Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU Chapter12球坐标系下的分离变量法 Legendre多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace算术的表示 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例如, Legendre函数、连带 Legendre函数和球谐函数等)。 函数空间概念(复习) D:基矢:{}(=123):正交:·=5:表示:=+x十x 这是3 D Euclid space,直观、简单、符合常识。 (3+1)D:是加t,还是加,如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有 了相对时空位置,还有了 scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念 nD:基矢是{q(x)(=123…m),带权p(x)的正交归一性如下 ∫p(x)(x)9,(x)dx=6,→∞D: ilbert space.基矢亦是函数,并且 straight scaling→> curve scaling.j: quantum numbers.抽象、复杂、冲破常识 对于任意函数f(x只要其定义域与{q(x)的相同,总有f(x)=∑c%n(x) 其中jdxp(x)gi()(x)=∑cp(x)9(x)9,(x)dr= cmis a representation.! 当f(x)已知时,cn是上式;当f(x)是q(x)的线性组合时,c是其系数 1.nD向量空间:有nD向量的集合. 1)表述:n个独立的单位矢量可,2…排成基向量,选{2}为正交归一基 矢,即可=,则=∑x和x=x(在上的坐标值一表示)。 2)内积:xj=(xy=∑x 3)模方:(,)=∑=∑=同 4)基矢的完备性:nD空间有1D矢量系{a}(=12…n),若不能在此空间
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示； 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等）。 函数空间概念(复习) 3D：基矢： ej ( j =1,2,3) ；正交： i j ij e e = ；表示： 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e = + + , 这是 3D Euclid space，直观、简单、符合常识。 (3+1)D：是加 t ，还是加 4 ite ， 如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有 了相对时空位置，还有了 scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。 n D：基矢是 j ( ) x ( j n = 1,2,3, , )，带权 ( x) 的正交归一性如下： ( ) ( ) ( ) * d i j ij x x x x = D：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且 straight scaling → curve scaling.j：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！ 对于任意函数 f x( ), 只要其定义域与 j ( ) x 的相同，总有 ( ) ( ) 1 , n n n f x c x = = 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 m n m n m n x x x f x c x x x x c = d d = = is a representation! 当 f x( ) 已知时， n c 是上式；当 f x( ) 是 ( ) n x 的线性组合时， n c 是其系数。 1．n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. 1) 表述： n 个独立的单位矢量 1 2, , , , n e e e 排成基向量，选 ej 为正交归一基 矢，即 i j ij e e = ，则 1 n j j j x x e = = 和 j j x x e = （在 j e 上的坐标值—表示）。 2) 内积： ( ) * 1 , . n j j j x y x y x y = = = 3) 模方： ( ) 2 2 * 1 1 , . n n j j j j j x x x x x x = = = = = 4) 基矢的完备性： n D 空间有 1D 矢量系 ej ( j n = 1,2, , ) ，若不能在此空间
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU 找出一个简单向量f,使了与(}正交,则称为完备系,x=∑xp 2.函数空间( Hilbert space):在域xab]上分段连续、平方可积的函数 q(x)[J,p(x(x)(x)dx有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space D正交函数系;如0Q内的(=和叫(小 ②4内的=(=均为完备基 一般带权正交函数系的定义:设q(x)2(x)…9n(x)…,在x[a,b]上有 (9n(x,(x)=J,p(x)()2(x)dx=N26m 则称((x)}是在x{ab]上的带权[p(x)>0]正交函数系。把 N:=1(对于所有的n)称为/()为正交归一函数系若 (()92(x)=Jp(x)(x)(x)dx=(x)=N称为模之平方, (A Set of orthogonal complete normalized function bases) 2)广义 Fourier展开( ( expansion):若(x)是x[ab上的正交完备系,则 x[a6]上任意分段连续(平方可积)的函数f(x)均可表示为 ∫(x)=∑c9n(x),其中cn f(xo()p(x)dx ∫(x)(x)(x 正交曲线坐标系 1.从直角坐标系到正交曲线坐标系 x=rsin8cos 球坐标系(,.,9)关系:{y= rsin esin c=rcos e 柱坐标系()关系:{y= psin p
