13 球函数 球坐标系(r,,)中 Helmholtz方程经分离变量为 (2R)+r2-1+1 包含了y,∥+1)与A三个分离变量常数,其中A为时空分离引进的分离变量常数 求解这些分离变量常数并确定相应的微分方程之解的过程,称为求解微分方程的本征值问题 如何求解?化三元函数的边值问题为单元函数的边值问题,再求分离变量常数应取何值,才存在满足边条的单元函数解 首先,Φ满足的方程最为简单,利用Φ的周期条件可确定本征值y及相应的本征函数。 d(小+ 或 接下来,就是利用θ满足的微分方程及边界(自然)条件确定本征值l+1) 对e满足的微分方程做变换:x=cOs6,yx)=刷,则e满足的微分方程 saem)+1+)-s=0 化为 ap-2++- 连带( associated) Legendre方程 本章讨论连带 Legendre方程的求解、解的性质、解的推广以及其在球坐标分离变量法中的应用。 以下一小段番 Mathematica代码将θ满足的微分方程(1.1)化为连带 Legendre方程
13 球函数 球坐标系 (r, θ, ϕ) 中Helmholtz方程经分离变量为 ∇2w(r, θ, ϕ) + λ w(r, θ, ϕ) = 0 w(r,θ,ϕ)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) Φ″ + γ Φ = 0 1 sin θ θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) - γ sin2 θ Θ = 0 r r2 R′ +λ r2 -l(l + 1) R = 0 包含了 γ, l(l + 1) 与 λ 三个分离变量常数，其中 λ 为时空分离引进的分离变量常数。 求解这些分离变量常数并确定相应的微分方程之解的过程，称为求解微分方程的本征值问题。 如何求解？化三元函数的边值问题为单元函数的边值问题，再求分离变量常数应取何值，才存在满足边条的单元函数解。 首先，Φ 满足的方程最为简单，利用 Φ 的周期条件可确定本征值 γ 及相应的本征函数。 Φ″ + γ Φ = 0 Φ(ϕ + 2 π) = Φ(ϕ) ⟶ γ = m2, Φm(ϕ) = Am ′ cos m ϕ + Bm ′ sin m ϕ 或 Φm(ϕ) = Am m ϕ + Bm - m ϕ , m = 0, 1, 2, … 接下来，就是利用 Θ 满足的微分方程及边界（自然）条件确定本征值 l(l + 1)。 对 Θ 满足的微分方程做变换： x = cos θ , y(x) = Θ(θ)，则 Θ 满足的微分方程： 1 sin θ θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) - m2 sin2 θ Θ = 0 (1.1) 化为： x 1 - x2 y x + l(l + 1) - m2 1 - x2 y = 0 —— 连带 (associated) Legendre 方程 (1.2) 本章讨论连带 Legendre 方程的求解、解的性质、解的推广以及其在球坐标分离变量法中的应用。 以下一小段 Mathematica 代码将 Θ 满足的微分方程 (1.1) 化为连带 Legendre 方程
im1={x→Cos[e] im2=e→ ArcCos[x]} D[sin[e]D[y【x]/.sim1,e],e]+1(1+1)- y eq= FullSimplify [eq / sim2,[0<0<]]i c2= Simplify [Coefficient [eq, y'[x]l]; cl =Simplify [coefficient[eq,y.[x]]] cO Simplify [coefficient[eq, y[x]]] (c2 y '[x]+cly [x]+c0 y [x])// TraditionalForm yx)((+1)(x2-1)+m2) +(1-x2)y(x)-2xy(x) 131 Legendre方程的解 当连带 Legendre方程(1.2)中m=0时,方程退化为 Legendre方程(参见$6.3) (1-x)|++1)y=0 Legendre方程 这个方程对应于轴对称物理问题,这时问题的解与方位角d无关,=常数,对应于m=0 Legendre方程有三个正则奇点:x=±1及x=∞。而x=0是方程的常点 在微分方程常点邻域,根据 Frobenius and Fuchs定理,方程有两个以下形式的线性无关解 y(x)=ScA 在§63已求出, Legendre方程的两个线性独立解为 22(1)(1+1 xk, n(x)=cI S (2k)!(2 (2k+1)! 其中c0和a为常数,(an为 Pochhammer符号:(ahn=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=a+n 这里的 Legend程来自变量代换x=cs6,在=0.,r(即x=±1),物理量应有限,对应的微分方程的解应该收敛 但 Legendre方程在x=±1是正则奇点,故FF定理仅保证在<1方程的级数解收敛(有界) 不能保证在一般情况下(对任意的l值),微分方程的解在x=±1有界 因此,需要探讨在什么条件下,y(x)和减或y(x)在x=±1收敛(有界) 寻找 Legendre方程在x=±1时有界(符合物理要求)的解 Q寻找 Legendre方程在X=±1处有界的解 对一般的/值,yo(x)相邻两项之比为 0=∑=20-2(41(4+1 f(2k)!(2k(2 2k(2k+1)-+1) k+1)(2k+2) (2k+1)(2k+2 故据比值判别法,只能证明级数yo(x)在<1收敛
