复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第六章 Laplace变换 Laplace transform and delta function

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算,例如 ∑,∫,和等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪,求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务 1862年,俄数学家瓦申科-扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890年左右,英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程,他将 微分看做“乘法”d 0(x)=p(x),(x)=po(x),将积分看做“除法 「o55=10),y=(x,以及11=1x 例如,求解y-y=1,y(0)=0 5d= n!n+1 他用此法解了大量的微积分方程,包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题,这使职业数学家大为吃惊,责难他的方法毫无根据。他对此不睬,并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法,出过一些错误。 二十世纪,布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究,找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace引进的积分变换是一 脉相通的,符号法是 Laplace变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法,并称之为运算微积或算符演算。 1782年, Laplace研究概率论时得到一种特殊形式的积分, ∫eo(x)x=列(p):ox)→列(p)这种变换以及逆变换很多人研究过 8年,泊松得到以)=1丁“列P地这是 Riemann-Mellin变换

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如  , ,  和 d dx 等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862 年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890 年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 微分看做“乘法”： d ( ) ( ) d x p x x    ， n d ( ) ( ) d n n x p x x    ，将积分看做“除法”： 0 1 ( )d ( ) x x p       ， 0 0 1 ( )(d ) ( ) x x n n x p        ，以及 1 1 1 . ! n n x p n   例如，求解 y y y ' 1, (0) 0.    0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1. ! ! ! 1 ( 1)! n n x n n n n x n n n n py y y p p p p p x x x e p n n n n n                                       他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace 引进的积分变换是一 脉相通的，符号法是 Laplace 变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782 年 ， Laplace 研 究 概 率 论 时 得 到 一 种 特 殊 形 式 的 积 分 ， 0 ( )d ( ) : px e x x p         ( ) ( ). x p  这种变换以及逆变换很多人研究过。 1823 年，泊松得到 1 ( ) ( )d , 2 a i px a i x e p p i          这是 Riemann-Mellin 变换

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 积分变换简介( ntroduction to integral transforms) 1.积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系 2.积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数;对于偏微分方程,可以消去一个自 变量的微分。 3.积分变换法解微分方程的特点类似对数运算,不直接求未知函数,而是 求变换后未知函数的象,然后通过反演即求得未知函数 4.积分变换的定义:列(P)=K(P,x(xdx(ab可为有限或无穷),其中 K(Px)称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换列p2=(x)d的核为 e";傅里叶变換列()=∫co(x)dx的核为em;其它还有汉克尔变换 列(P)=Jnx1(px(x)dx,梅林变换列p)=x-oxdx等等。 5.积分变换的应用:求解常微分方程的初值问题,求解积分方程;求定积 分 LT应用:(1)求解常微分方程的初值问题。(2)求解积分方程。(3)求定积分。 LT特点:以定理形式讲授(但不证明),再例题分析。 、 Laplace变换的定义和基本性质 1.定义:若对于(O,∞)上的函数o(t),下述积分收敛于列(p),即 列(p)=5co)d,则称列(p)为o()的 Laplace变换,记为列(p)4>9(O 引入阶梯函数( Heaviside step function)H()= 0t< 0’那么 p(p)= e O(O)H(odr 2. Laplace变换存在的条件 (i)在区间[0,∞)中,o()和q(t)除具有第一类间断点外都是连续的,而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个; 第一类间断点是指在此点t=t不连续,但左极限imo(1)和右极限

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 4．积分变换的定义： ( ) ( , ) ( )d b a   p K p x x x   （a,b 可为有限或无穷），其中 K(p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 0 ( ) ( )d px   p e x x     的核为 px e  ；傅里叶变换 ( ) ( )d ipx   p e x x      的核为 ipx e  ；其它还有汉克尔变换 0 ( ) ( ) ( )d n   p xJ px x x    ，梅林变换 1 0 ( ) ( )d p   p x x x     等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0,) 上的函数 (t) ，下述积分收敛于 (p) ，即 0 ( ) ( )d pt   p e t t     ，则称 (p) 为 (t) 的 Laplace 变换，记为 (p) (t) 。 引入阶梯函数(Heaviside step function)       0 0 1 0 ( ) t t H t ，那么 ( ) ( ) ( )d . pt   p e t H t t      2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0,) 中， (t) 和 '(t) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 第一类间断点是指在此点 0 t  t 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 t t t    和右极限

