复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第三章 复变函数级数 Series of complex variable functions

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU Chapter3复变函数级数 Abstract:简介解析函数的性质,尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数( power serles)的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类 Motivation:引论中讲过,一方面,物理学家力求∑a1(-b)(将此sum 表达为一个简单的函数);但另一方面,有些物理上的表示(例如求解方程和方 程的解等)相当复杂,人们不得不反过来做级数展开。有趣的是,大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了(物理误差范围以内)。这不但对收敛快的级数 是如此,況且对发散级数尤要 cut off!-多项式展开。更有趣的是,这样便构成 了本征函数系一早己存在的数学理论,物理理论和实验的核心目标, see part II)。 级数复习常数项级数:S=S1 n=I n 函数项级数 ∑=”(24n(41) convergence,∑=(m)绝对收敛。()称为 Riemann zeta function. psl:≤,而∑一发散(调和级数,和谐级数?)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 3 复变函数级数 Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent 级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。 Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求 ( )k k k a z b  （将此 sum 表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方 程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数 是如此，况且对发散级数尤要 cut off！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。 级数复习: 常数项级数： 1 1 . n S n      函数项级数：   0 1 z 1 , 1 n n z z       几何级数；   0 z , ! n z n z e n       指数级数；             2 1 0 2 0 sin 1 z , 2 1 ! cos 1 z , 2 ! n n n n n n z z n z z n                 三角函数级数。 一般级数：…… 解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。 问题：设有序列 111 1, , , , 234 ，问 1 1 ? n S n      ，Key：divergence 发散. lim 1, n 1 n  n   且   1 1 d ln 1 , n n x S n x      lim lim ln 1 , n   n n S S n      这是 log 发散。 而   1 1 1 n p n n      收敛， p 1 convergence，且   1 1 p n p n      绝对收敛。  p 称为 Riemann zeta function. p 1： 1 1 p n n  ，而 1 1 n n    发散（调和级数，和谐级数？）

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU ∑发散(p≤1).但是p>1为何收敛呢? …十 此几何级数收敛(P>1), 收敛(p>1) 再问一致收敛呢?要有E,N(E)学说,而非NSee(Sub.1.3) below 在C平面p=Rep+ilmp,Rep=1有无穷多个奇点。p=-2n(n=12…)是(p) 的零点,其它零点落在0≤Rep≤1. Riemann假设:上述零点全部在Rep=1/ 级数的基本概念与性质( Basic concepts and properties of series) 1.复数序列 (1)定义:按照一定顺序排列的复数zn=an+ibn,n=1,2…,称为复 数序列,记为{=n} 个复数序列完全等价于两个实数序列 (2)聚点:给定复数序列{=n},若存在复数z,对于E>0,恒有无 穷多个=n满足n-40,彐自然数N,使得只 要n>N,就有n-4<E,则称n}收敛于A,记为m=n=A。 一个序列的极限必然是这个序列的聚点,而且是唯一的聚点

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 1 1 p n n    发散 ( 1) p  . 但是 p 1 为何收敛呢？ 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 7 8 15 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 8 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 p p p p p p p n p p p p p p n p p p p n n                                                                                                  此几何级数收敛  p 1 ， 1 1 p n n    收敛  p 1 。 再问一致收敛呢？要有   ,N   学说，而非 N [See (Sub. 1.3) below]. 在C平面 p p i p   Re Im , Re 1 p  有无穷多个奇点。 p n n    2 ( 1,2, ) 是   p 的零点，其它零点落在 0 Re 1.  p Riemann 假设：上述零点全部在 Re 1/ 2. p  一、 级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series) 1. 复数序列 （1） 定义：按照一定顺序排列的复数 n n n z  a  ib ，n 1,2,  ，称为复 数序列，记为 zn 。 一个复数序列完全等价于两个实数序列。 （2） 聚点：给定复数序列 zn  ，若存在复数 z ，对于   0 ，恒有无 穷多个 n z 满足 z  z   n ，则称 z 为 zn  的一个聚点（或极限点）。 一个序列可以有不止一个聚点，例如序列 , 7 6 , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1    就有两 个聚点， 1。 （3） 有界序列和无界序列：给定复数序列 zn  ，若存在一个正数 M ， 对所有的 n 都有 zn  M ，称为序列有界；否则称为序列无界。 （4） 极限：给定复数序列 zn  ，如果对   0， 自然数 N ，使得只 要 n  N ，就有 z  A   n ，则称 zn  收敛于 A ，记为 zn A n   lim 。 一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 显然,如果写成En=an+in,A=+,则m==Amb=b al 例如,对于点列{),有la"= a=1 不存在1=1且a≠1 (5)序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件:任给E>0,存在 正整数N,使对于任意正整数p,有2-=0,存在正整数N, 使对于任意正整数p≥1,有∑< 特别是,令P=1,则得到级数收敛的必要条件:lm||=0

