复变函数的积分 21积分的定义和性质 复变函数积分的定义 类似于实变函数,可定义复变函数的积分。 定义:设函数f()在光滑或分段光滑的曲线L上有定义,则f(-)沿L路线积分定义如下 曲线L分成n段,在每段k-xk-=4k间任取一点k,若求和式 S=∑(6)△x的极限mS=|)d 存在,则称板限值为几()在L上的积分,记为,J(=)d: 注意极限存在须与1.弧段的分法2.5k在zk1到k间的取法无关 Sk/Ek 0
2 复变函数的积分 2.1 积分的定义和性质 复变函数积分的定义 类似于实变函数，可定义复变函数的积分。 定义：设函数 f (z) 在光滑或分段光滑的曲线 L 上有定义，则 f (z) 沿 L 路线积分定义如下： 把曲线 L分成 n 段，在每段 zk - zk-1 = Δ zk间任取一点 ξk，若求和式 Sn = n k=1 f (ξk) Δ zk 的极限 lim max {Δ zk} Sn = L f (z) z (1.1) 存在，则称极限值为 f (z) 在 L上的积分，记为： ∫L f (z) z。 注意极限存在须与 1. 弧段的分法 2. ξk 在 zk-1 到 zk 间的取法 无关 0 5 10 15 x 2 4 6 8 10 y z0 z1 z2 zk-1 ξ1 ξ2 ξk zk zn L
f(=d== lin (k+ivk)(4xk+i△yk)= f()d==(udx-vdy)+i(udy+vdx 第二类曲线积分 若曲线L由参数方程确定,则可化为参数方程的积分 曲线L: f()d=|1d=(=(=dt=实部与虚部两个一元函数的积分 复变函数积分的性质 ■若曲线L=L1+L2+ ■若曲线L与L-反向,则 f(-)d==-|f(-)d 线性: af()±a(川d=a1|(da2|()d=,其中a1,a2为常复数 ■不等式(在证明积分为0时常用) f()d==()I ld= )A=∑|)|1x两边取极限即得 ■上限:若M为|f()在曲线L上的上界,则 f(-)d-≤Ml, 为曲线L的长度 例题:1=Red=,L为:L1从原点到1+i的直线:L2从原点到1,再到1+i
L f (z) z = lim max Δ xk 0 max Δ yk 0 k=1 n (uk + vk) (Δ xk + Δ yk) = lim max Δ xk 0 max Δ yk 0 k=1 n [uk Δ xk - vk Δ yk + (uk Δ yk + vk Δ xk)] L f (z) z = L (u x - v y) + L (u y + v x) 第二类曲线积分 ◼ 若曲线 L 由参数方程确定，则可化为参数方程的积分 曲线 L： x = x(t) y = y(t) , L f (z) z = L f [z(t)] z(t) = t1 t2 f [z(t)]z′ (t) t ⟹ 实部与虚部两个一元函数的积分 复变函数积分的性质 ◼ 若曲线 L = L1 + L2 + ... + Ln，则 L f (z) z = k=1 n Lk f (z) z ◼ 若曲线 L 与 L- 反向，则 L f (z) z = -Lf (z) z ◼ 线性： L [a1 f1(z) ± a2 f2(z)] z = a1 L f1(z) z ± a2 L f2(z) z，其中 a1, a2 为常复数 ◼ 不等式（在证明积分为 0 时常用） L f (z) z ≤ L f (z) z 证明： k=1 n f (ξk) Δ zk ≤ k=1 n f (ξk) Δ zk , 两边取极限即得 ◼ 上限：若 M 为 f (z) 在曲线 L 上的上界，则 L f (z) z ≤ M l, l 为曲线 L 的长度 1+ 1 x y L1 L2 1+ 2+ 2+4 x y L1 L2 L3 ☺ 例题： I = L Re z z，L 为： L1 从原点到 1 + 的直线； L2 从原点到 1，再到 1 + 2
