复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》教学课件_第十一章 积分变换法 Methods of integral transforms

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU Chapter 11积分变换法 、无界空间的有源导热问题- Fourier变换法 定解闻题:/4(~1W(k,t) n(x,1)分(ik)i(k,1)=-k2i(k, ,(k,1)+a2k2i(k,1)=0, i0=(k) 解得(k,1)=(k)e- 因为(k)+>以(x), k2t av2m(利用[ e- cos bxdx=1e如, 利用卷积定理,得 V(, t) p() d5=p() p(G(x,t;5,0d5

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 11 积分变换法 一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法 定解问题:   2 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ). t xx t u x t a u x t f x t x u x                  2 2 0 0 0, ( , ), ( ). 0. t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v                               u x t w x t v x t ( , ) ( , ) ( , ).   1．一维无源导热问题   2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t xx t w x t a w x t x w x              解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换: 1 ( , ) ( , ) d ; 2 1 ( , ) ( , ) d . 2 ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k                  w x t w k t ( , ) ( , ),    2 2 ( , ) ( , ) ( , ). w x t ik w k t k w k t xx    2 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t t w k t a k w k t w k          解得 2 2 ( , ) ( ) . a k t w k t k e    因为 ( ) ( ) ~  k  x ， a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1    (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d        ）， 利用卷积定理，得     2 2 2 2 4 4 1 1 1 ( , ) ( ) d ( ) d 2 2 2 ( ) ( , ; ,0)d , x x w x t e e a t a t a t a t G x t                              

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU (x-5) 其中G(x,t;=,0) 容易验证,G(x,t,5,0)是问题 u, (x1)-a u n(x,1)=0(-∞) l-=o(x-5) 的解。 性质:G(x,t;5,r)=G(,;,x,z) G(x,t;5,)=G(x,t-z;x0)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 2 其中   2 2 4 1 ( , ; ,0) . 2 x G x t e a t a t       容易验证， G(x,t;,0) 是问题                 ( ) ( , ) ( , ) 0 0 2 u  x  u x t a u x t x t t xx 的解。 G(x,t;,0) 称为一维无源导热问题的基本解（或 Green Function）。 显然，只要找到了 Green Function， 则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义： 在方程为齐次的情况下，在 t  0 时刻，在 x   处放置一个热量为 Q 的 点热源，相当于给定初始温度分布 ( ). Q x c     因此， G(x,t;,0) 就是在时 刻 t  0 ，在 x   处放置了一个热量为 c 的点热源的情况下，在时刻 t 杆上 的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长， G(x,t;,0) 曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是，在任一时刻 t ，杆上的总热量保持不变。即   2 2 2 4 ( , ) ( , ; ,0) . 2 x a t c c u x t G x t c d e d e d c a t                             另外，Green Function 具有性质： G x t G t x ( , ; ,0) ( , ; ,0).    在 t  0 时， G(x,t;,0) 无意义，这反映了热传导的不可逆性。 推广：                  a t x e a t G x t 2 2 4 2 1 ( , ; , ) 是                  ( ) ( , ) ( , ) 0 , 2     u x u x t a u x t x t t t xx 的解。 性质： G x t G t x ( , ; , ) ( , ; , ),      G(x,t;,)  G(x,t ; x,0)

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 2.一维有源零初始条件的导热问题 -avx=f(x,1),(-∞r) 的解 因此,一维无界空间的有源导热问题 l4(x,1)-a2lx(x,1)=f(x1)(∞<x<∝ =(x) 的解为 u(x, 0=w(x, )+v(x,t) P(sG(, t; 5, 0)ds+ f(E, r)G(x, t; 5, r)ds dr G(x,;5,τ)称为一维无界空间导热问题的基本解(或 Green Function)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 3 2．一维有源零初始条件的导热问题   2 0 ( , ), 0. t xx t v a v f x t x v             解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换， 2 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0. t t v k t a k v k t f k t v         此非齐次方程可用 Laplace 变换，或常数变异法求解。得   2 2 0 ( , ) ( , ) . t a k t v k t f k e d       因为 f k f x ( , ) ( , ),                   a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d        ）. 利用卷积定理，有         2 2 2 2 1 4 ( , ) ( , ) d 2 ( , ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d . x a k t a t f k e f e a t f G x t f G x t                                       0 ( , ) ( , ) ( , ; , )d d , t v x t f G x t                  其中       2 2 1 4 ( , ; , ) . 2 x a t G x t e a t            它也是问题                   0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , 0 2 t t xx u u x t a u x t  x   t  x t  的解。 因此，一维无界空间的有源导热问题                ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 u x u x t a u x t f x t x t t xx  的解为 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d d . t u x t w x t v x t           G x t f G x t                  G(x,t;,) 称为一维无界空间导热问题的基本解（或 Green Function）