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 显然，如果写成 n n n z  a  ib ， A  a  ib ，则            b b a a z A n n n n n n lim lim lim 例如，对于点列   n  ，有                1 1 1 1 1 0 1 lim       不存在 且 n n （5）序列极限存在（序列收敛）的 Cauchy 充要条件：任给   0 ，存在 正整数 N ，使对于任意正整数 p ，有    N p N z z . 一个无界序列不可能是收敛的。 2． 复数项级数 复数项级数的收敛：一个复数级数， 1 2 1 k k k z z z z       ，如果它的 部分和   n k n k S z 1 所构成的序列 Sn  收敛，即有极限 Sn S n   lim ，则称 级数   k1 k z 收敛，而序列 Sn  的极限 S 称为级数   k1 k z 的和；如果级数 n n S  lim 不存在（无穷或不定），则称   k1 k z 发散。 注：            1 1 1 Re Im k k k k k k z z i z ，因此，一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若   1 Re k k z ，   1 Im k k z 都收敛，则   k1 k z 收敛；若   1 Re k k z ，   1 Im k k z 至少有一个发散，则   k1 k z 发散。   k1 k z 收敛的充要条件（Cauchy 收敛判据）：任给   0 ，存在正整数 N ， 使对于任意正整数 p 1, 有       N p k N k z 1 . 特别是，令 p  1 ，则得到级数收敛的必要条件： lim  0  k k z

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 绝对收敛:如果∑收敛,则称∑二绝对收敛。 绝对收敛的性质: ◆绝对收敛的级数一定收敛(因为 b是绝对收敛的,则 [注意最后一步的l=k-n及n的取值范围 SS2=∑ah=∑∑a=∑∑abn(b=0)因为|an和|b =0l=0 构成的实数级数收敛,所以|abn|构成的实数级数也收敛 由于∑k是一个实数级数,而且是一个正项级数,因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法(自证或者查资料证明之) 比较判别法:若l≤v,而∑v收敛,则∑收敛 若x|2V,而∑v发散,则∑发散 比值判别法( D'Alembert*别法)若m=1<1,则∑收敛: =131,则,发散 若m=1=1,∑叫可能收敛,也可能发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 绝对收敛：如果   k1 k z 收敛，则称   k1 k z 绝对收敛。 绝对收敛的性质：  绝对收敛的级数一定收敛（因为：            n p k n k n p k n k z z 1 1 ），反之不定。  绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可 以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数 仍绝对收敛。  两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 例如，     0 1 n S an ，     0 2 l S bl 是绝对收敛的，则 [注意最后一步的 l k n   及 n 的取值范围] 1 2 0 0 0 0 0 0 . k n l n l n k n n l n l k n S S a b a b a b                     | | ( 0) l b  因为 | | n a 和 | | l b 构成的实数级数收敛，所以 | | n k n a b  构成的实数级数也收敛。 由于   k1 k z 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若 k k u  v ，而   k1 k v 收敛，则   k1 uk 收敛； 若 k k u  v ，而   k1 k v 发散，则   k1 uk 发散； 比值判别法（D’Alembert 判别法）：若 lim 1 1     l u u k k k ，则   k1 uk 收敛； 若 lim 1 1     l u u k k k ，则   k1 uk 发散； 若 lim 1 1     l u u k k k ，   k1 uk 可能收敛，也可能发散；

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 根值判别法(Cm判别法若mpk-1时 n ∑kl收敛(相当于0,存在一个与z无关的N(E),使当 n>N()时,对于任意正整数p≥1a4(z)<E对D中每一点z均成 立,则称级数∑u4()在D内一致收敛。 (X)一致收敛级数的性质: ·一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的,级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质 ·(*)若在区域D内满足()≤a4,a与无关(k=12,…),且∑a4收敛,则 k=1

