多值函数解析延拓『函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值二=x+i 按照一定的规律,有一个或多个复数值w=u+iv与之相对应 因此,可以是多个复数值与一个自变量值相对应,这就是多值函数 最简单的多值函数例子是根式函数,如平方根 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单 对实变函数,当实自变量离开某点之后又返回该点时,平方根的函数值必然返回到原来的值 对复变函数,平方根的函数值是否回原来的值,与自变量离开再返回起点的路径有关 参见下一节的详细分析)。因此不能规定只取单一个函数值 多值函数不仅带来复杂性,还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论 2 Ln(-=)=2 Ln= Ln(-==Ln: eLn(-=eln:=--=3 现在知道,该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性 实际上:Lnz+Lnx≠2Lnx,因为Ln是多值函数,函数值对应于一个集合(而不是单一个数),因而 Lnz+Ln为两个集合的并(和集),当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念,都是基于单值函数而言。 那么,对于多值函数,如何推广? 51多值函数及其 Riemann面 实际上,对多值函数,在能唯一确定其函数值之前,难以引入导数、解析等概念 因此,对多值函数,需要先确定函数值。而确定了函数值之后,则可以应用单值函数的概念与性质 确定多值函数的函数值,需要三个步骤:枝点,割线,上下岸。下称为三要素。 ■枝点:绕其一周回到出发点时,函数w=f()的值发生改变,称之为函数f(x)的枝点 函数之所以会出现多值,是因为在复平面上,当自变量离开某点, 在复平面上经一条闭合路径,回到原出发点时,函数值可能发生改变。例如 √=√c,其中e为=的辐角,即:e=arg
5 多值函数 解析延拓 Γ函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述： 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值 z = x + y， 按照一定的规律 ，有一个或多个复数值 w = u + v 与之相对应 。 因此，可以是多个复数值与一个自变量值相对应，这就是多值函数。 最简单的多值函数例子是根式函数，如平方根。 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单： 对实变函数 ，当实自变量离开某点之后又返回该点时 ，平方根的函数值必然返回到原来的值 。 对复变函数 ，平方根的函数值是否回原来的值 ，与自变量离开再返回起点的路径有关 （参见下一节的详细分析 ）。因此不能规定只取单一个函数值 。 多值函数不仅带来复杂性，还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论： (-z)2 = z2 ⟹ Ln(-z)2 = Ln z2 ⟹ Ln(-z) + Ln(-z) = Ln z + Ln z ⟹ 2 Ln(-z) = 2 Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ -z = z 现在知道，该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性。 实际上：Ln z + Ln z ≠ 2 Ln z，因为 Ln z 是多值函数，函数值对应于一个集合（而不是单一个数），因而 Ln z + Ln z 为两个集合的并 （和集），当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于 2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念，都是基于单值函数而言。 那么，对于多值函数，如何推广？ 5.1 多值函数及其Riemann面 实际上，对多值函数，在能唯一确定其函数值之前，难以引入导数、解析等概念。 因此，对多值函数，需要先确定函数值。而确定了函数值之后，则可以应用单值函数的概念与性质。 确定多值函数的函数值，需要三个步骤：枝点，割线，上下岸。下称为三要素。 ◼ 枝点：绕其一周回到出发点时，函数 w = f (z) 的值发生改变，称之为函数 f (z)的枝点。 函数之所以会出现多值 ，是因为在复平面上 ，当自变量离开某点 ， 在复平面上经一条闭合路径 ，回到原出发点时 ，函数值可能发生改变 。例如： w = z 定义 z θ/2, 其中 θ 为 z 的辐角，即：θ = arg z
