复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Chapter13柱坐标下的分离变量法 Bessel函数 Abstracts 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Normann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 a Ou 1 au au 即: 0 (2) 只要实空间可分离变量,就可令(p,g,z)=R(p)D(q)Z(),将其代入方程(2)得 cz (pR)+当Φ"+Rz"=0 (3) ×(3)得 P(.p RΦZ R 由这种分离变量得: "+Ad=0. P(pR) 方程(5)与周期性边界条件 dp(0)=d(2x)d(0)=d(2丌) 构成本征值问题。解得:n=m2(m=0,1,2,3…),Φn(q)={ coS mpp, Sin mgp 方程(6)即为 P(pR)p2z”2分离变量(pR)m2z PR p Z B2R"+pR'+(up2-m)R 这两个方程,先求解哪一个以及μ如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R()构成本征值问题,则 PR+pR+(up2-m)R

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z              = + + =         （1） 即： ( ) 2 2 1 1 0. zz u u u u        = + + = （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入方程（2）得： ( ) 2 0. Z RZ R R Z        +  +  = （3） 2 (3) R Z    得： ( ) 2 ' . R Z R Z         + = − =  （4） 由这种分离变量得： ( ) 2 0. (5) ' . (6) R Z R Z       +  =       + =  方程（5）与周期性边界条件  =   =  (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m = = m m ( ) {cos ,sin }.  = m    m m 方程（6）即为 ( ) 2 2 R ' Z m R Z      + =  分离变量 ( ) 2 2 ' . R m Z R Z       − = − = − 得： ( ) 2 2 2 0. 0. Z Z R R m R       − =     + + − =  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则 ( ) 2 2 2    R R m R   + + − = 0

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 式中μ的取值范围不同,方程解的形式与性质不同。 1)4=0:p2R"+pR-m2R=0,即为 Euler eq 220+pR+1()-m]=0 (7) dr dy(x)dx 记 √a √y 则: dp dx dp R(p)=y(x) R"=E2=(y)=√=y 代入(7)得(的量纲为1/p2,这里将径向变量无量纲化了,相当于取=1) x2y+xy2+(x2-m2)y=0,即为m阶Besg 3)<0:令=-k2,代入pR"+pR+(yp2-m2)R=0得 PR+pR(kP2+m)R=0 (8) 记kp=x,R(p)=y(x),代入(8)得: x2y”+xy-(x2+m)y=0即为虚宗量 Bessel e.(9) 令:ⅸx=t,y(x)=(1)代入(9)得 r”+1d+(2-m2)=0.即为 Bessel eq 我们假设R()构成了S-L型本征值问题,即径向有自然、周期或齐次边界 条件,从而u=AH,R=R再解出Z=2(),得2)=∑AR(p)Z()m 2.柱坐标系下的非稳定问题(3+1D,振动、输运方程) ln(21)-aVl(,)=0 (7,)-a2Vu(,D)=0 只要时空可分离变量,就可令u(p,,z,D)=T(t)(p,O,z),将其代入上式得: T”V2 V2V ' T

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 2 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1) 0 :  = 2 2   R R m R   + − = 0, 即为 Euler eq. 2) 0 :   ( ) 2 2 2    R R m R 0.     + + − =     （7） 记： ( ) ( ) x R y x     =   = 则： ( ) d d ( ) d , d d d d d d d , d d d d R y x x R y x R y x R y y x             = =  =          = = = =  代入（7）得（  的量纲为 2 1/ ,  这里将径向变量无量纲化了，相当于取  =1 ） ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + + − = 0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3) 0 :   令 2  = −k ，代入 ( ) 0 2 2 2  R+ R+  − m R = 得 ( ) 2 2 2 2    R R k m R   + − + = 0. （8） 记 k x R y x   = = , ( ) ( ) ，代入（8）得： ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + − + = 0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix t y x t = = , ( ) ( )  代入（9）得 ( ) 2 2 2 t t t m      + + − = 0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R( )  构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而 , .   = = n n R R 再解出 ( ), Z Z z n = 得 ( , , ) ( ) ( ) . im nm n n nm u z A R Z z e     = 2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0. tt t u r t a u r t u r t a u r t  −  =   −  = 只要时空可分离变量，就可令 u z t T t V z ( , , , ) ( ) ( , , )     = ，将其代入上式得： 2 2 2 2 2 2 ; . T V k a T V T V k a T V    = = −       = = − 