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU imq(t)均存在且有限,所以可积。 (i)o(1)随t增长的速度不超过某一指数函数,即l(t)≤M >0,s6≥0,t≥0) 定理:当Rep=s>时,(1)(p)存在并一致收敛,即lmp(p)=0 或者说,当-x+δ≤mgp≤x-6时,列(P)→0(p→∞) (2)(p)为P的解析函数 证明:设p=S+i,则 o(p)=o o(e arl sS lo(l le ld sMJetwardt= m 因此,当Rep=S>S时,列(P)存在并一致收敛,即imn列p)=0 对于任何实常数s>5,考虑ReP≥时的积分[0"]d ≤Mt So 于是(mm1出是一致收敛的,根据含参变量广义积分的性质, 因此,「 交换求导和积分的次序,即 iop p(n)epd dp 由此可见,可(P)的导数在Rep≥s>s0上处处存在且有限 即可(p)是解析的 3. Laplace变换的基本性质 (1)线性定理:如果q()(P2()分四2(P),c,C2是两个复常 数,则,c1()+c22(1)4C1(p)+c2(P)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 3 lim ( ) 0 0 t t t    均存在且有限，所以可积。 (ii) (t) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即 s t t Me 0 ( )   0, 0, 0 M  s0  t  . 定理：当 Re 0 p  s  s 时，(1)  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 或者说，当          2 arg 2 p 时， (p) 0 p  . (2) (p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p  s  i ，则  0  0 0 0 0 ( ) ( ) d ( ) d d pt pt s s t M p t e t t e t M e t s s                    因此，当 Re 0 p  s  s 时，  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 对于任何实常数 1 0 s  s ，考虑 Re 1 p  s 时的积分 0 ( ) d pt t e t p               1 1 0 0 0 0 2 0 1 0 ( ) d ( ) d ( ) d d pt pt s t s s t t e t t e t t te t p p M M te t s s                                  因此， 0 ( ) d pt t e t p           是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， 于是可以交换求导和积分的次序，即               0 0 ( ) d ( ) d d d d d t e t p t e t p p p p t p t    由此可见，  ( p) 的导数在 Re 1 0 p  s  s 上处处存在且有限， 即  ( p) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 t 1 p 2 t 2 p ， 1 2 c ,c 是两个复常 数，则， ( ) ( ) ( ) ( ) c11 t  c22 t  c11 p  c22 p

(2)相似定理:如果04列,0是一正数,则0)→可2 证明:q(a P (3)原函数求导定理:如果o()列(p),则q()p(p)-0(0) 一般地,对自然数n,有(带初值) ()ep"(p)-p"o(0)-p2g(0) 证明 ()→D,o(et= Se"do( epro+pl o(e"'df= po(p)-p(O 其中,1→∞时,(l)e→0,这是因为(1)列(p),所以 ()≤Me,而Rep=s>S,因此 (t)e"|≤Me 两个极限: 0(p)=o(0),这是因为pp(p)-0(0)作为(t)的象 数,应满足lm[po(p)-o(0)=0,即mp0(p)=0(0). 2. li p)=limo(o) 这是因为o()[(O)ert=p列(p)-90), lim pp(p)=lim l o'(o)e dt+p(0)= o'(odt+p(O) lim(o) (4)原函数积分定理:如果o)4列(m),则1列p)(无初 值)。 证明:记v(1)=o(r)dr 显然,v(0) 于是有v()4pv(p)-v(0)=pv(p) 另一方面,v()=(1)<(p)比较两式可得

