复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义，A）06 二阶线性常微分方程的级数解法.pdf_大学文库

6 二阶线性常微分方程的级数解法复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor 或 Laurent 级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积分，还可用于求解二阶线性常微分方程。许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = f (z) (1.1) 如果 f (z) = 0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单变量，并非指常系数。在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的 x 可看为复变量） Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 (1.2) Bessel 方程： x2 y″ + x y′ + x2 - n2 y = 0 (1.3) Laguerre 方程： x y″ + (1 - x) y′ + a y = 0 (1.4) Hermite 方程： y″ - 2 x y′ + 2 α y = 0 (1.5) Chebyshev 方程： 1 - x2 y″ - x y′ + n2 y = 0 (1.6) Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 (1.7) Confluent hypergeometric 方程： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 (1.8) 这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因此，无法通过传统的求积分方法求解。但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表示。我们将以Legendre 方程和 Bessel 方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法，就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称 Frobenius 解法。 6.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 (1.9) 其中 p(z) 和 q(z) 称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性确定。通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点 z0 邻域的解（邻域可大可小）

因此，若要在某点 z0 的邻域求解微分方程，系数函数 p(z) 和 q(z) 在 z0 的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。 ◼ 常点：如果在 z0 点， p(z) 和 q(z) 都解析，则 z0 称为方程的常点 ◼ 奇点：如果在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，则 z0 称为方程的奇点  正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。  非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。 ◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 /ζ，则方程 (1.9) 化为 2w ζ2 + 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ w ζ + 1 ζ4 q 1 ζ w = 0 (1.10) Clear["Global`*"] w0 = w[1 / ζ] /. ζ  z; w1 = D[w[1 / ζ], ζ] /. ζ  z; w2 = D[w[1 / ζ], {ζ, 2}] /. ζ  z; eq = (w2 + p[z] w1 + q[z] w0) /. z  1 / ζ; c = Coefficient[eq, w ''[ζ]]; Expand[eq / c] (* 将 w′′[ζ] 的系数化为1 *) q 1 ζ w[ζ] ζ4 + 2 w′ [ζ] ζ - p 1 ζ w′ [ζ] ζ2 + w′′[ζ] (1.10) 可写成 2w ζ2 + P(ζ) w ζ + Q(ζ) w = 0, P(ζ) = 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ , Q(ζ) = 1 ζ4 q 1 ζ 显然，当且仅当 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式时， P(ζ) 与 Q(ζ) 才解析， p 1 ζ = 2 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b4 ζ4 + b5 ζ5 + ⋯, (1.11) 因为这时对应于：P(ζ) = -a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b4 + b5 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 均解析，从而 ζ = 0 是 (1.10) 的常点，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的常点。若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点。若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点。 