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 、三维无界空间的静电场问题 静电势l()满足 Poisson方程,即 Vu(r)=ux+u+u =p(r) (-∞(l ik)u(k)=-kui(k) u(F)+(ik,u(k)=-ku(k), p Vu(r)*-k2u(k) l(F)+(ik1)2i(k)=-k2i(k) 设∫(F) P(r) >f(k) i(k)=2f(k) B tos k sin @dkd edg eikrcsesinOdkd8=-rsinrk rk I rosin x dx 2 由卷积定理得,0)=(.= 引入函数G(;r)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 4 二、 三维无界空间的静电场问题 静电势 u(r)  满足 Poisson 方程，即 2 0 ( ) ( ) . xx yy zz r u r u u u            x, y,z   现在用三重 Fourier 变换:                           u k u r e r u r u k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r  xi  yi  zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i    . u r u k ( ) ( ),  2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), xx yy zz u r ik u k k u k u r ik u k k u k u r ik u k k u k          或 2 2    u r k u k ( ) ( ). 设 0 ( ) ( ) ( ), r f r f k     2 1 u k f k ( ) ( ). k  3 3 2 cos 2 2 2 2 0 0 0 cos 0 0 0 1 1 1 1 1 d sin d d d 2 2 1 2 sin sin d d d 2 ik r ikr ikr e k e k k k k k rk e k k rk                                          0 2 1 sin 1 d . 2 x x r x r       由卷积定理得， 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d d . 2 2 4 f r u r f r r r r r r r                      引入函数 1 1 ( ; ) , 4 G r r  r r    

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 并利用f(F) p(r 有 l)1 ∫poG(;r) 显然,G(F;F)= 是非齐次方程 v()=-f()(-∞<x,y,z<∞)的最简单的特殊问题 v2(F)=-6(-F)( ∞<x,V,2<∞ )的解。 我们称GP)=47F-为方程v0)=)(xy=<)的基 本解(或 Green Function) 的物理意义:在空间r点放置一个电量为E0的点电荷 TF-F 此电荷在产点产生的电势为G(F;F).显然,它具有源点r与场点F的交换 对称性:G(F;F) 三、三维无界空间的受迫振动问题 Poisson公式和推迟势公式 现在的定解问题是 n(,1)-avu(F,1)=f(F,1),(-<x,y,z<∞) -0=叭(F,ul=v(F) F,1)-aV2w(F21)=0, v, (F, 1-a-VvF, n=f(r, n) A==(F.w|-。=v(F) →l(,D)=w(,)+v(F2) 自由振动问题 n(F,)-a2V2v(F,1)=0, =(F) (-∞<x,y,z<∞) 解:现在用三重 Fourier变换

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 5 并利用 0 ( ) ( )   r f r    ，有 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( ) ( ; )d . 4 r u r r r G r r r r r                显然， r r G r r         1 4 1 ( ; )  是非齐次方程 ( ) ( ) 2 u r f r         x, y,z   的最简单的特殊问题 ( ) ( ) 2  u r   r  r         x, y,z   的解。 我们称 r r G r r         1 4 1 ( ; )  为方程 ( ) ( ) 2 u r f r         x, y,z   的基 本解 （或 Green Function）. r r G r r         1 4 1 ( ; )  的物理意义：在空间 r   点放置一个电量为 0  的点电荷， 此电荷在 r  点产生的电势为 G r r ( ; ).  显然，它具有源点 r   与场点 r  的交换 对称性： G(r;r ) G(r ;r)        . 三、 三维无界空间的受迫振动问题 Poisson 公式和推迟势公式 现在的定解问题是   2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , , ( ), ( ). tt t t t u r t a u r t f r t x y z u r u r                  2 2 2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). 0, 0. tt tt t t t t t t w r t a w r t v r t a v r t f r t w r w r v v                              u r t w r t v r t ( , ) ( , ) ( , ).   1. 自由振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w r t a w r t w r w r                 x, y,z   解：现在用三重 Fourier 变换：