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 根值判别法（Cauchy 判别法）：若 lim 1 1   k k k u ，则   k1 uk 收敛； 若 lim 1 1   k k k u ，则   k1 uk 发散； 若 lim 1 1   k k k u ，   k1 uk 可能收敛，也可能发散； Gauss 判别法：如果（至少 n 充分大） 2 1 1 1 n n u O u n n            ，则当   1 时，   n1 un 收敛（相当于 1 1 n n u u   ）；而当   1 时，   n1 un 发散。 3． 复变函数级数（设 u (z) k 为域 D 中的连续函数，k 1,2, ） 函数级数的收敛：如果对于 D 中的一点 0 z ，级数     1 0 k k u z 收敛，则称级数     k1 k u z 在 0 z 点收敛；反之     1 0 k k u z 发散，则称     k1 k u z 在 0 z 点发散。 如果级数     k1 k u z 在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。 其和函数 S(z) 是 D 内的单值函数。 一致收敛：如果对于任意给定的   0 ，存在一个与 z 无关的 N( ) ，使当 n  N() 时，对于任意正整数 p 1,       n p k n k u z 1 ( ) 对 D 中每一点 z 均成 立，则称级数     k1 k u z 在 D 内一致收敛。 （X）一致收敛级数的性质：  一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质。  （*）若在区域 D 内满足 k ak u (z)  ， k a 与 z 无关 ( 1,2, ), k  且   k1 k a 收敛，则

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMaaPhys FDU ∑u(2)绝对且一致收敛。(imas的M判别法) ·连续丝,如果n4()(k=1,2,…)在D内连线,级数∑n()在D内一致收敛,则其和 函数S(-)=∑u()也在D内连续。 ●这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限, 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,m∑4()=∑ma4(2) ·逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果u1()(k=1,2,…)在C上连 线,则对FC上一致收敛级数∑()可以逐项积分∑4(=∑[4 ·娜项求导数( Weierstrass定理)设u1()(k=1,2,…)在D中单值解析∑u4(=)在D 中一致收敛,则此级数之和f(-)=∑l1(2)是D内的解析函数,f(-)可速项求导 求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。()=∑m(=) [上面这些性质的证明见《数学物理方法》,北大吴崇试,高等教育出版社。] 函数∫(x)在x处连续即lmf(x)=f(x0)可表述为:对任意给定的E>0,总存在 δ>0,当x2-x6,所以连续,但并非一致连续 Xx 因为当x=A工=△+6时,M= 若△>δ,则连续;若Δ≤δ,则A|≈ △(△+O) 康托尔( Couter)定理:在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6     k1 k u z 绝对且一致收敛。（Weierstrass 的 M 判别法）  连续性：如果 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 D 内连续，级数     k1 k u z 在 D 内一致收敛，则其和 函数       1 ( ) k k S z u z 也在 D 内连续。  这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限， 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，          1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 k k z z k k z z u z u z .  逐项求积分：设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 C 上连 续， 则对于 C 上一致收敛级数     k1 k u z 可以逐项积分， 1 1 ( )d ( )d . k k C C k k u z z u z z          逐项求导数（Weierstrass 定理）：设 ( ) 1,2, k u z k （  ） 在 D 中单值解析，     k1 k u z 在 D 中一致收敛，则此级数之和       1 ( ) k k f z u z 是 D 内的解析函数， f (z) 可逐项求导， 求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ). m m k k f z u z    [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。] 函数 f x( ) 在 0 x 处连续即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   可表述为：对任意给定的   0 ，总存在   0 ，当 2 1 x x   时，使得 2 1 f x f x ( ) ( )    成立。 一致连续： 不依赖于 x . 例如： 1 f x( ) x  ，x(0,1) ， 2 1     x x x  ，  f  . 对任意小的正数  ， 2 1 1 2 1 1 x f x x x x        ， 1 2 ( , ) x x   ，所以连续，但并非一致连续。 因为当 1 2 x x      ,  时， ( ) f        .若   ，则连续; 若   ，则 1   f 1  . 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 、幂级数( Power series) 1.定义:以幂函数(-b)为一般项的级数f()=∑a1(=-b)称为以b为中 心的幂级数。反之,函数f()在z=b附近的 Taylor级数展开,其系数为 (k=0.1.2.…) 2.幂级数的收敛性: Abe定理:如果级数∑a(=-b)在某点=收敛,则 该级数在圆域-b|=0-b外处处发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7 二、 幂级数( Power series) 1．定义：以幂函数   k z  b 为一般项的级数        0 ( ) k k f z ak z b 称为以 b 为中 心的幂级数。反之，函数 f z( ) 在 z b  附近的 Taylor 级数展开，其系数为 0,1,2, k a k （  ）. 2．幂级数的收敛性： Abel 定理：如果级数       k 0 k ak z b 在某点 0 z 收敛，则 该级数在圆域 z  b  z0  b 内绝对收敛，而且在 ( ) z  b  r r  z0 b 内一致收敛。 证明：因为       k 0 k ak z b 在 0 z 点收敛，故一定满足必 要条件， lim  0    0  k k k a z b . 因此存在正数 M，使得， a z b M k k 0   (k  0,1,2, ) ，于是，     k k k k k k z b z b M z b z b a z b a z b          0 0 0 . 当 0 | | 1 z b Z z b     ，即 z  b  z0  b 时，几何级数      k 0 0 k z b z b 收敛，故       k 0 k ak z b 在圆 z  b  z0  b 内绝对收敛。 而当 z b  r  z0 b 时，   k k k k z b r a z b M    0 ，而常数项级数   k0 0  k k z b r 收 敛，故根据 Weierstrass 的 M 判别法，       k 0 k ak z b 在圆 ( ) z  b  r r  z0 b 内 一致收敛。 推论一： 如果级数       k 0 k ak z b 在某点 0 z 发 散 ， 则 该 级 数 在 圆 域 z  b  z0  b 外处处发散