sim1 = {x Cos[θ]}; sim2 = {θ ArcCos[x]}; eq = 1 Sin[θ] D[Sin[θ] D[y[x] /. sim1, θ], θ] + l (l + 1) - m2 Sin[θ]2 y[x]; eq = FullSimplify[eq /. sim2, {0 < θ < π}]; c2 = Simplify[Coefficient[eq, y''[x]]]; c1 = Simplify[Coefficient[eq, y'[x]]]; c0 = Simplify[Coefficient[eq, y[x]]]; (c2 y''[x] + c1 y'[x] + c0 y[x]) // TraditionalForm y(x) l (l + 1) x2 - 1 + m2 x2 - 1 + 1 - x2 y′′(x) - 2 x y′ (x) 13.1 Legendre 方程的解 当连带 Legendre 方程 (1.2) 中 m = 0 时，方程退化为 Legendre 方程（参见 §6.3 ） x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 —— Legendre 方程 (1.3) 这个方程对应于轴对称物理问题，这时问题的解与方位角 ϕ 无关，Φ = 常数，对应于 m = 0。 Legendre方程有三个正则奇点：x = ±1 及 x = ∞。而 x = 0 是方程的常点。 在微分方程常点邻域，根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程有两个以下形式的线性无关解 y(x) = k=0 ∞ ck xk 在 §6.3 已求出， Legendre 方程的两个线性独立解 为 y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 其中 c0 和 c1 为常数，(a)n 为 Pochhammer 符号：(a)n = a(a + 1) (a + 2) ⋯(a + n - 1) n 项相乘 = Γ(a + n) Γ(a) 这里的Legendre方程来自变量代换 x = cos θ，在 θ = 0, π (即 x = ±1)，物理量应有限，对应的微分方程的解应该收敛。 但Legendre方程在 x = ±1 是正则奇点，故 F-F 定理仅保证在 x < 1 方程的级数解收敛（有界）， 不能保证在一般情况下（对任意的 l 值），微分方程的解在 x = ±1 有界。 因此，需要探讨在什么条件下，y0(x) 和/或 y1(x) 在 x = ±1 收敛（有界）。 —— 寻找 Legendre方程在 x = ±1 时有界（符合物理要求）的解。 寻找 Legendre方程在 x = ±1 处有界的解 对一般的 l 值，y0(x) 相邻两项之比为 y0(x) = k=0 ∞ ak = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k ⟶ lim k∞ ak+1 ak = lim k∞ 22 - l 2 + k 1 + l 2 + k x2 (2 k + 1) (2 k + 2) = lim k∞ 2 k(2 k + 1) - l(l + 1) (2 k + 1) (2 k + 2) x2 = x2 故据 比值判别法 ，只能证明级数 y0(x) 在 x < 1 收敛。 2 z13a.nb
对x=±1,比值判别法无法判别。利用高斯判别法 ak(2k+1)(2k (2k+1)(2k+2) ak+12k(2k+1)-(/+1) l(+1) k(2k+1) l(+1) k(2k+1) k 由高斯判别法,级数发散(无界) 注:对y(x),当k足够大时,级数的每一项都是正的,收敛与绝对收敛是一致的 类似可 (x)在x=±1也是无界的 从而,在x=±1处的有界条件限制了1不可以随便取值 原来除了齐次边条之外还可以通过自然边条确定本征值和本征函数 观察:1)=2 x2k, y,(x)=cy 台(2k)!(2从(2人k (2k+1)!(2 合因子,若1为0或正数2m则(m++012 无穷级数退化为从k=0到k=n的n+1项多项式,且每一项都是x的2k幂次,多项式yo(x-=有界 类似地,由y1(x)知,若l为正奇数2n+1,则: =(-m)…(-n+k-1)=0ifk≥n+1 无穷级数仅剩下从k=0到k=n的n+1项,且每一项都是x的2k+1幂次,多项式y(x)l有界 因此,若要得到在x=±1处有界的解,必须取自然数。 当/为偶数时, Legendre方程(13)有一个在x=±1有界的解,yo(x) 它为只含有偶幂次项xk=01-)的1次多项式 当l为奇数时, Legendre方程(1.3)有一个在x=±1有界的解,y(x), 它是只含有奇幂次项x2k+k=0,1 的次多项式 于是,人们就把 Legendre方程在x=±1处有界的这个解记为:P(x), 称为 Legendre多项式,其中l为自然数。 注意/为偶数时,PAx)=y(x),仅含偶次幂,为奇数时,PAx)=y1(x),仅含奇次幂。最高幂次均为l 但即使l为自然数, Legendre方程的另一个线性独立解在x=±1处仍是无界的, 这个解记为:Q(x),称为第二类 Legendre函数(它不是多项式,是无穷级数)。 当然,若l不为自然数,P(x)在x=±1处是无界的,这时它也不称为 Legendre多项式,称为第一类 Legendre函数 ■从yo(x)与y1(x)的表达式可知, yo(x)=co (2k+1)!(2 前面的处理针对于上式的紫色因子,对蓝色因子,岂不也可作类似的讨论: 当l为负奇数时,l=-(2n+1)时 =(-n)…(-n+k-1)=0ifk≥n+l (x)仍退化为2n次多项式,即退化为2n=团-1=-1-1=P次多项式 当l为负偶数时,l=-2n时,+1=(-n+1)…(-n+1+k-1)=0ik y(x)仍退化为2n-1次多项式,即退化为|4-1=-1-1=P≥0次多项式