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 2 找出一个简单向量 f ，使 f 与 ej 正交，则称为完备系， 1 n j j j x x e = = . 2．函数空间（Hilbert space）：在域 x a b , 上分段连续、平方可积的函数 ( x) [ * ( ) ( ) ( )d b a x x x x 有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. 1) 正交函数系：如① x l 0, 内的 sin n x l 和 cos , n x l ② x l l − , 内的 1,cos ,sin n n x x l l 均为完备基。 一般带权正交函数系的定义：设 1 2 ( x x x ), , , , ( ) n ( ) ,在 x a b , 上有 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) * 2 , b m n m n n mn a x x x x x x N = = d ， 则 称 n ( x) 是 在 x a b , 上 的 带 权 [ ( x) 0 ] 正交函数系 。 把 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * 2 , b n n n n n n a x x x x x x x N = = = d 称为模之平方，若 2 1 Nn = （对于所有的 n ）称为 j ( x) 为正交归一函数系 n ( ) n x N (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion)：若 n ( x) 是 x a b , 上的正交完备系，则 x a b , 上任意分段连续（平方可积）的函数 f x( ) 均可表示为 ( ) ( ) 1 , n n n f x c x = = 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) * * ( ) . ( ) b n a n b n n a f x x x x c x x x x = d d 一、 正交曲线坐标系 1．从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系 (r,,) 关系: sin cos , sin sin , cos . x r y r z r = = = 柱坐标系 (,,z) 关系: cos , sin , . x y z z = = =
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU x=x(q1,q2(q3) 般曲线坐标系(q,q4291)关系:{y=y(192,q =2(q1,q2,q3) ax/aq, ax/ /q3 满足mai行列式(x2=/ana12121≠0(变换条件) (q1,q2,q2) 如果三族坐标线是处处相互正交的,则称这种坐标系为正交曲线坐标系。 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系?可以通过计算弧元长度: )=(d)+(dy)2+ 45,中q dqr dq =∑ 8, dq, dq 其中,gn=gA ax ax ay ay az az 如果gn=8n,则称此坐标系 aq aq, aq aqi aq 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴q的弧元长度为d=hdq,而h=√g 称为坐标曲线q的度规因子;(ds)2=h2(dq)2+h2(dg2)2+h2(dgn)2.如果 g, d q, dq,=(hd)o,即各个坐标曲线的相互投影为零,则它们之间相互正交 例如,对于球坐标系, (ds)2=(dx)2+(dy)2+(d (sin Acosodr+rcos 8 cos (de-rsin O odp) +(sinOsinodr+rcos sin ode+rsin 0 cos odp) +(cos edr-rsin eda (dr)+r(d0)+rasin e(do) 球坐标系是正交曲线坐标系,h=√1=1,h=√82=r,h=g3=rsmO
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 3 一般曲线坐标系 ( , , ) q1 q2 q3 关系: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x x q q q y y q q q z z q q q = = = 满足 Jacobi 行列式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 / / / ( , , ) / / / 0 ( ). ( , , ) / / / x q x q x q x y z y q y q y q q q q z q z q z q = 变换条件 如果三族坐标线是处处相互正交的，则称这种坐标系为正交曲线坐标系。 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系？