沿L1 d(ren/4) (1+i), 其中利用了复变函数的求导法则与实变函数同:d()==()dt,d(re4)=endr 沿L2I Crdx+fidy 对本题的积分,积分路径不同时,积分值不同 例题:1==d=,L为:L1从1+i到2+4i的直线 L2沿直线1+i到2+i,再到2+4i L3从1+i沿过0,1+i,2+4i的抛物线到2+4i 沿L1:直线方程:y=3x-2 =(x+iy2d(x+iy),以y=3x-2代入 =|x+i(3x-2)2d[x+i(3x-2) 沿L2.第一段y=1,dy=0,h=|(x+i)dx=+3 二段:x=2,dx=0,h=(2+iy)2d(iy)=-30-9i 沿L3:抛物线方程:y=x2代入 (x+iyPd(r+iy)=[(r+ix)'d(+ix?), FlF d(x+ix2)=(1+2ix)d 对本题的积分,积分路径不同时,积分值相同 ■在什么情况积分值才与积分路径无关? f()d=adx-dy+iudy+rdx)=两个实变二元函数的第二类曲线积分 实二元函数第二类曲线积分|(Pdx+Qdy) 积分值与积分路径无关的条件:P=Qx 应用到复分若n,v满足C-R条件,则积分就可能与路径无关 是否解析函数的积分与路径无关?充分?必要? 其实还有其它条件:单连通有界区域、一阶偏导数连续。这就是下一节的 Cauchy定理
沿 L1： z = r π/4, I = 0 2 r cos π 4 r π/4 = 0 2 r π/4 cos π 4 r = 1 2 (1 + )， 其中利用了复变函数的求导法则与实变函数同 ：z(t) = z′(t) t, r π/4 = π/4 r 沿 L2： I = 0 1 x x + 0 1 1 y = 1 2 + 对本题的积分 ，积分路径不同时 ，积分值不同 。 ☺ 例题： I = L z2 z，L 为： L1 从 1 + 到 2 + 4 的直线； L2 沿直线 1 + 到 2 + ，再到 2 + 4 ； L3 从 1 + 沿过 0, 1 + , 2 + 4 的抛物线到 2 + 4 沿 L1： 直线方程 ：y = 3 x - 2, ⟹ I = (x + y)2 (x + y)，以 y = 3 x - 2 代入 = 1 2 [x + (3 x - 2)]2 [x + (3 x - 2)] = 1 2 [(1 + 3 ) x - 2 ]2 (1 + 3 ) x = - 86 3 - 6 1+ 2+ 2+4 x y L1 L2 L3 沿 L2： 第一段 y = 1， y = 0， I1 = 1 2 (x + )2 x = 4 3 + 3 ， 第二段：x = 2， x = 0， I2 = 1 4 (2 + y)2 ( y) = -30 - 9 I = I1 + I2 = - 86 3 - 6 沿 L3： 抛物线方程 ：y = x2 代入 I = x=1 x=2 (x + y) 2 (x + y) = x=1 x=2 x + x2 2 x + x2，利用 x + x2 = (1 + 2 x) x I = x=1 x=2 x + x2 2 (1 + 2 x ) x = x=1 x=2 x2 + 4 x3 - 5 x4 - 2 x5 x = - 86 3 - 6 对本题的积分 ，积分路径不同时 ，积分值相同 。 ◼ 在什么情况积分值才与积分路径无关？ L f (z) z = L (u x - v y) + L (u y + v x) ⟹ 两个实变二元函数的第二类曲线积分 实二元函数第二类曲线积分 L (P x + Q y) 积分值与积分路径无关的条件 ：Py = Qx 应用到复积分 若 u, v 满足 C-R 条件，则积分就可能与路径无关 。 是否解析函数 的积分与路径无关 ？充分？必要？ 其实还有其它条件 ：单连通有界区域 、一阶偏导数连续 。这就是下一节的 Cauchy 定理。 3
0x/2 例题:若〓在上半平面及沿实轴趋于∞时,〓f(-)一致趋于0(与二趋于∞的辐角无关 只要其辐角θ=argz满足0≤θ≤π),即 如果:lim=f(-)=0,0≤6=arg-≤r, 则:沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧:Iimf()d==0 证明:这是第一次遇到求证积分为0的问题,今后方法多与此相似。 要证明积分值为0,只需证明积分值的模为0。常利用f()d|≤|U(,下证之。 Ce|Celd.需证明:m/=0 =Rele s d== Riele de ld==Rlde s ld==kl ldel I=v() WIlde= fE)Ide0,可找到R 使得当|>R时,|=fc川R,则有:|fc川d0,均可找到一个R",当R>R时,00 证明:方法类似于上一题。在大圆弧CR上, ==Ree a d==Riele de ld==Rlg s d==lldel