2205a.nb 如图,从A点出发,沿绿色闭合线走一周回A点 z的辐角θ不变,因而函数值w回到原来的数值 司样出发于A点,沿白色线走一周返到A点 辐角θ增加了2π,(行走过程辐角θ始终增加) 函数值w 不回到原来的数值 即:沿某些闭路回起始点,函数值会发生改变, 而对另外一些闭路径,函数值不变 为此,引进枝点概念区分不同的路径 上例中,z=0是函数w=V=的枝点,因为绕z=0行走一周后回到出发点,函数值发生改变 如何找出多值函数的枝点 基于定义:在枝点邻域绕行一周回到出发点,函数值发生改变。 ▲利用(实变函数的)求导法则对函数求导,导函数的奇点通常(很可能)是原函数的枝点, 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断。 z=0为w的奇点,故它可能是w的枝点,再利用枝点的定义判断 ▲与判断奇点和求留数类似,判断枝点时,别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点 ▲一个多值函数,枝点通常多于一个 ▲若绕一周改变函数值,绕两周返回原函数值,则称为一阶枝点,绕n周回原函数值,则称为n-1阶枝点。 ▲枝点是奇点,因为枝点0是不同单值分支的公共点,〓从不同单值分支趋于0 因不同单值分支的函数值/)不同,导致极限值m(-不同 也即:极限与二趋于=0的方式有关,导数不存在—奇点 更简单的理解是:直接趋于〓0和绕〓折腾几周再趋于ˉ,接近时∫(=)不同,极限值不同,导数不存在 ■割线:连接(所有)枝点的直线或曲线 所做的割线应满足:每一个枝点都有割线连出,并且割线只能起始、终止于枝点 做完割线之后,在复平面内,任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 因此,若规定任何路径均不可穿过割线,就不存在绕枝点的路径,因而函数值就能唯一确定了。 ▲也可这样理解,当路径到达割线并继续延续时,就进入函数的另一个单值分支 进入另一个复平面,这些复平面通过割线相粘接,构成多叶 Riemann面。 ▲作完割线后,函数尽管是单值的(在复平面内任意行走,只要不穿过割线,回到出发点时,函数值还原) 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值,因此还需要下一步 ■上下岸辐角:定义割线上岸或下岸的辐角,或者给定函数在某点的函数值 对多值函数,割线上(下)岸的辐角定义可以不同,相应的,函数值也不同 这称为选取多值函数的不同单值分支。 ■除了上述三要素之外,还有一种方法可确定函数值 即:给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 即使做好割线并定义上下岸辐角值,在枝点,导数依然不存在。实际上,由于在割线的两岸函数不连续,枝点甚至 不是孤立奇点
如图，从 A 点出发，沿绿色闭合线走一周回 A 点 z 的辐角 θ 不变，因而函数值 w 回到原来的数值 同样出发于 A 点，沿白色线走一周返到 A 点， 辐角 θ 增加了 2 π，（行走过程辐角 θ 始终增加） 函数值 w ⟹ -w，不回到原来的数值 即：沿某些闭路回起始点 ，函数值会发生改变 ， 而对另外一些闭路径 ，函数值不变 。 为此，引进枝点概念区分不同的路径 。 x y A θ 上例中， z = 0 是函数 w = z 的枝点，因为绕 z = 0 行走一周后回到出发点 ，函数值发生改变 。 如何找出多值函数的枝点： ▲ 基于定义：在枝点邻域绕行一周回到出发点，函数值发生改变。 ▲ 利用（实变函数的）求导法则对函数求导，导函数的奇点通常（很可能）是原函数的枝点， 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断 。 w = z , w′ = 1 2 z , z = 0 为 w′ 的奇点，故它可能是 w 的枝点，再利用枝点的定义判断 。 ▲ 与判断奇点和求留数类似，判断枝点时，别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点。 ▲ 一个多值函数，枝点通常多于一个。 ▲ 若绕一周改变函数值，绕两周返回原函数值，则称为一阶枝点，绕 n 周回原函数值，则称为 n - 1 阶枝点。 ▲ 枝点是奇点，因为枝点 z0 是不同单值分支的公共点， z 从不同单值分支趋于 z0， 因不同单值分支的函数值 f (z) 不同，导致极限值 lim zz0 f (z) - f (z0) z - z0 不同 也即：极限与 z 趋于 z0 的方式有关 ，导数不存在 —— 奇点 更简单的理解是 ：直接趋于 z0 和绕 z0 折腾几周再趋于 z0 ，接近 z0 时 f (z) 不同，极限值不同 ，导数不存在 。 ◼ 割线：连接（所有）枝点的直线或曲线 所做的割线应满足 ：每一个枝点都有割线连出 ，并且割线只能起始 、终止于枝点 。 做完割线之后 ，在复平面内 ，任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 。 因此，若规定任何路径均不可穿过割线 ，就不存在绕枝点的路径 ，因而函数值就能唯一确定了 。 ▲ 也可这样理解，当路径到达割线并继续延续时，就进入函数的另一个单值分支， 进入另一个复平面 ，这些复平面通过割线相粘接 ，构成多叶Riemann面 。 ▲ 作完割线后，函数尽管是单值的（在复平面内任意行走，只要不穿过割线，回到出发点时，函数值还原）， 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值 ，因此还需要下一步 。 ◼ 上下岸辐角：定义割线上岸或下岸的辐角，或者给定函数在某点的函数值。 ▲ 对多值函数，割线上（下）岸的辐角定义可以不同，相应的，函数值也不同。 这称为选取多值函数的不同单值分支 。 ◼ 除了上述三要素之外，还有一种方法可确定函数值： 即：给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 。 ◼ 即使做好割线并定义上下岸辐角值，在枝点，导数依然不存在。实际上，由于在割线的两岸函数不连续，枝点甚至 不是孤立奇点。 2 z05a.nb
