傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中,出现频率最高的术语,就是傅里叶变换, Fourier Transform 81 Fourier变换 9 Fourier级数 在实变函数中,学过下列定理 定理:任意周期为2的函数f(x),如果在每个周期中满足为 Dirichlet条件,即 (a)连续或只有有限个第一类间断点(左右极限存在但不相等,称之) (b)只有有限个极大或极小值 则:f(x)可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f(x)= (an cos nx+ bn sinx), an=- f(x) cos nxd f(x)sin nx dx 级数在函数的连续点收敛于函数值,在第一类间断点x收敛于左右极限之平均:(x)+fx对) 若周期为2h/x+20=/0),可作变量代换:1=x→0)=/1=80→8(+2=80 得到周期为2丌的函数g(,从 28x+m小a- x nx 上式即为任意满足 Dirichlet条件且周期为2l的函数之 Fourier级数 若函数仅在[-l,区间有定义,则可做周期延拓:f(x)=f(x±2D=…,从而 定义在[-l,门区间的满足 Dirichlet条件的函数f(x),可展开为 f(x) 在间断点收敛于左右极限之平均 试将如下函数展为 Fourier级数 forr≤t≤2 f(r) A-厂
8 傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中，出现频率最高的术语，就是傅里叶变换，Fourier Transform。 8.1 Fourier 变换 Fourier 级数 在实变函数中，学过下列定理 定理：任意周期为 2 π的函数 f (x)，如果在每个周期中满足为 Dirichlet 条件，即： (a) 连续或只有有限个第一类间断点（左右极限存在但不相等，称之） (b) 只有有限个极大或极小值 则：f (x) 可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ (an cos n x + bn sin n x), an = 1 π -π π f (x) cos n x x, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x, 级数在函数的连续点收敛于函数值，在第一类间断点 x0 收敛于左右极限之平均： 1 2 f (x0 -) + f (x0 +) 若周期为 2 l：f (x + 2 l) = f (x)，可作变量代换：t = π l x ⟹ f (x) = f l π t = g(t) ⟹ g(t + 2 π) = g(t) 得到周期为 2 π 的函数 g(t)，从而 g(t) = a0 2 + n=1 ∞ (an cos n t + bn sin n t), an = 1 π -π π g(t) cos n t t, bn = 1 π -π π g(t)sin n t t f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , an = 1 l -l l f (x) cos n π x l x, bn = 1 l -l l f (x)sin n π x l x 上式即为任意满足 Dirichlet 条件且周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数。 若函数仅在[-l, l ] 区间有定义，则可做周期延拓：f (x) = f (x ± 2 l) = ⋯，从而： 定义在 [-l, l ] 区间的满足 Dirichlet 条件的函数 f (x)，可展开为 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , 在间断点收敛于左右极限之平均 (1.1) ☺ 试将如下函数展为 Fourier 级数 f (x) = t for 0 ≤ t ≤ π t - 2 π for π ≤ t ≤ 2 π 解：an = 1 π -π π f (x) cos n x x = 0, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x = (-1)n-1 2 n
2|z08 a fourier变换nb c1ear【"G1。aba1`*"] f【x_]:=If[xs丌,x,x-2丌] g[x, ns ]:= Sum[b[n] Sin[nx], [n, l, ns]]i Pot[{g【x,5],g[x,25],g[x,50],f【x]},{x,0,2丌 ends Placed [LineLegend[ [style[n= 5", Italic, 10] style["n 25", Italic, 10], Style["n 50", Italic, 10] LegendMarkerSize + [30,1]], [Scaled[[6,0.6]],[0,0. 2533]] n=50 Fourier积分 利用Euer公式:cosx=)(ex+e-2),smnx=;(ex- 周期为2/的函数之 Fourier级数可写成更为简洁的复数形式 f(x)=-+ ∑,a-b)c+(a+b)c=“ 其中cn的表达式有统一的形式: f(x)dx= f(r) 221 f(x)(cos kn x-isin ka x)dx= f(r)e-ikei dx, n>0 a-n+ib-n 1 for)(cos kn x-i sin kn x)dx f()e-ika dx, nCn elks, kn= C,=2I/()e-iksdx 如何推广至非周期情况?视为周期2/且定义于[-,区间的函数,再让1→∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式?展开形式应如何变化?