x y R∞ -R R θ1 θ2 CR x y 0 π/2 π 1 y=sinx y= 2 π x ☺ 例题： 若 z 在上半平面及沿实轴趋于 ∞ 时， z f (z) 一致趋于 0（与 z 趋于 ∞ 的辐角无关， 只要其辐角 θ = arg z 满足 0 ≤ θ ≤ π），即 如果： lim z∞z f (z) = 0, 0 ≤ θ = arg z ≤ π, 则：沿上半平面任意一段圆心于原点半径为 R 的圆弧： lim R∞ CR f (z) z = 0 证明：这是第一次遇到求证积分为 0 的问题，今后方法多与此相似。 要证明积分值为 0，只需证明积分值的模为 0。常利用 L f (z) z ≤ L f (z) z，下证之。 CR f (z) z ≤ CR f (z) z = I，需证明： lim R∞I = 0 z = R θ ⟹ z = R θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ I = CR f (z) z θ = CR z f (z) θ 0， 可找到 R′ ， 使得当 z > R′ 时， z f (z) R′ ，则有： CR z f (z) θ 0，均可找到一个 R′′, 当 R > R′′ 时，0 0 证明：方法类似于上一题。在大圆弧 CR 上， z = R θ ⟹ z = R θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ 4
(()eim:id==velle m=lld=1= 因为=为复数,m|*1,而是|m1=mRcm+m=c一m知 I= U(Ix e-mR sineRldel= ER B, e-m Sine del 意此时ε→0,但R→∞,不能确定ER→0,故需要算出对θ的积分。 对辐角大于一的那一段圆弧,可通过变换=丌-6化为一段辐角在0到一之间的积分 例如:层mM二cmm试例 对任一段辐角在0到一之间的积分,利用0≤6≤x/2时有sn6>-B, re-m ROmin-e-mR6nan e-mRsne ld≤ de= 代入l可得:I=rER 3(e-mRm-e一mRm)→0 若m<0,如(=)cmd==0则要求当=在下半平面趋于∞时,f)-致趋于0 上一章提到的积分(见下)就是利用<6≤m的任一段大圆弧上CR上的积分为0。当然还要利用一个闭合回 路的积分为0把积分化为沿二+1=(固定=3nr从0到无穷)进行。至于什么条件下沿闭合路径积 分为0,下一节就将讨论。 17x)dx 22 Cauchy定理 复变函数的积分实际上为两个二元实变函数的第二类(对坐标的)曲线积分。在什么条件下,积分值与路径无关? 从二元实变函数的格林公式 dx+ody= dxdy=(@-Py)dxdy 可知,如果Py=Qx,实变函数的第二类曲线积分则积分就与路径无关,从而复变函数积分 f()d==(udx-vdy)+i(udy+rdx) 与积分路径无关的条件是:4=-x且x=v,∈=CR条件+格林公式的条件。 单连通区域的 Cauchy定理 定理:设f(-)在单连通区域D内解析,则f()在D内沿任意一光滑或分段光滑闭合回路的积分为0
CR f (z) m z z ≤ CR f (z) m z z = I 因为 z 为复数， m z ≠ 1，而是 m z = m (R cos θ + R sin θ) = -m R sin θ I = CR f (z) -m R sin θ R θ = ε R θmin θmax -m R sin θ θ 注意此时 ε 0, 但 R ∞, 不能确定 ε R 0, 故需要算出对 θ 的积分。 x y 0 π/2 π 1 y=sinx y= 2 π x 对辐角大于 π 2 的那一段圆弧 ，可通过变换 ϕ = π - θ 化为一段辐角在 0 到 π 2 之间的积分 ， 例如：π/2 π -m R sin θ θ ϕ =π-θ 0 π/2 -m R sin ϕ ϕ 对任一段辐角在 0 到 π 2 之间的积分 ，利用 0 ≤ θ ≤ π/ 2 时有 sin θ > 2 π θ, 故：θmin θmax -m R sin θ θ ≤ θmin θmax -m R 2 π θ θ = π- m R θmin - - m R θmax 2 m R 代入 I 可得：I = π ε R - m R θmin - - m R θmax 2 m R = π ε 2 m - m R θmin - - m R θmax 0 若 m < 0， lim R∞CR f (z) m z z = 0 则要求当 z 在下半平面趋于 ∞ 时，f (z) 一致趋于 0。 上一章提到的积分（见下）就是利用 π 2 < θ ≤ π 的任一段大圆弧上 CR 上的积分为 0。