z05anb 3 理解:例如函数w=v==r2e2,6=arg 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在二≠0的任意一点A 无论怎么折腾,只要不穿过割线 趋于A点时,辐角62=arg=没有变 函数值w的辐角Bn=argw也不变。 但对于原点(是枝点), 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 (如图黄蓝线)6=arg=分别是0和2r 函数值的辐角B分别为:0与丌 不同的辐角B对函数值本身可能没有影响(模趋于0),但对函数的变化率可能产生影响 也即:以不同方式→0,变化率的极限值可能不同。因而枝点被认为导数不存在,是奇点 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 例题:讨论多值函数w=f()=y=2-1 解:据函数的定义:W=√=2-1=v-+Ⅱc确n,B1=ag(-1,2=ag(+1) 61=arg(2-1)等于从1到=的矢量与实轴正向的夹角 B2=arg(z+1)=arg-(-1)为从-1到z的矢量与实轴正向的夹角 要确定函数值,需要三要素:枝点、割线、上下岸。 w=√2-1=V-1+e(+,61=arg(=-1),b2=arg(+1) 枝点:试着求导:w′= 故〓=±1可能是枝点,同时别忘了判断 在〓=1邻域绕〓=1逆时针一周回出发点,6增加了2π,B2不变,w≡-1,是枝点 绕二=-1逆时针一周回出发点,的1不变,B2增加了2丌,w=-w,也是枝点 在〓=∞邻域绕〓=∞逆时针一周回出发点,的1增加了2丌,的也增加了2π,w不变,不是枝点 故:函数w=√=-1有两个枝点:=±1 割线:连接枝点(保证每一个枝点都有割线连出),为简单起见,取直线 可以选直接连接z=±1的直线,如左图紫色线段, 也可以为从〓=1,经无穷远点再到达=-1的直线,如右图蓝色的直线 上(下)岸:指定辐角值 左图,割线取为连接z=±1的直线, 62=0,2x,组合成4种情况,但(1+)了3n5 上岸:f61=兀,3r 只给出两种不同的函数值
理解：例如函数 w = z = r1/2 θ/2，θ = arg z 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在 z ≠ 0 的任意一点 A， 无论怎么折腾 ，只要不穿过割线 趋于 A 点时，辐角 θz = arg z 没有变 函数值 w 的辐角 θw = arg w 也 不变。 但对于原点 （是枝点）， 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 （如图黄蓝线 ） θz = arg z 分别是 0 和 2 π 函数值的辐角 θw 分别为：0 与 π A x y 不同的辐角 θw 对函数值本身可能没有影响 （模趋于 0），但对函数的变化率可能产生影响 也即：以不同方式 0，变化率的极限值可能不同 。因而枝点被认为导数不存在 ，是奇点。 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 ☺ 例题：讨论多值函数 w = f (z) = z2 - 1 。 解：据函数的 定义：w = z2 - 1 = z - 1 z + 1 (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) θ1 = arg(z - 1) 等于从 1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； θ2 = arg(z + 1) = arg[z - (-1)] 为从 -1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； x y θ2 θ1 -1 1 上岸 下岸 x y θ2 θ1 -1 1 上岸 要确定函数值 ，需要三要素 ：枝点、割线、上下岸。 w = z2 - 1 = z - 1 z + 1 (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) 枝点：试着求导：w′ = 2 z z2 - 1 , 故 z = ±1 可能是枝点 ，同时别忘了判断 z = ∞ 在 z = 1 邻域绕 z = 1 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 不变，w ⟹ -w, 是枝点； 绕 z = -1 逆时针一周回出发点 ，θ1 不变，θ2 增加了 2 π，w ⟹ -w, 也是枝点； 在 z = ∞ 邻域绕 z = ∞ 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 也增加了 2 π，w 不变，不是枝点。 故：函数 w = z2 - 1 有两个枝点 z = ±1。 割线：连接枝点 （保证每一个枝点都有割线连出 ），为简单起见 ，取直线。 可以选直接连接 z = ±1 的直线，如左图紫色线段 ， 也可以为从 z = 1，经无穷远点再到达 z = -1 的直线，如右图蓝色的直 线 上 （下） 岸：指定辐角值 如左图，割线取为连接 z = ±1 的直线， 上岸： θ1 = π，3 π θ2 = 0, 2 π ， 组合成 4 种情况，但 (θ1 + θ2) 2 = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 只给出两种不同的函数值 z05a.nb 3