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4 （2） 相似定理：如果 (t) (p)，a 是一正数，则        a p a  at  1 ( ) . 证明：                      a p a a at at e t e a p p t        1 ( ) ( ) d ( ) d 0 0 . （3） 原函数求导定理：如果 (t) (p) ，则 '(t)  pp(0). 一般地，对自然数 n，有（带初值）     ( ) ( ) (0) '(0) (0) 1 2 1      n n n n n  t p  p p  p    . 证明： ( ) ( ) d   (0) '( ) '( ) d d ( ) 0 0 0 0                          t e p t e t p p t t e t e t p t t t p t p t p t 其中， t   时， ( )  0  pt  t e ，这是因为 (t) (p) ，所以 s t t Me 0 ( )  ，而 Re 0 p  s  s ，因此   ( ) 0  t e  pt  Me ss0 t  (t ). 两个极限： 1． lim  ( )  (0)  p p p ，这是因为 p(p) (0) 作为 (t) 的象函 数，应满足 lim  ( )  (0)  0  p p  p ，即 lim  ( )  (0)  p p p . 2． 0 lim ( ) lim ( ) p t p p t      ， 这是因为 '( ) '( ) d   (0) 0          t t e t p p p t ， 0 0 0 0 lim ( ) lim '( ) d (0) '( )d (0) lim ( ). pt p p t p p t e t t t t                          （4） 原函数积分定理：如果 (t) (p)，则   p p d t       0 ( ) (无初 值)。 证明：记 0 ( ) ( )d t     t   ，显然， (0)  0. 于是有 '(t)  p p(0)  p p. 另一方面， '(t) (t) p. 比较两式可得

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU pGp)=0(0),所以p)=P 这就是说w()o1,即r则() (5)延迟定理:如果∞()>列(p),τ是 正数,则 O(t-T)H(t-T)*e-prop)(t>r) 证明 pit-T).t) q(t-r)H(t-t)分 D p(t-TH(-re"dt=o(t-t)e"'di 在积分中作变换u=1-r,即得 (t-T)H(I-r)+e-ph p(uepdu=e"prp(p) 4.例题分析(已知原函数求象函数) (1)从定义,性质出发 例1求H()的象函数 解列(p)=H(Ont=1 e-pidt_I(Rep>0 P H(∠、1 (Re p>o) 例 (Rep>o 例2求e的象函数,a是一复常数。 解(P)=[e"e"=!ed P-a.(Re p> Rea) e (Re p> rea) 例2 cide" Re p>rea 例3求snt的象函数

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 5 p ( p) p ，所以   p p p   ( )  . 这就是说   p p t   ( )  ，即   0 ( )d t p p       . （5） 延迟定理：如果 (t) (p) ，是一 正数，则 t H t e p p        (  ) (  ) ( t  ). 证明: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d . pt pt t H t t H t e t t e t                       在积分中作变换 u  t  ，即得， ( ) ( ) ( ) d ( ) 0 t H t e u e u e p p p u p                 . 4. 例题分析(已知原函数求象函数)： （1）从定义，性质出发 例 1 求 H (t) 的象函数。 [解] p p H t e t e t p t p t 1 ( ) ( ) d 1 d 0 0            , (Re p  0) p H t 1 ( )  , (Re p  0) . 例 1' ： 0 1 1 d (Re 0). pt e t p p       例 2 求 at e 的象函数，a 是一复常数。 [解]   p a p e e t e t a t p t p a t            1 ( ) d d 0 0  , (Re p Rea) p a e at   1 , (Re p  Rea). 例 2' ( ) 2 0 0 1 1 d d (Re Re ) ( ) t t pt p t te te e t t e p p p                     . 例 3 求 sin t 的象函数

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 解]由 而si 所以 例4求snon的象函数。 [解一]由snt 当>0时 P P 列(P)= di=l 2i p>Im sin ot (Rep>llmo) 例5求cost, cos or的象函数。 [解]由于 所以 +1 p2+1 P 同样,由 sin ot← ,(Rep>mo),所以 cos ot=-(sin ot )e-p sin(o0) (Rep>lmo) p to 例6求r(n=0,1,2,…)的象函数 [解]由H()-(Rep>0)和积分定理得

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 6 [解] 由 p a e at   1 ，而   it it e e i t    2 1 sin ，所以 1 1 1 1 2 1 sin 2              i p i p i p t , Re p  0. 例 4 求 sint 的象函数。 [解一] 由 1 1 sin 2   p t ， 当   0 时， 2 2 2 1 1 1 sin                p p t , Re p  0. [解二]   ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 2 2 1 ( ) sin d d 2 1 d d 2 1 1 1 , Re Im 2 pt p i t p i t p i t p i t p te t e e t i e t e t i p i p i p i p                                                         2 2 sin      p t , Re p  Im . 例 5 求 cost ，cost 的象函数。 [解] 由于 1 1 sin 2   p t ，所以，   1 sin(0) 1 1 cos sin 2 2        p p p t t p ，Re p  0. 同样，由 2 2 sin      p t , Re p  Im  ，所以，   2 2 2 2 1 1 cos sin ' sin( 0) , p t t p p p                      Re p  Im . 例 6 求 t (n  0,1,2, ) n 的象函数。 [解] 由 p H t 1 ( )  Re p  0 和积分定理得

