复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》教学课件（WORD版）第五章 定积分计算

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU Chapter5定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 、留数定理和留数的求法( Residue theorem and residue calculations) 1.留数的定义:设=是函数f()的孤立奇点( (isolated singularity),即除过 z==0点以外函数f(z)是解析的,则f(x)在=0的留数定义为 Rey()2元(),其中c为绕的闭曲线(f积分沿正方向进 行)且内部无其它奇点,记号为Rey(=)2=或Resf(a) (1)有限远孤立奇点的留数:f(-)在=邻域(0<=-=0<)内(不含 其它奇点)的罗朗级数( Laurent series)展开的-1次幂项(-=0)的 系数a称为f()在奇点a的留数。即ReS(a)=,-∮f()d=a1 此定义基于如下的事实 ()=∑4(=-=)y,其中a=1手(=)-d k=-∞ 2iy=(--0 令函数f()沿以孤立奇点z为中心的一个圆周c积分 f/()d=∑a(=--)d=∑fa(-0yd, k=-∞ 而∮(=-)d= z1(k=1)所以∮f()=27mn 0(k≠-1) 可见,级数中仅仅a(=-=0)项对积分有贡献,积分后唯有a1这个系 数留下来,故名之为留数( residue) (2)无穷远点的留数:f()在以=0=0为中心,环R<|<∞内(不含 其它奇点)的罗朗级数展开的-1次幂项(x-=0)的系数aL的反号称为 f()在∞点的留数。即Re9(o)=手(=)d=a1(此定义直观)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 5 定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations) 1．留数的定义：设 0 z 是函数 f (z) 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过 0 z z = 点 以 外 函 数 f (z) 是 解 析 的 ， 则 f (z) 在 0 z 的留数定义为 0 ( ) 1 Res ( ) d 2 c f z f z z i =  ，其中 c 为绕 0 z 的闭曲线（ c 积分沿正方向进 行）且内部无其它奇点，记号为 0 Res ( ) z z f z = 或 Res ( ) 0 f z . （1）有限远孤立奇点的留数： f (z) 在 0 z 邻域 (0 ) 0  z − z  r 内（不含 其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 −1 次幂项 1 0 ( ) − z − z 的 系数 −1 a 称为 f (z) 在奇点 0 z 的留数。即 0 1 ( ) 1 Res ( ) d 2 c f z f z z a i = =  − . 此定义基于如下的事实：  ( )  =− = − k k k f z a z z0 ( ) ，其中 1 0 1 ( ) d 2 ( ) k k c f z a z i z z + = −  . 令函数 f (z) 沿以孤立奇点 0 z 为中心的一个圆周 c 积分 ( )  ( )      =−  =− = − = − k c k k c k k k c f (z)dz a z z dz a z z dz 0 0 ， 而 ( 0 ) 2 ( 1) d 0 ( 1), k c i k z z z k   = − − =    −  所以 1 ( )d 2 c  f z z ia =  − . 可见，级数中仅仅 ( ) 1 1 0 − a− z − z 项对积分有贡献，积分后唯有 −1 a 这个系 数留下来，故名之为留数(residue). （2）无穷远点的留数： f (z) 在以 z0 = 0 为中心，环 R  z   内（不含 其它奇点）的罗朗级数展开的 −1 次幂项 1 0 ( ) − z − z 的系数 −1 a 的反号称为 f (z) 在  点的留数。即 ( ) 1 1 Res ( ) d 2 c f f z z a i  = = −  − （此定义直观）

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 这是因为:对于无穷远点,以z=∞为展开中心、在区域RRes(=k), 其中c1,c2,…,cn分别是围绕奇点x1,z2…,zn的小圆周(反方向,与外界/同 方向),再根据复连通域的柯西定理( Cauchy' s theorem),可以得到 ∫(=)dz 二 l是区域D的外境界线,也可以是境界线之内的任一条闭合曲线,只要它 包围n个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]:如果函数∫()在闭曲线l所围的区域内,除具有有限个孤立 奇点( (isolated singularities)x=-k(k=1,2,…,m)外是解析的,在/上也是解析 的,则∫()沿/的回路积分(逆时针方向)等于f()在l内所有奇点的留 数之和的2mi倍,即∮f(2)d