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU w(k )e dk 求解。 w(k) w(r)e dr 其中F= i1和k Fourier变换后,方程变为 n(k,)+a2k2(k,1) p(k,,=v(k) 解之得, w(k, t)=p(k)cosakt+ y(k)sin akt 下面求解它的原函数,利用 sin ak sin ak sin ak kreose k'singdkdedc p k SS k sin ake sinedkde="sinaksinrkdk ei(r++e-i(r+ak -e(r-a)k-e-i(r-a)k 2r r sin ak sin rkdk 6(r+a)-6(r+a)+6(r-a)+6(r-a) (r-a) 其中,δ(r+a)=0,这是因为r≥0,a>0,因此r+a≠0 因此 m→acm 由卷积定理, akt 4 另外,c0 Saht a sin akt 1 a d(r-ar) v2 a at 由卷积定理

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 6                           w k w r e r w r w k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r  xi  yi  zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i    . Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w k t a k w k t w k w k             解之得， akt ak k w k t k akt sin ( ) ~ ( ) cos ~ ( , ) ~        . 下面求解它的原函数，利用 3 3 2 cos 2 0 0 0 cos 0 0 0 ( ) sin 1 sin 1 sin d sin d d d 2 2 1 1 2 sin sin d d sin sin d 2 2 1 1 1 1 sin sin d 2 2 ik r ikr ikr i r a k ak ak ak e k e k k k k k k ake k ak rk k r e ak rk k r r                                                    ( ) ( ) ( ) d 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) , 2 i r a k i r a k i r a k e e e x r a r a r a r a r r a r                                其中， (r  a)  0 ，这是因为 r  0,a  0 ，因此 r a   0. 因此， sin ( ) . 2 akt r at ak ar     由卷积定理， sin 1 ( ) ( ) ( )d . 4 akt r k r r at r ak a r r             另外， sin 1 ( ) cos , 2 akt r at akt t ak a t r          由卷积定理

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU p(k) cos akt← 4Ta a ∫ (F,1)= 4a at 8(F-P C)6(--a)dr 注意到,只有当产满足条件F一P1=a时,此式中的被积函数才可能不为 零。这条件就是以F点为圆心,at为半径的球面,记之为S。于是,上 式可写成简洁的形式 GD=1[2「.sPd 4ta at Tsar ai 其中,dS是球面S的面积元。上式称为 Poisson公式。 物理意义: Possion公式表明,时刻t,r点的波动情况是由初始条件q(F) 和v(矿)在球面Sa上的值决定的。既然此球面的半径是at,可见扰动是以 速度a传播的。为了清楚地看出三维波动问题的特点,我们设初始扰动只 局限于某一有限区域V[即φ(F)和v(矿)仅在V区域内取非零值],并以d 和D分别表示F点至V的最小距离和最大距离,如图所示。当,d时,Sa 与V尚不相交,(F)和v(F)在球面Sa上都 取零值,所以w(x,t)=0.从物理角度看,这 是因为扰动的前波阵面尚未到达F点,此点仍 D 处于静止状态。当1>时,S与V又不相p 交,同样有w(x,t)=0。从物理角度看,这是 因为扰动的后波阵面己经过去,F点又恢复静 止状态。只有当<1<—时,Sm与V相交, o(F)和v(F)在球面S上取非零值, Poisson 公式中的积分只才可能不为零,扰动到达F点。由此可见,三维波动问题 的解是一种“推迟势”解,且具有清晰的前阵面和后阵面,没有后效现象

