复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions

Chapter 13柱坐标下的分离变量法 Bessel I函数 Abstract 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Nordmann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 aa a-u au 0 即 +L=0. (2 只要实空间可分离变量,就可令M(p,9,2)=R(p)V)Z(),将其代入方程(2)得 b(F)+—d”+Rbz”=0 (3) 029)得:2(DR)=二0= (4) 由这种分离变量得: A=0 P(PRD'P2Z 方程(5)与周期性边界条件 d(0)=(2x),Φ(0=d(2x) 构成本征值问题。解得:An=m2(m=0,1,2,3,…,Φn()={ cos mp, sin mg?} 方程(6)即为 P(pR) PZ 分离变量 得 这两个方程,先求解哪一个以及如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R(p)构成本征值问题,则 PR"+pR+(up'-m)R=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z                          （1） 即：   2 2 1 1 0. zz u u u u            （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入方程（2）得：   2 0. Z RZ R R Z             （3） 2 (3) R Z    得：   2 ' . R Z R Z              （4） 由这种分离变量得：   2 0. (5) ' . (6) R Z R Z                   方程（5）与周期性边界条件       (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m   m m ( ) {cos ,sin }.   m    m m 方程（6）即为   2 2 R ' Z m R Z         分离变量   2 2 ' . R m Z R Z            得：   2 2 2 0. 0. Z Z R R m R                  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则   2 2 2    R R m R       0

式中的取值范围不同,方程解的形式与性质不同 1)4=0:p2R"+pR-m2R=0,即为 Euler eq 2)20+pR+(l)-m]=0 R ir dy(x) up=x d 则: R(p)=y(x) R dr' d dp dp (√y)=v 代入(7)得(的量纲为11p2,这里将径向变量无量纲化了,相当于取4=1) x2y”+xy+(x2-m2)y=0即为m阶Bes 3)<0:令H=-k2,代入p2R+pR+(p2-m)R=0得 PR+pR'(p2+m)R 记kp=x,R(p)=y(x),代入(8)得: (x2+m2)y=0,即为虚宗量 Bessel eq.(9) 令:ⅸx=1,y(x)=c(1)代入(9)得 ry"+1+(2-m)=0,即为 Bessel ec 我们假设R(p)构成了S-L型本征值问题,即径向有自然、周期或齐次边界 条件,从而=H,R=R再解出Z=2Z()得Mp)=∑LR(p)()2 2.柱坐标系下的非稳定问题(3+1D,振动、输运方程) (F,1)-avu(,1)=0; u(F,1)-av2v(F,1)=0 只要时空可分离变量,就可令(,9,z,1)=T()(p,9,=),将其代入上式得: T”V2 v 2T

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 2 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1) 0:   2 2   R R m R      0, 即为 Euler eq. 2) 0:     2 2 2     R R m R 0.             （7） 记： ( ) ( ) x R y x         则：   d d ( ) d , d d d d d d d , d d d d R y x x R y x R y x R y y x                               代入（7）得（  的量纲为 2 1/ ,  这里将径向变量无量纲化了，相当于取   1 ）   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3) 0:   令 2   k ，代入   0 2 2 2  R R   m R  得   2 2 2 2    R R k m R       0. （8） 记 k x R y x     , ( ) ( ) ，代入（8）得：   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix t y x t   , ( ) ( )  代入（9）得   2 2 2 t t t m          0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R( )  构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而 , .     n n R R 再解出 ( ), Z Z z n  得 ( , , ) ( ) ( ) . im nm n n nm u z A R Z z e      2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0. tt t u r t a u r t u r t a u r t          只要时空可分离变量，就可令 u z t T t V z ( , , , ) ( ) ( , , )      ，将其代入上式得： 2 2 2 2 2 2 ; . T V k a T V T V k a T V                