对 x = ±1, 比值判别法无法判别 。利用 高斯判别法 k ∞ 时， ak ak+1 = (2 k + 1) (2 k + 2) 2 k (2 k + 1) -l(l + 1) = (2 k + 1) (2 k + 2) 2 k (2 k + 1) 1 - l(l + 1) 2 k (2 k + 1) ∼ 1 + 1 k 1 + l(l + 1) 2 k (2 k + 1) ∼ 1 + 1 k + o 1 k2 由 高斯判别法 ，级数发散 （无界）。 注：对 y0(x)，当 k 足够大时 ，级数的每一项都是正的 ，收敛与绝对收敛是一致的 。 类似可证 ，y1(x) 在 x = ±1 也是无界的 。 从而，在 x = ±1 处的有界条件限制了 l 不可以随便取值 —— 原来除了齐次边条之外还可以 通过自然边条确定本征值和本征函数。 观察：y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, y0(x) 含有 - l 2 k 因子，若 l 为 0 或正偶数 2 n，则： - l 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k - 1 ≥ n， 无穷级数退化为从 k = 0 到 k = n 的 n + 1 项多项式 ，且每一项都是 x 的 2 k 幂次，多项式 y0(x) x=±1 有界。 类似地，由 y1(x) 知，若 l 为正奇数 2 n + 1，则： - l - 1 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k ≥ n + 1 无穷级数仅剩下从 k = 0 到 k = n 的 n + 1 项，且每一项都是 x 的 2 k + 1 幂次，多项式 y1(x) x=±1 有界。 因此，若要得到在 x = ±1 处有界的解， l 必须取自然数。 当 l 为偶数时，Legendre方程 (1.3) 有一个在 x = ±1 有界的解，y0(x)， 它为只含有偶幂次项 x2 k k = 0, 1, ... l 2 的 l 次多项式 ； 当 l 为奇数时，Legendre方程 (1.3) 有一个在 x = ±1 有界的解，y1(x)， 它是只含有奇幂次项 x2 k+1 k = 0, 1, ... l - 1 2 的 l 次多项式 。 于是，人们就把Legendre方程在 x = ±1 处有界的这个解记为：Pl(x)， 称为 Legendre 多项式，其中 l 为自然数 。 注意 l 为偶数时 ，Pl(x) = y0(x), 仅含偶次幂 ， l 为奇数时 ，Pl(x) = y1(x), 仅含奇次幂 。最高幂次均为 l。 但即使 l 为自然数，Legendre方程的另一个线性独立解在 x = ±1 处仍是无界的， 这个解记为：Ql(x)，称为第二类Legendre函数（它不是多项式，是无穷级数）。 当然，若 l 不为自然数，Pl(x) 在 x = ±1 处是无界的，这时它也不称为 Legendre多项式 ，称为第一类Legendre函数 ◼ 从 y0(x) 与 y1(x) 的表达式可知， y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 前面的处理针对于上式的紫色因子 ，对蓝色因子 ，岂不也可作类似的讨论 ： 当 l 为负奇数时 ， l = -(2 n + 1) 时， l + 1 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k ≥ n + 1 y0(x) 仍退化为 2 n 次多项式 ，即退化为 2 n = l - 1 = -l - 1 = l ′ 次多项式 当 l 为负偶数时 ，l = -2 n 时， l 2 + 1 k = (-n + 1) ⋯(-n + 1 + k - 1) = 0 if k ≥ n y1(x) 仍退化为 2 n - 1 次多项式，即退化为 l -1 = -l -1 = l ′ ≥ 0 次多项式 z13a.nb 3
因此:当l为负整数时, Legendre方程仍有一个在x=±1处有界的解, 该解为P=团-1=-1-1≥0次多项式 1为偶(奇)数时,仅有奇(偶)次幂。最高幂次为:P=-1 该多项式满足 Legendre方程 d (1-x)|+01+1)y=0 +P("+1)y=0 P=-}-1 比较可知:l为负整数时的解等价于P=-1-1≥0的解。也就是说,l为负整数并不给出新的解。 例如:|=-5的解与l=--1=4的解完全相同,l=-6的解与l=-1-1=5的解完全相同。 这一点与求解方程φ"+m2φ=0时并不需要考虑m0的解 即:当l 1(+1)x4,y(x=2k+1 其实无论c与c1取什么常数,yo(x),y(x)均为 Legendre方程的解。 数学上,通过PAx)l=1=PA1)=1来确定c与c1。(为何不是直接让c0=c1=1?下面解释) lear [l k resO= Sum 22k Pochhammer k Pochhammer k/(2k)!,(k,0,n}