可以通过计算弧元长度: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 , 1,2,3 d d d d d d d d d d d d d d d , ij i j i j s x y z x x x q q q q q q y y y q q q q q q z z z q q q q q q g q q = = + + = + + + + + + + + = 其中， i j i j i j ij ji q z q z q y q y q x q x g g + + = = . 如果 gij = gii ij ，则称此坐标系 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴 i q 的弧元长度为 d d i i i s h q = ，而 hi = gii 称为坐标曲线 i q 的度规因子； 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 (d ) (d ) (d ) (d ) . s h q h q h q = + + 如果 2 d d ( d ) , ij i j i i ij g q q h q = 即各个坐标曲线的相互投影为零，则它们之间相互正交。 例如，对于球坐标系， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d sin cos d cos cos d sin sin d sin sin d cos sin d sin cos d cos d sin d d d sin d . s x y z r r r r r r r r r r r = + + = + − + + + + − = + + 球坐标系是正交曲线坐标系， hr = g11 =1，h = g = r 22 ，h = g33 = rsin
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 对于柱坐标系 (ds)2=(dx)2+(dy)2+(d) (cosodp-psin dp)+(sinop+pcos pdo)+(d= =(dp)+p2(d)+(d) →柱坐标系也是正交曲线坐标系,且 h h p,h2=√g3=1 2.δ函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中,δ(F-F)=6(x-x)6(y-y)06(z-) 设尸点对应于直角坐标系(x,y,)的新坐标为(G,2q),即 x=x(q1,9,q) y=y(4,g,q),并设f(xy)在点(xy,=)附近为连续的任意函数, z'=2(q1,q2,q3) 按δ函数的定义,有 盯(xy:)5(x-x)6(y-y)6(=-2)dd=f(x:y,=) 左边的积分可以作变量代换,而右边的函数作上述变量代换,有 [xq,49)y(g,939)2(9191,4)小(x-x)y-yb(=- a(x,y,=) 0(q1,q2,q2 dq,da,de4=/xq19,q)y(1929)21999 另一方面,由δ函数的定义,又有 xq4,434)y(q,42,4)2,4295)2(9-901-9)(91-4) xdq, dq2da,=f[x(gi, q2, 9'), y(q1, 92, 93),(qi,2, 93)] 比较上面两式,由于∫是任意函数,得到 (x-x)6(y-y1)6(z-) a(x,y,二) =o(q1-41)6(q2-q2)6(q3-q3 a(q1,q2,q3 即在一般正交曲线坐标系中,δ函数的表达式为 0(x-x)(y-y1(2-2)=2(9-q)b(-9)(q3-g) a(x,y, =) (q1,42g3) 在正交曲线坐标系中,由六个面q12q1+dqn1q2q2+dq2,q3,q3+dq3所构
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4 对于柱坐标系， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d cos d sin d sin d cos d d d d d . s x y z z z = + + = − + + + = + + 柱坐标系也是正交曲线坐标系，且 h = g11 = 1， 22 h g = = ，hz = g33 = 1. 2． 函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中， (r − r ) = (x − x ) ( y − y ) (z − z ) . 设 r 点对应于直角坐标系 (x , y ,z ) 的新坐标为 ( ) 1 2 3 q , q , q ，即 = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z q q q y y q q q x x q q q ，并设 f (x, y,z) 在点 (x , y ,z ) 附近为连续的任意函数， 按 函数的定义，有 f x y z x x y y z z x y z f x y z ( , , ) ( ) ( ) ( )d d d ( , , ). − − − = 左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . ( , , ) f x q q q y q q q z q q q x x y y z z x y z q q q f x q q q y q q q z q q q q q q − − − = 另一方面，由 函数的定义，又有 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . f x q q q y q q q z q q q q q q q q q q q q f x q q q y q q q z q q q − − − = 比较上面两式，由于 f 是任意函数，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , , ) x y z x x y y z z q q q q q q q q q − − − = − − − 即在一般正交曲线坐标系中， 函数的表达式为 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( , , ) q q q q q q x x y y z z x y z q q q − − − − − − = 在正交曲线坐标系中，由六个面 1 1 1 2 2 2 3 3 d 3 q , q + dq , q , q + dq , q , q + q 所构