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得 Tm+akT=o 容易求解) Jthe lst eq. is the wave eq, it is damping if Imk2*0 T+akt=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to id 和 2+k2T=0 此为Hmhh程,即:(p)+py++ky=0 只要实空间可分离变量,就可令(p,,z)=R(p)D(q)Z(x),将其代入上式得 ①"+md=0. z"-=0 p2R"+pR+|(2+)p 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 Bessel函数[圆)柱函数] 1. Bessel函数 设p√R2+=x,R()=y(x),则一般地[如果Φ()中没有周期条件,则v 可以不为整数] xy+(x2-y2)y=0=y(x)=A,(x)+BNx), 其中:J(x)=∑ k= kl.(v+k+1) N(x)= (x)cos VT-J_(x) (v+ integer, see chapt. 8) N (x)=lir J (xco J,(x) (v=n integer, see chapt. 8, p 16) In J,(x):v阶(第一类) Bessel函数; N(x):v阶(第二类)Besd函数

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i   + =       + =    the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2  + = V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即： ( ) 2 2 1 1 0. V V V k V   zz     + + + = 只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入上式得： ( ) 2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R       +  =      − =    + + + − =      同样要求对 2 k +  的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x + = = , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数] ( ) 0 2 2 2 x y + xy + x − y =  解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( ) = +   ， 其中： ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x       − − =  ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n       − → − = = ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU v≠整数,J(x)和J_(x)线性无关解; =m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, Nn(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,,(x)和N,(x)都是实函数,现在再引入两个复函数 H(x)=J,(x)+N(x)第一种 Hankel函数; H12(x)=J(x)-N,(x),第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx、(2).sinx,(3)cosx+ I SInx=e"、(4)cosx- I sinx=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh x,(2) sinh x, (3) cosh+ sinha=e,(4) cosh- sinh x=e,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 'Z)'=xz, Z+-Z=Z 2Z1=Z,1-Z (xz.)=-x"z z,=2-1+Z Z代表J,N,H,H2) 证明:例如,J,(x)= kr(+k+1)(2 v+2k-1 (x) (2v+2k)x2 k!(v+k+1)2+26 k=6k!I(v-1+k+1)2 即:(xZ)=xZ,…同理又有:(xz)=-xZ 特例:J=-J→J()45=1-J(x),((0)=1见下其实是定义 (z)=xZ-→「+(5)d5=x(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x      − = = 整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =  + 是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = + ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = − ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2). sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e− + = − = 都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0 + = 的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的特解有 (1).cosh ,(2). sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e − + = − = ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式 ( ) ( ) 1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z         − − − +  =    = −  1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x         − +   + =     − = −  Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x         − + − +   = −   = +   Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    def. ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k               + − − + + − + − = = − + − = = =  + +  − + +   cal. 即： ( ) 1 x Z x Z ' .     = − 同理又有： ( ) 1 x Z x Z '     − − = − + . 特例： 0 1 J' J = − 1 0 ( ) 0 J 1 J ( ) x  = −  d x  , 0 (J (0) 1 = 见下,其实是定义). ( ) = −1      x Z x Z ( ) 1 1 1 0 J J ( ) x d x x        + +  =  +

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU (2)渐近行为(定性分析) (A).x很小(x→>0)时, J,(x)= kir(v+k+1)(2, J,(x) (v≠0) N(x)==In+CJ( m-n-1)(x)m 一m+2n 其中,C=l(1-h=0572157-,称为欧拉(Eukr)常数 No(x)--In N,(x) r()(x 2 r(v)x 2 In 丌2 H12(x)-/(e)/x) (v≠0) 2 Jx)-1-(3→J(0)=1(上述特例积分时用过此) J,(x) (v≠0)→J,(0)=0(v≠0) r(v+1)(2 可见x=0并非J(x)之零点,而是J,(0)之v阶零点(≠0) (v=0,v≠0)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 5 （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( 0) x → 时， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    2 0 J ( ) ~ 1 ; 2 1 J ( ) ~ ( 0). ( 1) 2 x x x x         −                 +   2 1 0 2 2 1 ( 1)! N ( ) ln J ( ) 2 ! 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( )! ! 2 2 2 m n m m m n m n n m n m x m n x x C x n x n m n n m n    − + − = − − +  =     − − = + −         −         − + + + + + + +         − −           其中， ln 0.5772157 1 lim 1  =        − = → n k n n k C 称为欧拉（Euler）常数. 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 ( ) N ( ) ~ ( 0). 2 x x x x       −          −       (1) 0 (1) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −         −       (2) 0 (2) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −  −              2 0 J ( ) ~ 1 2 x x   −     0 J (0) 1 = (上述特例积分时用过此). 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x           +    J (0) 0 ( 0)  =   . 可见 x = 0 并非 0 J ( ) x 之零点，而是 J (0)  之  阶零点 ( 0)   . 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 N (0) ( 0, 0). ( ) N ( ) ~ ( 0) 2 x x x x          −      = − =      −      