Clear["Gloabal`*"] f[x_] := If[x ≤ π, x, x - 2 π]; b[n_] := (-1)n-1 2 n ; g[x_, ns_] := Sum[b[n] Sin[n x], {n, 1, ns}]; Plot[{g[x, 5], g[x, 25], g[x, 50], f[x]}, {x, 0, 2 π}, PlotStyle {Red, Magenta, Blue, Black}, PlotLegends Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 25", Italic, 10], Style["n = 50", Italic, 10]}, LegendMarkerSize {30, 1}], {Scaled[{.6, 0.6}], {0, 0.25}}]] n = 5 n = 25 n = 50 1 2 3 4 5 6 -4 -2 2 4 Fourier 积分 利用Euler公式：cos x = 1 2 x + - x, sin x = 1 2 x - - x, 周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数可写成更为简洁的复数形式 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x = a0 2 + n=1 ∞ 1 2 (an - bn) n π x/l + 1 2 (an + bn) - n π x/l = n=-∞ ∞ cn n π x/l 其中 cn 的表达式有统一的形式： c0 = a0 2 = 1 2 l -l l f (x) x = 1 2 l -l l f (x) - k0 x x cn = an - bn 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x - sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) - kn x x, n > 0 cn = a-n + b-n 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x - sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) - kn x x, n < 0 故，对周期为 2 l 的函数 f (x)，有复数形式的 Fourier 级数： f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x, kn = n π l , cn = 1 2 l -l l f (x) - kn x x 如何推广至非周期情况？视为周期 2 l 且定义于 [-l, l] 区间的函数，再让 l ∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式？展开形式应如何变化？ 2 z08a Fourier 变换.nb
z08 a Fourier变mb3 还是从复数形式的 Fourier级数出发 f(x)=Scnc;,k1=",1→∞时,k→0?非也!因为n从-∞到+∞求和 f(x) △kn=kn+1-kn=-=△k与n无关,且1→∞时,△kn=△k→0 Ca elkax△kn,因为△k→0,求和变为积分 ak。acd其中a=c=-1 2/()e-ikI dx 2///A(r)e-ikzdx f(x) e-ikrdxelkx dk,注意△k=△=-,2l△k=2 在l→∞时,进一步改写成 f(x)= f(Ee-iks dsledkr dk f(k) eikx dk称为 Fourier积分 J()=f(Se-iksds 那么上述一系列貌似正确的推导,在什么条件下成立 (a)函数f(x)在任意有限区间内满足 Dirichlet条件 充分条件:1(6CedE有界,或称为/(绝对可积 实际上,条件()还可弱化为平方可积,即: AvIsPas<∞,相应的,这时的收敛退化为平均值收敛,即: limf( f(k) elks dr→0 容易推广至三维 f(x,y,-)= f(r,y,s)e-i( #+k, 3+k:) d=el(x+k J+h 3), dk, dk2 (2r)3 写成三角函数形式 1 f(Se-s ds elkxdk a M/eeku-odgdk ds I(E cos k(r-4)+i 3 dE f(E) cos k(r-s)dk dk f(E)cos k(x-5ds f(a cos ke cos kxdk+ f(E)sin ksds sin kxdk I [A(K)cos kx+B(k)sin kx] dk f(S)cosksds,B()=-/(sinks da ▲写成三角函数形式有何好处 当f(x)为偶函数时:f(x) A(k)cos kxdk, A(k)= 当f(x)为奇函数时:f(x)=B(k) sin kxdx,Bk)=- f(E)sinkEd