p 1 ζ = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯, (1.12) 因为这时对应于：P(ζ) = 2 - a1 ζ - a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b2 ζ2 + b3 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析。 ☺ 例： (1.7) 式的超几何方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 系数为：p(x) = (1 + a + b) x - c x(x - 1) , q(x) = a b x(x - 1) , 故： z = 0, 1, ∞ 是方程的三个正则奇点。例： (1.8) 式的合流超几何方程： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 系数为：p(x) = c - x x , q(x) = - a x , 故： z = 0 是方程的正则奇点，z = ∞ 则是非正则奇点。 2 z06a.nb

z06a.nb 得到一个关于指标的一元二次方程(称为指标方程),先求出指标p 最简单的情况,该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解但如果不幸遇到:一元二次方程重根或两根之差为整数,情况将复杂化。以下详细讨论。为简单起见,讨论正则奇点出现于x=0,这里将x看成复变量。若x=0为正则奇点,微分方程必可改写成如下形式 (思考一下为什么? x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,其中:g(x)和hx)在x=0点解析 (1.13) 据 Frobenius& Fuchs定理,该微分方程必定存在一个如下形式的解 =x,其中+0(若为常点,则对应于P=0) 对级数形式的yx)求导 y(x)=>(+p)akx+p-l y"(x)=(k+p)(k+p-1)ax+2 (1.14) 再将g(x)和h(x)作 Taylor展开 gx)=80+g1x+g2x2+ 代入微分方程(1.13)式,将得到以下形如>gx=0的幂级数形式 +p+p-1)+(k+p)(80+g1x+g2x2+…)+(ho+hx+hx2+…)ax+=0 因为是解析函数的展开,由唯一性定理,各幂次的系数ck=0 看最低幂次x项的系数(对应于上式的k=0项):p-1)+p8o+llao=0 由 Frobenius& Fuchs定理,形式解的系数ao≠0,故可得到一个关于指标的一元二次方程: p-1)+gp+h=0→p2+(g-1)p+h=0称为指标方程 (1.15 指标方程是一元二次方程,显然有两个根,以下分三种不同情况讨论 ■指标方程有两个不同的根P2≠p1,且两根之差不是整数:p2-p1≠n 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程的两个解可写成 n(x)=x(ao+ax+ax2+…)y2(x)=(6+dx+ax2+…) 因为P-p1是非整数,故y2(x)/y(x)不可能等于常数,y2x)和y(x)线性无关,其线性组合构成微分方程的通解故指标方程两根之差为非整数时,微分方程的两个线性无关解写成 y()=yx,a*0,y2()=x∑,*0 (1.16) 其中系数ak与∝,可将yx)与y2(x)代入原微分方程来确定(见下一节) ■指标方程有重根:这时必有:p2=p1=(1-80)/2 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程必定有一个解可写成 y1(x)=y(a+a1x+a2x2+…),a≠0 (1.17) 其中系数ak可将y1(x)代入微分方程来确定。由y(的形式,可导得:五=+9()(作为练习,不妨试推导) 这里以qk(x)表示仅含x的0次或正幂次的函数(x=0邻域的解析函数)

得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标 ρ。最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关，这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。为简单起见，讨论正则奇点出现于 x = 0，这里将x 看成复变量。若 x = 0 为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式（思考一下为什么？这样才能保证 x p(x) 和 x2 q(x) 解析）： x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析 (1.13) 据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解： y = xρ  k=0 ∞ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点，则对应于 ρ = 0）对级数形式的 y(x) 求导, y′(x) =  k=0 ∞ (k + ρ) ak xk+ρ-1, y″(x) = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ak xk+ρ-2, (1.14) 再将 g(x) 和 h(x) 作 Taylor 展开， g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, h(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + … 代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如  k ck xk = 0 的幂级数形式，  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x2 + … + h0 + h1 x + h2 x2 + … ak xk+ρ = 0 因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程： ρ(ρ - 1) + g0 ρ + h0 = 0 ⟹ ρ2 + (g0 - 1) ρ + h0 = 0 称为指标方程 (1.15) 指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。 ◼ 指标方程有两个不同的根 ρ2 ≠ ρ1，且两根之差不是整数：ρ2 - ρ1 ≠ n 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2 a0 ′ + a1 ′ x + a2 ′ x2 + …, 因为 ρ2 - ρ1 是非整数，故 y2(x)/ y1(x) 不可能等于常数，y2(x) 和 y1(x) 线性无关，其线性组合构成微分方程的通解。故指标方程两根之差为非整数时，微分方程的两个线性无关解写成： y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = xρ2  k=0 ∞ ak ′ xk, a0 ′ ≠ 0 (1.16) 其中系数 ak 与 ak ′，可将 y1(x) 与 y2(x) 代入原微分方程来确定（见下一节）。 ◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, a0 ≠ 0 (1.17) 其中系数 ak 可将 y1(x) 代入微分方程来确定。由 y1(x) 的形式，可导得： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x), （作为练习，不妨试试推导）这里以 qk(x) 表示仅含 x 的 0 次或正幂次的函数（x = 0 邻域的解析函数）。 4 z06a.nb

由于 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，故 x = 0 是 y1 ′ y1 的单极点，且留数为 ρ1。现在，如何找另一个线性无关解？设另一个线性无关解为：y2(x) = u(x) y1(x) ，则 y2 ′ = u′ y1 + u y1 ′ ， y2 ″ = u″ y1 + 2 u′ y1 ′ + u y1 ″ 代入微分方程：x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0，整理得： x2 y1 u″ + 2 x2 y1 ′ u′ + x g y1 u′ + x2 y1 ″ + x g y1 ′ + h y1 y1 是微分方程的解，此项为0 u = 0 进而得到关于 u 的微分方程： u″ + 2 y1 ′ y1 u′ + g x u′ = 0 （注：此时 y1(x) 看成已知函数）代入 g(x) 的 Taylor 展开式：g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, 可得： u″ + 2 y1 ′ y1 + g0 x + q2(x) u′ = 0, 其中 q2(x) = g1 + g2 x + … ，仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.18) 代入式： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，并利用指标方程重根 ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2，上式化为： u″ + g0 + 2 ρ1 x + 2 q1(x) + q2(x) u′ = 0 ρ1=(1-g0) 2 u″ + 1 x + q3(x) u′ = 0 ， q3(x) 仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.19) u″ u′ = - 1 x - q3(x) 两边同积分 ln u′ = -ln x + q4(x) ，⟹ u′ = 1 x q4(x) = 1 x q5(x)，这里 q4(x) 和 q5(x) 都只含 x 的 0 次或正幂次子项， q5(x) 是 q4(x) 的展开，q5(x) =η0 η0≠0 + q6(x), 其中 q6(x) 仅含 x 的正幂次项 u′ = 1 x [η0 + q6(x)] ⟹ u = η0 ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … （其中：η0 ≠ 0, 而 κ0 来自积分常数） y2(x) = u(x) y1(x) = η0 y1(x) ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … y1(x) 故指标方程重根时，微分方程的两个线性无关解写成：（思考：为何 η0 不见了？线性齐次方程，同除以 η0 ≠ 0） y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = y1(x) ln x + xρ1  k=0 ∞ bk xk (1.20) ◼ 指标方程两根之差为整数：ρ2 = ρ1 - p, 其中整数 p > 0 类似上一种情况，我们仍有 (1.17) 及 (1.18)。把 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x) 代入 (1.18) 式，并利用指标方程 (1.15) 的两根之和满足：ρ2 + ρ1 = 1 - g0， (1.18) 式化为： u″ + g0 + 2 ρ1 x + q3(x) u′ = 0 利用：g0+2 ρ1 = 1+p u″ u′ = - 1 + p x + q3(x) ⟹ ln u′ = -(1 + p) ln x + q4(x) ⟹ u′ = 1 xp+1 q4(x) = κ0 xp+1 + κ1 xp + ⋯ + κp x + κp+1 + κp+2 x + ⋯ , κ0 ≠ 0 ⟹ u = - κ0 p xp - κ1 (p - 1) xp-1 + ⋯ + κp ln x + κp+1 x + 1 2 κp+2 x2 + ⋯ 注意最低幂次为 x-p y2(x) = u(x) y1 (x) y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk ⟹ y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2  m=0 ∞ bk xk，其中利用了：ρ2 = ρ1 - p 故指标方程两根之差为整数时，微分方程的两个解写成： z06a.nb 5