因此：当 l 为负整数时 ，Legendre方程仍有一个在 x = ±1 处有界的解 ， 该解为 l ′ = l - 1 = -l - 1 ≥ 0 次多项式 。 l 为偶 （奇） 数时，仅有奇 （偶） 次幂。最高幂次为 ：l ′ = - l - 1 该多项式满足Legendre方程 ： x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 l′=-l-1 l′(l′+1) = l (l+1) x 1 - x2 y x + l ′ (l ′ + 1) y = 0 比较可知 ：l 为负整数时的解等价于 l ′ = -l - 1 ≥ 0 的解。也就是说，l 为负整数并不给出新的解 。 例如：l = -5 的解与 l = -l - 1 = 4 的解完全相同 ，l = -6 的解与 l = -l - 1 = 5 的解完全相同 。 这一点与求解方程 Φ″ + m2 Φ = 0 时并不需要考虑 m 0 的解。 即：当 l < 0 时，Pl(x) = Pl-1(x) = P-l-1(x) Simplify[LegendreP[-5, x] - LegendreP[4, x]] FullSimplify[LegendreP[n, x] - LegendreP[-n - 1, x], {n ∈ Integers, n < 0}] 0 0 ◼ 到目前为止，我们还没有给定 c0 与 c1 y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 其实无论 c0 与 c1 取什么常数 ，y0(x), y1(x) 均为Legendre方程的解 。 数学上，通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 c0 与 c1。（为何不是直接让 c0 = c1 = 1？下面解释 ） Clear[l, n, k]; l = 2 n; res0 = Sum 22 k Pochhammer - l 2 , k Pochhammer (l + 1) 2 , k (2 k)!, {k, 0, n} l = 2 n + 1; res1 = Sum 22 k Pochhammer - (l - 1) 2 , k Pochhammer l 2 + 1, k (2 k + 1)!, {k, 0, n} (-1)n π n! 1 2 (-1 + 2 n) ! (-1)n π n! 2 1 2 (1 + 2 n) ! 4 z13a.nb
分母为半奇数的阶乘?非整数的阶乘是个什么东东?原来是r函数的另一种写法 cO= FullSimplify [1 / reso, n E In cl= FullSimplify [1/ resl FullSimplify [cl/c0] +2n =2n = 数学上可以证明:: 22n(n!)2 PA1)= 为奇数和偶数时,P(x)分别等于 (2k)!(2人(2 +1 两个表达式,不方便。以下把它化成一个统一的表达式 当l为偶数时:设l=2 PIx)=yo(x)=co =2n (2k)!(2A 20922!1n!2m+28)mx2,令:k=n一F (-1y(2n)! 2k(n-k)!2k(2n)!(n+k)! (-1y 1(2-2r)! 以下代码验证PA1)=1 r,0,n} r!(1-x)!(1-2x)! 当l为奇数时:设l=2n+1 Pix)=yI(x)=cI (2k+
分母为半奇数的阶乘 ？非整数的阶乘是个什么东东 ？原来是 Γ 函数的另一种写法 。 FullSimplify[res0] c0 = FullSimplify[1 / res0, n ∈ Integers]; c1 = FullSimplify[1 / res1, n ∈ Integers]; FullSimplify[c1 / c0] (-1)n π n! Gamma 1 2 + n 1 + 2 n 数学上可以证明 ：： l = 2 n ， 取 c0 = (-1)n (2 n)! 22 n (n!)2 , 则：y0(1) = 1 l = 2 n + 1，取 c1 = (-1) n (2 n + 1)! 22 n (n!)2 , 则：y1(1) = 1 ⟶ Pl(1) = 1 l 为奇数和偶数时 ，Pl(x) 分别等于 y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 两个表达式 ，不方便。以下把它化成一个统一的表达式 。 当 l 为偶数时：设 l = 2 n Pl(x) = y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, l = 2 n = (-1)n (2 n)! 22 n (n !) 2 k=0 n 22 k (2 k)! (-1)k n! 2k (n - k)! (2 n + 2 k)! n! 2k (2 n)! (n + k)! x2 k, 令： k = n - r = (-1)n 2l r=0 n 1 (l - 2 r)! (-1)n-r 1 r! (2 l - 2 r)! (l - r)! xl-2 r = 1 2l r=0 n (-1) r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 以下代码验证 Pl(1) = 1 Clear[l, n, r]; l = 2 n; Sum (-1)r (2 l - 2 r)! 2l r! (l - r)! (l - 2 r)! , {r, 0, n} 1 当 l 为奇数时：设 l = 2 n + 1 Pl(x) = y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, l = 2 n + 1 z13a.nb 5