设上岸辐角取为 61=-,从上岸的点到达:=,矢量-1)顺时针转了 B2=0+,从上岸的点到达z=,矢量(+1)逆时针转了z 1=x+,从上岸沿蓝色路径到:=-,(=-1)逆时针转了x 7丌 从上岸沿蓝色路径到z=-i,(z+1)逆时针转了 从上岸沿红色路径到=-i,(-1)顺时针转了 0--,从上岸沿红色路径到二=-i,(2+1)顺时针转了 从上岸沿蓝色路径到 岸沿红色路径到〓 计算辐角时应注意: a)需从己知辐角值的点出发,经一条不穿过割线的路径到达所需要求函数值的点 b)计算θ1和的时必须沿同一条路径,即:计算和B2都用上图的蓝色, 或都用红色路径,不可以用红色路径计算θ,却用蓝色路径计算B2。 可以验证,上岸角取为:{2函数值相同,与(属同一个单值分支 设上岸辐角取为:{6=,可以求出二=时的61与 =-√2i H(=v2i(2n2) 可以验证,上岸辐角取为:{6=3x函数值相同,与{6=7属同一个单值分支 故函数w=√=2-1有两个单值分支。至于属哪一个单值分支,可以由上岸辐角值确定 也可以由复平面上任意一点的函数值确定 例如作完割线后给定w(i)=-√2讠,就确定了单值分支,w(-)=? 设沿上图蓝色线从二=i到二=-i,依旧:B1=arg(=-1),的2=arg(+1)
设上岸辐角取为 ： θ1 = π θ2 = 0 ， 当 z = 时， θ1 = π - π 4 ，从上岸的点到达 z = ，矢量 (z - 1) 顺时针转了 π 4 θ2 = 0 + π 4 , 从上岸的点到达 z = ，矢量 (z + 1) 逆时针转了 π 4 z = - 时， θ1 = π + π 4 ，从上岸沿蓝色路径到 z = -，(z - 1) 逆时针转了 π 4 θ2 = 0 + 7 π 4 , 从上岸沿蓝色路径到 z = -，(z + 1) 逆时针转了 7 π 4 z = - 时， θ1 = π - 7 π 4 ，从上岸沿红色路径到 z = -，(z - 1) 顺时针转了 7 π 4 θ2 = 0 - π 4 , 从上岸沿红色路径到 z = -，(z + 1) 顺时针转了 π 4 故：w(z) = z2 - 1 (θ1+θ2)/2 ⟹ w() = 2 2 π-π 4 +0+π 4 = 2 w(-) = 2 2 π+π 4 +7 π 4 = - 2 从上岸沿蓝色路径到 z = - w(-) = 2 2 -3 π 4 -π 4 = - 2 从上岸沿红色路径到 z = - 计算辐角时应注意 ： a) 需从已知辐角值的点出发 ，经一条不穿过割线的路径到达所需要求函数值的点 b) 计算 θ1 和 θ2 时必须沿同一条路径 ，即：计算 θ1 和 θ2 都用上图的蓝色 ， 或都用红色路径 ，不可以用红色路径计算 θ1，却用蓝色路径计算 θ2。 可以验证，上岸辐角取为 ： θ1 = 3 π θ2 = 2 π 函数值相同 ，与 θ1 = π θ2 = 0 属同一个单值分支 。 设上岸辐角取为 ： θ1 = π θ2 = 2 π ，可以求出 z = 时的 θ1 与 θ2 故： w() = 2 2 π-π 4 +2 π+π 4 = - 2 w(-) = 2 2 π+π 4 +2 π+7 π 4 = 2 ⟹ w() = -w(-) 可以验证 ，上岸辐角取为 ： θ1 = 3 π θ2 = 0 函数值相同 ，与 θ1 = π θ2 = 2 π 属同一个单值分支 。 故函数 w = z2 - 1 有两个单值分支 。至于属哪一个单值分支 ，可以由上岸辐角值确定 。 也可以由复平面上任意一点的函数值确定 。 例如作完割线后给定 w() = - 2 , 就确定了单值分支 ，w(-) = ? - x y θ1 θ2 -1 1 上岸 下岸 + 设沿上图蓝色线从 z = 到 z = -，依旧：θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) 4 z05a.nb
z05anb5 ()=vl-l1+e2+份) (6+的2) =-√2i 6+的2) 61→的=日1+矢量:-1逆时针转了2 沿蓝色线到z= 矢量+1逆时针转了 (-)=v+-11+1c2+=V2e2m1+2n=√2i 沿红色线到z=-i, →6=6 w()=√-t-1+1e2+)=√2c2-2m=√2 若取上图割线,并定义w(=-√2i,则:w(-)=-√2i=w( 若取上岸:{6=0,则:w(0=√2i=m- 若取上岸: 62=0·则:w()=-√2i=v(-i 取不同的割线,函数的“奇偶性”不同。 取直接连接二=±1的直线作为割线,w(-i)=-(i),“奇函数” 若取连接=1,∞,-1的直线作为割线,v(-i)=v(i),“偶函数” 在做割线之前,不能判断w=√=-1是否满足:m(-=0=m(a,.这点与实函数不同 目例题:为函数m=f(3)=√=-1做割线,使得当在实轴上时,w退化为:w=g x2-1,l≥1 解:需要做什么样的割线,并如何定义辐角值,才能保证f()在实轴上退化为g(x)? 上 A上岸