当然还要利用一个闭合回 路的积分为 0 把积分化为沿 z + 1 = r θ0 （固定 θ0 = 2 3 π，r 从 0 到无穷）进行。至于什么条件下沿闭合路径积 分为 0，下一节就将讨论。 -∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 cos(17 x) d x 2.2 Cauchy 定理 复变函数的积分实际上为两个二元实变函数的第二类（对坐标的）曲线积分。在什么条件下，积分值与路径无关？ 从二元实变函数的格林公式 P x + Q y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y x y = (Qx - Py) x y 可知，如果 Py = Qx，实变函数的第二类曲线积分则积分就与路径无关，从而复变函数积分 f (z) z = (u x - v y) + (u y + v x) 与积分路径无关的条件是： uy = -vx 且 ux = vy ⟸ C-R 条件 + 格林公式的条件 。 单连通区域的Cauchy定理 定理：设 f (z) 在单连通区域 D内解析，则 f (z) 在 D内沿任意一光滑或分段光滑闭合回路的积分为 0。 5
f(-)d l=f)d==d(udx-vdy)+ i(udy+vdx 应用格林公式: ∮pax+ay-∫」 ao a dxdy d(v) au --ldxdy+i ddv=0. 最后一步应用了C-R条件 ■格林公式成立的条件:除单连通之外,还要求Py,Qx连续。对应于复变函数积分,就要求 x,vy四个偏导数 连续,但我们仅已知复变函数函数解析,解析的充要条件是:f()连续和CR条件。解析并不保证四个偏导数连续 (即使a,v可微,也不保证四个偏导数连续,后者只是前者的充分条件。)因此,利用格林公式证明 Cauchy定理是 不严格的。更严格的证明可参见: Ahlfors, Complex Analysis,阿尔福斯《复分析》赵志勇等译Chap.4 (*把工作目录设置成文件所在的目录*) SetDirectory [NotebookDirectory[]] Import["fig02 01 complexanalysis jpg", ImageSize+ 100] 复分析 L.V. Ahlfors:哈佛数学教授。1936年获菲尔茨奖。1953年美国科学院院士。1981年获沃尔夫奖。 书中许多 "clearly, obviously, evidently, it is easy to see, it is not difficult to see, it is plain that, it is readily seen that"f They are not used to blur the picture On the contrary they test the reader,'s understanding, for if he does not agree that the omitted reasoning is clea obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start? 历史上,该定理最早是在∫()连续(也即四偏导数连续)条件下,应用格林公式证明,而后 pursat在不用此 条件的情况下加以证明,因此,此定理也被称为 Cauchy-Goursa定理 ■前曾经介绍过一个定理,若一个复变函数在某区域解析,则f(),f(-),…也都解析。但这实际上是 Cauchy定理的 推论,不可用于证明 Cauchy定理。 闭合回路积分为0的条件还可放宽为:D内解析 D=D+C内连续(即边界只需连续),仍有(d=0,其中回路可以是边界C 推论:单连通区域D内的解析函数的积分只与起点和终点有关,与路径无关 原函数和定积分公式 定理:若f()在单连通区域D内单值解析,积分与路径无关