注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得: T”+a2k2T=0 (容易求解 the lst eg. is the wave eg . it is damping if Imk#0 T"+a2k2T=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to ia 和 V2V+k2=0 此为 Helmholtz方程,即:1(p)+m+V2+k=0 只要实空间可分离变量,就可令T(9,z)=R(p()Z(=),将其代入上式得 Z"-=0 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 、 Bessel函数[(圆)柱函数 Bessel函数 设p√2+=x,R(p)=y(x)则一般地[如果O)中没有周期条件,则v 可以不为整数] y2+xy+(2-y2)y=0=y(x)=(x)+BN,(x) 其中:J(x)=∑ kIT(v+k N,(x) J (x)cos VT-J_(x) N, (x)=lim(X)cosVT-3-()(v=n integer, see chapt. 8. p. 16) sIn vT ):v阶(第一类) Bessel函数; (x):v阶(第二类) Bessel函数

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i                the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2    V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即：   2 2 1 1 0. V V V k V   zz         只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入上式得：   2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R                              同样要求对 2 k   的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x    , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数]   0 2 2 2 x y  xy  x  y   解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( )     ， 其中：     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x           ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n            ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU v≠整数,J,(x)和J(x)线性无关解 v=m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, N2(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,J,(x)和N()都是实函数,现在再引入两个复函数。 H(x)=J(x)+N,(x),第一种 Hankel函数 H2(x)=J,(x)-N,(x)第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx,(2)sinx,(3)cosx+ SINx=e,(4)cosx- IsIn x=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh,(2) sinha, (3). cosh x+ sinh x=e,(4) cosh- sinh x=ex,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y”"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合] 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 (x2Z) Z+-Z=Z 「2z1=2-Z Z z.,+z 乙代表JN,H,H2 证明:例如,J(x)=)(-1)(x)2 kzk!(+k+1)(2 (xJ)÷()(2u+2k) k!(v+k+1) 即:(xZ)=xZ同理又有:(x"z,)=-x2Z 特例:J=-1→1(5)d5=1-J(x,J(O)=1见下其实是定义) (z)=xZ-→-.、)=x,(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x         整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =   是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2).sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e     都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解有 (1).cosh ,(2).sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e      ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0   的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式     1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z                     1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x                       Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x                       Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如，     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   def. ，           2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k                                        cal. 即：   1 x Z x Z ' .       同理又有：   1 x Z x Z '          . 特例： 0 1 J' J   1 0   0 J 1 J ( ) x     d x  , 0 (J (0) 1  见下,其实是定义).    1      x Z x Z   1 1 1 0 J J ( ) x d x x             

(2)渐近行为(定性分析) (A).x很小(x→0)时 J,(x) 台k!r(+k+1) J,(x)~ ()=1n+C|J(x)-∑ n 其中,C=lm|∑-hn=057257称为欧拉(Eur)常数 No(x)--In T) 12.x 121nx 丌2 H2(x) VIx (v≠0) 2 →J(0)=1(上述特例积分时用过此 J,(x) (v≠0)→J,(0)=0(v≠0) 可见x=0并非J(x)之零点,而是J(0)之v阶零点(v≠0) (v=0,v≠0) N,(x)~ T(v)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 5 （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( 0) x  时，     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   2 0 J ( ) ~ 1 ; 2 1 J ( ) ~ ( 0). ( 1) 2 x x x x                             2 1 0 2 2 1 ( 1)! N ( ) ln J ( ) 2 ! 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( )! ! 2 2 2 m n m m m n m n n m n m x m n x x C x n x n m n n m n                                                                   其中， ln 0.5772157  1 lim 1             n k n n k C 称为欧拉（Euler）常数. 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 ( ) N ( ) ~ ( 0). 2 x x x x                        (1) 0 (1) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i                       (2) 0 (2) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i                       2 0 J ( ) ~ 1 2 x x         0 J (0) 1  (上述特例积分时用过此). 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x               J (0) 0 ( 0)     . 可见 x  0 并非 0 J ( ) x 之零点，而是 J (0)  之  阶零点 ( 0)   . 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 N (0) ( 0, 0). ( ) N ( ) ~ ( 0) 2 x x x x                              