6z06a.nb y1(x)=m)ax,a≠0,y2(x)=kpnx)hx+m)bx,b≠0 (1.21 其中6可能为零或非零。可以猜想 0时:与可能线性无关,例组y+xy+-:y=0 40时:ya*与x2x可能线性相关,例如整数阶Bst程(见下一节) 综合以上的讨论,对正则奇点, Frobenius& Fuchs定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x)=m)ax,ao≠0 (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定,可能仍然是上式形式,也可能如(1.20)或(121)的是带对数形式这就给实际应用带来不便,因而,对正则奇点,通常是利用 Frobenius& Fuchs定理,求形如上式的第一个解再利用 Wronskian行列式,由第一个解,求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解如何求出形如(1.22)的第一个解?代入微分方程,求出各系数ak之间的关系。将在下两节讨论 Q解的解析延拓通常,对二阶线性齐次常微分方程,人们总是在常点或正则奇点的邻域求解,为求方程在更大区域的解,需要做解析延这就需要解决两个问题: 1.一个解w1经解析延拓成为1,后者还是不是原微分方程的解? 2.两个线性无关解w1,w2经解析延拓成为帝1,2,是否依然是线性无关? 以下例题回答着两个问题。目例题:设w1是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的解,ⅳ是w1在区域G2内的解析延拓试证1仍是原微分方程的解。(可看成微分方程在区域G2内的解证明:为叙述简便,仅对〓=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 2w”+=g()w+h(-)w=0,因=0是常点或正则奇点,故g()和hx)在二=0点解析设前满足:二2前+二g(-)的+h=)1=q(),需要证明〓∈G2时,q()=0 3=G1∩G2 因为節是w1在G2的解析延拓,故前在G2除孤立奇点之外解析而g(-),H(-)也在G2除孤立奇点之外解析,故:q(-)在G2除孤立奇点之外解析又由于ⅳ1是w1在G2的解析延拓,必存在G3=G1∩G2,在G3内,=w1 因G3=G1∩G2∈G1, 故对∈G3:w1是微分方程的解,=2w"+=8(2)w+h()w1=0 ∈G3,i1=w z2i"+〓8()的+h()1=0 即:对∈G3,q()=0,由解析函数的唯一性,对=∈G2,q()=0

y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2  k=0 ∞ bk xk，b0 ≠ 0 (1.21) 其中 κp 可能为零或非零。可以猜想： κp = 0 时： xρ1  k=0 ∞ ak xk 与 xρ2  k=0 ∞ bk xk 可能线性无关，例如：x2 y″ + x y′ + x2 - 1 4 y = 0 κp ≠ 0 时： xρ1  k=0 ∞ ak xk 与 xρ2  k=0 ∞ bk xk 可能线性相关，例如整数阶Bessel方程（见下一节）综合以上的讨论，对正则奇点，Frobenius & Fuchs 定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定，可能仍然是上式形式，也可能如 (1.20) 或 (1.21) 的是带对数形式。这就给实际应用带来不便，因而，对正则奇点，通常是利用Frobenius & Fuchs 定理，求形如上式的第一个解，再利用 Wronskian 行列式，由第一个解，求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解。如何求出形如 (1.22) 的第一个解？代入微分方程，求出各系数 ak 之间的关系。将在下两节讨论。  解的解析延拓通常，对二阶线性齐次常微分方程，人们总是在常点或正则奇点的邻域求解，为求方程在更大区域的解，需要做解析延拓。这就需要解决两个问题： 1. 一个解 w1 经解析延拓成为 w  1，后者还是不是原微分方程的解？ ✓ 2. 两个线性无关解 w1, w2 经解析延拓成为 w  1, w  2，是否依然是线性无关？ ✓ 以下例题回答着两个问题。 ☺ 例题：设 w1 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的解， w  1是 w1 在区域 G2 内的解析延拓，试证 w  1仍是原微分方程的解。（可看成微分方程在区域 G2 内的解）证明：为叙述简便，仅对 z = 0 邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。设 w  1 满足： z2 w  1 ″ + z g(z) w  1 ′ + h(z) w  1 = q(z)，需要证明 z ∈ G2 时，q(z) = 0 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 因为 w  1 是 w1 在 G2 的解析延拓，故 w  1 在 G2 除孤立奇点之外解析，而 g(z), h(z) 也在 G2 除孤立奇点之外解析，故：q(z) 在 G2 除孤立奇点之外解析。又由于 w  1 是 w1 在 G2 的解析延拓，必存在 G3 = G1 ⋂ G2，在 G3 内， w  1 = w1 因 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，故对 z ∈ G3：w1 是微分方程的解，z2 w1 ″ + z g(z) w1 ′ + h(z) w1 = 0 对 z ∈ G3， w  1 = w1 ⟹ z2 w  1 ″ + z g(z) w  1 ′ + h(z) w  1 = 0 即：对 z ∈ G3，q(z) = 0，由解析函数的唯一性，对 z ∈ G2，q(z) = 0 6 z06a.nb