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 2 这是因为：对于无穷远点，以 z =  为展开中心、在区域 R  z   里展开的罗朗级数与以 z0 = 0 为中心、在区域 R  z   展开的罗朗级 数有相同的形式: ( ) . k k k f z a z  =− =  换言之，以 z0 = 0 为中心、在区域 R z b  −   展开罗朗级数亦可，其中 b 任意（实际为 z =  的邻域）。 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模 + ，而幅角不定)。 同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, R c 的正方向为顺时针方向。因此， 1 ( )d d d d 2 . clockwise clockwise clockwise counter clockwise R R R R k k k k k k c c c k k k c f z z a z z a z z a z z ia  −    − =− =− =−     = = = − = −    2． 留数定理：如果 f (z) 在区域 D 中有 n 个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  ，而除 了这些奇点外， f (z) 是解析的，那么 其中 n c , c , , c 1 2  分别是围绕奇点 n z ,z , ,z 1 2  的小圆周(反方向, 与外界 l 同 方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 1 1 ( )d ( )d 2 Res ( ) k n n k k k l c f z z f z z i f z  = =   = =   , l 是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它 包围 n 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]：如果函数 f (z) 在闭曲线 l 所围的区域内，除具有有限个孤立 奇点(isolated singularities) ( 1,2, , ) k z z k n = = 外是解析的，在 l 上也是解析 的，则 f (z) 沿 l 的回路积分（逆时针方向）等于 f (z) 在 l 内所有奇点的留 数之和的 2i 倍，即 1 ( )d 2 Res ( ). n k l k f z z i f z  =  =    1 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ) Res ( ) Res ( ) 2 Res ( ), n c c c n n k k f z z f z z f z z i f z f z f z i f z   = + + + = + + + =    

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 留数定理的推论:若f(x)在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析,则f(x)在全平面上全部留数之和为零(挖去所有奇点并且计及 无穷远点:∑Resf()=∑Resf(=x)+Res 说明: 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现,即它是单(复)通域 Cauchy定理的推广(变形)。 laurent series的负幂次由有限内环r内的奇异性引起,其积分方向为∮ Laurent series的正幂次由有限内环r以外即外环R以外甚至直接至∞)的奇 异性引起,其积分方向为 *z=∞可以是函数f()的奇点亦可以不是奇点,只要存在-a1它就是无 穷远点的留数Resf() 3.留数的求法( Residue calculations) (定义是定义,定理是定理,计算留数是另一回事) (1)罗朗级数法:一般地,对于本性奇点,例如∫(z)中含指数函数、三角函 数(e,snx…)等,虽然极点是高阶的,罗朗级数展开有无穷多项,但 是我们仅仅需要与a1相关的项即可,这样往往比较简单。 (2)可去奇点:若b是f(z)的可去奇点(b≠∞),imf(z)有限,则Resf(b)=0 注意:即使∞点是f()的可去奇点,其留数也不一定为0,除非f()在 一切有限远点的留数之和为0.例如,f(x)=1+1/z, Resf(oo)=-l, Rest(o)=1 (3)高阶极点( Multiple pole, high order pole:若b是f(x)的m(m≥1)阶极点 即 k=-m

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 3 2． 留数定理的推论：若 f (z) 在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析，则 f (z) 在全平面上全部留数之和为零（挖去所有奇点并且计及 无穷远点）： 1( ) Res ( ) Res ( ) Res ( ) 0. k n k k z f z f z f =    = +  = 说明： * 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系， 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域 Cauchy 定理的推广(变形)。 ** Laurent series 的负幂次由有限内环 r 内的奇异性引起，其积分方向为 ; r Laurent series 的正幂次由有限内环 r 以外(即外环 R 以外甚至直接至  )的奇 异性引起，其积分方向为  R . *** z = 可以是函数 f (z) 的奇点亦可以不是奇点，只要存在 1 a , − − 它就是无 穷远点的留数 Res ( ). f  3．留数的求法（Residue calculations） (定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。 (1) 罗朗级数法: 一般地，对于本性奇点，例如 f (z) 中含指数函数、三角函 数（ e z ,sin z,  ）等，虽然极点是高阶的，罗朗级数展开有无穷多项，但 是我们仅仅需要与 −1 a 相关的项即可，这样往往比较简单。 (2)可去奇点：若 b 是 f (z) 的可去奇点( b   ),lim ( ) z b f z → 有限, 则 Res ( ) 0. f b = 注意：即使  点是 f (z) 的可去奇点，其留数也不一定为 0 ，除非 f (z) 在 一切有限远点的留数之和为 0 . 例如， f (z) = 1+1/ z , Resf () = −1, Resf (0) = 1. (3)高阶极点(Multiple pole，high order pole)：若 b 是 f (z) 的 m (m 1) 阶极点， 即 ( ) = ( − ) (  0) −  =−  m k m k f z ak z b a