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU a(x,y,=) 成的体积元为=qd43=山山k 因此,δ(x-x)6(y-y)6(z 6(q1-q)6(q2-q2)(q3-q3) h,h,h3 球坐标系中,h=1,b=r,b=rSn, (x-x)o(y-y)6(二-) d(r-r)6(0-67)o(q-q) 柱坐标系中,h=1,h=p,h=1, (x-x)o(y-y)6(二-2) -p1)(g-g)6(=-2 平面极坐标系中,h=1,h=P o(x-x)(y-y)=2(P-p)(g-q) 由体积元dr=hh2l2 dq, dq, dq3知道,球坐标系中体积元为r2 drain eded,权重 函数分别为(2,sine,1)柱坐标系中体积元为 pdpdpd,权重函数分别为(p,1,1) 3.场量的梯度( grade:Vu),散度( divergence:V·A),旋度( rotation:V×A)和 Laplace算符v2等在正交曲线坐标系中的表达式 (1)标量u(nq24q3)的梯度Vv是一个矢量,在直角坐标系中的表达式是 V ax ay a5 其中1,,k分别是3D实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中,V的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 ,如以(=12,3)分别表示点(qn,q2,q)沿三条坐标线的单位矢量,就有 (Note: ds,=hdq,) h
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 5 成的体积元为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) d d d d d d d . ( , , ) x y z q q q h h h q q q q q q = = 因此， 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h q q q q q q x x y y z z − − − − − − = . 球坐标系中， hr =1，h = r ，h = rsin , sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r x x y y z z − − − − − − = . 柱坐标系中， h = 1，h = ，hz =1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y z z − − − − − − = . 平面极坐标系中， h = 1，h = , ( ) ( ) ( ) ( ) − − x − x y − y = . 由体积元 1 2 3 1 2 3 d d d d = h h h q q q 知道，球坐标系中体积元为 2 r rd sin d d , 权重 函数分别为 2 ( ,sin ,1). r 柱坐标系中体积元为 d d d ,z 权重函数分别为 ( ,1,1). 3．场量的梯度(grade: u )，散度(divergence: A )，旋度(rotation: A )和 Laplace 算符 2 等在正交曲线坐标系中的表达式 （1）标量 ( ) 1 2 3 u q , q , q 的梯度 u 是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是 k z u j y u i x u u ˆ ˆ ˆ + + = ， 其中 i j k ˆ , ˆ , ˆ 分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中， u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 i s u ，如以 i e ˆ (i =1,2,3) 分别表示点 ( , , ) q1 q2 q3 沿三条坐标线的单位矢量，就有 = = = = 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u . (Note: d d ) i i i s h q =
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU (2)矢量A(q1,q2,q)=A+A2+Ae3的散度V·A是一个标量,定义为 以S记体积元的边界面,dS表示大小为dS,方 向为面积元外法线方向的矢量,则∫4ds是A 通过边界面S的通量,而a(q,q2,q)点的散度是 VA=[Ads/da 通过坐标面q1的通量是[(-A1)2dq2hdg3l 通过坐标面q+d1的通量是[42d4l 通过坐标面q2的通量是(-A2 h, dg, h,do2l 4+ 通过坐标面q2+d2的通量是[4 dqh, dq, I2a 通过坐标面q2的通量是[(-4)hdqh2dg2l a qa ds2动2aq 通过坐标面q3+dg的通量是[4ddql2 因此 VA=8.A+8 A2+aA= 鸟[27(4么 (4h)+。(Ah) (3)矢量A(q12q2q3)=Ae1+Ae2+Ae的旋度V×A是一个矢量,它在e1方向 的分量x定义为:以1记坐标面q上的面积元d1=h4d的边界线, 其走向是关于4成右手螺旋的,则(V×A)=∮d1A.因为, d=[4m+[4]+(一4邮工+[(-4)d (44)-(4h)14 所以,x=1「0 h,h, laq2 (41h2)-(412) x,(x)可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有 6