z06a.nba 即:对z∈G2,2订+8()的+和()前=)=0≡仍是原齐次微分方程的解目例题:设m1和w2是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的两个线性无关解, 1和前2分别是w1和2在区域G2内的解析延拓,试证前1和2仍然线性无关。证明:为叙述简便,仅对z=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2w”+g(=)w+h(-)w=0,因二=0是常点或正则奇点,故g(=)和h()在二=0点解析。由上例知,前1和前2仍原齐次微分方程的解。如何判断两个函数线性无关? 若w1与w2线性相关,则2=cw1,从而w1和w2的 Wronskian行列式为0。证明如下 W(v1,w2)≡ W1 Cl 若w1和w2的 Wronskian行列式为0,则wn1与w2线性相关,证明如下 m吗一n听=0=咝==mn=hW+→n=cm 故 Wronskian行列式为0是线性相关的充要条件(对2个以上的函数也是如此)。现在需要从W(w1,w2)≠0证明W(W1,i2)≠0。利用解析函数唯一性定理。 G3=G1∩G2 令W(i1,2)=q(),显然q()在G2内是解析函数。现需要证明z∈G2时,q()≠0 用反证法:(与上一例题不同,这里要证明q(2)≠0,而非q()=0,故用反证法) 由于在G3=G1∩G2∈G1,w1与2线性无关,前1=W1,前2=2=W(1,前2)=W(1,w2)≠0, 若和前2线性相关,只能在区域G2\G1内线性相关。(G2\G1表示G2挖去G3剩下的部分现在就设ⅳ1和在区域G2\G1线性相关,即:=∈G2\G1时,q()≡W(1,j2)≡0 由于q(x)在G2内是解析函数,在G2\G1区域q(2)≡0必导致在整个G2区域q(x)=0 从而在G3=G1∩G2∈G1,q(=)=0,这与在G3区域W(1,2)=W(甲1,w2)≠0矛盾。故:W(1,2)在整个G2区域不为零,即前和2在整个G2区域线性无关这两个例题表明,可以在一个小区域求微分方程的(线性无关)解,再通过解析延拓,得到大区域的(线性无关)解当然,前提是微分方程在大区域内存在解析解。 63方程常点邻域的级数解上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式,本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解求以下 Legendre方程在x=0邻域的解,l为已知常数 (1-x)y"-2xy+l+1)y=0,px)= (1.23) 显然:x=0是方程的常点。由 Frobenius and fuchs定理,常点邻域存在两个如下形式的线性独立解 (x)=Sx,其中:c*0,在x=0点的邻域<1

即：对 z ∈ G2，z2 w  1 ″ + z g(z) w  1 ′ + h(z) w  1 = q(z) = 0 ⟹ w  1 仍是原齐次微分方程的解。 ☺ 例题：设 w1和 w2 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的两个线性无关解， w  1 和 w  2 分别是 w1 和 w2 在区域 G2 内的解析延拓，试证 w  1 和 w  2 仍然线性无关。证明：为叙述简便，仅对 z = 0 邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。由上例知， w  1 和 w  2 仍原齐次微分方程的解。如何判断两个函数线性无关？若 w1 与 w2 线性相关，则 w2 = c w1, 从而 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0。证明如下： W(w1, w2) ≡  w1 w2 w1 ′ w2 ′  =  w1 c w1 w1 ′ c w1 ′  = 0 若 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0，则 w1 与 w2 线性相关，证明如下：  w1 w2 w1 ′ w2 ′  = w1 w2 ′ - w2 w1 ′ = 0 ⟹ w2 ′ w2 = w1 ′ w1 ⟹ ln w2 = ln w1 + c  ⟹ w2 = c w1 故 Wronskian 行列式为 0 是线性相关的充要条件（对 2 个以上的函数也是如此）。现在需要从 W(w1, w2) ≠ 0 证明 W( w  1, w  2) ≠ 0。利用解析函数唯一性定理。 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 令 W( w  1, w  2) = q(z)，显然 q(z) 在 G2 内是解析函数。现需要证明 z ∈ G2 时，q(z) ≠ 0 用反证法：（与上一例题不同，这里要证明 q(z) ≠ 0，而非 q(z) = 0，故用反证法）由于在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，w1 与 w2 线性无关，w  1 = w1, w  2 = w2 ⟹ W(w  1, w  2) = W(w1, w2) ≠ 0，若 w  1 和 w  2 线性相关，只能在区域 G2 \ G1 内线性相关。（G2 \ G1 表示 G2 挖去 G3 剩下的部分）现在就设 w  1 和 w  2 在区域 G2 \ G1 线性相关，即：z ∈ G2 \ G1 时，q(z) ≡ W( w  1, w  2) ≡ 0 由于 q(z) 在 G2 内是解析函数，在 G2 \ G1 区域 q(z) ≡ 0 必导致在整个 G2 区域 q(z) ≡ 0 从而在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，q(z) ≡ 0，这与在 G3 区域 W (w  1, w  2) = W(w1, w2) ≠ 0 矛盾。故：W( w  1, w  2) 在整个 G2 区域不为零，即 w  1 和 w  2 在整个 G2 区域线性无关。这两个例题表明，可以在一个小区域求微分方程的（线性无关）解，再通过解析延拓，得到大区域的（线性无关）解。当然，前提是微分方程在大区域内存在解析解。 6.3 方程常点邻域的级数解上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式，本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解。求以下 Legendre 方程在 x = 0 邻域的解，l 为已知常数。 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0， p(x) = - 2 x 1 - x2 , q(x) = l(l + 1) 1 - x2 (1.23) 显然：x = 0 是方程的常点。由 Frobenius and Fuchs 定理，常点邻域存在两个如下形式的线性独立解 y(x) = k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x < 1 z06a.nb 7