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU (m-1)d [证明]如果z=b是∫(x)的m阶极点,则在这点的邻域内罗朗级数是 f()=n+m+…=∑a(=-)(am≠0) (=-b)"f()=an+an(=-b)+…+a1(z-b)+… [(-b(小=∑a=[ =∑(k+m)(k+m-1)(k+2)a(=-b) 取极限→b后右端只留下k=-1项,即(m-1)a1.所以 lna-b(4小 Resf(b)=a. (m-1)=- d-m-I (4)单阶极点( Simple pole)当m=1时,b为单极点Resf(b)=lmn[(-b)/(=) 特别地,如果()可以写成F(的形式,其中P()和Q()均在b点解 Q(=) 析,而且z=b为Q()的一阶零点,即Q(x)=0,Q()≠0,P()≠0,那么 Rs/b)le-b)()=l(-b)P2|me= (5)根据定义:Ry(b)=n求f()c,其中c为绕z=b一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点,积分{沿正(沿奇点的反)方向进行。 5.例题( Examples) Example 1.求函数f(x)=在z=0,z=1,=∞点的留数。 [解]二=0,1,∞分别是本性奇点,一阶奇点和一阶零点

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 4 则 ( ) (z b) f (z) m z f b m m m z b − − = − − → 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . [证明]: 如果 z = b 是 f (z) 的 m 阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) 1 1 + = −  − + − = −  =− − − − +  m k m k m k m m m a z b a z b a z b a f z  , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , m m m m z b f z a a z b a z b − −  = + − + + − + − − + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 d d ( ) d d 1 2 . m m m k m m m k k m k k k z b f z a z b z z k m k m k a z b − −  + − − = −  + = −     − = −     = + + − + −   取极限 z →b 后右端只留下 k = −1 项，即 ( ) 1 1! m − a− . 所以 ( ) (z b) f (z) m z f b a m m m z b − − = = − − → − 1 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . (4) 单阶极点(Simple pole): 当 m =1 时,b 为单极点 f b (z b)f (z) z b = − → Res ( ) lim . 特别地，如果 f (z) 可以写成 ( ) ( ) Q z P z 的形式，其中 P z( ) 和 Q z( ) 均在 b 点解 析，而且 z b = 为 Q z( ) 的一阶零点，即 Q z( ) 0, = Q z P z '( ) 0, ( ) 0,   那么 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) Res ( ) lim lim Q b P b z b Q z Q b P z Q z P z f b z b f z z b z b z b z b = − − =      = − = − → → → . （5）根据定义： ( ) 1 Res ( ) d 2 c f b f z z i =  ，其中 c 为绕 z = b 一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点，积分 c 沿正(沿奇点的反)方向进行。 5. 例题（Examples） Example 1. 求函数 z e f z z − = 1 ( ) 1 在 z = 0， z = 1， z =  点的留数。 [解] z =  0,1, 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 法一( Expand to the Laurent series): ①z=0是f()的本性奇点,因此,将f()在z=0的邻域作罗朗级数展开 1+z+z2+z3+… z2!23!z3 2!3! Resf(0)=1++n+…=e-1.[e=、andz=ll ②设e= <(z-1)并且c=e(其余的cn虽然复杂,但是我们用不到,则 f(=) 故Resf()=aL1=-c0=-e ③Resf(0)+Resf(1)+Resf(∞)=0(全复平面留数之和为零) Resf(∞)=1 法二( Formula): ①z=1是f(z)的一阶极点,因此 Rest()=limI( ②将f()在z=∞的邻域作罗朗级数展开 ()=、1 1+-+一+-+ z2!223!z3 Resf(∞)=-(-1)=1