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 （2）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ 的散度 A 是一个标量，定义为： 以 S 记体积元的边界面， S d 表示大小为 dS ，方 向为面积元外法线方向的矢量，则 S A dS 是 A 通过边界面 S 的通量，而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S = A A S . 通过坐标面 1 q 的通量是 ( ) 1 1 2d 2 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q1 + dq1 的通量是 1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 2 q 的通量是 ( ) 2 2 1d 1 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q2 + dq2 的通量是 2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 3 q 的通量是 ( ) 3 3 1d 1 2d 2 q − A h q h q ， 通过坐标面 q3 + dq3 的通量是 3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q + . 因此， ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q = + + = + + （3）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ 的旋度 A 是一个矢量，它在 1 e ˆ 方向 的分量 ( ) A 1 定义为：以 l 记坐标面 1 q 上的面积元 dS1 = h2dq2h3dq3 的边界线， 其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的，则 ( ) 1 1 d / d . l = A A l S 因为， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q + + = + + − + − = − 所以， ( ) ( ) ( ) − = 2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A . ( ) A 2 ，( ) A 3 可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) V×A h,h, laq (44)-(4)1 h[c(4)-。(4)2 hh,n(4h2)-2( (4) (4) Laplace算符v2 利用V·A= 内[(4)+(4的)+(4) 和V=2②2c e,得到 V=V·(Vl)= h,h, h,h, h,h, h地anhn)2(如2)a(h 球坐标系中,h=1,h=r,h=rsm0 Vu= sin e sin 0ae 柱坐标系中,b。=1,h=p,h= pal ap p2 ap2az 平面极坐标系中,b1,b一,V=1()+是 p dp 二、分离变量对坐标系的要求 1)方程和边界条件都必须是可分离变量的(例如两者均是齐次的); 2)既取决于方程的形式和边界条件,也与坐标系的选择有关; 3)选择坐标系的原则一便于边界条件处理 立方系:直角坐标系 球面系:球坐标系;椭球面系:椭球坐标系 平面圆系:极坐标系;柱面系:柱坐标系
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ . A A h A h e A h A h e h h q q h h q q A h A h e h h q q = − + − + − （4）Laplace 算符 2 利用 ( 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 A A h h A h h A h h h h h q q q = + + 和 = = = = 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u ，得到 ( ) + + = = 3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 q u h h h q q u h h h q q u h h h h h h q u u . 球坐标系中， hr =1，h = r ，h = rsin , 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 + + = u r u r r u r r r u . 柱坐标系中， h = 1，h = ，hz =1, 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u + + = . 平面极坐标系中， h = 1，h = , 2 2 2 2 1 1 + = u u u . 二、分离变量对坐标系的要求 1）方程和边界条件都必须是可分离变量的（例如两者均是齐次的）； 2）既取决于方程的形式和边界条件，也与坐标系的选择有关； 3）选择坐标系的原则—便于边界条件处理： 立方系：直角坐标系； 球面系：球坐标系；椭球面系：椭球坐标系； 平面圆系：极坐标系；柱面系：柱坐标系