(-1y(2n+1)! n!(2n+2+2k)!(n+1)! k+,令:k= 22(n!)2fd(2k+1)!24(m-k)!24(2n+2)!(n+1+k)! lyu (2-2p)! 以下代码验证PA(1)=1 r,0 这样,两个表达式形式上完全相同,对任意自然数l,PAx)可写成统一的表达式: 为偶数 (x)= (2-2n)!/(-!-2n!)x2x,级数表示|R 为奇数 它是如下阶 Legendre方程在x=±1处有界的解,称为l阶 Legendre多项式,也称l次 Legendre多项式 ndre方程 dx 在这里,我们看到通过P(x)l=1=P(1)=1来确定c与c1的第一个理由:Px)有统一的表达式 该常微分方程的另一个线性无关解为:Q(x),称为第二类 Legendre函数,在x=±1处无界。 关于第二类 Legendre函数,将在以后的章节讨论 ■几个低阶 Legendre多项式,注意其奇偶性 P2(x)=(3x2-1) P2(x) P P2(x)=(35x-30x2+3) endre [3, x]
= (-1)n (2 n + 1)! 22 n (n!)2 k=0 n 22 k (2 k + 1)! (-1)k n! 2k (n - k)! (2 n + 2 + 2 k)! (n + 1)! 2k (2 n + 2)! (n + 1 + k)! x2 k+1, 令： k = n - r = (-1)n 22 n+1 r=0 n 1 (l - 2 r)! (-1)n-r 1 r! (2 l - 2 r)! (l - r)! xl-2 r = 1 2l r=0 n (-1)r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 以下代码验证 Pl(1) = 1 Clear[l]; l = 2 n + 1; Sum (-1)r (2 l - 2 r)! 2l r! (l - r)! (l - 2 r)! , {r, 0, n} 1 这样，两个表达式形式上完全相同 ，对任意自然数 l，Pl(x) 可写成统一的表达式 ： Pl (x) = 1 2l r=0 R (-1)r r! ((2 l - 2 r)!/((l - r)! (l - 2 r)! )) xl-2 r, 级数表示 R = l 2 l 为偶数 l - 1 2 l 为奇数 即： R = l 2 (1.4) 它是如下 l 阶Legendre 方程 在 x = ±1 处有界 的解，称为 l 阶 Legendre 多项式，也称 l 次 Legendre 多项式 x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 —— l 阶 Legendre 方程 在这里，我们看到通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 c0 与 c1 的第一个理由 ：Pl(x) 有统一的表达式 。 该常微分方程的另一个线性无关解为 ：Ql(x)，称为第二类 Legendre 函数，在 x = ±1 处无界。 关于第二类 Legendre 函数，将在以后的章节讨论 。 ◼ 几个低阶Legendre多项式，注意其奇偶性 P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 3 x2 - 1 P3(x) = 1 3 5 x3 - 3 x P4(x) = 1 8 35 x4 - 30 x2 + 3 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P1(x) P3(x) P5(x) -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P2(x) P4(x) P6(x) LegendreP[3, x] 1 2 (-3 x + 5 x3) 6 z13a.nb
13a. nb c1ear【"G1oba1`"] g1= Plot[[LegendreP[l, x], LegendreP [3, x], LegendreP [5,x]] Plotstyle+[[Red], (Magenta, Dashed], [Blue, Thick, Dotted]], PlotLabel- LegendreP [n, x], PlotLegends+"Expressions"] g2= Plot[(LegendreP [2, x], Legendrep[4, x], LegendreP[6,x]] [x,-1, 1), PlotRange+[-1, 1] Plotstyle+[[Red],[Magenta, Dashed, (Blue, Thick, Dotted]] rid[{{g1,g2}}] so far so good,直到发现番 Mathematica给出:Pn(1)=1 LegendreP[1 /2, 1 本小节的开始处,用高斯判据判定 Legendre方程 d dx 在l为非整数时,两个线性无关解: d(2k)! 在x=±1都是发散的,如何理解在/=一时,Pn(1)=1? 显然,l为非整数v时,P,(x)*yx),P(x)≠y1(x),应该是y与y的线性组合y 这种组合需满足两个条件