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 7 1 ( ) ( )cos ( )d . 4 r k akt r r at r a t r r               1 ( ) ( ) ( , ) ( )d ( )d . 4 r r w r t r r at r r r at r a t r r r r                                注意到，只有当 r   满足条件 r  r   at   时，此式中的被积函数才可能不为 零。这条件就是以 r  点为圆心，at 为半径的球面，记之为 r at S  。于是，上 式可写成简洁的形式： 1 ( ) ( ) ( , ) d d , 4 r r at at S S r r w r t S S a t at at                   其中， dS 是球面 r at S 的面积元。上式称为 Poisson 公式。 物理意义：Possion 公式表明，时刻 t，r  点的波动情况是由初始条件 (r )   和 (r )   在球面 r at S  上的值决定的。既然此球面的半径是 at，可见扰动是以 速度 a 传播的。为了清楚地看出三维波动问题的特点，我们设初始扰动只 局限于某一有限区域 V0 [即 (r )   和 (r )   仅在 V0 区域内取非零值]，并以 d 和 D 分别表示 r  点至 V0 的最小距离和最大距离，如图所示。当 a d t  时， r at S  与 V0 尚不相交， (r )   和 (r )   在球面 r at S  上都 取零值，所以 w(x,t)  0. 从物理角度看，这 是因为扰动的前波阵面尚未到达 r  点，此点仍 处于静止状态。当 a D t  时， r at S  与 V0 又不相 交，同样有 w(x,t)  0 。从物理角度看，这是 因为扰动的后波阵面已经过去， r  点又恢复静 止状态。只有当 a D t a d   时， r at S  与 V0 相交， (r )   和 (r )   在球面 r at S  上取非零值，Poisson 公式中的积分只才可能不为零，扰动到达 r  点。由此可见，三维波动问题 的解是一种“推迟势”解，且具有清晰的前阵面和后阵面，没有后效现象

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 同时振幅在传播过程中与距离的一次方成反比而减小(那么,能量流以与 距离的平方成反比的方式减小,即能量守恒),这种现象也称为 Huygens 现象 2.受迫振动问题 vn(F,1)-a2V2v(F,1)=f(F,1) 0 解: Fourier变换后,方程变为 j(,)+dk(k,1)=(k) 到=。=0,==0 解之得(可以用 Laplace变换法求解) v(k, 1 利用D(k)smna4 y() 4 (-P1-andF’,得到, v(F, 1) f(,r) 4 6|-t+ dt d 其中利用了ax)= (x) (a≠0) 注意到,式中的被积函数只有当r-t+ 0,即r=t 时才 可能不为零,而且从τ的积分限看又必须τ≥0。由此可见,F'必须满足 条件F一P1≤at。这是以产点为球心、at为半径的球体,记之为Tm。在此 条件下,对r积分后,得到 v(0)=[J f(r 这就是受迫振动问题的解

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 8 同时振幅在传播过程中与距离的一次方成反比而减小（那么，能量流以与 距离的平方成反比的方式减小，即能量守恒），这种现象也称为 Huygens 现象。 2. 受迫振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v r t a v r t f r t v v            解：Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v k t a k v k t f k t v v           解之得（可以用 Laplace 变换法求解）   0 ( , ) ( , ) sin d , t f k v k t ak t ak      利用          r r at r r r r ak a akt k        ( )d ( ) 4 sin 1 ( ) ~     ，得到，   0 2 0 1 ( , ) ( , ) d d 4 1 ( , ) d d , 4 t t f r v r t r r a t r a r r f r r r t r a r r a                                                            其中利用了 ( ) ( ) . x ax a    （ a  0 ） 注意到，式中的被积函数只有当  0     a r r t    ，即 a r r t        时才 可能不为零，而且从  的积分限看又必须   0 。由此可见， r   必须满足 条件 r  r   at   。这是以 r  点为球心、at 为半径的球体，记之为 r Tat  。在此 条件下，对  积分后，得到 2 1 1 ( , ) ( , )d . 4 r Tat r r v r t f r t r  a r r a          这就是受迫振动问题的解