还是从复数形式的 Fourier 级数出发 f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x, kn = n π l , l ∞ 时，kn 0? 非也 ! 因为 n 从 - ∞ 到 + ∞ 求和。 f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x Δkn 1 Δkn , Δkn = kn+1 - kn = π l = Δk 与 n 无关，且 l ∞ 时， Δkn = Δk 0 = 1 Δk n=-∞ ∞ cn kn x Δkn, 因为 Δk 0，求和变为积分 = 1 Δk -∞ ∞ ck k x k, 其中 ck = cn = 1 2 l -l l f (x) - kn x x = 1 2 l -l l f (x) - k x x = -∞ ∞ 1 2 l Δk -l l f (x) - k x x k x k, 注意 Δk = Δkn = π l , 2 l Δk = 2 π 在 l ∞ 时，进一步改写成 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k 称为 Fourier 积分 f (k) = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ 那么上述一系列貌似正确的推导，在什么条件下成立？ 充分条件 ： (a) 函数 f (x) 在任意有限区间内满足 Dirichlet 条件； (b) -∞ ∞ f (ξ) ξ 有界，或称为 f (x) 绝对可积 。 实际上，条件 (b) 还可弱化为平方可积，即： ∫-∞ ∞ f (ξ) 2 ξ < ∞，相应的，这时的收敛退化为平均值收敛，即： lim A+∞-∞ ∞ f (t) - 1 2 π -A A f (k) k x k 2 t 0 ◼ 容易推广至三维 f (x, y, z) = -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ 1 (2 π)3 -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ f (x, y, z) - (kx x+ky y+kz z) x y z (kx x+kz y+kz z) kx ky kz ◼ 写成三角函数形式 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ) k (x-ξ) ξ k = 1 2 π -∞ ∞ ξ f (ξ) -∞ ∞ cos k(x - ξ) 偶函数 + sin k (x - ξ) 奇函数, 积分为0 k = 1 π -∞ ∞ ξ f (ξ) 0 ∞ cos k(x - ξ) k = 1 π 0 ∞ k -∞ ∞ f (ξ) cos k(x - ξ) ξ = 0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k +0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ sin k x k = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ ▲ 写成三角函数形式有何好处？ 当 f (x) 为偶函数时 ：f (x) = 0 ∞ A(k) cos k x k, A(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ 当 f (x) 为奇函数时 ：f (x) = 0 ∞ B(k) sin k x x, B(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ z08a Fourier 变换.nb 3
z08 a fourier变换nb 9 Fourier变换 Fourier积分 f(x)= flse-iks dslel kx 改写为 =2Cc“称为的反四变换 f(k)=f()eksd∈称为函数f(x)的 ourier变换 f()=U(x),也称像函数:f(x)=f{(),也称原函数 量子力学中,粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数,是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier变换 若f(x)是奇函数或偶函数,常写成三角函数形式,进行正弦变换和余弦变换 由三角函数形式的变换 f(x)= [A(k)cos kx+B(k)sin kx]dk, A()=- f(E)cos ked, B(k)=f(e sin kedE f(x)= f(E)cos ksds cos kxdk+ f(S) sin ksds sin kxdk 若f(x)为奇函数,上式第一项为0 fsf(r)I=- 2、16 sin kede=| )sin kE ds=jsk)正弦变换 Fs(sk)]==[7s(k)sin krak=f() 若f(x)为偶函数,(1.2)式第二项为0 fm=6 cos ksde=|6) cos ked=c(k)余弦变换 2 fc(k)cos kxdk=f(x) ■三维空间的 Fourier变换 +∞c 千U(x,y,=f(kx,k,k)= f(x,y, s)e-i( i+ky +kadxdyd= 于-kx,k,k)=f(x,y,)= f(kr, ky, k)e(x+ky J+k =)dkr dk, dk ■四维时空的 Fourier变换 f(x,y, ne-a krx+hr y+k=)+iw dx dy d:dt f(kr, k,, ks, w)e(k 1+k, J+k =)-iut dkr dk, dke dw (2 ■ Fourier变换的物理意义 若f(x)=0(x),则:
Fourier变换 Fourier 积分 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k 改写为 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k 称为 f (k) 的反 Fourier 变换 f (k) = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ 称为函数 f (x) 的 Fourier 变换 记为： f (k) = ℱ[f (x)], 也称像函数； f (x) = ℱ-1f (k), 也称原函数 量子力学中，粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数，是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier 变换。 若f (x) 是奇函数或偶函数，常写成三角函数形式，进行正弦变换和余弦变换。 由三角函数形式的变换 f (x) = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k, A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ 即： f (x) = 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k + 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ sin k x k (1.2) 若 f (x) 为奇函数，上式第一项为 0 ℱS[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = f S(k) 正弦变换 ℱS -1f S(k) = 2 π 0 ∞ f S(k)sin k x k = f (x) 若 f (x) 为偶函数，(1. 2) 式第二项为 0 ℱC[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = f C(k) 余弦变换 ℱC -1f C(k) = 2 π 0 ∞ f C(k) cos k x k = f (x) ◼ 三维空间的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z)] = f (kx, ky, kz) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z) -(kx x+ky y+kz z) x y z ℱ-1f (kx, ky, kz) = f (x, y, z) = 1 (2 π)3 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (kx, ky, kz) (kx x+ky y+kz z) kx ky kz ◼ 四维时空的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z, t)] = f (kx, ky, kz, ω) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z, t) -(kx x+ky y+kz z) + ω t x y z t ℱ-1f (kx, ky, kz, ω) = f (x, y, z, t) = 1 (2 π) 4 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (kx, ky, kz, ω) (kx x+ky y+kz z) - ω t kx ky kz ω ◼ Fourier变换的物理意义 若 f (x) = δ(x), 则： 4 z08a Fourier 变换.nb
z08 a fourier变换mb5 f()=fU(x)= (De-iksds= 8(Se-iksdf=l ()==16=1C1.etdx=/(=x 物理上,若将x视为时间,k视为圆频率,则(x)可视为时域的一个尖脉冲, 对应地,在频域中,f(k)=1,表明它包含了所有的各种频率分量,且各频率分量振幅和相位相等 反之,若在频域中仅仅包含一个频率分量,对应于像函数为 delta函数 域上看,有 =2厂a4ck=2的确,在时域上看,是单二频率与的时振荡 因此,若将x视为时间 Fourier变换其实是将一个随时间任意变化的函数f(x),分解为各种频率分量f(k)的叠加。 像函数f(k)给出不同频率分量的振幅及相位。这一点,将在下一节“色散关系”中展现得更为清楚。 若将x视为空间坐标,k视为波矢量,则单一个波矢量的波:y=ek充满整个空间 反过来,若一个波在局域在空间某有限区域,则它必定由波矢量不同的波叠加而成 Q求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier变换的一些计算技巧,有些技巧貌似不严谨,但在物理中常用,其数学基础是广义函数论, 目例题:f(x)=e-,求f(k) AF: /()=/f()e-lkidx= e+ eikx dx=i-ik I+ik 1+k2 自例题:f(x)=6(x),求f(k)。看起来更为严格的证明。 解:f(k)=|fxe o(r)e-kx 反变换:于1y=C0dk= elk dk=d(x),怎么看起来有点怪? 这里涉及: Cauchy主值积分(是积分主值,不是积分的一般值,后者其实是不收敛的) 积分主 ekr dks lim sinx 看出”x,不同n值的图形如下 sin(n x) sin(nx) n=200 n=2000 随n增大,儿()的峰越来越高、越来越窄,似乎暗示着|x)=lm5x→6x)?然也。证据 考虑函数序列:ln(x)= ,要“证明”lim(x)→o(x),需验证以下两点 (a)随n增大,ln(x)在x=0的峰可任意高,任意窄 (b)对ln(x)的积分,在 时应(仍然)为1