Clear["Global`*"] g1 = Plot[{LegendreP[1, x] , LegendreP[3, x], LegendreP[5, x]}, {x, -1, 1}, PlotRange {-1, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, Thick, Dotted}}, PlotLabel LegendreP[n, x], PlotLegends "Expressions"]; g2 = Plot[{LegendreP[2, x], LegendreP[4, x], LegendreP[6, x]}, {x, -1, 1}, PlotRange {-1, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, Thick, Dotted}}, PlotLabel LegendreP[n, x], PlotLegends "Expressions"]; Grid[{{g1, g2}}] -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P1(x) P3(x) P5(x) -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P2(x) P4(x) P6(x) ◼ so far so good, 直到发现 Mathematica 给出：P1/2(1) = 1 LegendreP[1 / 2, 1] 1 本小节的开始处 ，用高斯判据判定Legendre方程 x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 在 l 为非整数时 ，两个线性无关解 ： y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 在 x = ±1 都是发散的 ，如何理解在 l = 1 2 时，P1/2(1) = 1? 显然， l 为非整数 v 时，Pv(x) ≠ y0(x)，Pv(x) ≠ y1(x)，应该是 y0 与 y1 的线性组合 y2 y2(x) = b0 y0(x) + b1 y1(x) 这种组合需满足两个条件 ： z13a.nb 7
2)当y退化为偶数或奇数时,y分别退化为y与y 把两个发散函数线性组合出一个有限函数,正是物理上常用的手段 看y(x)在x=±1时的发散行为:y(x)=co (2k)! k 1-x2k 得:x→±1时,yo(x)~ln 再看y1(x)在x=±1时的发散行为:y1(x)=c1 +11x2 y(±1)=±c1)ak 3 得:x→±1时,y(x)~ln 所以,1与y在x=1的发散行为,是可以通过线性组合消去的 当然,这里只能消去x=1或x=-1的发散,构造在x=1或x=-1的有限的解 若要在x=±1都收敛的解,只能是整数 在x=1点的邻域求解 数学上,当然另有做法:在x=1邻域求解 Legendre方程: d x2)+m(+1)y=0,T为常数 注意:z=1是该微分方程的正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs定理,方程至少有一个以下形式的解 y(x)=(x-1))c(x-1) 按照标准做法,先求指标p,再求系数ck间的关系,可得到一个解为 r(v+k+1) P,(r) 台(k!2r(-k+ 这个解在x=1是收敛的,满足:P(1)=1,并且 a.当v为偶数时,P,(x)退化为yx),v次 Legendre多项式(仅含偶次幂) b.当v为奇数时,P4(x)退化为y(x),v次 Legendre多项式(仅含奇次幂) c.对一般的v值,P(x)称为第一类 Legendre函数,不再是多项式
1) y2(1) = 1 有限； 2) 当 v 退化为偶数或奇数时 ，y2 分别退化为 y0 与 y1 把两个发散函数线性组合出一个有限函数 ，正是物理上常用的手段 。 看 y0(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ：y0(x) = c0 k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y0(±1) = c0 k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 1 k + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k 比较：ln 1 1 - x2 = k=0 ∞ 1 k x2 k 得：x ±1 时，y0(x) ∼ ln 1 1 - x2 再看 y1(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ： y1(x) = c1 k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 y1(±1) = ±c1 k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 3 2 k + 1 2 + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k + 1 2 比较：ln 1 + x 1 - x = k=0 ∞ 1 k + 1 2 x2 k+1 得：x ±1 时，y1(x) ∼ ln 1 + x 1 - x 所以，y0 与 y1 在 x = 1 的发散行为 ，是可以通过线性组合消去的 。 