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 当121时 1∑1=-∑1(1内处处发散) 推论二:对于幂级数∑a(=-b),必存在一个实数R≥0,使得在圆 -b=R内级数处处收敛,同时在圆-b=R外级数处处发散。 这个圆-b=R称为∑a(-b)的收厦,而半径R称为收敛半径 *收敛半径的求法,虽然有紧接着下面的常规方法,但是见p.ll的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3.幂级数的收敛圆和收敛半径 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆及其收敛半径 (1)R=man,这是因为,根据 D'Alembert判别法,有 a-by1+-m乙1时级数收敛,因此得 <R=ln (2)R=m一=,这是因为,根据 Cauchy判别法,有 l(-b1-1-ma<1时级数收敛。因此得 -b<r=lim 4.幂级数∑a(=-b)在收敛区域内的性质 在收敛圆内绝对收,在收圆内的任何闭圆域上一致收敛。[ Abel theorem ◆和函数在收圆内解析。因幂级数的每一项都是解析函数,由Abel定理知幂

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 当 z 1 时 ， 0 1 1 n n z z      ( 1 z  外处处发散） ; 当 z 1 时 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z z n n z                ( 1 z  内处处发散）。 推论二：对于幂级数       k 0 k ak z b ，必存在一个实数 R  0 ，使得在圆 z  b  R 内级数处处收敛，同时在圆 z  b  R 外级数处处发散。 * 这个圆 z  b  R 称为       k 0 k ak z b 的收敛圆，而半径 R 称为收敛半径。 ** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3．幂级数的收敛圆和收敛半径： 在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1） 1 lim    n n n a a R ，这是因为，根据 D’Alembert 判别法，有     lim lim 1 1 1 1           n n n n n n n n a a z b a z b a z b 时级数收敛。因此得 1 lim      n n n a a z b R . （2） n n n a R 1 lim   ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有 lim      lim 1   n n n n n n n a z b z b a 时级数收敛。因此得 n n n a z b R 1 lim     . 4．幂级数       k 0 k ak z b 在收敛区域内的性质：  在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem].  和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可透项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ∫∑a(-byd=-∑∫(-byd=241(-y-(-y a(2-b) ak a4k(x-b)=∑a1(k+1)(二-b) 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑cn”的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)∑nc=(k为实数):(2)∑(2"-lk an=n cn, R lim =lim R (2)a=(2"-1 R2=lim lim lim y2-)2-)k R 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, ①逐次求积分和导数任意次; 收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p11的第二个菱形) 三、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析]  和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明]                               0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z          0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b                               积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数   n0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1）   n0 n n k n c z （ k 为实数）； （2）      0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a  n c ，   1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c                      . （2） 2 1 ,  n n n a c       2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c          注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|=-b<R内是解析的,则f(x) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(=)=∑a(=-b),其中 ∫(5 d:=/(b) (k=0,12,…),并且这样的展开是唯一的。 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:|-b≤R上是绝对且一致收敛的 在R和R之间取一圆C 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f∫(=) d 其中z是闭圆域-b≤R内的任一点。 因为 1-Z ∑2(Z}k1) 5-(5-b)-(=-b)5-b1-2-b5-b2(-b 其中F=≤n<1,即级数∑是收敛的。根据wmas的M判别法 RI 级数 是绝对且一致收敛的。那么∑ f(2)也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 ∫(5) f(5)d 2丌i f()-d(=-b)=∑4(-6) (5-b)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z b  R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数        0 ( ) k k f z ak z b ，其中   ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b           （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1  R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z   上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C  ： b R1     ，根据 Cauchy 积分公式，有     1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z     ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z   内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z                 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b                              其中 1 1 1      R R b z b  ，即级数             0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数              k 0 k b z b  是绝对且一致收敛的。那么     ( ) 0 1   f b z b k k k             也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是           1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b                                                       