f (k) = ℱ[f (x)] = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ = -∞ ∞ δ(ξ) - k ξ ξ = 1 f (x) = ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ 1· k x x = f (x) = δ(x) ⟹ δ (x) = 1 2 π -∞ ∞ k x x 物理上，若将 x 视为时间，k 视为圆频率 ，则 δ(x) 可视为时域的一个尖脉冲 ， 对应地，在频域中 ，f (k) = 1，表明它包含了所有的各种频率分量 ，且各频率分量振幅和相位相等 。 反之，若在频域中仅仅包含一个频率分量 ，对应于像函数为 delta 函数：δ(k - k0)，在时域上看 ，有 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ δ(k - k0) k x k = 1 2 π k0 x 的确，在时域上看 ，是单一频率 k0 的时谐振荡 。 因此，若将 x 视为时间 ： Fourier 变换其实是将一个随时间任意变化的函数 f (x)，分解为各种频率分量 f (k) 的叠加。 像函数 f (k) 给出不同频率分量的 振幅及相位 。这一点，将在下一节 “色散关系” 中展现得更为清楚 。 若将 x 视为空间坐标 ，k 视为波矢量 ，则单一个波矢量的波 ：φ = e k z 充满整个空间 ， 反过来，若一个波在局域在空间某有限区域 ，则它必定由波矢量不同的波叠加而成 。 求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier 变换的一些计算技巧，有些技巧貌似不严谨，但在物理中常用，其数学基础是广义函数论。 ☺ 例题：f (x) = -x ，求 f (k) 解： f (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ -x - k x x = 1 1 - k + 1 1 + k = 2 1 + k2 ☺ 例题：f (x) = δ(x)，求 f (k)。看起来更为严格的证明。 解： f (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ δ(x) - k x x = 1 反变换：ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k = 1 2 π -∞ ∞ k x k = δ (x) ，怎么看起来有点怪 ？ 这里涉及 ：Cauchy 主值积分 （是积分主值 ，不是积分的一般值 ，后者其实是不收敛的 ） I(x) = 1 2 π -∞ ∞ k x k 积分主值 lim n∞ 1 2 π -n n k x k = lim n∞ sin n x π x 看 sin n x π x ，不同 n 值的图形如下 。 n = 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -2 2 4 6 8 sin(n x) π x n = 200 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -20 20 40 60 80 sin(n x) π x n = 2000 -0.10 -0.05 0.05 0.10 200 400 600 sin(n x) π x 随 n 增大，I(x) 的峰越来越高 、越来越窄 ，似乎暗示着 I(x) = lim n∞ sin n x π x δ(x)？ 然也。证据？ 考虑函数序列 ：In(x) = sin n x π x ，要 “证明” lim n∞In(x) δ(x)，需验证以下两点 ： (a) 随 n 增大，In(x) 在 x = 0 的峰可任意高，任意窄 (b) 对 In(x) 的积分，在 n ∞ 时应 （仍然） 为 1 z08a Fourier 变换.nb 5
6z08 a Fourier变挽nb (a) lim In(x)=-=lo,故在x=0的峰随n→∞可达任意高 I,(xo) sin n xo 又:x0≠0 lo 只要偏离中心点x=0,函数值与中心值之比趋于0,即:峰可任意窄 (b)limIn(x)dx= dx x=il, dt=1(第四章例题 所以我们有:1(x)= .人kxk=msnx 例题:f(x)=e-hm),a>0,求f(k) -xfMore-ikx dx= (x+kwd2 Pe-wdAA dx=wo√r 其中利用了:e可xdx=W0Vr,可以是复数,这一等式的证明见第二章最后一个例题的推论。 ▲本例说明高斯分布的 Fourier变换依然是高斯分布(差一常数因子) 物理上,高斯光束在横向是高斯分布的 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 并且,光束越窄(对应于a越大)所含的波矢量越“多 在实空间的宽度~w0,在k空间宽度、2 二者之积~2
(a) lim x0 In(x) = n π = I0, 故在 x = 0 的峰随 n ∞ 可达任意高 又：∀ x0 ≠ 0, In(x0) I0 = sin n x0 n x0 0， 只要偏离中心点 x = 0，函数值与中心值之比趋于 0，即：峰可任意窄。 (b) lim n∞-∞ +∞ In(x) x = lim n∞-∞ +∞ sin n x π x x x = t/n -∞ +∞ sin t π t t = 1 （第四章例题 ） 所以我们有 ： I(x) = 1 2 π -∞ ∞ k x k = lim n∞ sin n x π x = δ(x) ☺ 例题：f (x) = -(x/w0)2 , α > 0，求 f (k) 解：f (k) = -∞ ∞ -(x/w0)2 - k x x = -∞ ∞ -w0 -2( x+ k w0 2/2)2 -w0 2 k2/4 x = w0 π -w0 2 k2/4 其中利用了 ：-∞ ∞ -w0 -2( x+z)2 x = w0 π , z 可以是复数 ，这一等式的证明见第二章最后一个 例题的推论 。 ▲ 本例说明高斯分布的Fourier变换依然是高斯分布（差一常数因子） 物理上，高斯光束在横向是高斯分布的 ， 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 。 并且，光束越窄 （对应于 α 越大） 所含的波矢量越 “多”。 在实空间的宽度 ∼ w0, 在 k 空间宽度 ∼ 2 w0 二者之积 ∼ 2 6 z08a Fourier 变换.nb