当然，这里只能消去 x = 1 或 x = -1 的发散，构造在 x = 1 或 x = -1 的有限的解 。 若要在 x = ±1 都收敛的解 ，l 只能是整数 。 ◼ 在 x = 1 点的邻域求解 数学上，当然另有做法 ：在 x = 1 邻域求解 Legendre 方程： x 1 - x2 y x + v(v + 1) y = 0 ，v 为常数 注意：z = 1 是该微分方程的 正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程至少有一个以下形式的解 y(x) = (x - 1)ρ k=0 ∞ ck (x - 1)k 按照标准做法 ，先求指标 ρ，再求系数 ck 间的关系 ，可得到一个解为 Pv(x) = k=0 ∞ 1 (k !)2 Γ(v + k + 1) Γ(v - k + 1) x - 1 2 k 这个解在 x = 1 是收敛的 ，满足：Pv(1) = 1，并且， a. 当 v 为偶数时，Pv(x) 退化为 y0(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含偶次幂） b. 当 v 为奇数时，Pv(x) 退化为 y1(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含奇次幂） c. 对一般的 v 值，Pv(x) 称为第一类 Legendre 函数，不再是多项式 8 z13a.nb
13a. nb d.在x=-1,P1(x)对数发散 另外,这个方程的两个指标是重根,另一个线性无关解必定在x=1以对数形式发散 以下番 Mathematica代码验证上述结论:a与b Clear [n, v, x, Pn, Pv] (2n-2r)! x1-2,{x,0,E1oor (n-x)!(n-2r) 1 Gamma [v+k+1 Pv[v,x]:= Sum (k !)<Gamma n=10 tl Simplify [Pn [n, x]] t2 Simplify [Pv[v, x]] Simplify [tl-t2] 132 Legendre多项式的生成函数及递推关系 实际上,最早研究 Legendre多项式的出发点并不是微分方程 而是源于1785年 Legendre对天体相互作用势能的研究 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念 如图,要计算位于P点的质量元在Q点的引力势能 显然,势能可表为:kk k为常数因子 由余弦定理:PQ=c=ya2+b2-2 a bcos6 从而 通常,天体之间的距离远大于天体本身的尺寸, 即:ab,V=k(1+-21os)-1n,其中:t=日<1 为计算方便,希望势能卩可以展开为t=a的级数形式。 令:x=cos6,则:V=(1+p2-2nx2 gendre对函数r(x,0=(1+P-21x)10进行 Taylor)展开, 发现展开系数是x的多项式,具有许多有趣的性质 以下我们对函数w(x,D进行 Taylor,展开 因为函数m(x,n=(1+P-21x)在t=0解析,故可做Tay展开,表为t的幂级数 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数:Pn(x)=P(x)— Legendre多项式
d. 在 x = -1，Pv(x) 对数发散 另外，这个方程的两个 指标是重根，另一个线性无关解必定在 x = 1 以对数形式发散 。 以下 Mathematica 代码验证上述结论：a 与 b。 Clear[n, v, x, Pn, Pv]; Pn[n_, x_] := 1 2n Sum (-1)r r! (2 n - 2 r)! (n - r)! (n - 2 r)! xn-2 r, r, 0, Floor n 2 Pv[v_, x_] := Sum 1 (k!)2 Gamma[v + k + 1] Gamma[v - k + 1] x - 1 2 k , {k, 0, ∞} n = 10; v = n; t1 = Simplify[Pn[n, x]]; t2 = Simplify[Pv[v, x]]; Simplify[t1 - t2] 0 13.2 Legendre 多项式的生成函数及递推关系 实际上，最早研究 Legendre 多项式的出发点并不是微分方程， 而是源于1785年 Legendre 对天体相互作用势能的研究。 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念。 如图，要计算位于 P 点的质量元在 Q 点的引力势能 。 显然，势能可表为 ：V = k PQ = k c ，k 为常数因子 。 