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Hx2(O)=∞(v=0,v≠O) (B)x很大(x→∞)时[衰减式震荡函数,证明见教材§13.5 J,(x)~ coSI x N,(x) 24 r(-24m(x-、2号 3. Bessel函数J(x)的基本性质(这里仅仅讨论整数阶Bese函数) (1)生成函数(母函数,复习) =∑J(x)2"(0<<∞) 特别地,令二=e,有e=∑J(x)em 证明: 则 e4-)=:=( 1-k :(+(一 均2k(k+n)(2 =0n=-1 (-n)2 ∑J(x)2”+∑(-1)"J(x)="=∑J(x)="+∑(-l)"(-1)"J(x)2 J,(x) (2)平面波按柱面波的展开(匹配、归化、一统描述 6

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 6 (1)(2) H (0) ( 0, 0).  =  =    (B). x 很大 ( ) x →  时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 J ( ) ~ cos . 2 4 x x x         − −   2 N ( ) ~ sin . 2 4 x x x         − −   (1) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x         − −   (2) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x       − − −     3. Bessel 函数 J ( ) n x 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） 1 2 J ( ) (0 ). x z z n n n e x z z   −      =− =     特别地，令 i z e  = ，有 sin J ( ) . ix in n n e x e    =− =  证明： ( ) 1 2 0 2 0 1 , ! 2 1 , ! 2 x l z l l x k k z k k x e z l x e z k −  =  − − =     =        −    =        则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 ! ! 2 1 1 ! ! 2 ! ! 2 1 1 !( )! 2 !( )! 2 x x x k l k z z z z l k l k k k l k l k l k l k k l k l k l k l n n k n l n n k n l n x e e e z l k x x z z l k l k x x z z k k n l l n − − +   − − − = = + +     − − = = = = + + − + −    − = = = =− −   =  =     − −     = +         − −     = +     + −     =         0 1 0 1 J ( ) ( 1) J ( ) J ( ) ( 1) ( 1) J ( ) J ( ) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n x z x z x z x z x z  −  − − − − − = =− = =−  =− + − = + − − =      （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU e2=∑Jm(x)r t=k e J(x)+2∑Jn(kp)”cos(mB) 这里已用到了Jn(x)=(-)Jn(x)和em+(-1)mem=2mcos(mO) (3)加法公式J(x+y)=∑J(x)-(y) 证明:e(-)=SJ(x+y,又 把=一 e)=e-y)-)=∑J,()2∑1()=∑∑(x)1()2 令k=n+l,则 =∑∑J(x)-n(y)2=∑∑J(x)(y) n=-∞k= n=-k= 所以,比较两者得J(x+y)=∑J4(x)J(y k=-∞ (4)积分公式 由em=∑J(x)em得展开系数为 ixsine -ine de -isin b+in 2 cos(x sin@-ne)de=.cos(ne-xsin)de eesd0′2r e -rose+in d e 第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零;第三行是第一行的→+/2 (5)J,(x)的零点方程J,(x)=0的根] (A).J(x)的零点有无限多个,且x≠0的零点都是一级零点x(n=12,3,…)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 7 cos 1 ( ) 2 0 1 J ( ) J ( ) 2 J ( ) cos( ). i ikz ik x t ie t t m m x k m m m m e e e x t x k i m       =  − = =−  = = = = = +   这里已用到了 J ( ) ( ) J ( ) m m m x x − = − 和 ( ) 2 cos( ). m im m im m i e i e i m    − − + − = （3）加法公式 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  证明： ( ) 1 2 J ( ) , x y z z n n n e x y z + −  − =− = +  又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 J J J J . x y x y z z z z z z n l n l n l n l n l n l e e e x z y z x y z + − − −     − − − + =− =− =− =− =  = =     令 k = n+l ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 J J J J . x y z z k n n k n k n k n k n k e x y z x y z + −     − − − =− =− =− =− = =     所以, 比较两者得 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  （4）积分公式 由 sin J ( ) ix in n n e x e    =− =  得展开系数为 ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos 1 1 J ( ) d d 2 2 1 1 cos sin d cos sin d 2 2 = d d . 2 2 ix in ix in n n n ix in ix in x e e e x n n x i i e e                                     − − + − − − − + − + − − = = = − = − − =       第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的    → + / 2. （5） J ( ) x  的零点[方程 J ( ) 0 x  = 的根] (A). J ( ) x  的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 ( ) ( 1,2,3, ) n x n  = :

