复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第四章解析延拓Γ函数和B函数.doc_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 4 解析延拓  函数和  函数一、解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 1. 零点的定义：设 f (z) 在 a 点及其邻域内解析，如果 f (a) = 0 ，则称 z = a 为 f (z) 的零点。设 ( ) 0 ( ) , n n n f z c z a  = = −  ( ), z a r −  若 f (a) = 0 ，则必有， c0 = c1 == cm−1 = 0， 0. m c  此时，称 z = a 为 f (z) 的 m 阶零点。相应地， ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) =  = = = − f a f a f a  m ， ( ) ( ) 0. m f a  零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。 2. 零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设 z = a 为 f (z) 的零点，若 f (z) 不恒等于 0 ，且在包含 z = a 在内的区域内解析，则必能找到圆 z a − =   ( 0) ，使在圆内除 z = a 外， f (z) 无其它零点 [在多值非解析函数 ( ) ( ) ( ) 1/ f z z a z m = −  中， z = a 虽然为零点，但是又是枝点]。证明：设 z = a 为 f (z) 的 m 阶零点，则 f (z) (z a) (z) m = −  ，其中 (z) 解析，且 ( ) 0. a  由 (z) 在 z = a 连续，即，任给   0 ，存在   0 ，使得当 z − a   时，    ( ) ( ) . z a −  不妨取  = (a) 2 ，由于 (a) − (z)  (z) −(a) ，则得， 1 ( ) ( ) ( ) 0. 2     z a a  − =  由此即证得 f (z) 在 z − a   内除 z = a 外无其它零点。推论 1：设 f (z) 在 D： z − a  R 内解析，若在 D 内存在 f (z) 的无穷多个零点 zn  ，且 zn a n = → lim ，但 zn  a ，则 f (z) 在 D 内恒为 0. 证明： f (z) 在 D 内连续， lim ( ) ( ). z a f z f a → = 若取 z →a 的一个特殊序列，即 zn  ，当然仍有， lim ( ) ( ). n n f z f a → = 而 f (zn ) = 0 ，故 f (a) = 0 ，即 z = a 为 f (z)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 2 的零点，并且是 f (z) 的非孤立零点（即 f (z) 零点的极限点）。在 f (a) 的邻域中总存在无穷多个 f (z) 的零点，根据零点的孤立性原理，必有 f z( ) 0.  推论 2：设 f (z) 在 D： z − a  R 内解析，若在 D 内存在过 a 点的一段弧 l 或含 a 点的子区域 g，在 l 上或 g 内 f (z)  0 ，则在整个区域 D 内 f z( ) 0.  这个推论是显然的，因为在 l 上或 g 内总能找到一个以 z = a 为极限点的序列 zn  ，且 . n z a  推论 3：设 f (z) 在 D 内解析，若在 D 内存在过 a 点的一段弧 l 或含 a 点的子区域 g，在 l 上或 g 内 f (z)  0 ，则在整个区域 D 内 f z( ) 0.  （做一些相互交叠的圆，即得）。 3. 解析函数的唯一性：解析函数的唯一性定理：设在区域 D 内有两个解析函数 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z ，且在 D 内存在一个序列 zn ， 1 2 ( ) ( ). n n f z f z = 若 zn  的一个极限点 ( ) n z = a  z 也落在 D 内，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ). = 证明：只需考虑 ( ) ( ) ( ) 1 2 g z = f z − f z ，由上面的推论一，即可得 g(z)  0 ，即 1 2 f z f z ( ) ( ). = 推论 1：设 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 都在区域 D 内解析，且在 D 内的一段弧或一个子区域内相等，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ). = 例如， sin 2z ，2sin z cosz 在全平面是解析的，又因为 sin 2x = 2sin xcos x ，所以 sin2 2sin cos . z z z = 推论 2：设 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 都在区域 D 内解析，且在 D 内某一点 a 满足 ( ) ( ) f 1 a = f 2 a ， ( ) ( ) ( 1,2, ) ( ) ( ) 1 2 f a = f a n = n n ，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ). = 由上面的条件可知，至少在 a 的一个邻域内， ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 有相同的 Taylor 级数表示式，因此在 a 的这个邻域内， 1 2 f z f z ( ) ( ). = 由推论 1，在区域 D 内， 1 2 f z f z ( ) ( ). =