w() = - 1 + 1 2 (θ1+θ2) = 2 2 (θ1+θ2) = - 2 ⟹ 在 z = 处： 2 (θ1+θ2) = - 沿蓝色线到 z = -， θ1 ⟶ θ1 ′ = θ1 + π 2 矢量 z - 1 逆时针转了 π 2 θ2 ⟶ θ2 ′ = θ2 + 3 π 2 矢量 z + 1 逆时针转了 3 π 2 w(-) = - - 1 + 1 2 (θ1 ′ +θ2 ′ ) = 2 2 (θ1+θ2+2 π) = 2 沿红色线到 z = -， θ1 ⟶ θ1 ′ = θ1 - 3 π 2 θ2 ⟶ θ2 ′ = θ2 - π 2 ， w(-) = - - 1 + 1 2 (θ1 ′ +θ2 ′ ) = 2 2 (θ1+θ2-2 π) = 2 x y θ1 θ2 -1 1 上岸 若取上图割线 ，并定义 w() = - 2 ，则：w(-) = - 2 = w() 若取上岸 ： θ1 = 0 θ2 = 0 ，则：w() = 2 = w(-) 若取上岸 ： θ1 = 2 π θ2 = 0 ，则：w() = - 2 = w(-) 取不同的割线 ，函数的 “奇偶性” 不同。 取直接连接 z = ±1 的直线作为割线 ，w(-) = -w()，“奇函数” 若取连接 z = 1，∞，-1 的直线作为割线 ，w(-) = w()，“偶函数” 在做割线之前 ，不能判断 w = z2 - 1 是否满足 ：w(-z0) = w(z0)，这点与实函数不同 。 ☺ 例题：为函数 w = f (z) = z2 - 1 做割线，使得当 z 在实轴上时，w 退化为：w = g(x) = x2 - 1 , x ≥ 1 1 - x2 , x < 1 。 解：需要做什么样的割线 ，并如何定义辐角值 ，才能保证 f (z) 在实轴上退化为 g(x)? x y θ1 θ2 -1 1 上岸 下岸 θ2 x y θ1 -1 1 上岸 z05a.nb 5
6z05a.nb 从前题知:二=±1是()=V=2-1的枝点,可以有两种不同的割线 左图的割线必导致v(-2)=-1(2),显然不能退化为个g(x),下证之 设在=2时, argc+1)=2,w(2)=V|2-1 的+t2 沿左图白色路径到达z=-2 在二=-2时,arg(-1)=61=61+r,arg(+1)=B1=62+丌, 6+2=√3e+++=-V3e"(b+hM2=-(2) 因此,取左图割线无法使得当二在实轴上时,f(=)退化为g(x),无论在哪一个单值分支 只能取如右图之割线。在右割线的上岸,定义arg(-1)=61=0,arg(+1)=B2=0 对实轴上x≥21,取右割线上岸的函数值,v()=√P2-1e+2=V2-1 对实轴上x≤-1,取左割线下岸的函数值,=61+兀,B1=62-x B+g=01+2=0.仍有:m(=√四-1cP=√x-1 对实轴上川<1,有:=61+丌,=B2 +的=6+x+B=,故:me)=v2- =√1-x2ca2=i 目例题:已知函数w=f()=y2-1在实轴上退化为:w(x)= x2,x<1 求:w(2)、w(2+i)和w(2-) 上岸 解:取如上图蓝色之割线。定义:61≡arg(z-1),B2≡arg(+1) 在右上岸,取的1=6=0,在实轴上即可退化为所要求的函数(见上一题)。 因为三要素(枝点、割线、上岸辐角值)均已定,故w=√2-1实际上已经是单值函数 当然,枝点〓=±1是函数的奇点,除枝点与无穷远点〓=∞外,函数在复平面内解析。 导法则同实变函数 (-)=f( v'()= 在实轴z=2,必须取右割线上岸的点,才能满足题意 故:在二=2,B1=0,62=0 '(2)= 与实函数比较:w/(x)
从前题知：z = ±1 是 f (z) = z2 - 1 的枝点，可以有两种不同的割线 左图的割线必导致 w(-2) = -w(2)，显然不能退化为 个 g(x)，下证之。 设在 z = 2 时，arg(z - 1) = θ1, arg(z + 1) = θ2, w(2) = 22 - 1 (θ1+θ2)/2 = 3 (θ1+θ2)/2 沿左图白色路径到达 z = -2 在 z = -2 时，arg(z - 1) = θ1 ′ = θ1 + π, arg(z + 1) = θ2 ′ = θ2 + π, w(-2) = 22 - 1 (θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = 3 (θ1+π+θ2+π)/2 = - 3 (θ1+θ2)/2 = -w(2) 因此，取左图割线无法使得当 z 在实轴上时 ，f (z) 退化为 g(x)，无论在哪一个单值分支 。 只能取如右图之割线 。在右割线的上岸 ，定义 arg(z - 1) = θ1 = 0, arg(z + 1) = θ2 = 0 对实轴上 x ≥ 1，取右割线上岸 的函数值 ，w(z) = x2 - 1 (θ1+θ2)/2 = x2 - 1 对实轴上 x ≤ -1，取左割线下岸 的函数值 ，θ1 ′ = θ1 + π, θ2 ′ = θ2 - π θ1 ′ + θ2 ′ = θ1 + θ2 = 0, 仍有：w(z) = x 2 - 1 ( θ1 ′ +θ2 ′ )/2 = x2 - 1 对实轴上 x < 1，有：θ1 ′′ = θ1 + π, θ2 ′′ = θ2, θ1 ′′ + θ2 ′′ = θ1 + π + θ2 = π, 故：w(z) = x2 - 1 2 (θ1 ′′+θ2 ′′) = 1 - x2 π/2 = 1 - x2 ☺ 例题：已知函数 w = f (z) = z2 - 1 在实轴上退化为：w(x) = x2 - 1 , x ≥ 1 1 - x2 , x < 1 ， 求：w′ (2) 、 w′ (2 + ) 和 w′ (2 - ) 2 - x y -1 1 上岸 2 + 解：取如上图蓝色之割线 。