应于ρ = -v 的级数解的写法就复杂了 ，求和必须从 k = p 而非从 k = 0 项开始。 为规避这个复杂性 ，利用 Gamma 函数，并令 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，把对应于ρ = -v 的级数解之系数 c2 k 写成 c2 k = (-1)k 22 k k ! Γ(k - v + 1) 记得 ρ = -ν = - 1 2 k(2 k + 2 ρ) (-1)k-1 22 (k-1) (k - 1)! Γ(k - v) = - c2 k-2 2 k(2 k + 2 ρ) 此式 （紫色表达式 ） 满足系数之间的递推关系 (1.26)，同时 此式还自动保证在 v 等于正整数 p 时，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，从而求和仍可从 k = 0 项开始。 ◼ 再回答第二个问题，当指标方程给出的解是 ρ = - 1 2 时，c1可以不为 0，取 c1 = 0 是否会导致”漏掉”解 对 Bessel 方程，当有一个指标为 - 1 2 时，另一个指标必为 + 1 2 ，两个解 (1.27) 和 (1.28) 分别退化为 y1(x) = k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 3 2 x 2 2 k+1/2 , y2(x) = k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 1 2 x 2 2 k-1/2 10 z06a.nb