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 4 3．用函数关系式进行解析延拓-- 函数   − −   0 1 (x) e t dt t x (x  0),  函数，或称第二类 Euler 积分。当 n = 0,1,2,  时， (n +1) = n! (分部积分可得，高等数学知识)。定义复变量 z 的  函数:   − −   0 1 (z) e t dt t z (Re z  0), 因为被积函数可能是多值的，约定正实轴上： arg 0. t = 可证， (z) 在右半平面是解析的，下面我们进行解析延拓。因为， 1 0 0 0 ( 1) d d ( ), t x t x t x x e t t e t x e t t x x    − − − −  + = = − + =    (x  0) 又因为 (z) 在 Re z  0 解析，那么 (z +1) 和 z(z) 在 Re z  0 也解析。所以， (z +1) = z(z) (Re z  0)，或 z z z ( 1) ( )  +  = (Re z  0). 注意到 z (z +1) 在 Re( 1) 0,( 0) z z +   是解析的，可定义 z z z ( 1) ( )  +   (−1 Re z  0,z  0). 这样， (z) 就从 Re z  0 解析延拓到 Re z  −1(z  0). This is also a RR. 类似的，可将其延拓到整个复平面。一般地，定义 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) z z z n z n z z z + +  + + =  +    − (n +1)  Re z  −n,z  0,−1,  ,−n. 这样定义的 (z) 在全平面除 z = 0,−1,−2,  外处处解析， z = 0,−1,−2,  是它的单极点。在整个复平面满足  + =   − − ( 1) ( ) ( 0, 1, 2, ). z z z z  函数的性质： 1). (1) = 1 ; 2).  =        2 1 ; 3). z z z   sin ( )(1− ) = (z  整数) ; 4). 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     5). 2 . 2 1 2 2 1  = −        = −        − 4． 函数（第一类 Euler 积分）由 ( )  − −   − 1 0 1 1 (x, y) t 1 t dt x y (x  0, y  0) 得 ( )  − −   − 1 0 1 1 ( p, q) t 1 t dt p q (Re p  0,Re q  0) 且约定正实轴上：arg t = 0

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 5 arg 1 0. ( − = t) 可以证明  函数与  函数的关系[见教材第四章 p.62 式(4.24) 的证明]： (p q) p q p q  +    = ( ) ( ) ( , ) (Re p  0,Re q  0). 根据  函数的性质，上式在全平面成立（ p  0,−1,−2,  , q  0,−1,−2,  ）. 下面证明 ( ) (1 ) sin x x x     − = (0 1) &  x 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     1 ( ) 0 0 0 0 1 ( ) (1 ) d d ( ) d d , t x s x s t x t x x e t t e s s e s t s t     − − − − − +   − = =    非线性变换: , (0 ,0 ) t s t s     = + =       , , 1 1 s t      = = + + 2 2 2 1 , , ( , ) 1 (1 ) , ( , ) (1 ) , , 1 (1 ) s s s t t t                  −    + + = = =  +     + + ( ) 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ( , ) ( ) d d d d ( , ) 1 1 d d d d (1 ) (1 ) d d d . 1 1 sin s t x x x x x x t s t e s t e s t e e e x                                    − + −     − − −    − − − +  =  + = = + + = = = + +        这里分离变量了，最后一步用了教案第五章 p.23 的留数定理。由第二页的推论 1 可知，当 z  整数时 z z z   sin ( )(1− ) = 仍然成立。取 2 1 z = 得 . 2 1  =        考察   = = − = −    1/ 2 0 z-1 1 0 z-1 B( , ) [ (1 )] d 2 [ (1 )] d . (2 ) ( ) ( ) z z t t t t t t z z z 令 1 (1 ) 2 t = −  得 . ( 1/ 2) ( ) (1/ 2) ) 2 2 1 2 (1 ) d 2 B( , (2 ) ( ) ( ) 1-2 1-2 1 0 1-2 z-1 -1/2  +   = − = =     z z z z z z z z z    利用  =        2 1 即得 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     Home work: 4.2

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