6.4 方程正则奇点邻域的级数解  Beseel 方程的解求以下 Bessel 方程在 x = 0 邻域的解，v 为已知常数 x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0， p(x) = 1 x , q(x) = x2 - v2 x2 (1.24) 显然：x = 0 是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs 定理，正则奇点邻域必定存在一个如下形式的解 y(x) = xρ  k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x > 0 比之于常点，求解过程多了一步：要推导并求解指标方程，若需要求解第二个解，还要看指标方程是否重根等等。先求指标方程。形式解求导，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为  k ∞ bk xk+ρ 形式） y′ =  k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ-1, x y′ =  k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ y″ =  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ-2, x2 y″ = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ x2 y = xρ+2  k=0 ∞ ck xk =  k=0 ∞ ck xk+ρ+2 化为 ∑ k ∞ bk xk+ρ 形式  k=2 ∞ ck-2 xk+ρ 代入微分方程：  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) +(k + ρ) - v2  ck xk+ρ + k=2 ∞ ck-2 xk+ρ = 0 (1.25) 由最低幂次 xρ（对应于 k = 0）的系数为 0 导出指标方程 ρ2 - v2 c0 = 0 c0≠0 ρ2 - v2 = 0 ⟹ ρ1 = v, ρ2 = -v 再由 xρ+1项（对应于 k = 1 项）的系数为 0，导出 (ρ + 1)2 - v2 c1 = 0 利用指标方程 (2 ρ + 1) c1 = 0 若ρ ≠ -1/2 c1 = 0 最后，由 k ≥ 2 项的系数为 0，得递推关系 ck = - ck-2 (k + ρ)2 - v2 利用指标方程 ck = - 1 k(k + 2 ρ) ck-2 (1.26) 故对于 ρ = v，取 c1 = 0，故 c2 n = - 1 22 1 n(n + v) c2 n-2 = (-1) 2 1 24 1 n(n + v) 1 (n - 1) (n + v - 1) c2 n-4 = (-1) n 1 22 n 1 n! 1 (v + 1)n c0, 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，(a)n = Γ(a + n) Γ(a) c2 n+1 = (-1) n 1 22 n 1 (3/ 2)n 1 (v + 3/ 2)n c1 = 0 从而，Bessel 方程有解： y1(x) = c0 xv  k=0 ∞ (-1)k k ! (v + 1)k x 2 2 k = c0 xv  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(v + 1) Γ(k + v + 1) x 2 2 k 取 c0 = 1 2v Γ(v + 1) ，则 z06a.nb 9

10 z06anb ≡J(x) Bessel函数台k!r(k++1) (1.27) 对于P=-,仍取c1=0,同时取c0=2I(-+1) 则第二个解为: (-1) ≡-,(x) Ed k!(-r+I)k k!r(k-y+1) (1.28) 那么,我们是否求得了Bss方程的两个线性独立解:y1(x)与yx)?还有三个问题: 1.求解过程分别对指标P=土y时取c022I(土+ ,若co=0,是否对应于平庸解?(即0解) 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以co 2.讨论中,我们总是取c1=0。实际上仅当指标ρ≠-1/2时才保证c1=0,讨论中总是取c1=0是否会导致“漏掉”一个解当然在求得两个线性独立解时,不可能漏解,但若求得的两个解线性相关,是否是因为取c1=0导致的漏解? 3.最重要的,这两个解是否线性无关?因为对正则奇点, Frobenius and Fuchs定理只保证能求得一个解, 并不能保证求出的两个解线性无关。实际上,当p2-p1为整数时,两个解很可能是线性相关的先回答第一个问题,c0=-1 2tr(±y+1) 0是否对应于平庸解?(对线性齐次微分方程,零是方程的平庸解。) 因为指标解以±v形式成对出现,不失一般性,可假设Rev>0 当ν为正整数p>0时, Gamma函数的宗量可能为负整数或0,co=0,是否对应于平庸解?非也! 