z08 a fourier变nb7 Clear [f, g] g[k Pot[【x,1],q【x,1],(x,-9,9}, Plotsty1e→{Rd),(B1ue, Dashing [o.02] AxesLabel -(None, style["a=l", 14]), PlotRange+[0, 1.11, PlotLegends→ Placed LineLegend[style"f(x)",FontFamily+"Times",Italic,Bold,10] style["f(k)",FontFamily +"Times", Italic, Bold, 10F egendMarkersize+(22,1),(Scaled[[68, 0.6)1,(0,0.2))1 g2=Plot[(f[x, 51, g[x, 51),(x,-9, 9), Plotstyle+(Red,(Blue,Dashing[o021)) Axeslabe1→{None,sty1e【"a=5",14]},P1 legends→ Placed [LineLegend[style["f(x)",FontFamily+"Times",Italic,Bold,10] e["f(k)",FontFamily+"Times", Italic, Bold, 10F LegendMarkersize+(22, 1),(Scaled[(68,0.6), (0,0.2)31 Grid[[igl, Spacer[5], g2]]] a=5 f(k)
Clear[f, g]; f[x_, a_] := Exp[- a x2]; g[k_, a_] := π α Exp- k2 (4 a) g1 = Plot{f[x, 1], g[x, 1]}, {x, -9, 9}, PlotStyle {{Red}, {Blue, Dashing[0.02]}}, AxesLabel {None, Style["α=1", 14]}, PlotRange {0, 1.1}, PlotLegends PlacedLineLegendStyle["f(x)", FontFamily "Times", Italic, Bold, 10], Style"f (k)", FontFamily "Times", Italic, Bold, 10, LegendMarkerSize {22, 1}, {Scaled[{.68, 0.6}], {0, 0.2}}; g2 = Plot{f[x, 5], g[x, 5]}, {x, -9, 9}, PlotStyle {Red, {Blue, Dashing[0.02]}}, AxesLabel {None, Style["α=5", 14]}, PlotLegends PlacedLineLegendStyle["f(x)", FontFamily "Times", Italic, Bold, 10], Style"f (k)", FontFamily "Times", Italic, Bold, 10, LegendMarkerSize {22, 1}, {Scaled[{.68, 0.6}], {0, 0.2}}; Grid[{{g1, Spacer[5], g2}}] f(x) f (k) -5 0 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α=1 f(x) f (k) -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α=5 E(x, y) = -∞ ∞ -w0 2 α2/4 (α x +β y) α, β = k2 - α2 , k = 2 π λ z08a Fourier 变换.nb 7
8z08 a Fourier变挽nb gaussbeam [wo,x,y] NIntegrateExp[-wo2 a2] Expiax+iv((2 x)2-a)y],(a,-1, 1) time=Timing [tbl=Table[x, y, Abs[gaussbeam[4, x, y1]2) (x,-xm, xm,xm/80),(y,-ym, ym, ym/100)1 time[[1]] tbll Flatten[tbl,1] g1 =ListcontourPlot[tbll, Contours +50, Contourstyle→None, Colorfunction→" Rainb。w AspectRatio- ym/xm, Ticks +[[-15,0, 15],[-40,-20,0,20,4011 q2=Plot[Abs[ gaussbeam【2,x,0]12,{x,-Ⅻm,xm}, PlotRange→M1] Grid[[[gl, Spacer [30], 92)11 200.617 目例题:试证:l= sink dxe -e-k k>o 证:可试着用留数定理求积分,现利用正弦变换求之。 f(x)=-是奇函数,正弦变换sk)=f(x) sinkxd3 题中等式等价于证明f()的正弦变换为:xc+k=1 因而应该证明f(x)的正弦变换为l。反过来,只需证明I的反正弦变换为f(x) 故只需证明:2 fs(k)sin kxdk ,即只需证明 e-k(l-ix) e-hI 直接积分 e-k sin kxdk lelkx-e-ika)dk