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 三、圆形区域内 Laplace方程的定解问题 例1.利用分离变量法求解定解问题(2+0D) V-u(e, a,. au 0,(0≤p≤b) l=f(q)周期性和自然边界条件见后。 设u(p,)=R(p)Φ(g),代入方程并分离变量,得 R(p)dplpr'(e)]=-$() d() 由此得到两个方程: "(q)+Ad(q)=0 PR(P)+pR(P)-R(P)=0 其中,极角方向的方程Φ"()+A()=0与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为,一般来说,场量u(p,)是单值的,应当满足,u(p,q+2)=l(p,).因 此Φ(q+2x)=Φ().所以Φ(2x)=ΦO)和Φ(2x)=Φ(0)(这些边界条件不同于 界面衔接条件).这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 A=Am=m, (=d()= Am cos mo +B sin mp,(m=0, 1, 2, .. 现在解分离变量以后的径向方程p2R'(p)+pR(p)-ZR(p)=0( Euler型方 程),其特点是,n阶导数的各项又乘以自变量的n次方(n=0,1,2).解法如下: 令R=p3,代入方程后得关于k的代数方程,解出k可得方程的特解。 k(k-1)p4+kp-m2p=0,消去p,得 k(k-1)+k 解得k2=±m,从而得方程的两个特解,{p,pm}.当k=k2=m=0时,则 两个特解为{,phnp}=lnp}(好比Jm(x)和N(x)当==m=0时, R(p)=Ro(p)=Co+Dhn p=Co(1+Do In p) 当=Am=m2≠0时,R(p)=R2(p)=Cmp"+Dpm=Cm(p"+DmP
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 8 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题 例 1. 利用分离变量法求解定解问题（2+0D） ( ) 2 2 2 2 1 1 ( , ) 0, 0 ( ), b u u u b u f = = + = = 周期性和自然边界条件见后。 设 u(,) = R()() ，代入方程并分离变量，得 d ( ) [ ( )] . ( ) d ( ) R R = − 由此得到两个方程: () + () = 0， ( ) ( ) ( ) 0 2 R + R − R = , 其中，极角方向的方程 () + () = 0 与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为，一般来说，场量 u( , ) 是单值的，应当满足， u(, + 2 ) = u(,). 因 此 + = ( 2 ) ( ). 所以 (2 ) = (0) 和 (2 ) = (0) （这些边界条件不同于 界面衔接条件）. 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 2 = m = m ，() = m () = Am cosm + Bm sin m ，( m = 0,1,2, ). 现在解分离变量以后的径向方程 ( ) ( ) ( ) 0 2 R + R − R = (Euler 型方 程)，其特点是，n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下： 令 k R = ，代入方程后得关于 k 的代数方程，解出 k 可得方程的特解。 ( 1) 0 2 − + − = k k k k k k m ，消去 k ，得 ( 1) 0 2 k k − + k − m = . 解得 k1,2 = m ，从而得方程的两个特解， m −m , . 当 1 2 k k m = = = 0 时，则 两个特解为 1 1 , ln 1,ln } k k = .(好比 ( ) m J x 和 ( ) N x m )当 0 = = = m 0 时， () () ln (1 ln ) R R0 C0 D0 C0 + D0 = = + = . 当 0 2 = m = m 时， ( ) ( ) ( ) m m m m R R C D C D m m m m m − − = = + = +
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 则一般解为 (p.9)=∑R(pyn(q) Ao(1+Do In p)+2(A cos mp Bu sin mp)(p"+Dmpm) 对于本题定解问题的圆内问题(0P≤b),有自然边界条件团≠4因此 D=0,Dn=0(m=1,2,…)这时,一般解为, u(p, )=4o+2(Am cos mo+Bm sin mo)p 其中An,Bn由边界条件给出,它们是 偶函数部分:4=1CO,4=1C17101m0, 奇函数部分:B f(e)sin mede *对于下面例题的圆外问题(b≤p≤∞),上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:有界,或是具体问题需要具体确定。 例2.在电场强度为E0的均匀电场中,放入一个半径为b的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于E,单位长度的带电量为Q.求导体圆柱外的电势分布。 解:分析:以圆柱的轴线为z轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与z无关(2+0D).以E0方向为x轴方 向取极坐标系,电势(p,q)所满足的定解问题是 Vu(p,p)=Ial,Ou )pc=0(>b) =0.t≈tl E1pso-Qmp(p>b见下) 这里我们选取导体表面p=b为电势零点。第二个边界条件的右端第一项uo 是待定常数;第二项是均匀电场E0的电势-E0x=- CoCos,第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为a2当L→∞时,无穷多个点电荷在p处产