f (z) z = 0 证明： I = f (z) z = (u x - v y) + (u y + v x), 应用格林公式 ： P x + Q y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y x y I = ∂ (-v) ∂ x - ∂ u ∂ y x y + ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y x y = 0， 最后一步应用了 C - R 条件 ◼ 格林公式成立的条件： 除单连通之外，还要求 Py, Qx 连续。对应于复变函数积分，就要求 ux, uy, vx, vy 四个偏导数 连续，但我们仅已知复变函数函数解析，解析的充要条件是： f (z) 连续和C-R条件。解析并不保证四个偏导数连续 （即使 u, v 可微，也不保证四个偏导数连续，后者只是前者的充分条件。）因此，利用格林公式证明Cauchy定理是 不严格的。更严格的证明可参见：Ahlfors, Complex Analysis, 阿尔福斯 《复分析》 赵志勇等译 Chap. 4。 (* 把工作目录设置成文件所在的目录 *) SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["fig02.01 complexanalysis.jpg", ImageSize 100] L. V. Ahlfors：哈佛数学教授 。1936 年获菲尔茨奖 。1953 年美国科学院院士 。1981 年获沃尔夫奖 。 书中许多 “clearly, obviously , evidently , it is easy to see, it is not difficult to see, it is plain that, it is readily seen that” 等等。 “They are not used to blur the picture. On the contrary, they test the reader's understanding , for if he does not agree that the omitted reasoning is clear, obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start ?” ◼ 历史上，该定理最早是在 f ′(z) 连续（也即四偏导数连续）条件下，应用格林公式证明，而后Goursat在不用此 条件的情况下加以证明，因此，此定理也被称为Cauchy-Goursat定理。 ◼ 前曾经介绍过一个定理，若一个复变函数在某区域解析，则 f ′(z), f ′′(z), ... 也都解析。但这实际上是 Cauchy 定理的 推论，不可用于证明Cauchy定理。 ◼ 闭合回路积分为 0 的条件还可放宽为 ： D 内解析， D = D + C 内连续 （即边界只需连续 ），仍有 l f (z) z = 0，其中回路可以是边界 C。 ◼ 推论：单连通区域 D 内的解析函数的积分只与起点和终点有关，与路径无关。 原函数和定积分公式 定理：若 f (z) 在单连通区域 D 内单值解析 ，积分与路径无关 ， 6
那么|/()d=与路径无关,对于一个:值,就有确定的一个值Fe)与之对应,那么 F()=|f()d=是一个单值解析函数,F()=f()并且「f()d=F(=2)-F(-1) 证明:先证明解析,对〓∈D, △F=F+△)-F)=+4 feds= feds-Irsds= rs ds 因为f(-)可导,必连续,Vε>0,彐O(c),使得当-<δ时,U(=)-f()<ε, 导时△z→0,故可取1<6,那么在b上,U(=)-f()<E, fe)d-f)(无论△以何种方式→0,积分均可沿直线进行,因为与路径无关 ()-f(-) v(E-f()I ldET |△-=E F(=+△=)-F(=) 由于E可以任意小=P(=)=lin f(-) F(=)=f(=),故P()称为f(=)的原函数 类似于实变函数,下证f(=)的原函数之间只差一个常数 G()=F(-)=f(-),令G()-F()=h(),h(-)=G(=)-F()=0 =u+iv, h()= lx= lly =x=v= 0=h)=常数 G(=)-F()=c, G()=F()+c=f(E)dE+c Gco)=c G)-G(0)=G()-c=F()=f(dF=F()-P(z0),其中P(z0)=0 f(-)的所有原函数的集合称为f()的不定积分。 复连通的 Cauchy定理 定理:f()在闭复连通区域D内解析,则f(-)沿所有内外边界线正向积分和为0。 ∮ea+ f(-)d==0 证明:如下图作割线,变为单连通,如图绕行即可