xm = 20; ym = 50; gaussbeam[w0_, x_, y_] := NIntegrateExp-w02 α2 Exp α x + √(2 π)2 - α2 y, {α, -1, 1}; time = Timingtbl = Tablex, y, Abs[gaussbeam[4, x, y]]2, {x, -xm, xm, xm / 80}, {y, -ym, ym, ym / 100}; time[[1]] tbl1 = Flatten[tbl, 1]; g1 = ListContourPlot[tbl1, Contours 50, ContourStyle None, ColorFunction "Rainbow", AspectRatio ym / xm, Ticks {{-15, 0, 15}, {-40, -20, 0, 20, 40}}]; g2 = PlotAbs[gaussbeam[2, x, 0]]2, {x, -xm, xm}, PlotRange All; Grid[{{g1, Spacer[30], g2}}] 200.617 -20 -10 0 10 20 -40 -20 0 20 40 -20 -10 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 ☺ 例题：试证：I = 0 ∞ x 1 + x2 sin k x x = π 2 -k, k > 0 证：可试着用留数定理求积分 ，现利用正弦变换求之 。 f (x) = x 1 + x2 是奇函数 ，正弦变换 f S(k) = 0 ∞ f (x)sin k x x = I 题中等式等价于证明 f (x) 的正弦变换为 ： π 2 -k = I 因而应该证明 f (x) 的正弦变换为 I。反过来，只需证明 I 的反正弦变换为 f (x)。 故只需证明 ： 2 π 0 ∞ f S(k) sin k x k = x 1 + x2 ，即只需证明 ： 2 π 0 ∞ π 2 -k sin k x k = x 1 + x2 直接积分：0 ∞ -k sin k x k = 1 2 0 ∞ -k k x - - k x k = 1 2 - -k(1- x) 1 - x 0 ∞ + -k(1+ x) 1 + x 0 ∞ = x 1 + x2 8 z08a Fourier 变换.nb
z08 a Fourier变换mb9 Integrate Sin [k x], [x,0, oo], Assumptions *[k>0] 1+X 0例题(x.00.求0,注意/在x=0不连 J()=f(x)e-ikxdx=e-ikr-Bxdx B-ik k+bB+k 验证,做反变换能否得到f(x) f(k)edko dka B-ik 利用ckx=co 奇函数,积分为0 (B cos kx+ksin kx)-i(B sin kx+k cos kx) (B cos kx+ ksin kx) >0时:(以下用到 Jordan引理) 第一项 dk= Reli Res 2 2+k2 第二项。1∩ k sin k. dk=-e-Bx(求法与第一项类似) x=0时:第一项=1C°B dk 第二项=0 P2+k2 x0 4B-0时,/)={x0一/=B-(x01 caviside step function(阶跃函数) 已求得:fUf(x)=f(k) B-ik B2+k2 B-ik 于[H(x) f flf(r) =--?非也! B+82尸+k2 0k≠0 设:=cOk),c为常数 其中:6(x-a)= 0x≠a 且|(x-a)dx=1称为Dac6函数 常数c=?涉及Dac6函数的证明:等式co(k)=两边同时积分 B c「o(k)dk=c=|t1dk= dk=2 i Res 丌o(k)
Integrate x 1 + x2 Sin[k x], {x, 0, ∞}, Assumptions {k > 0} -k π 2 ☺ 例题：f (x) = 0 x 0，求 f (k)，注意 f (x) 在 x = 0 不连续。 解： f (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = 0 ∞ - k x-β x x = 1 k + β = β - k β2 + k2 验证，做反变换能否得到 f (x) : ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k = 1 2 π -∞ ∞ β - k β2 + k2 k x k, 利用 k x = cos k x + sin k x = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) - (-β sin k x + k cos k x) 奇函数，积分为0 β2 + k2 k = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) β2 + k2 k x > 0 时：（以下用到 Jordan引理 ） 第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β cos k x β2 + k2 k = 1 2 π Re -∞ ∞ β k x β2 + k2 k = Re Res β k x k2 + β2 k= β = 1 2 -β x 第二项 = 1 2 π -∞ ∞ k sin k x β2 + k2 k = 1 2 -β x （求法与第一项类似 ） x = 0 时：第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β β2 + k2 k = 1 2 , 第二项 = 0 x 0 在第一类间断点 x = 0，ℱ-1f (k) = 1 2 [f (0+) + f (0-)] ▲ β 0+ 时，f (x) = 0 x < 0 -β x x ≥ 0 ⟹ f (x) = H(x) = 0 x < 0 1 x ≥ 0 Heaviside step function （阶跃函数） 已求得：ℱ[f (x)] = f (k) = β - k β2 + k2 ℱ[H(x)] = ℱlim β0+ f (x) = lim β0+ℱ[f (x)] = lim β0+ β - k β2 + k2 = lim β0+ β β2 + k2 t1 - k β2 + k2 t2 = - k ? 