定义：θ1 ≡ arg(z - 1), θ2 ≡ arg(z + 1) 在右上岸，取 θ1 = θ2 = 0，在实轴上即可退化为所要求的函数 （见上一题）。 因为三要素 （枝点、割线、上岸辐角值 ） 均已定，故 w = z2 - 1 实际上已经是单值函数 。 当然，枝点 z = ±1 是函数的奇点 ，除枝点与无穷远点 z = ∞ 外，函数在复平面内解析 。 w′ (z) = f ′ (z) 求导法则同实变函数 w′ (z) = z z2 - 1 在实轴 z = 2，必须取右割线上岸的点 ，才能满足题意 ， 故：在 z = 2，θ1 = 0, θ2 = 0 w′ (2) = 2 3 2 (θ1+θ2) = 2 3 , 与实函数比较 ： w′ (x) x=2 = x x2 - 1 x=2 = 2 3 6 z05a.nb
z05a.nba += 其中:从右割线上岸到二=2+i,61 82= actg +12-1-1c2 (+b)2-1 --arcta 7丌 其中:从右割线上岸到=2-i,的1=一,B=- arct-(顺时针) 目例题:设w()==( 式根据下述条件计算:w(-1) i.作割线连接=0和z=1,并规定在割线上岸:61≡arg()=0,b2≡arg(1-2)=0 不作割线,规定mg叫)=0.:分别沿如右图路径C与C2从移动到:= 割线为从z=0到=1的线段 右图路径C2与C4相当于穿过割线 函数值与经路径C2与C4 1时的函数值不同 解:i.在割线上岸,61=B2=0 如沿L1从上岸到达=-1,B1=0+丌,的=0+0 →m(-1)=√2e2=v2i 如果沿L2从上岸到达二=-1,1=0-,B=0-2丌 √2e23n=y2i 结果是相等的,也即在做好割线之后,只要路径不穿过割线,函数值就唯一确定 当然,必须沿相同的路径求两个辐角的1与(同为红或绿色路径) ii.不做割线,规定在:。1 , arg 即二=-时,的=明,B2 →(+因) 沿红色路径C1到达z=-1时,61=明+x,=因,→(-1)=V2e2=v2i 沿蓝色路径C2到达二=-1时,的1=明+3兀,B=因 =√2ce2+3+的 可见,沿C2,相当于穿过左图的割线(尽管未画出),必跑到另一个单值分支,函数值发生改变 若沿绿色路径C3到达:=-1,的=+兀,B2=因,→m(-1)=√2e2明=√2i 沿C3未穿过割线,仍在同一个单值分支,函数值仍为√2i 若沿紫色路径C4到达二=-1,B1=-兀,B2=B,=→m(-1)=2c2=-V2i 相当于穿过左图的割线(z=0到z=1的线段,未画出)跑到另一个单值分支, 函数值不再等于√2i
w′ (2 + ) = z z2 - 1 z=2+ = (2 + ) 2 + + 1 2 + - 1 2 (θ1+θ2) = 2 + 20 4 - 2 π 4 +arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 + ，θ1 = π 4 ，θ2 = arctg 1 3 w′ (2 - ) = z z2 - 1 z=2- = (2 - ) 2 - + 1 2 - - 1 2 (θ1+θ2) = 2 - 20 4 - 2 7 π 4 -arctg 1 3 其中：从右割线上岸到 z = 2 - ，θ1 = 7 π 4 ，θ2 = -arctg 1 3 （顺时针） ☺ 例题：设 w(z) = z(1 - z) ，试根据下述条件计算：w(-1) 。 i. 作割线连接 z = 0 和 z = 1，并规定在割线上岸：θ1 ≡ arg(z) = 0，θ2 ≡ arg(1 - z) = 0； ii. 不作割线，规定 arg w 1 2 = 0， z 分别沿如右图路径 C1与 C2 从 1 2 移动到 z = -1。 -1 0 1 L1 L2 C3 - 0 1 C1 1 2 C2 C4 割线为从 z = 0 到 z = 1 的线段， 右图路径 C2 与 C4 相当于穿过割线 ， 函数值与经 路径 C2 与 C4 到达 z = -1 时的函数值不同 。 解：i. 在割线上岸 ，θ1 = θ2 = 0 如沿 L1 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 + π, θ2 = 0 + 0 ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1+θ2) = 2 如果沿 L2 从上岸到达 z = -1， θ1 = 0 - π, θ2 = 0 - 2 π ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1+θ2) = 2 2 (-3 π) = 2 结果是相等的 ，也即在做好割线之后 ，只要路径不穿过割线 ，函数值就唯一确定 。 当然，必须沿相同的路径求两个辐角 θ1 与 θ2 （同为红或绿色路径 ） ii. 