那么 z0 z f (z) z 与路径无关 ，对于一个 z 值，就有确定的一个值 F(z) 与之对应 ，那么 F(z) = z0 z f (z) z 是一个单值解析函数 ，F′ (z) = f (z) 并且 z1 z2 f (z) z = F(z2) - F(z1) z0 l1 z z+Δz l2 l3 证明：先证明解析，对 z ∈ D, Δ F = F(z + Δ z) - F(z) = z0 z+Δ z f (ξ) ξ - z0 z f (ξ) ξ = l1+l3 f (ξ) ξ - l1 f (ξ) ξ = l3 f (ξ) ξ 因为 f (z) 可导，必连续， ∀ ε > 0， ∃ δ(ε)， 使得当 ξ - z < δ 时， f (z) - f (ξ) < ε， 求导时 Δ z 0， 故可取 Δ z < δ，那么在 l3 上， f (z) - f (ξ) < ε， F(z + Δ z) - F(z) Δ z - f (z) = 1 Δ z l3 f (ξ) ξ - f (z) （无论 Δz 以何种方式 0，积分均可沿直线进行 ，因为与路径无关 ） = 1 Δ z l3 [f (ξ) - f (z)] ξ ≤ 1 Δ z l3 f (ξ) - f (z) ξ ≤ 1 Δ z ε l3 ξ = ε Δ z Δ z = ε 由于 ε 可以任意小 ⟹ F′ (z) = lim Δ z0 F(z + Δ z) - F(z) Δ z = f (z) F′ (z) = f (z)，故 F(z) 称为 f (z) 的原函数 。 类似于实变函数 ，下证 f (z) 的原函数之间只差一个常数 。 G′ (z) = F′ (z) = f (z)，令 G(z) - F(z) = h(z) , h′ (z) = G′ (z) - F′ (z) = 0 h(z) = u + v , h′ (z) ⟹ ux = uy = vx = vy = 0 ⟹ h(z) = 常数。 G(z) - F(z) = c， G(z) = F(z) + c = z0 z f (ξ) ξ + c ⟹ G (z0) = c ⟹ G(z) - G(z0) = G(z) - c = F(z) = z0 z f (ξ) ξ = F(z) - F(z0), 其中 F(z0) = 0 f (z) 的所有原函数的集合称为 f (z)的不定积分。 复连通的Cauchy定理 定理： f (z) 在闭复连通区域 D内解析，则 f (z)沿所有内外边界线正向积分和为 0。 f (z) z = L0 f (z) z + k=1 n Lk f (z) z = 0 证明：如下图作割线，变为单连通，如图绕行即可。 7
推论:闭复连通区域D内的单值解析函数,沿外境线逆时针走向的积分等于沿所有内镜线逆时针走向积分和。 推论:在∫(=)的解析区域中,积分回路连续变形,积分值不变。 例题:求积分ln=(-ad,C为包围a点的任意一条闭合回路 n≥0时,被积函数是解析函数,ln=0; n<-1时,把C变形为圆心于a,半径为E的圆周 在C,:+”=cd0=44-h=ee"e In= ig+l e(+l)e de= n=-1时,把C变形为圆心于a,半径为E的圆周 eiee de=2i 合:h=d-apd=2rio-1, Kronecker符号 0ifi丰J 例题:求积分=JC(-aPd=,C为从b到b2的一条路径,如上右图 选取一解析区,如下右图黄色闭合回路围成的区域,在此解析区域里,积分可利用原函数概念 n+1
L0 L1 L2 推论： 闭复连通区域 D内的单值解析函数，沿外境线逆时针走向的积分等于沿所有内镜线逆时针走向积分和。 推论：在 f (z)的解析区域中，积分回路连续变形，积分值不变。 ☺ 例题：求积分 In = ∳ C (z - a)n z， C 为包围 a 点的任意一条闭合回路。 n ≥ 0 时，被积函数是解析函数， In = 0； n < -1 时，把 C 变形为圆心于 a，半径为 ε 的圆周 在 C，z = a + ε θ ⟹ z = ε θ θ ⟹ In = C (z - a)n z = 0 2 π εn n θ ε θ θ In = εn+1 0 2 π (n+1) θ θ = εn+1 n + 1 (n+1) θ 0 2 π = 0 n = -1 时，把 C 变形为圆心于 a，半径为 ε 的圆周 In = C z (z - a) = 0 2 π ε θ ε θ θ = 2 π 综合：In = C (z - a)n z = 2 π δn,-1, δi j = 1 if i = j 0 if i ≠ j —— Kronecker 符号 ☺ 例题：求积分 In = ∫ C (z - a)n z， C 为从 b1 到 b2 的一条路径，如上右图。 选取一解析区，如下右图黄色闭合回路围成的区域，在此解析区域里，积分可利用原函数概念。 n ≠ -1 时 In = b1 b2 (z - a)n z = (z - a) n+1 n + 1 b1 b2 = (b2 - a) n+1 - (b1 - a)n+1 n + 1 x L y y b a 1 b2 Δθ x y y b1 b2 C1 C2 n = -1 时 8