看p=-=-p时系数之间的递推关系(126),设k>p并令k-p=m,从而:p=k-m 24k(k-1)(k-p)(k-p-1) =(-1)m 2mk(k-1)…(k-m+1)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1) 22(m+)k(k-1)…(k-m+1)(k-m)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1)k 上式最后一行的分母为0,表明递推至cp为止,c2(-1)=c2(-2)=…=C0=0,这样求和就不能从k=0项开始。即:当v等于正整数p时,对应于p=-v的级数解的写法就复杂了,求和必须从k=p而非从k=0项开始为规避这个复杂性,利用 Gamma函数,并令co= 把对应于p=-y的级数解之系数c2k写成 2-"I(y+1) 记得p=-y 22kk!T(k-+1) (-1)4-1 C2k-2 2k2k+2p)22-)(k-1)!I(k-v)2k(2k+2p) 此式(紫色表达式)满足系数之间的递推关系(1.26),同时此式还自动保证在v等于正整数p时,c2(21)=c2(-2)=…=co=0,从而求和仍可从k=0项开始。 ■再回答第二个问题,当指标方程给出的解是P-2’°可以不为0,取C1=0是否会导致"漏掉解对Bs方程,当有一个指标为-时,另一个指标必为+1,两个解(27)和(128)分别退化为 (-1) k!rk+

y1(x) =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ≡ Jv(x) Bessel 函数 (1.27) 对于 ρ = -v，仍取 c1 = 0，同时取 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，则第二个解为： y2(x) = c0 x-v  k=0 ∞ (-1)k k ! (-v + 1)k x 2 2 k =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v ≡ J-v(x) (1.28) 那么，我们是否求得了 Bessel 方程的两个线性独立解：y1(x) 与 y2(x) ？还有三个问题： 1. 求解过程分别对指标 ρ = ±v 时取 c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) ，若 c0 = 0，是否对应于平庸解? （即 0 解）因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以 c0 2. 讨论中，我们总是取 c1 = 0。实际上仅当指标 ρ ≠ -1/ 2 时才保证 c1 = 0，讨论中总是取 c1 = 0 是否会导致“漏掉”一个解。当然在求得两个线性独立解时，不可能漏解，但若求得的两个解线性相关，是否是因为取 c1 = 0 导致的漏解？ 3. 最重要的，这两个解是否线性无关？因为对正则奇点，Frobenius and Fuchs 定理只保证能求得一个解，并不能保证求出的两个解线性无关。实际上，当 ρ2 - ρ1 为整数时，两个解很可能是线性相关的。 ◼ 先回答第一个问题， c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) = 0 是否对应于平庸解？（对线性齐次微分方程，零是方程的平庸解。）因为指标解以 ± v 形式成对出现，不失一般性，可假设 Re v > 0。当 v 为正整数 p > 0 时，Gamma 函数的宗量可能为负整数或 0，c0 = 0，是否对应于平庸解？非也！看 ρ = -v = -p 时系数之间的递推关系 (1.26)，设 k > p 并令 k - p = m，从而：p = k - m c2 k = - 1 22 1 k(k - p) c2 (k-1) = (-1)2 1 24 c2 (k-2) k(k - 1) (k - p) (k - p - 1) = (-1)m 1 22 m c2 (k-m) c2 p k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) 此项等于1 = (-1)m+1 1 22 (m+1) c2 (p-1) k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - m)(k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) (k - p - m) 此项等于0 上式最后一行的分母为 0，表明递推至 c2 p 为止，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，这样求和就不能从 k = 0 项开始。即：当 v 等于正整数 p 时，对应于ρ = -v 的级数解的写法就复杂了，求和必须从 k = p 而非从 k = 0 项开始。为规避这个复杂性，利用 Gamma 函数，并令 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，把对应于ρ = -v 的级数解之系数 c2 k 写成 c2 k = (-1)k 22 k k ! Γ(k - v + 1) 记得 ρ = -ν = - 1 2 k(2 k + 2 ρ) (-1)k-1 22 (k-1) (k - 1)! Γ(k - v) = - c2 k-2 2 k(2 k + 2 ρ) 此式（紫色表达式）满足系数之间的递推关系 (1.26)，同时此式还自动保证在 v 等于正整数 p 时，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，从而求和仍可从 k = 0 项开始。 ◼ 再回答第二个问题，当指标方程给出的解是 ρ = - 1 2 时，c1可以不为 0，取 c1 = 0 是否会导致”漏掉”解对 Bessel 方程，当有一个指标为 - 1 2 时，另一个指标必为 + 1 2 ，两个解 (1.27) 和 (1.28) 分别退化为 y1(x) =  k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 3 2 x 2 2 k+1/2 , y2(x) = k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 1 2 x 2 2 k-1/2 10 z06a.nb