不做割线 ，规定在 z = 1 2 , arg w 1 2 = 0, 即 z = 1 2 时，θ1 = θ1 0, θ2 = θ2 0, arg w 1 2 = θ1 0 + θ2 0 2 ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0, 沿 红色路径 C1 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2 沿蓝色路径 C2 到达 z = -1 时，θ1 = θ1 0 + 3 π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+3 π+θ2 0) = - 2 可见，沿 C2, 相当于穿过左图的割线 （尽管未画出 ），必跑到另一个单值分支 ，函数值发生改变 。 若沿绿色路径 C3 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0+π+θ2 0) = 2 沿 C3 未穿过割线 ，仍在同一个单值分支 ，函数值仍为 2 。 若沿紫色路径 C4 到达 z = -1，θ1 = θ1 0 - π, θ2 = θ2 0, ⟹ w(-1) = 2 2 (θ1 0-π+θ2 0) = - 2 相当于穿过左图的割线 （z = 0 到 z = 1 的线段，未画出） 跑到另一个单值分支 ， 函数值不再等于 2 。 z05a.nb 7
8z05a.nb 日例题:函数v()=V=-e,(0<如<x12,在:=0的值v0)=e2,:从=0出发沿直线到达:1=c,求 B 解:据函数的定义:w()=vF-e叫c明,其中:0=ag(=-e) 故:二=0时,60=丌+d 从20=0出发沿直线l到达1=c1·,=+2的3 故:(e)=yp-“eB=2smn“3 目例题:函数v()=m1-=2) 解:函数的定义:w)=ln|1-=21+iarg(1-)+argc+1) 枝点:z=±1和∞,做割线如左图,连接三个枝点。 也可做割线如右 做如右图割线,已知v(0)=0,求w(3)与w(3i) 令:61≡arg(1-x),B2=arg(+1) =0=0时:w(0)=i+的=0,→明+因=0 二=1=3时:沿C1从到二1,61=因+兀,B2=,(3)=ln8+ir z=2=3i时:沿C2从到2,61=的+(2r- arct3),2=明+ actg3,w(3i=ln10+2ir 番 Mathematica中的根式函数 番 Mathematica中的根式函数 52涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数,根式函数,在利用留数定理计算积分时,将单值的实变函数拓展成复变函数时, 必然涉及多值函数,这时必须做适当的割线,恰当地定义(选取)单值分支 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明 目例题:计算积分:I= Inx-dx 选取:f(=)= 希望在实轴上,f()能退化为:
☺ 例题：函数 w(z) = z - ϕ , (0 < ϕ < π/2)，在 z = 0 的值 w(0) = 2 (ϕ+π) ，z 从 z0 = 0 出发沿直线到达 z1 = - ϕ, 求 w(z1) - ϕ ϕ B A O ϕ ϕ l 解：据函数的定义 ：w(z) = z - ϕ θ/2, 其中： θ ≡ arg z - ϕ z = 0 时，w(0) = θ/2 = (ϕ+π)/2, 故：z = 0 时，θ0 = π + ϕ z 从 z0 = 0 出发沿直线 l 到达 z1 = - ϕ，θ1 = θ0 + (π - 2 ϕ) 2 ∠OBA = 3 π 2 故：w- ϕ = - ϕ - ϕ θ1/2 = 2 sin ϕ 3 π/4 ☺ 例题：函数 w(z) = ln1 - z2 解：函数的定义 ：w(z) = ln 1 - z2 + [arg(1 - z) + arg(z + 1)], 枝点：z = ±1 和 ∞，做割线如左图 ，连接三个枝点 。 -1 0 1 -1 1 C1 C2 也可做割线如右图 。现做如右图割线 ，已知 w(0) = 0, 求 w(3) 与w(3 )。 令：θ1 ≡ arg(1 - z), θ2 = arg(z + 1) z = z0 = 0 时：w(0) = θ1 0 + θ2 0 = 0, ⟹ θ1 0 + θ2 0 = 0 z = z1 = 3 时：沿 C1 从 z0 到 z1，θ1 = θ1 0 + π, θ2 = θ2 0, w(3) = ln 8 + π z = z2 = 3 时：沿 C2 从 z0 到 z2，θ1 = θ1 0 + (2 π - arctg 3), θ2 = θ2 0 + arctg 3, w(3 ) = ln 10 + 2 π Mathematica 中的根式函数 Mathematica 中的根式函数 5.2 涉及多值函数的积分 若实变函数积分中涉及对数函数，根式函数，在利用留数定理计算积分时，将单值的实变函数拓展成复变函数时， 必然涉及多值函数，这时必须做适当的割线，恰当地定义（选取）单值分支， 才能保证复变函数在某些积分路径上退化为实变函数积分。以下通过例题说明。 ☺ 例题：计算积分：I = 0 ∞ ln x 1 + x2 2 x 解：选取：f (z) = ln z 1 + z2 2 , 希望在实轴上 ，f (z) 能退化为： ln x 1 + x2 2 8 z05a.nb