L1=0-d:-[Ln(=-a, 但Lnz是多值函数 Ln(b2-a)=hn|b2-a+iarg(b2-a)+i2kπ值不确定 积分与路径有关 如图积分从b沿绿线到达b2,ag(-a)顺时针转过△e 因此:L1=ln 为简单起见,取a=0,b1=-2i,b2=31,C1从b跨过负实轴到达b2,C2从b1跨过正实轴到达b2 沿C1:相对于原点,顺时针转r, 即:△argz=-丌,l 沿C2:相对于原点 逆时针转x,1-1=J2:=412ir, 着之差为:.-.=2x=2 其中C1为沿C1逆向的积分。结果同上一例题 妨从b经圆心于原点半径为2的圆周到达b=2i,再沿虚轴到b2=3i,以验证 i△e 其中△B为由积分路径确定的、复变量(=-a)转过的角度(逆时针为正顺时针为负) 小圆弧引理与大圆弧引理 小圆弧引理:若f()在=a的去心邻域内连续,在一段小國弧C:=-a=ret,1≤arg(=-a)=θ≤a上 (-a)f()=k 一致成立,则 lim /e)d:sik(e2-B1 说明:一致成立表明,对E>0,在z的辐角61≤6≤B2区间,存在与6无关的6 使得当|-a|<6时 a)f(-)-k|<E 证明:证明积分值,化为证明积分为0,即:需要证明r→0 deide =|f()d=-ikh-b)=0,在C上 (-a)f(-)-k d=,需要证明r→0时此积分为0 l-alldiIserld= MnsI=-af=)-kl =E(62-61) 大圆弧引理:若f()在无穷远点的去心邻域内连续,在一段大圆弧CR:二=Re6,R→∞,1≤θ≤B2上
I-1 = b1 b2 1 z - a z = [ Ln (z - a)]b1 b2 ， 但 Ln z 是多值函数 ， Ln(b2 - a) = ln b2 - a + arg (b2 - a) + 2 k π 值不确定 积分与路径有关 。 如图积分从 b1 沿绿线到达 b2，arg (z - a) 顺时针转过 Δθ 因此：I-1 = ln b2 - a b1 - a - Δθ x y b1 a b2 Δθ ▲ 为简单起见，取 a = 0，b1 = -2 ，b2 = 3 i， C1 从 b1 跨过负实轴到达 b2， C2 从 b1 跨过正实轴到达 b2。 沿 C1：相对于原点 ，顺时针转 π， 即：Δarg z = -π, I-1 = -2 3 1 z z = ln 3 2 - π 沿 C2：相对于原点 ， 逆时针转 π，I-1 = -2 3 1 z z = ln 3 2 + π， 二者之差为 ：C2 +C1 = C2 -C1 = 2 π = C 1 z z， 其中 C1 为 沿 C1 逆向的积分 。结果同上一例题 。 C1 x y b1 b2 C2 ▲ 不妨从 b1 经圆心于原点半径为 2 的圆周到达 b1 ′ = 2 ，再沿虚轴到 b2 = 3 ，以验证。 ▲ 结论： b1 b2 1 z - a z = ln b2 - a b1 - a + Δθ 其中 Δθ 为由积分路径确定的 、复变量 (z - a) 转过的角度 （逆时针为正顺时针为负 ）。 小圆弧引理与大圆弧引理 小圆弧引理：若 f (z) 在 z = a 的去心邻域内连续，在一段小圆弧 Cr： z - a = r θ， θ1 ≤ arg (z - a) = θ ≤ θ2 上 lim r0 (z - a) f (z) = k 一致成立 ，则 lim r0 Cr f (z) z = k (θ2 - θ1) 说明：一致成立表明，对 ∀ ε > 0，在 z 的辐角 θ1 ≤ θ ≤ θ2 区间，存在与 θ 无关的 δ， 使得当 z - a < δ 时， (z - a) f (z) - k < ε。 证明：证明积分值，化为证明积分为0，即：需要证明 r 0 时， I = Cr f (z) z - k(θ2 - θ1) = 0，在 Cr 上 : Cr z z - a = θ1 θ2 r θ θ r θ = (θ2 - θ1) I = Cr f (z) - k z - a z = Cr (z - a) f (z) - k z - a z，需要证明 r 0 时此积分为 0 I ≤ Cr (z - a) f (z) - k z - a z ≤ ε Cr z z - a = ε Cr r θ r = ε (θ2 - θ1) 大圆弧引理：若 f (z) 在无穷远点的去心邻域内连续，在一段大圆弧 CR： z = R θ, R ∞, θ1 ≤ θ ≤ θ2 上 9