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 5 法一（Expand to the Laurent series）： ① z = 0 是 f (z) 的本性奇点，因此，将 f (z) 在 z = 0 的邻域作罗朗级数展开 ( ) 2 3 2 3 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 2! 3! 1 1 1 1 , 2! 3! f z z z z z z z z   = + + + + + + + +       = + + + + +     1 3! 1 2! 1 Resf (0) = 1+ + + = e − . 0 1 [ and 1] ! z n n e z z n  = = =  ② 设 1 0 ( 1) z n n n e c z  = = −  并且 0 c e = （其余的 n c 虽然复杂，但是我们用不到），则 1 0 1 ( ) ( 1) . 1 1 z n n n e f z c z z z  = = = − − − −  故 Res (1) . 1 0 f a c e = = − = − − ③ Res (0) Res (1) Res ( ) 0 f f f + +  = （全复平面留数之和为零）。 Res ( ) 1. f  = 法二（Formula）： ① z = 1 是 f (z) 的一阶极点，因此 ( ) 1 1 Res (1) lim 1 . 1 z z e f z e → z     = − = −   −     ② 将 f (z) 在 z =  的邻域作罗朗级数展开 1 / 2 3 2 3 1 1 ( ) 1 1/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! 1 ( 1) , z f z e z z z z z z z z z z = − −     = + + + + − + + + +         = + − + Resf () = −(−1) = 1

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU Example2.求函数f() 在z=1点的留数。 [解一] (=-1)+(=-)+(=-) ee Rest() 4!24 [解二]z=1是f()的五阶极点,因此 Ref(1) -lur lim 4!=→1d424 (X) Example3.求函数f()=xl 在z=i点的留数 [解]2+1=(z-(x+1),z=±是f()的三阶极点,因此 Resf()=3,lim(=-i) (X) Example4.求函数f(x)=2 的留数 解]z=-1是f(x)的三阶极点,z=∞是本性奇点,因此 Resf(-1=lim 2二|=1=2sin2 Resf(∞)=-2in2 (X) Example5.求函数f()=-在z=n丌(n为整数)的留数。 解一]二=n是f()的单极点,因此 Rest(nr)=lim (=-nz 解二]Resf(nr) Example 6. Find the residue of(sin =)(-=)at ==i 6

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 6 Example 2. 求函数 ( ) 5 1 ( ) − = z e f z z 在 z = 1 点的留数。 [解一] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 234 1 555 1 1 1 ( ) 1 1 , 111 2! 3! 4! z z e e e e z z z f z z zzz  −   − − − = = = + − + + + +   −−−     Res (1) . 4! 24 e e f = = [解二] z = 1 是 f (z) 的五阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 5 1 4 5 5 1 4 5 1 1 1 d 1 d Res (1) lim 1 lim . 5 1 ! d 4! d 24 1 z z z z e e e f z z z z − → → −   = − = =   −   −   （X）Example 3. 求函数 ( ) 3 2 1 1 ( ) + = z f z 在 z i = 点的留数。 [解] 2 z z i z i + = − + 1 ( )( ), z i = 是 f (z) 的三阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 2 1 d 1 1 d 1 3 Res ( ) lim . 2! d 2 d 16 1 z i z i i f i z i z z z z i → =     = − = = −       +   +     （X）Example 4. 求函数 ( ) 3 sin 2 ( ) 1 z f z z = + 的留数。 [解] z =−1 是 f (z) 的三阶极点， z = 是本性奇点，因此 2 2 1 1 1 d Res ( 1) lim sin 2 2sin 2 | 2sin 2. 2! d z z f z z z = − →− − = = − = Res ( ) 2sin 2. f  = − （X）Example5. 求函数 z f z sin 1 ( ) = 在 z = n ( n 为整数)的留数。 [解一] z = n 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' Res ( ) lim lim 1 . sin sin ' n z n z n z n f n z n z z      → →   − = − = = −     [解二] ( ) ( ) 1 1 Res ( ) 1 . sin ' cos n z n z n f n z z    = = = = = − Example 6. Find the residue of ( ) ( ) 4 sin z / 1− z at z i =

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU [解一]z=i是f(x)的单极点,因此 sln二 sin二 sInI Resf(i=lim(=-. m -e e-e sinh(i) (21)(4)8 解二]Resf(1)= sln二 sIn -sinh(D) Example7.求函数f()=;x(实常数m≠0)的留数 [解]〓=土i是∫(x)的一阶极点,z=∞是本性奇点(高振荡),因此 Ref(i Rest(i=- Resf(oo)=-Resfi)+resfcdl=(e-e)=-isinh m (X) Example8.求函数f()=(=2-1)2 (cB=1,a≠B)的留数 (二-a)(二-B) [解]〓=α,β是∫()的一阶极点,z=0是二阶极点,f(∞)=1解析,因此 Rest(a) x(a-B) a-B B (二-B z2-1)2 Rest(e) Resf(0)是=2()在二=0附近 Taylor展式中的一次项a1的系数a1 二f(=) (=-a)(=-B) B B (1++…)--(1+-+…) Rest(o) a-八(-a2=a+B,(放心取(x2-1项=0) Resf(oo)=-Resf(a)+Resf(b)+ ref(o]=-(a+B