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU H(odta> P P 或者t←[te-pdr= tde p=0+ dt t2 或12,(Rep>0) pp =[t2d 少2,所以,台,或(Rep>o p3 3 般地有,或rReP>0) e「e"e"d= 例7 P r"e← (n=0,1,2…) (P-a) 例7求r“(Rea>-1)的象函数。 解列p2= ,(Rep>0) 所以t← r(a+1) (Re p 例8求H(t-)的象函数。 解]由H()+-(Rep>0),所以,根据延迟定理,有 H(t-r)=H(1)·H(-7)4>e P 例9求sno(t-r)H(-r),sno(-r)H1()的象函数。 解]由sno

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 7 2 0 1 1 ( )d p p p t H t t t     , Re p  0, 或者 2 0 0 0 1 1 1 d d 0 d , pt pt pt t t t te t t e e t p p p                  Re p  0. 2 2 3 0 1 1 d 2! t t p t t p p      , 或 3 2 2! p t  , Re p  0. 3 3 2 4 0 2! 2! d 3 t t p t t p p      , 所以， 4 3 1 3! p t  ，或 4 3 3! p t  Re p  0. 一般地有 1 1 !  n n n p t , 或 1 !  n n p n t Re p  0. 例 7 0 1 1 d , ! ,( 0,1,2, ). ( ) t t pt n t n e e e t p n t e n p                 例 7' 求 (Re  1)  t 的象函数。 [解] 1 1 0 0 1 ( 1) ( ) d d pt pt p t e t e p p                         , Re p  0. 所以 1 ( 1)        p t , Re p  0. 例 8 求 H(t  ) 的象函数。 [解]由 p H t 1 ( )  Re p  0 ，所以，根据延迟定理，有 1 ( ) ( ) ( ) p p e H t H t H t e p p              ，Re p  0. 例 9 求 sin(t  )Ht  ，sin(t  )Ht 的象函数。 [解]由 2 2 sin      p t

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 应用延迟定理,有simo(t-r)H(-)-0,e.(t≥x) p+o sinO(t-T)H(O=(sin @t cos @T-cos ot sin@r)H(O) sin otH(Ocos @T-cos otH(SinoR P p to p+o p2+o( ocos ar-psin @r)≥O 注意:*t∈[0,]或约定o()=0(t0) 又t-r> (t>r) (2)周期函数的象函数 设q()是周期为T的函数,即(+7)=(t)由定义有 列(p)=w0d=rmwo°de 作代换r=t-nT,上式成为 列(p)=∑(x+mn) e-p(r+nndt=oedr∑c (3)作幂级数展开 例10求()=sinv的象函数 解]00:m=∑=,而 (2m+1) 2m+1 +1) /m(2m+) 于是

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 8 应用延迟定理，有           p e p t H t      2 2 sin .（ t  ）       2 2 2 2 2 2 sin ( ) sin cos cos sin ( ) sin ( )cos cos ( )sin cos sin 1 cos sin ( 0). t H t t t H t tH t tH t p p p p t p                                 注意：* t  [0, ] 或约定 ( ) 0( 0) t t    上述所有 ()t 应理解为 ( ) ( ), t H t 即   ( ) ( ) ( ). t H t p   **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！ *** 1 1 p  ， 2 1 t p  2 1 1 t t 1 ( 0). p p      又 2 1 ( ). p t t p        （2）周期函数的象函数 设 (t) 是周期为 T 的函数，即   ( ) ( ). t T t   由定义有           0 ( 1) 0 ( ) ( ) d ( ) d n n T nT pt pt  p  t e t  t e t ， 作代换   t  nT ，上式成为 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d . 1 T p T T p nT p npT pT n n e p nT e e e e                                   （3）作幂级数展开 例 10 求 (t)  sin t 的象函数。 [解]             0 2 2 1 2 1 ! 1 ( ) sin m m m t m  t t ，而   2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 !! 1) 2 2 1 (            m m m m p m p m t  ，于是