lim =f()=K 一致成立,则 f(-)d==ik(62-61) 证明:需要证明R→∞时, Reside =|f()d=-ik(62-61)=0,在CR上 (62-61) l=|()--|d=C=/)-K f(-)-K d kH=(-6) 大圆弧与小圆弧定理今后常用,如何理解? 要求一段圆弧上的积分:f()d 如果是小圆弧(半径r→0),积分弧长趋于0,若f(=)有界, 则积分为0,因此仅当f(=)趋于无穷时,积分才不为0。 但f(-)也不能是“高阶无穷”,因此仅在im(-a)f()有限时积分才给出有限值。 如果是大圆弧(半径r→∞),积分弧长度趋于∞,因此仅当lmf()趋于0,积分才不发散。 因为弧长正比于R,也就正比于z,故要在Im=f()有限时 也即弧长与函数值的乘积有限时,积分值才有值。 22 Cauchy公式及其推论 解析函数不是简单的两个二元实变函数,其虚部和实部有一定关系(共轭性),知其一必知其二。还有另一个 特殊性质:解析函数各点的函数值不相互独立,特别是,给定边界上的值,则内部各点的值就确定。这就是 Cauchy公式:由边界值确定内部任一点的函数值。实变函数无此特性。在电磁理论中,若知道边界上电磁场的 值,即可知道内部电磁场 ■目前能容易求出的积分 In=((=-ard==2risn, -I 2.对解析函数f(2) f(-)d==0 3.能简单地求出原函数的积分 m:“?要更多的定哪、公式 有界单连通区域的 Cauchy公式 设函数f()在闭单连通区域D上解析,C为区域边界(分段光滑),则区域内任意一点a的函数值 I ffe)ds 区域内部的函数值由边界的函数值完全确定 证明:因为函数解析,积分回路可连续变形至C:==a+rel6,r→0
lim R∞z f (z) = K 一致成立 ，则 lim R∞CR f (z) z = K (θ2 - θ1) 证明：需要证明 R ∞ 时， I = CR f (z) z - K (θ2 - θ1) = 0，在 CR 上 : CR z z = θ1 θ2 R θ θ R θ = (θ2 - θ1) I = CR f (z) - K z z = CR z f (z) - K z z I ≤ CR z f (z) - K z z ≤ ε CR z z = ε (θ2 - θ1) 大圆弧与小圆弧定理今后常用，如何理解？ 要求一段圆弧上的积分 ：C f (z) z 如果是小圆弧 （半径 r 0）, 积分弧长趋于 0，若 f (z) 有界， 则积分为 0，因此仅当 f (z) 趋于无穷时 ，积分才不为 0。 但 f (z) 也不能是 “高阶无穷 ”，因此仅在 lim r0 (z - a) f (z) 有限时积分才给出有限值 。 如果是大圆弧 （半径 r ∞）, 积分弧长度趋于 ∞，因此仅当 lim R∞ f (z) 趋于 0， 积分才不发散 。 因为弧长正比于 R，也就正比于 z，故要在 lim R∞z f (z) 有限时， 也即弧长与函数值的乘积有限时 ，积分值才有值 。 2.2 Cauchy 公式及其推论 ◼ 解析函数不是简单的两个二元实变函数，其虚部和实部有一定关系（共轭性），知其一必知其二。还有另一个 特殊性质：解析函数各点的函数值不相互独立，特别是，给定边界上的值，则内部各点的值就确定。这就是 Cauchy 公式：由边界值确定内部任一点的函数值。实变函数无此特性。在电磁理论中，若知道边界上电磁场的 值，即可知道内部电磁场。 ◼ 目前能容易求出的积分 1. In = C (z - a)n z = 2 π δn,-1 2. 对解析函数 f (z) : C f (z) z = 0 3. 能简单地求出原函数的积分 C z zsin z = ? 需要更多的定理、公式。 有界单连通区域的Cauchy公式 设函数 f (z) 在闭单连通区域 D上解析， C为区域边界（分段光滑），则区域内任意一点 a 的函数值 f (a) = 1 2 π C f (z) z z - a ， 区域内部的函数值由边界的函数值完全确定 证明：因为函数解析，积分回路可连续变形至 Cr： z = a + r θ, r 0 10