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU coS|x一 (x>1) 24 x=0为J(x)(v≠0)的v级零点 J,(x) (v≠0) (B)J(x)的零点必正负成对:这是因为J,(x)具有奇(偶)对称性,即 J(-x)=(-1)J,(x),因此可以只讨论正零点。 (C)阶数相差为1[J,(x)与J(x)或J(x)]时,正零点必两两相间 证明思路:设ab为J,(x)的相邻零点,作辅助函数y=xJ,(x),根据微分中 值定理,当y(a)=y(b)=0时,必有a0(n=1,2,…),均为Jn(x)之一阶零点。 注4:因为J(x)=-J(x,所以=x(n=1,2…),即J(x)的极值点正是J(x) 的零点。 (6)Jn(x)的图像(衰减式震荡函数) Mathematics

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 8 2 J ( ) ~ cos ( 1). 2 4 x x x x         − −   x = 0 为 J ( ) x  （   0 ）的  级零点: 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x           +   . (B). J ( ) x  的零点必正负成对：这是因为 J ( ) x  具有奇（偶）对称性，即 J ( ) ( 1) J ( ) x x    − = − ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( ) x  与 1 J ( ) x  − 或 1 J ( ) x  + ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a b, 为 J ( ) x  的相邻零点，作辅助函数 y x x J ( )  =  ，根据微分中 值定理, 当 y a y b ( ) ( ) 0 = = 时, 必有 a c b   , 使得 y c ( ) 0. = 再由递推公式 1 ( )' x Z x Z     = − 可以知道， J ( ) x  的零点之间有 1 J ( ) x  − 的零点。 (D). 1 J ( ) x  + 的最小正零点必大于 J ( ) x  的最小正零点 ( 0, 0   =x 除外）。 证明思路：已知 x = 0 为 1 J ( ) x  + 的 n+1 级零点。设 a 为 1 J ( ) x  + 的最小正零点， 作辅助函数 1 1 y x x J ( ),   + = + 由 y y a (0) ( ) 0, = = 必有 y c'( ) 0, = 而取 c 在 0 ,  c a 再由 1 ( )' x Z x Z     = − 可知, c 必为 J ( ) x  的零点。 注 1：J ( ) m x 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J ( ) m x 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J ( ) m x 的正零点即 J ( ) 0 m x = 的根为 ( ) ( 1,2, ). m n x n = 注 3：J' ( ) 0 m x = ，i.e，导数为零的点 ( ) 0( 1,2, ) m n x n  = ，均为 J' ( ) m x 之一阶零点。 注 4： 因为 0 1 J' ( ) J ( ), x x = − 所以 (0) (1) = ( 1,2, ), n n x x n = 即 0 J ( ) x 的极值点正是 1 J ( ) x 的零点。 （6） J ( ) m x 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics：

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Jo=Plot[Bessel 0, x],x, 0, 12;J1Plot[BesseLl, x], x, 0, 1231 J2=Plot BesselJ 2, x],x, 0, 12;J3=Plot[BesselJ 3, x ,x, 0, 1291 Show[J0, J1,J2,J31 处 4.本征值问题 (1)方程 柱坐标系下 Laplace方程经变量分离后,它的径向函数满足 P2R"(P)+pR'(P)+(up2-m')R(p)=0, 其标准形式为 R(P)+upR(P=0, 其中m是已知常数(由Φ的本征值问题确定),即m=0.,2,…,参数M≥0待定(对 于另外一类物理问题,u<0,见下节)。此方程是下列Stum- Liouville方程 [4(x)y(x)]-q(x)y(x)+p(x)y(x)=0(a≤x≤b) 的特例,其中k(p)=p.因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了 (2)边界条件 设p的变化区间是0≤p≤b(即物理问题是在半径为a的圆柱体内),上面 的方程如果要构成本征值问题,则需附加如下边界条件之一: 1).k(p)0=0:R2有界 2).k(p)≠0:齐次边界条件:R==0或Rl=0或(aR2+BR)p=0 (3)解方程尸R)+pR(p)+(yp2-m2)Rp)=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 9 J0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,12}];J1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,12}]; J2=Plot[BesselJ[2,x],{x,0,12}];J3=Plot[BesselJ[3,x],{x,0,12}]; Show[J0,J1,J2,J3] 4. 本征值问题 （1）方程 柱坐标系下 Laplace 方程经变量分离后，它的径向函数满足 ( ) 2 2 2       R R m R   ( ) ( ) ( ) 0, + + − = 其标准形式为 2 d d ( ) ( ) ( ) 0, d d R m R R           − + =     其中 m 是已知常数（由  的本征值问题确定），即 m = 0,1,2, , 参数   0 待定（对 于另外一类物理问题，   0，见下节）。此方程是下列 Sturm-Liouville 方程   ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d k x y x q x y x x y x a x b x  − + =    的特例，其中 k( ) .   = 因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。 （2）边界条件 设  的变化区间是 0    b （即物理问题是在半径为 a 的圆柱体内），上面 的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： 0 1). ( ) 0 : k   = = R =0有界 ； 2). ( ) 0 : b k   =  齐次边界条件： | 0 R =b = 或 ' | 0 R =b = 或 ( ' ) | 0.   R R + = =b （3）解方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2  R  + R  +  −m R  =