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU (v(2m+vz(-)”(2m+ 列(p)=2(2m+21325(2m+)2"p 2 所以,sin√ 其中用到了r(a+1)=a(a),以及I() 二、 Laplace变换的反演问题与 梅林反演公式( Mellin inversion formule) 1反演问题[习惯于正问题,换种思维问反问题(有时候特别管用);正问题有 必然结果,反问题不一定,存在性?唯一性?] 位移定理:如果列(p)(1),λ是复常数,则 列P+4)分()e 证明:ok2→pk2”d=(+m)d=列(p+) i象函数求导定理:如果列(P)9(1),则列(p)(-1)o() 一般地,对自然数n,有一般地,对自然数n,有 (p)4(-1)o() 证明 (p)=o((e"pdt=co( e"p dr n(-()e-"d(-)0( ⅲ象函数积分定理:如果列(P)4oO),而且J((Rep>s)收敛, 则∫( q(1) [说明]这里的积分是复变积分,其上限应理解为Rep→∞,并且因 其积分路径在可(p)的解析区域,所以与积分路径无关(沿正 实轴积分)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 9                 3 3 0 0 1 2 2 1 4 3 3 0 2 2 1 2 1 !! 1 2 1 !! ( ) 2 1 ! 2 1 ! 2 2 2 1 . ! 4 2 2 m m m m m m m m m p m m m m p m m p p p e m p p p                             所以， 1 4 3 2 sin , 2 p t e p    其中用到了 ( 1) () ，以及  )   2 1 ( . 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果 (p) (t) ，是复常数，则 ( ) .   t p t e        证明：           d d ( ) 0 0                      t e t e e t t e t p t t p t p t . ii. 象函数求导定理：如果 (p) (t) ，则 ( p)  (t)t. 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有   p t t n n  ( )  ( )  . 证明：           0 0 0 d d d d ( ) d ( ) . pt pt pt p t e t t e t p p t t e t t t                            iii. 象函数积分定理：如果 (p) (t) ，而且   p  (z)dz   Re 0 p  s 收敛， 则 ( ) ( )d . p t z z t      [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p  ，并且因 其积分路径在 (p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 证明 补充说明上式中如果令P→0,则有()d=°g(t) 可以用来计算[(d形的积分,例如 ⅳv.卷积定理:如果可(P)台(1)页(P)>Q2(t),则 页((P)分9()m(-对x=(-(d 证明 p(r)p, (t-tdr ()p2 (t-rldr edr 这个先积τ、后积t的二次积分, 其积分区域如图所示,改变积分次序, 上式成为 作变量代换u=t-r,且t=r时u=0(即位移常量r) ∫cc-yr=(xro (P)吗2(P) dO=(t-1") 平面波e"的FT为δ函数,其定义为 f()5(t-t)dt=f() f()= f(oje d ii. Consider f(1)=0()H(t)e-“,其FI:

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 10 证明：   0 0 0 ( )d ( ) d d ( ) d d ( ) d . zt zt p p p pt z z t e t z t e z t t t e t t t                                     [补充说明]上式中如果令 p 0 ，则有      0 0 d ( ) ( )d t t t z z   ， 可以用来计算   0 d ( ) t t f t 形的积分，例如： 2 0 0 sin 1 d d . 1 2 t t p t p         iv. 卷积定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 2 2  p  t  p  t ，则 1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d . t t             p p t t       证明：             0 0 1 2 0 1 2 ( ) ( )d d ( ) ( )d t e t t pt t t           这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 1 2 1 2 0 0 ( ) ( )d ( ) ( ) d d . t pt t t e t                           作变量代换 u  t  ，且 t  时 u  0 （即位移常量  ）     1 2 1 2 0 0 0 1 2 ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d . pt p pu t e t e u e u p p                                   ⅰ. 1 ( ')d ( ') 2 ( ) ( ')d ( '). i t t e t t f t t t t f t                        平面波 i t e  的 FT 为  函数，其定义为 ⅱ. 1 ( ) ( ) d , 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f f t e t f t f e                          ⅲ. Consider ( ) ( ) ( ) st f t t H t e    ，其 FT：