复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第七章 Fourier变换 Fourier transforms.pdf_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 2     0 1 ( ) 2 2 cos sin ( 0) ( 0) . 2 n n n f t t n n a a t b t f t f t T T t                       在连续点在间断点 *第一类间断点: 在此点 0 t  t 函数 f (t) 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 f t tt  和右极限 lim ( ) 0 0 f t tt  均存在且有限，所以可积。 Fourier 级数的物理意义：任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之和，它们的振幅分别为 2 2 n n a  b （See Chapter 10.3 分离变量法&本征值问题）. 因此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrum analysis). 2. Fourier 级数的复数形式(简洁)：利用 i e e n t in t in t 2 sin 0 0 0       和 2 cos 0 0 0 in t in t e e n t       得 0 0 ( ) [ ( ( )) , ] in t i t n n n n n f t c e f z t c z z e              [discrete frequencies: 0 ,( 0, 1, 2, ,quantum numbers) n       n n ], 其中， 1 2 0 1 2 1 ( ) d T in t n T c f t e t T     , (n  0,1,2, ) . 0 0 c  a ， 2 n n n a ib c   ， 2 n n n a ib c    . 各次谐波的振幅为 n 2 c . 3. 有限区间非周期函数的 Fourier 展开（实际体系都有限非周期）：对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后作傅里叶展开（即拷贝不走样）。设函数 f (x) 在坐标空间的区间 x l l  ,  上满足 Dirichlet 条件，则 f (x) 的 Fourier 级数为，             1 0 ( ) cos sin n n n x l n x b l n f x a a   ，  l  x  l 其中，     0 1 ( )d 2 1 ( )cos d 1,2,3, 1 ( )sin d 1,2,3, , l l l n l l n l a f x x l n a f x x x n l l n b f x x x n l l                      

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 3 其复数形式为： ( ) n i x l n n f x c e       l  x  l， 1 ( ) d 2 n l i x l n l c f x e x l      (n  0,1,2, ) . 注意：这时的 Fourier 级数只在区间 x l,l 内有意义，例如： 1 ( ) ( ). 2 n x i l n x e l x l l          这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCs are different with DCs.)。 4. 正交完备函数集：在区间 xa,b 上不恒为零的函数系 1 (x),2 (x),3 (x), ，若 ( ) ( )d 0 b m n a  x x x   m  n ；又若对于 xa,b 上的任意平方可积函数 (square integrable function) f (x) ，完整性方程* 均成立，则称 n (x) 为区间 xa,b 上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases). *如果对于 xa,b 上的平方可积函数 f (x)，总有   k k k f (x) c  (x) ，并且 2 2 2 2 2 ( ) d ( ) ( )d | | | ( ) | d b b b s k s k k k k k a a a s k k k f x x c c x x x c x x c N              成为完整性方程（称巴塞瓦等式）, 2 2 | ( ) | d b k k a N x x    为 (x) k 的积分模方。注: (1)正交性与区间 xa,b 有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。 (2)在复数函数集中，积分应理解为 ( ) ( )d , b m n mn a    x x x   where a set of orthogonal complete normalized function bases are ( ) ( ) / . k k k   x x N  (3) 同一定义域的 f x( ) 可以以 ( ) k  x 表示：   k k k f (x) c  (x) ，其值为 k c (representation theory). (4)对于 1D 无界空间区域(see below)，连续波矢 k 的本征函数为平面波 1 ( ) , 2 ikx k  x e   its orthogonal complete normalized relation is ( ') ' 1 1 ( ) ( )d d ( ') ( '). 2 i k k x k k     x x x e x k k p p             