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 物理意义:在零初始条件下,时刻t,F点的波动情况由区域TG上的振源 决定,而且就振源T内的F点的振动来说,其发出扰动的时刻是 时刻t比时刻 晚了 。这又一次说明波的传播 速度为a。所以, (r, t) 47a 也称为推迟势公式。 因此,三维无界空间的受迫振动问题 ln(F,1)-avu(F,1)=f(F,1)(-∞0) 其中uo为已知常数。 uo.u= 解:将变量x看作参数,对定解问题进行 Laplace变换, I(x, p)=lu(x,De"'df 得到关于像函数(x,p)的常微分方程 (x,p)-a2n2(x,p)=0,(x>0) 将p看作参数,解方程得到 x,p)=Ce°+C2

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 9 物理意义：在零初始条件下，时刻 t ，r 点的波动情况由区域 r Tat  上的振源 决定，而且就振源 r Tat  内的 r   点的振动来说，其发出扰动的时刻是 a r r t      ，时刻 t 比时刻 a r r t      晚了 a r  r    。这又一次说明波的传播 速度为 a。所以，          r Tat r a r r f r t a r r v r t         ( , )d 1 4 1 ( , ) 2  也称为推迟势公式。 因此，三维无界空间的受迫振动问题                   ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , , 0 0 2 2 u r u r u r t a u r t f r t x y z t t t t t        的解为 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) 1 1 d d ( , )d . 4 4 r r r at at at S S T u r t w r t v r t r r r r S S f r t r a t at at a r r a                                四、Laplace 变换法 例1. 半无限长均匀细杆的导热问题（侧面绝热）   2 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, 0 , 0. t xx x t u x t a u x t x u u u            其中 0 u 为已知常数。 解：将变量 x 看作参数，对定解问题进行 Laplace 变换，     0 u (x, p) u(x,t)e dt pt 得到关于像函数 u(x, p) 的常微分方程   2 0 0 ( , ) ( , ) 0, 0 . xx x pu x p a u x p x u u p           将 p 看作参数，解方程得到， 1 2 ( , ) . px px a a u x p C e C e   

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 利用m(x,p)=0,定出C1=0:由条件。=,定出C2= P P 于是有x(xp)=e2。 现在将x看作参数,对上式进行反演,前面已经讲过 ev"← e4,由相似定理,得 Ypx 2 2a√rt 利用卷积定理,得 进一步,可以作代换a=20G,并引入误差函数er(x)=eda 并利用积分 (x,)可以写成 u(x,1)=uo1-er 例2.一维无界区域受迫振动问题的一般形式是 ln(x,1)-a2n(x,)=f(x,1),(-<x<∞ l0=p(x),u|-=v(x) 解:将变量x看作参数,对定解问题进行 Laplace变换, (P-(2)(xp)=-[p+px)+0() 解得(可用常数变异法、求解公式), y2__p

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 10 利用 lim ( , )  0  u x p p ，定出 C1  0 ；由条件 p u u x 0 0   ，定出 0 2 . u C p  于是有 a px e p u u x p   0 ( , ) . 现在将 x 看作参数，对上式进行反演，前面已经讲过 t p e t e 4 1 2 3 2 1     ，由相似定理，得 2 2 2 2 1 4 4 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 . 2 2 p x a t x a x a t x e e e x a t a t a x              ， 利用卷积定理，得 2 2 2 2 3 4 4 0 2 0 3 0 0 2 ( , ) ( )d d . 2 2 x x t t a a x xu u x t u e H t e a a                  进一步，可以作代换   a x 2  ，并引入误差函数    x x e 0 erf( ) d 2   ， 并利用积分 2 d 0 2        e ，ux,t 可以写成   0 , 1 erf . 2 x u x t u a t               例2. 一维无界区域受迫振动问题的一般形式是   2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). tt xx t t t u x t a u x t f x t x u x u x                 解：将变量 x 看作参数，对定解问题进行 Laplace 变换， 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) . xx p u x p u x p f x p p x x a a                  解得（可用常数变异法、求解公式）， a p y y y y x 2 ( ) 1 2 1 2      