非也！ t1 = lim β0+ β β2 + k2 = 0 k ≠ 0 ∞ k = 0 ⟹ 设： t1 = c δ(k), c 为常数， 其中：δ(x - a) = 0 x ≠ a ∞ x = a 且 -∞ +∞ δ(x - a) x = 1 称为 Dirac δ 函数。 常数 c =？涉及 Dirac δ 函数的证明 ：等式 c δ(k) = t1 两边同时积分 c -∞ ∞ δ(k) k = c = -∞ ∞ t1 k = lim β0+ -∞ ∞ β β2 + k2 k = 2 π Res β β2 + k2 k= β = π t1 = π δ (k) z08a Fourier 变换.nb 9
10z08 a fourier变换nb 利用Drac- Plemel关系式 0+时 ir6(u-cb)P表示 Cauchy主值 (证明见下) 0-0±lE-co 空 P 从而:元H--=09-1=B此即阶跃函数的F变换 ▲反过来由阶跃函数的像函数,求其原函数。 (k)=[H(x)=r(k)-i 原函数:I(x)= A(kekik 当x>0时:A=9C。1edk=,其中利用了约当引理,沿如下左图路径积分 当x=0时:A=P dk=0 主意仅在求积分主值时才有A=0,积分的一般值是发散的 当x<0时:A= preaid=-1其中利用了约当引理,沿如下右图路径积分 R Rx -R R 试比较:H(x) x< x≥0 Heaviside step function(阶跃函数) 从而:lx)= 在第一类间断点收敛于左右极限之平均值 0 ▲ Dirac-Plemelj关系式的证明:E→0+时: 干丌o( -0±tEd- 涉及δ函数,利用“物理学家的证明方法”。实际上,δ函数也常在与其它函数相乘求积分时才显示其用处 当然,这种所谓“物理学家的证明方法”实际上是广义函数理论的儿童版。 考虑积分:F(=) dt,积分沿实轴从t=a到t=b,a,b均为实数 (若f()不是多值函数,则不必定义t的辐角) 显然,当复变量二不在实轴时,F()是 Cauchy型积分形式,因而是解析的。 当复变量:趋于实轴上某个介于b之间的值时(<mb,--m 根据极限方式不同,F(x0)可以有以下几种不同的取值: f(odt (a)F(0=m(x+16)=m 表示二从上半平面趋于实轴上的点x
t2 = lim β0+ k β2 + k2 = 2 lim β0+ 1 k + β + 1 k - β 利用 Dirac - Plemelj 关系式： （证明见下 ） ε 0+ 时： 1 ω - ω0 ± ε = ω - ω0 ∓ π δ (ω - ω0) 表示 Cauchy 主值 t2 = 2 k - π δ(k) + k + π δ(k) = k , 从而： ℱ[H (x)] = t1 - t2 = π δ (k) - k = H (k) , 此即阶跃函数 的 Fourier 变换 ▲ 反过来由阶跃函数的像函数，求其原函数。 H (k) = ℱ[H(x)] = π δ(k) - k 原函数：I(x) = 1 2 π -∞ +∞ H (k) k x k = 1 2 π -∞ +∞ π δ(k) - k k x k = 1 2 - 2 π -∞ +∞ 1 k k x k 设此项为 A 当 x > 0 时：A = -∞ +∞ 1 k k x k = π， 其中利用了 约当引理，沿如下左图路径积分 当 x = 0 时：A = -∞ +∞ 1 k k = 0， 注意 仅在求积分主值时才有 A = 0，积分的一般值是发散的 。 当 x 0 1 2 , x = 0 0, x < 0 试比较：H (x) = 0 x < 0 1 x ≥ 0 Heaviside step function （阶跃函数 ） 在第一类间断点收敛于左右极限之平均值 ▲ Dirac-Plemelj 关系式的证明：ε 0+ 时： 1 ω - ω0 ± ε = ω - ω0 ∓ π δ(ω - ω0) 涉及 δ 函数，利用 “物理学家的证明方法 ”。实际上，δ 函数也常在与其它函数相乘求积分时才显示其用处 。 当然，这种所谓 “物理学家的证明方法 ” 实际上是广义函数理论的儿童版 。 考虑积分：F(z) = a b f (t) t - z t, 积分沿实轴从 t = a 到 t = b, a, b 均为实数 （若 f (t) 不是多值函数 ，则不必定义 t 的辐角）。 显然，当复变量 z 不在实轴时 ，F(z) 是 Cauchy 型积分 形式，因而是解析的 。 当复变量 z 趋于实轴上某个介于 a、b 之间的值 x0 时 （a < x0 < b）, F(z) F(x0) = a b f (t) t t - x0 根据极限方式不同 ，F(x0) 可以有以下几种不同的取值 ： (a) F+(x0) = lim ε0+ F(x0 + ε) = lim ε0+ a b f (t) t t - x0 - ε , — 表示 z 从上半平面趋于实轴上的点 x0 10 z08a Fourier 变换.nb