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D = − = = = + + + + *对于本题定解问题的圆内问题 (0 b)，有自然边界条件 =0 u ，因此， D0 = 0， Dm = 0 ( m = 1,2, ). 这时，一般解为， ( ) = = + + 1 0 ( , ) cos sin m m u A Am m Bm m ， 其中 Am Bm , 由边界条件给出，它们是： 偶函数部分： = 2 0 0 ( )d 2 1 A f ， = 2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m ， 奇函数部分： 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a = **对于下面例题的圆外问题 (b )，上述一般解也适用，但需要增加 边界条件： → u 有界，或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其 轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题，因 为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方 向取极坐标系，电势 u(,) 所满足的定解问题是 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b = = + = = − − 见下 这里我们选取导体表面 = b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0 − = − E x E cos ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势，记为 2 u . 当 L → 时，无穷多个点电荷在 处产
Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU 生的电势(需要将电势零点位移,即定义p=∞为零电势) △(p) Odz O,L/2+√z2/4+ L/2+√12/4+ L 4zs0-L/2+(L/2)+(2p/L)2/2] O L ln-→∞(L→∞) 2Te (对数发散)。虽然新物理量△m(p)=1△(p)=gLP)不再发散,但是将 gmL→∞吸收到中,即a(p)=A(p)-QmL=-9mp物理上2D 2 的对数发散,见 Chapter14 用分离变量法,可得此定解问题的一般解为(Note:m=0,1,2,…) u(p,)=2R(P)m (p)=A(1+Do In p)+2(A cos mp +Bm sin mp)(p"+Dmp-m) +dInb=0 由 0即 可得,D0= Dn=-b2m(m=1,2,…) b+db=0 In b Note:各m是相互独立的。于是, m(n)= Inb(in b-Inp) ∑(4cosm+ Bm sin mp)) 再利用,a≈0-E0pcos02n hp(当p>>a时),有 Ing(Inb-Inp)+2(Am cos mp+Bm sin mp)p"=1-EoPcos@_np 比较各个m(m是相互独立的,这个方法等价于用正交性积分来确定系数)关 于(o)的系数得,42=lb,Ln ∫-E(m=1) 0.(m=2,3 Bn=0(m=1,2,…),以 及=4=Qmnb这就是信息通过边界传到体内!从而,本定解问题的物理
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 10 生的电势(需要将电势零点位移，即定义 = 为零电势): / 2 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 2 0 2 0 0 1 / 2 / 4 ( ) ln 4 4 / 2 / 4 ln 4 / 2 ( / 2)[1 (2 / ) / 2] ln( ) ln ( , 4 2 ) L L Q z Q L L V z L L Q L L L L Q L Q L L − + + = = + − + + = − + + = → → d (对数发散)。虽然新物理量 0 1 ln( / ) ( ) ( ) 2 Q L v V L L = = 不再发散，但是将 0 ln 2 Q L → 吸收到 2 u 中, 即 2 0 0 ( ) ( ) ln ln . 2 2 Q Q u V L − = − = 物理上 2D 的对数发散， 见 Chapter. 14. 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为（Note: m = 0,1,2, ） 0 0 ( ) ( )( ) 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D − = = = = + + + + 由 0 b u = = 即 0 1 ln 0 0 m m m D b b D b− + = + = 可得， 0 1 ln D b = − ， 2m D b m = − ( m = 1,2, ). Note: 各 m 是相互独立的。于是， ( ) ( ) 2 0 1 ( , ) ln ln cos sin ln m m m m m A b u b A m B m b = = − + + − . 再利用， (当 a时) Q u u − E − ln 2 cos 0 0 0 ，有 ( ) ( ) 0 0 0 1 0 ln ln cos sin cos ln . ln 2 m m m m A Q b A m B m u E b = − + + = − − 比较各个 m （ m 是相互独立的，这个方法等价于用正交性积分来确定系数）关 于 ( , ) 的系数得， 0 0 ln 2 Q A b = ， 0 , ( 1) 0, ( 2,3, ) m E m A m − = = = Bm = 0 ( m = 1,2, ), 以 及 0 0 0 ln . 2 Q u A b = = 这就是信息通过边界传到体内！从而，本定解问题的物理