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 设>0,记、D=x,R(p)=y(x),代入上式得: y+xy+ 这是m阶 Bessel方程,其解为: y(x)=CJu(x)+CN(x),或者R(p)=CJn(Ap)+CNn(D) a).R有界:要求C2=0,解为R(p)=CJ(Ap) b)对于第一类齐次边界条件风(==0:R(pm=CJ(mb)=0=→J√mb)=0 Jn(x)的正零点记为xm),则:√b=xm)(m=12,)→H=1m b/即为 本征值,R(p)=R(p)=J(xm2)为本征函数,n为量子数。特别地,当m=0时, J(x2=0)=1,矛盾于本征值方程J(√b)=J(x)=0,所以A= b c)对于第二类齐次边界条件R=0:R(p)=C1如n(mb)=0 →J(mb)=0,J1(x)的正零点记为xm,则 √如b=xm)(n=12…),H=m R(P=R(e)=j(cm py 特别地,当m=0时,x 1b=0也是它的本征值,相应的本征函数为R(p)=1 d)对于第三类齐次边界条件(aR+R)=0,可以进行相似的讨论(思考题) (4)正交性 ∫n(xmB)(x)p=0(m≠n)∈R=0 ∫n(xmJ(e)p=0(m≠n)∈R=0 注意:当m=0时,x=b=0不是J(x2)=1的本征值,而x=√b=0是 (G0)2)=0的本征值,本征函数为J(02)=1 (5)模方

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 10 设   0, 记   = = x R y x , ( ) ( ) ，代入上式得： ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + + − = 0. 这是 m 阶 Bessel 方程，其解为： 1 2 ( ) J ( ) N ( ), m m y x C x C x = + 或者 1 2 ( ) J ( ) N ( ). R C C    = + m m 0 a R ). = 有界: 要求 C2 = 0，解为 1 ( ) J ( ). R C   = m b). 对于第一类齐次边界条件 0: b R  = = 1 ( ) J ( ) 0 R C b   =b = = m J ( ) 0 m  = b ， J ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n = = 2 ( ) ( ) m m n n x b      = =     即为 本征值， ( ) ( ) ( ) J ( ) m R R x n m n b    = = 为本征函数，n 为量子数。特别地，当 m = 0 时， (0) 0 0 J ( 0) 1 x = = ，矛盾于本征值方程 (0) 0 0 0 J ( ) J ( )=0, b x = 所以 2 (0) (0) >0. n n x b    =     c). 对于第二类齐次边界条件 0: b R  =  = 1 ( ) J' ( ) 0 R C b    =b m  = = J' ( ) 0 m  = b ，J' ( ) m x 的正零点记为 ( ) m n x ，则： ( ) ( 1,2, ) m n b x n = = ， 2 ( ) ( ) m m n n x b     = =     ， ( ) ( ) ( ) J ( ). m R R x n m n b    = = 特别地，当 m = 0 时， (0) 0 x b = =  0 也是它的本征值，相应的本征函数为 R( ) 1.  = d). 对于第三类齐次边界条件 ( ) 0 b R R    = + = ，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b      =    0. b R  =  = ( ) ( ) 0 J ( )J ( ) d 0 ( ) b m m m n m n x x n n b b      =    0. b R  =  =  注意：当 m = 0 时， (0) 0 x b = =  0 不是 (0) 0 0 J ( ) 1 x b  = 的本征值, 而 (0) 0 x b = =  0 是 ' (0) 0 0 J ( ) 0 x b  = 的本征值, 本征函数为 (0) 0 0 J ( ) 1. x b  = （5）模方