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i = 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( )( ) 4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i → → − −   = − = =     − − + − − = = = [解二] ( ) 3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z = = = = = =  − − − Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z = + (实常数 m  0 )的留数。 [解] z =i 是 f (z) 的一阶极点， z = 是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i − = = − = = = =− + − − Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m −  = − + − = − = − (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z   − = − − (    =  1, )的留数。 [解] z = , 是 f (z) 的一阶极点， z = 0 是二阶极点， f ( ) 1  = 解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z              = − − − = = = = − − − − 2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z      = − = = − − Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z = 0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                   − −   = = −   − − − − −   − −         = + + − + + = − + − +         − −         2 2 1 1 1 Res (0) ; f          = − = +   −   (放心取 2 2 ( 1) z − 项 z = 0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f  = − + + = − +    

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorems application to the definite integral calculations) A.基本思路与方法 目标:为了计算实函数f(x)在整个实轴上或实轴上某一线段I 上的积分[f(xudx,可分为以下三个步骤(方法) 将∫(x)看作复变函数∫()当二=x的特殊情况,即将∫(x)延 拓至复平面F()(f()和F()之间有千丝万缕的关系 2.将实积分路径改变为复平面闭曲线,其内部为D—一或做变 换,将ab变为闭曲线,或补一段bM使其成为闭曲线 3.在D上对F(z)或∫(z)应用留数定理计算闭路上的积分,这样就把实轴上 (x)的积分转化为计算/(在D内奇点的留数以及[f(=)d了。即 ∫(xkx+⊥(=手/(k=2m∑Re(=) f(=)d=?(see the Lemma 1, 2 and 3 below) B.基本类型 广R( sin x, cosx)t,其中Rmnx.o)是 sin x, cosx的有理式 方法:作单位园变换z=e",x∈0,2z],即将0~2的直线路径变为单位圆 周F=1路径。并且smx=2 costs dx=-ds 2-二2+二 Inx. cos x R 令F() 那么 ∫R( nx, cos xpx=2x∑ResF Example 1.I=5sin2xdr

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 8 二、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorem’s application to the definite integral calculations) A. 基本思路与方法： 目标：为了计算实函数 f (x) 在整个实轴上或实轴上某一线段 I 上的积分  b a f (x)dx ，可分为以下三个步骤（方法）： 1．将 f (x) 看作复变函数 f (z) 当 z = x 的特殊情况，即将 f (x) 延 拓至复平面 F z( ) ( f (z) 和 F z( ) 之间有千丝万缕的关系)。 2．将实积分路径改变为复平面闭曲线，其内部为 D——或做变 换，将 ab 变为闭曲线，或补一段 bMa 使其成为闭曲线。 3． 在 D 上对 F z( ) 或 f (z) 应用留数定理计算闭路上的积分，这样就把实轴上 f (x) 的积分转化为计算 f (z) 在 D 内奇点的留数以及 bMa f (z)dz 了。即 b a bMa ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). j l j    f x x f z z f z z i f z + = =   bMa Key : ( )d ? ( f z z =  see the Lemma 1,2 and 3 below) B. 基本类型: 1. R(sin x, cos x)dx 2 0  ，其中 R(sin x, cos x) 是 sin x, cos x 的有理式。 方法：作单位园变换 ix z = e ，x0,2，即将 0 ~ 2 的直线路径变为单位圆 周 z = 1 路径。并且 1 1 1 sin , cos , d d 2 2 z z z z x x x z i iz − − − + = = = ，则 ( ) 1 1 2 0 1 1 sin ,cos d , d z 2 2 z z z z R x x x R z i iz  − − =   − + =       . 令 1 1 1 ( ) , 2 2 z z z z F z R iz i − −   − + =     ，那么 ( ) 2 0 z 1 R x x x i F z sin ,cos d 2 Res ( )     =  . Example 1. I sin xdx 0 2  = 