z05a.nb 9 f(-)是多值函数,枝点为0和∞,连接0与∞作为割线(如图红线) 在割线上岸,定义θ=arg==0,这样在割线上岸,f(=)退化为f(x) 积分回路如上图。回路内有二阶极点z=i In- +=2ri Resf(i)=2 ri (=+i)2 (二+i)-2=n 丌+2i 2丌E 其中:lni=i Inx+i eirdx=l+ CR R L dx =l C:因为lm()=0圆多。=0 大圆弧引理 CR:因为lim=f()=0= 综上:I=--,并且 dx 番 Mathematica试一试,被积函数的原函数不是初等函数,而是 polylog函数 c1ear["G1oba1★"] f【x_]:= Integrate[￡[x],x]; FullSimplify [9] [E[x],[ 4(1+2、(2(1+x2) ArcTan【x](-1+Lo9[x])+ 2 x Log[x]-i(1+x2)PolyLog[2, -i x]+i(1+x2) PolyLog[2,i xJ)
f (z) 是多值函数 ，枝点为 0 和 ∞，连接 0 与 ∞ 作为割线 （如图红线） 在割线上岸 ，定义 θ = arg z = 0，这样在割线上岸 ，f (z) 退化为 f (x) 积分回路如上图 。回路内有二阶极点 z = C = L1 +Cr +L2 +CR = 2 π Res f () = 2 π lim z ln z (z + )2 ′ = 2 π lim z (z + ) - 2 zln z z (z + )3 = 2 π π + 2 8 , 其中：ln = π 2 L1：z = x π, ⟹ L1 = R r ln x + π 1 + x2 2 π x = I + 0 ∞ π x 1 + x2 2 x y CR -R R L1 L2 Cr L2：z = x 0, ⟹ L2 = r R ln x 1 + x2 2 x = I Cr：因为 lim z0 z f (z) = 0 小圆弧引理 Cr = 0 CR：因为 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR = 0 综上：I = -π 4 , 并且：0 ∞ x 1 + x2 2 = π 4 Mathematica 试一试，被积函数的原函数不是初等函数 ，而是 polylog 函数。 Clear["Global`*"] f[x_] := Log[x] (1 + x2)2 ; Integrate[f[x], x]; FullSimplify[%] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}] 1 4 (1 + x2) (2 (1 + x2) ArcTan[x] (-1 + Log[x]) + 2 x Log[x] - (1 + x2) PolyLog[2, - x] + (1 + x2) PolyLog[2, x]) - π 4 z05a.nb 9
10 z05anb 目例题:计算积分 00&&a0&&a0sa0&a<1} FullSimplify[9] 1. axi- Hypergeometric2F1[1, 1+a, 2+a,-x) ex Hypergeometric2F1 [1, a, 1+a 多值函数,枝点z=0和二=∞,割线如图红线 定义割线上岸6≡arg=0,以保证在L1上f(=)退化为f(x) z=0是枝点,必为奇点,因此要做一个小圆弧C 如取右图闭合回路,则回路内无奇点 有⊥+C+C+⊥+C=0 Li: f()d==L, R CR:因lim=f(2) f(-)d==0 I eila-l)a dx r-l dx L,+L3: ==xelt f(-)d== 不同于:I= 取右图闭合回路,则回路内有奇点=-1=c丌
☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 0 0 && a 0 && a 0 && a 0 && a < 1}]; FullSimplify[%] xa a - 1 1 + a x1+a Hypergeometric2F1[1, 1 + a, 2 + a, -x] 1 a a x Hypergeometric2F1[1, a, 1 + a, -x] 0 π Csc[a π] 解：f (z) = zα-1 z + 1 , 多值函数 ，枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 定义割线上岸 θ ≡ arg z = 0，以保证在 L1 上 f (z) 退化为 f (x) z = 0 是枝点，必为奇点，因此要做一个小圆弧 Cr 如取右图闭合回路 ，则回路内无奇点 有：L1 +CR +L2 +L3 +Cr ′ +Cr = 0 L1：L1 f (z) z = I, CR：因 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR f (z) z = 0 L3 x y CR -R R L2 L1 Cr -1 Cr ′ L2 + L3：z = x π, L2+L3 f (z) z = 0 ∞ xα-1 (α-1) π x x π + 1 = (α-1) π 0 ∞ xα-1 x 1 - x 不同于：I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 取右图闭合回路 ，则回路内有奇点 z = -1 = π 10 z05a.nb