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 5 to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[ , ],   there is the continue variables k[ , ],   and the wave function is the plane wave ( ) ikx k  x e  (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t ,  上的非周期函数 f (t) ，不能展成 Fourier 级数，但是我们可以把它看成是周期为 T 的函数当 T   时的极限。周期为 T 的函数的 Fourier 级数为： ( ) , n i t n n f t c e       其中， 1 2 1 2 1 ( ) d n T i t n T c f t e t T     ，而 T n n n    2  0  ， T n n     2   1   . 因此，可以把 n c 改写为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d ( ) d 2 n n T T i t i n T T c f t e t f e T               ，代入 f (t) 的表达式，得   1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 n n n T T i i t i t T T n n f t f e e f e                                     . 当 T   时， 0 2    T   ， 2 n n T      (continued spectrum)， ( ) ( )d . n      因此， 1   ( ) ( ) d d 2 1 1 ( ) d d . 2 2 i t i i t f t f e f e e                                     令       f  f e  f t e t i i t ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~        , 则          ( ) d ~ 2 1 ( ) i t f t f e . 1. Fourier 积分定理：若函数 f (t) 在区间 t ,  上满足:（1） f (t) 在任一有限区间上满足 Dirichlet 条件；（2） f (t) 在 t ,  上绝对可积[即    f (t) dt 收敛、有限或者 lim ( ) 0 t f t   ]，则 f (t) 可表示成 Fourier 积分，且 Fourier 积分值等

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 6 于 f (t  0)  f (t  0)/ 2. 即 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f t f e f f t e t                       上面一对等式上方的积分称为 Fourier 积分，其中 ( ) ~ f  由下方等式决定。 ( ) ~ f  称为 f (t) 的 Fourier 变换，记为： ( ) ~ f (t)  f  ， f (t) 和 ( ) ~ f  分别称为原函数和象函数。当 t 是时间变量时，  则是频率。 1 1 1 ' ( ') ( ) [ ( ') d '] d ( ')[ d ]d ' 2 2 2 ( ') ( ')d ' ( ). i t i t i t f t f e e t f e t f f                                        当在坐标变量 x 和动量(波数 k )之间变换时，则习惯采用下面的变换： 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 ikx ikx f x f k e k f k f x e x                  ( ) ~ f (x)  f k . Remarks 1 ： lim ( ) 0 t f t   由 Jordan 引理决定。当 z   (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z) 0 (此限制条件为一致地趋于 0), 则 lim ( ) d  0   f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半圆周, 即 e (0 ). i z R       Remarks 2：    f (t) dt 有限的要求可以推广，即 ' ( ) i t f t e   除外。这是因为对于连续谱的平面波，其“归一化”系数为    ( ')  函数： ( ') d 2 ( '). i t e t            2. Fourier 变换的基本性质：[ ( ) ~ f (x)  f k 为例] （1）线性定理： ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 c f x  c f x  c f k  c f k ，（ 1 2 c c, 是复常数）（2）相似定理： 1 ( ) k f ax f a a        a  0，scaling

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 9 三重 Fourier 变换：     1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 ( , , ) ( , , ) d d d ; 2 1 ( , , ) ( , , ) d d d . 2 i k x k y k z i k x k y k z f x y z f k k k e k k k f k k k f x y z e x y z                                       引入 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r  xi  yi  zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k  k i  k i  k i  ，并记体积元 d d d d , r x y z  3 3 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 ik r ik r f r f k e k f k f r e r                             四重 FT： 2 ( ) 2 ( ) ( , ) (2 ) ( , ) d d ; ( , ) (2 ) ( , ) d d . i k r t i k r t f r t f k e k f k f r t e r t                   4. FT vs. LT 比较 1 1 ˆ ( ) ( ) d ( ); 2 1 ˆ ( ) ( ) d ( ). 2 i t i t Ff t f t e f F f f e f t                             0 1 ˆ ( ) ( ) d ( ); 1 ˆ ( ) ( ) d ( ). 2 pt s i pt s i L t t e t p L t p e p t i                            条件、结果、意义: 例如 0 0 ˆ sin ( ). 2 sin ˆ ( ) , 1 2 sin sin . ; ( ) d d ( ) 2 i t i t F t T FhH T t h T h T i e f t h e e                                          合成。两种不同的积分变换，功用基本相同，不同点： 1）对原函数的要求不同。 2）LT 并无直接物理意义，FT 有深刻的物理意义。 3）FT 用于求解不带初始条件（t - ,+  ）的稳态过程（振荡）或带自由边界条件（x - ,+  ）的空间分布，LT 用于求解带初始条件 t(0, )  的瞬态过程（衰减）或半无界（x 0,+）的空间分布