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 解一]1=「2-cos(2x)=x.(简单!) [解二] Ⅰ: dz 22i)g 8i 丌 (2i) R (2zi) Example 2. I dx (a>b>0) a+bcos x 2bi +b 2bi二2(=-=) b 二= b [韦大定理:Ax2+Bx+C=0的两个根x1,x2满足xx2=C/A,x1+x2=-B/A] 在单位圆(1外。因此,我们有 ResF(O)=lim d [=F()] 计算1 (=1+=2) ib ResF()=im[(=-=)F()] 2bi =2[ResF(0)+ResF(=1)=2/-1 2丌 2=1=b2 b 261 三个引理: 引理1(大圆弧引理如果f(=)在区域D:Rs-∞时,(z-a)f()一致地趋于K,简记为(z-a)f(z)→K, 则m[f()d=K(2-2),其中C是以a为圆心,R为半径,夹角为B2-的 圆弧,-d=R≤amg(=-a)≤B

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0   = − =  x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i      − − = = =   − − = = = −           − = − − − =                展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2   + =   x a b x x I . [解] ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b − −   −   − −   = = − = − +   − − +   + +   , 其 中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b − + − − − − = = 1 2 z z =1. [韦大定理: 2 Ax Bx C + + = 0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A = + = − / , / ]. 在单位圆 (z 1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z = 0 （二阶奇点）， 1 z = z （一阶奇点）。 2 z z = （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有 ( ) 2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z → z bi ib = = − + =     计算 ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b → bi b = − = − − = −     计算   ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b      =  + = −  = − −     三个引理： 引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z − a  ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z( D)  →  时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K −  则 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a R z a − =  −  , arg( ) .  

Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 证明:因为=1(2-),所以 f()dz-iK(82-8 f(二) .(=-a)(=)-k s』(=-a)f()-k 由于当≤argx-a)≤B2,z→时,(z-a)f()一致地趋于K,这意味着任 给E>0,存在[与agz-a)无关,D内各向同性的]M(c)>0,使当-al=R>M 时,(=a)f()-0小圆弧引理; ln:(r,2)=0,l2{r=(0,)q≠2xN/(n+1=(∞,0),r→∞大圆弧引理。 亦即,高阶极点的一段圆弧的积分发散,而整个圆弧的回路积分为零:或者说, 虽然复平面是各向同性的,但是积分值与相对位相差相关}所以 f()d-ik(2-6 k f(=)- (2-a)f(-)-k) d ≤(z-a)f(-)-k 由于当a≤arg(z-a)≤O2,z→>a时,(x-a)f(x)一致地趋于k,这意味着任给

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 10 证明：因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z CR ，所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a     − − = −     − = − − −  − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，这意味着任 给   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关，D 内各向同性的] M ( )  0 ，使当 z a R M − =  时， (z − a) f (z) − K   ，所以 ( ) ( ) d 2 1 2 1 ( ) −  −    − CR f z z iK （ , i z a Re  − = 大 模之比 R R/ 1= ，仅仅积分相位即可），即 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR （方向正向）。 引 理 2(小 圆 弧 引 理 ) ：若函数 f (z) 在 区 域 D ： 0  z − a  r ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z a ( D)  → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ， 则 ( 2 1 ) 0 lim ( )d Cr r f z z ik   → = −  ，其中 Cr 是以 a 为圆心， r 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a r z a − =  −  , arg( ) .   证明: 因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z Cr ， ( ) 1 ( 1) 0 1 ( 1) 2 1 { ( , ) d d [ 1], , 1, 2, 1 i r z re n n i n n c n i n I r z z ir e r e N n          = + + + + = = = −  − =   +   1 I r i − ( , ) ;   = 0 [ (0, ), 2 / ( 1)] (0, ), n I r N n  =   + =    r →0 小圆弧引理； -1( ,2 ) 0; n I r   = -2[ (0, ), 2 / ( 1)] ( ,0), n I r N n  =   + =    r → 大圆弧引理。 亦即，高阶极点的一段圆弧的积分发散，而整个圆弧的回路积分为零；或者说， 虽然复平面是各向同性的，但是积分值与相对位相差相关} 所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d d = ( ) ( ) ( ) ( ) . r r r r C C C C k f z z ik f z z z a z z z a f z k z a f z k z a z a     − − = −     − − −  − − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z →a 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ，这意味着任给