1)(2) v=0,v≠0) (B)x很大(x→∞)时[衰减式震荡函数,证明见教材§135] J,(x)~ N,(x)~ H(x)-√2-e H2(x) 3. Bessel函数J(x)的基本性质(这里仅仅讨论整数阶 Bessel函数) (1)生成函数(母函数,复习) ∑J(x)="(0<<∞) 特别地,令二=,有m0=∑J(x)em 证明 则 k!(2 (-) l=0k=0 ∑ k= lsk /ik! k!(2 (-1) k=0m6k!(k+n)!2 "+∑∑ 6=l(-n)!(2 ∑J、(x)2"+∑(-1)"Jn(x)="=∑J(x)="+∑(-)y"(-1)J、(x) (2)平面波按柱面波的展开(匹配、归化、一统描述)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 6 (1)(2) H (0) ( 0, 0).        (B). x 很大 ( ) x  时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 J ( ) ~ cos . 2 4 x x x             2 N ( ) ~ sin . 2 4 x x x             (1) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x             (2) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x              3. Bessel 函数 J ( ) n x 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） 1 2 J ( ) (0 ). x z z n n n e x z z               特别地，令 i z e   ，有 sin J ( ) . ix in n n e x e       证明：   1 2 0 2 0 1 , ! 2 1 , ! 2 x l z l l x k k z k k x e z l x e z k                                则：             1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 ! ! 2 1 1 ! ! 2 ! ! 2 1 1 !( )! 2 !( )! 2 x x x k l k z z z z l k l k k k l k l k l k l k k l k l k l k l n n k n l n n k n l n x e e e z l k x x z z l k l k x x z z k k n l l n                                                                                         0 1 0 1 J ( ) ( 1) J ( ) J ( ) ( 1) ( 1) J ( ) J ( ) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n x z x z x z x z x z                           （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）

J (x) e Jo(x)+22Jm(kp)i" cos(me) 这里已用到了Jn(x)=(-)Jn(x)和em+(-1)me-m=2mcos(m (3)加法公式J(x+y)=∑J(x)n-(y) 证明 ∑J(x+y)",又 ∑J(x)2∑(y)=∑∑J()J() 令k=n+1,则 所以,比较两者得J(x+y)=∑J2(x)J-(0y) (4)积分公式 由 irsina J,(x)e得展开系数为 J, (x= de 2 cos(xsin 0-ne)do cos(ne-xsin e)de de de 第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零:第三行是第一行的→+x/2 (5)J(x)的零点[方程J(x)=0的根] (A).J,(x)的零点有无限多个,且x≠0的零点都是一级零点x"(n=1,2,3

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 7 cos 1 ( ) 2 0 1 J ( ) J ( ) 2 J ( ) cos( ). i ikz ik x t ie t t m m x k m m m m e e e x t x k i m                     这里已用到了 J ( ) ( ) J ( ) m m m x x    和 ( ) 2 cos( ). m im m im m i e i e i m         （3）加法公式 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y       证明：   1 2 J ( ) , x y z z n n n e x y z         又               1 1 1 2 2 2 J J J J . x y x y z z z z z z n l n l n l n l n l n l e e e x z y z x y z                         令 k  n l ，则           1 2 J J J J . x y z z k n n k n k n k n k n k e x y z x y z                    所以, 比较两者得 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y       （4）积分公式 由 sin J ( ) ix in n n e x e       得展开系数为       sin sin cos cos 1 1 J ( ) d d 2 2 1 1 cos sin d cos sin d 2 2 = d d . 2 2 ix in ix in n n n ix in ix in x e e e x n n x i i e e                                                               第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的      / 2. （5） J ( ) x  的零点[方程 J ( ) 0 x   的根] (A). J ( ) x  的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 ( ) ( 1,2,3, ) n x n   :

Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaa Phys FDU J, (x)cos (x>1) 24 x=0为J,(x)(v≠0)的v级零点 J(x)~ (v≠0) r(v+1) (B)J(x)的零点必正负成对:这是因为J(x)具有奇(偶)对称性,即 J(-x)=(-1)"J(x),因此可以只讨论正零点。 (C).阶数相差为1[J、(x)与J1(x)或J(x)]时,正零点必两两相间。 证明思路:设ab为J(x)的相邻零点,作辅助函数y=xJ,(x),根据微分中 值定理,当y(a)=y(b)=0时,必有a0n=1,2,…),均为J(x)之一阶零点。 注4:因为J(x)=-J1(x),所以x=xm)(n=12…),即J(x)的极值点正是J(x) 的零点。 (6)Jn(x)的图像(衰减式震荡函数) Mathematics

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 8 2 J ( ) ~ cos ( 1). 2 4 x x x x             x  0 为 J ( ) x  （   0 ）的  级零点: 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x              . (B). J ( ) x  的零点必正负成对：这是因为 J ( ) x  具有奇（偶）对称性，即 J ( ) ( 1) J ( ) x x       ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( ) x  与 1 J ( ) x   或 1 J ( ) x   ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a b, 为 J ( ) x  的相邻零点，作辅助函数 y x x J ( )    ，根据微分中 值定理, 当 y a y b ( ) ( ) 0   时, 必有 a c b   , 使得 y c ( ) 0.  再由递推公式 1 ( )' x Z x Z       可以知道， J ( ) x  的零点之间有 1 J ( ) x   的零点。 (D). 1 J ( ) x   的最小正零点必大于 J ( ) x  的最小正零点 ( 0, 0   x 除外）。 证明思路：已知 x  0 为 1 J ( ) x   的 n 1 级零点。设 a 为 1 J ( ) x   的最小正零点， 作辅助函数 1 1 y x x J ( ),      由 y y a (0) ( ) 0,   必有 y c'( ) 0,  而取 c 在 0 ,  c a 再由 1 ( )' x Z x Z       可知, c 必为 J ( ) x  的零点。 注 1：J ( ) m x 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J ( ) m x 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J ( ) m x 的正零点即 J ( ) 0 m x  的根为 ( ) ( 1,2, ). m n x n  注 3：J' ( ) 0 m x  ，i.e，导数为零的点 ( ) 0( 1,2, ) m n x n   ，均为 J' ( ) m x 之一阶零点。 注 4： 因为 0 1 J' ( ) J ( ), x x   所以 (0) (1) = ( 1,2, ), n n x x n  即 0 J ( ) x 的极值点正是 1 J ( ) x 的零点。 （6） J ( ) m x 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics：

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU J0=Plot BesselJ[ 0, x.x, 0, 12;J1=Plot[BesselJ[1, x,x, 0, 1231 J2=PlotBesselJ2, x],x, 0, 12; J3=Plot [BesselJ3, x,x, 0, 123; Show[J0, J1, J2,J3] 10 4.本征值问题 (1)方程 柱坐标系下 Laplace方程经变量分离后,它的径向函数满足 pR(p)+pR(p)+(4p2-m2)R(p)=0 其标准形式为 其中m是已知常数(由Φ的本征值问题确定),即m=0,1,2…,参数≥0待定(对 于另外一类物理问题,4<0,见下节)。此方程是下列 Sturm- Liouville方程 dx lk(x)y(x]-q(x)y(x)+1p(x)y(x)=0(asxsb) 的特例,其中K()=p因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了 (2)边界条件 设p的变化区间是0≤p≤b(即物理问题是在半径为a的圆柱体内),上面 的方程如果要构成本征值问题,则需附加如下边界条件之 1)k(p)=0=0:R=0有界 2)A(p)b≠0:齐次边界条件:Rl=b=0或Rlp=b=0或(aR+BR)l2=0 (3)解方程pR'(P)+pR()+(p2-m2kR)=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 9 J0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,12}];J1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,12}]; J2=Plot[BesselJ[2,x],{x,0,12}];J3=Plot[BesselJ[3,x],{x,0,12}]; Show[J0,J1,J2,J3] 4. 本征值问题 （1）方程 柱坐标系下 Laplace 方程经变量分离后，它的径向函数满足   2 2 2       R R m R   ( ) ( ) ( ) 0,     其标准形式为 2 d d ( ) ( ) ( ) 0, d d R m R R                  其中 m 是已知常数（由  的本征值问题确定），即 m  0,1,2, , 参数   0 待定（对 于另外一类物理问题，   0，见下节）。此方程是下列 Sturm-Liouville 方程     d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d k x y x q x y x x y x a x b x        的特例，其中 k( ) .    因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。 （2）边界条件 设  的变化区间是 0    b （即物理问题是在半径为 a 的圆柱体内），上面 的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： 0 1). ( ) 0 : k     R  0有界 ； 2). ( ) 0 : b k     齐次边界条件： | 0 R  b  或 ' | 0 R  b  或 ( ' ) | 0.   R R   b （3）解方程 ( ) ( )   ( ) 0 2 2 2  R   R     m R  

