《数学物理方法》第二章作业参考解答 ●计算下列路径积分: dz(n为整数) 1 dz p2d,积分都是沿正方向 e55-2d5积分沿负方向 令5=-,则上述积分为 e52d5积分沿正方向 n≥2时,图=1所围区域对被积函数是单通区域,由科希定理一可 知,积分为0 n<2时,原积分= ds (1-n)! 2. d- e+e--- d=2ri(e+e--2) 0 2z-1 dE dz =d =2ni-2i(=-1)l2=0=0 设P(二)= d(2-1)]是 Legendre多项式,证 2 nl dz Pn(=)= 且问y是什么样的曲线?
《数学物理方法》第二章作业参考解答 z 计算下列路径积分： 1． ∫ | |=1 1 z n z dz z e （n 为整数） [解：] ∫ = = ∫ − = − 1 1 2 1 1 1 z z n z n z z d z e dz z e , 积分都是沿正方向 令 z 1 ξ = , 则上述积分为: 积分沿正方向 积分沿负方向 ∫ ∫ = − = − = − 1 2 1 2 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ e d e d n n n ≥ 2时, ξ = 1 所围区域对被积函数是单通区域, 由科希定理一可 知, 积分为 0 n < 2时, 原积分 ∫ = = − − − = − = 1 0 (1 ) 2 (1 )! 2 ( ) | (1 )! 2 ξ ξ ξ ξ π π ξ ξ n i e n i d e n n = 2． ∫ = − + − | | 1 2 2 z z z dz z e e [解：] ∫ = = − − = + − = + − 1 0 ' 2 2 ( 2) | 0 2 z z z z z z dz i e e z e e π 3． ∫ = − − | | 2 2 ( 1) 2 1 z dz z z z [解：] 2 2 ( 1) | 0 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 0 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − − − = − − − = − − = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = z z z z z i i z dz z z dz z dz z z z z dz z z z π π z 设 [( 1) ] 2 ! 1 ( ) 2 n n n n n z dz d n P z = − 是 Legendre 多项式，证明： ∫ + − − = γ ξ ξ ξ π d i z P z n n n n 1 2 2 ( ) ( 1) 2 1 ( ) 且问γ 是什么样的曲线？
[证明:] 令f()=(2-1)”,由科希公式推论可得: (=2-1)、划 ds 2ri(5-) P(-s、l -ds 2"nl de (5-x) 可为复平面上任一包含z的闭合曲线 ●证明 escos cos(psng-np)d=22(提示:取f(x)=e,闭路径 为|=|=p,并利用高阶导数的柯西公式。) [证明:] 令∫(=)=e,由科希公式推论可得: fn(0)=(e 2 2i Jo p"le 2 ecos(cos(psin -no)+isin(psin -n ))do n eoy cos(psin o-no)do=1 2T P eosg cos(psin o-no )do=2T-
[证明：] 令 , 由科希公式推论可得: n f (z) (z 1) 2 = − ξ ξ ξ π ξ ξ ξ π ξ ξ ξ π γ γ γ d i z z dz d n P z d i z n d z f i n z dz d f z n n n n n n n n n n n n n n ∫ ∫ ∫ − − ∴ = − = − − = − = − = + ( ) ( 1) 2 1 [( 1) ] 2 ! 1 ( ) ( ) ( 1) 2 ! ( ) ( ) 2 ! ( ) [( 1) ] 2 2 1 2 ( ) 2 γ 可为复平面上任一包含 z 的闭合曲线。 z 证明： ∫ − = π ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ π 2 0 cos ! cos( sin ) 2 n e n d n （提示：取 ，闭路径 为 z f (z) = e | z |= ρ ，并利用高阶导数的柯西公式。） [证明:] 令 , 由科希公式推论可得: z f (z) = e ∫ ∫ ∫ ∫ = − + − = = = = = − + + = + = π ρ ϕ π ρ ϕ ρ ϕ ϕ π ϕ ϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ϕ π ρ ϕ π ρ ρ ϕ π π ρ ϕ 2 0 cos 2 0 cos ( sin ) 2 0 1 1 ( 1) 0 ( ) ( ) (cos( sin ) sin( sin )) 1 2 ! 1 2 ! 2 ! 2 ! (0) ( ) | 1 e n i n d n e e d n e d e e i n dz z e i n f e n i n n i n i n e z n z z n z n i ! cos( sin ) 2 cos( sin ) 1 1 2 ! 2 0 cos 2 0 cos n e n d e n d n n n ρ ρ ϕ ϕ ϕ π ρ ϕ ϕ ϕ π ρ π ρ ϕ π ρ ϕ ⇒ − = ∴ − = ∫ ∫