由余弦定理 ：PQ = c = a2 + b2 - 2 a b cos θ 从而：V = k a2 + b2 - 2 a b cos θ Q c b θ a P 通常，天体之间的距离远大于天体本身的尺寸， 即：a ≪ b，V = k b 1 + t2 - 2 t cos θ -1/2 , 其中： t = a b ≪ 1， 为计算方便，希望势能 V 可以展开为 t = a b 的级数形式。 令：x = cos θ, 则：V = k b 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = k b w(x, t) Legendre对函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 进行Taylor展开， 发现展开系数是 x 的多项式，具有许多有趣的性质。 以下我们对函数 w(x, t) 进行Taylor展开。 因为函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 在 t = 0 解析，故可做Taylor展开，表为 t 的幂级数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = n=0 ∞ n(x) t n, (1.5) 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数：n(x) = Pn(x) —— Legendre 多项式。 z13a.nb 9
10 z13anb 注:也可以利用二项式定理 对MIxP(x)-Pn-i(x)]m 方程两边P的系数相等: npn(x)=xpn(x)-pn-I(x) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对x和t求偏导,容易想到。 接着,还需要或者能导出一些什么递推关系呢? 递推关系(16)用于从P1与Pn求Pm1,(1.7)可用于求P:xP=nPn+P1
注：也可以利用 二项式定理 对 t < 1, 有：(1 + t)r = k=0 ∞ r k t k, 其中： r k = (r)k k ! 严格证明 n(x) 就是上一节定义的 Legendre 函数 Pn(x)。 这个证明过程稍嫌繁琐 ，有兴趣的同学可参阅 ： L C Andrews "Special Functions of Mathematics for Engineers" 或：吴崇试 《数学物理方法 》 递推关系 先导出展开系数 n(x) 的递推关系。 先导出不含导数的递推关系，Taylor展开式 (1.5) 两边同时对 t 求偏导，得 w(x, t) = 1 1 + t 2 - 2 t x 1/2 = n=0 ∞ n(x) t n ⟹ ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n n(x) t n-1, 上式两边同乘以 1 + t 2 - 2 t x 得 x - t 1 + t 2 - 2 t x 1/2 = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 ⟹ (x - t) n=0 ∞ n(x) t n = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1(x) = 0 。） n=0 ∞ [x n(x) - n-1(x)] t n = n=0 ∞ [(n + 1) n+1(x) + (n - 1) n-1(x) - 2 x n n(x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： (2 n + 1) x n (x) = (n + 1) n+1 (x) + n n-1 (x) 常用于从 n-1 与 n 求 n+1 (1.6) Taylor展开式 (1. 5) ：1 + t 2 - 2 t x -1/2 = n=0 ∞ n(x) t n 两边同时对 x 求偏导，得 ∂ w(x, t) ∂ x = t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n ′ (x) t n, 令 t = 0, 得： 0 ′ (x) = 0 联立： ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 = n=0 ∞ n n(x) t n-1 上两式相除得 ：(x - t) n=0 ∞ n ′ (x) t n = t n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1 ′ (x) = 0 。） n=0 ∞ n n(x) t n = n=0 ∞ [ x n ′ (x) - n-1 ′ (x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： n n(x) = x n ′ (x) - n-1 ′ (x) (1.7) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对 x 和 t 求偏导，容易想到。 接着，还需要或者能导出一些什么递推关系呢？ 递推关系 (1.6) 用于从 n-1 与 n 求 n+1， (1.7) 可用于求 n ′ ：x n ′ = n n + n-1 ′ 10 z13a.nb