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU 设>0记√p=x,R()=y(x),代入上式得: x y +xyt y=0 这是m阶 Bessel方程,其解为 (x)=CJ(x)+C2Nn(x),或者R)=CJn(Ap)+C2Nn(Ap) a).有界:要求C2=0,解为Rp)=CJ(Ap) b)对于第一类齐次边界条件m=0:R(plm=Cn(mb)=0→J(√Amb)=0 J()的正零点记为x",则:mb=xm(m=12,)→=1m=x即为 b 本征值,R(P)=R(p)=J(xm2)为本征函数,n为量子数。特别地,当m=0时, J(x0=0)=1,矛盾于本征值方程J(b)=J(x0)=0.所以 c)对于第二类齐次边界条件R=0:R(p=C、mn(√灿b)=0 →Jn(b)=0,J(x)的正零点记为到m,则: √b=x(-12,=2-1b R(p)=R, (p)=J (lm) 特别地,当m=0时,=√b=0也是它的本征值,相应的本征函数为R(p)=1 d)对于第三类齐次边界条件(aR+R)=b=0,可以进行相似的讨论(思考题 (4)正交性 J (xm p)J (m) P)pdp=0 (n*n)cRIps=0 ∫n(x2)(x2)则=0(m≠)==0 注意:当m=0时,=、如b=0不是J(x2)=1的本征值,而=如b=0是 Ja(e02)=0的本征值,本征函数为J(x2)=1 (5)模方

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 10 设   0, 记     x R y x , ( ) ( ) ，代入上式得：   2 2 2 x y xy x m y       0. 这是 m 阶 Bessel 方程，其解为： 1 2 ( ) J ( ) N ( ), m m y x C x C x   或者 1 2 ( ) J ( ) N ( ). R C C      m m 0 a R ).  有界: 要求 C2  0，解为 1 ( ) J ( ). R C    m b). 对于第一类齐次边界条件 0: b R   1 ( ) J ( ) 0 R C b    b   m J ( ) 0 m   b ， J ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n   2 ( ) ( ) m m n n x b            即为 本征值， ( ) ( ) ( ) J ( ) m R R x n m n b      为本征函数，n 为量子数。特别地，当 m  0 时， (0) 0 0 J ( 0) 1 x   ，矛盾于本征值方程 (0) 0 0 0 J ( ) J ( )=0, b x  所以 2 (0) (0) >0. n n x b         c). 对于第二类齐次边界条件 0: b R    1 ( ) J' ( ) 0 R C b    b m    J' ( ) 0 m   b ，J' ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n   ， 2 ( ) ( ) m m n n x b           ， ( ) ( ) ( ) J ( ). m R R x n m n b      特别地，当 m  0 时， (0) 0 x b    0 也是它的本征值，相应的本征函数为 R( ) 1.   d ). 对于第三类齐次边界条件   0 b R R        ，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b          0. b R    ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b          0. b R      注意：当 m  0 时， (0) 0 x b    0 不是 (0) 0 0 J ( ) 1 x b   的本征值, 而 (0) 0 x b    0 是 ' (0) 0 0 J ( ) 0 x b   的本征值, 本征函数为 (0) 0 0 J ( ) 1. x b   （5）模方