复旦大学：《电动力学》习题选录_电动力学习题课3

例1 在均匀电场中置入半径为R的导体球,试用分离变数法求下列两种情况的电势 1.导体球上有电池使球与地保持电势差 2.导体球上带总电荷Q 分析]有人会说都是把导体球放入电场,这两个问题有什么区别,其实由于导体在电厂中的 电荷Q与电势差为对偶量,不能同时确定。所以这两个问题虽然相似但却不同 解: 导体球只在导体表面存在电荷,所以拉普拉斯方程写为 V2=0 拉普拉斯方程: lvM.=0 对于金属是等势体∴啊= 边界条件: 无穷远处和原点。啊体=1C 。= 外界与金属球的边界: 其实这两个问题就是知道啊求Q和知道Q求中 1.导体球上有电池使球与地保持电势差 用勒朗德函数展开 A,R+B,R-tP(cos O 通解: =∑[CR+DR]Pes 由边界条件,8=4,8 SA R+BR+D-CR'-DR-+P(cos0)=0 →阳 ∑[4F+BR-CF-DR“]P 0

例 1 在均匀电场中置入半径为 R0 的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势 1． 导体球上有电池使球与地保持电势差 0 2． 导体球上带总电荷 Q [分析]有人会说都是把导体球放入电场，这两个问题有什么区别，其实由于导体在电厂中的 电荷 Q 与电势差 0 为对偶量，不能同时确定。所以这两个问题虽然相似但却不同。 解： 导体球只在导体表面存在电荷，所以拉普拉斯方程写为 拉普拉斯方程： 2 2 0 0    =   =  内 外 对于金属是等势体  =   内 0 边界条件： 无穷远处和原点： 0 0 0 0 -E R R    R Cos   → →  = +    =  内 外 外界与金属球的边界： 0 0 0 0 R R R R s R R ds Q n      → → →  = =     − =    内 外 0 外 其实这两个问题就是知道 内 求 Q 和知道 Q 求 内 。 1． 导体球上有电池使球与地保持电势差 0 用勒朗德函数展开 通解： ( 1) 0 ( 1) 0 (cos ) (cos ) l l l l l l l l l l l l A R B R P C R D R P      − + =  − + = = +     = +       内 外 由边界条件 R R0 R R0   → → 内 = 外 0 ( 1) ( 1) 0 (cos ) 0 l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R P   − + − + = →   + − − =   0 ' ( ' 1) ' ( ' 1) ' ' ' ' ' ' 0 (cos ) 0 l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R P   − + − + = →   + − − =  

只[4+k-CD+8 R-0 ∑「AP+BR-Cr-DRun(sl=0 [4R2+B2(-CR-DR]。=0 AR+B, Ro-+=CR+D,-+I) 施加我们的己知条件,首先,我们发现φ的形式比较简单所以 9=∑[4R+BR]P(cos) A+BR+ARcos 8+B,- cos+.=Po A=Po A1=0 B=0 =∑[cR+DR]Pcos Co+Dor+C. 8+ D, COS 8+.=-EoR Cos 8+Po =9o -eo C1=0> 把已知的A,B,C1,D代入Ar+Br=Cpr+Dr(+

0 ( 1) ( 1) ' ( ' 1) ' ( ' 1) ' ' ' ' ' , ' 0 (cos ) (cos ) 0 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R A R B R C R D R P P    − + − + − + − + = →     + − − + − − =      0 2 ( 1) ( 1) 2 0 (cos ) 0 l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R P   − + − + = →   + − − =   0 2 ( 1) ( 1) 0 l l l l l l l l R R A R B R C R D R − + − + →   + − − =   ( 1) ( 1) 0 0 0 0 l l l l A R B R C R D R l l l l − + − + + = + 内 外 施加我们的已知条件，首先，我们发现 内 的形式比较简单所以 ( 1) 0 1 2 0 0 1 1 0 0 0 (cos ) cos cos 0 0 l l l l l l l l A R B R P A B R A R B R A A B        − + = − − = +     = + + + +  =  =   =    = 内  ( 1) 0 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 (cos ) cos cos -E -E 0 >1 l l l l l R l l C R D R P C D R C R D R R Cos C C C l         − + → = − − = +     = + + + +  = +  =   =    = 外  把已知的 , , , A B C D l l l l 代入 l l l l ( 1) ( 1) A r B r C r D r l l l l − + − + + = +

Ao+BoRo=Co+DoRo A,R,+B,R=CR,+DRo-2 AR+BR+=CR+DRo P=Po+ DoRo 0=-EOR+DRo 0=DR34) =(-q)R ToRo =RC+%3+(-)R,ERs R 2.导体球上带总电荷O 我们可以假设导体球上带总电荷Q后电势为,最后只需将用Q表示出来就可以了。 p外= EoR CoS 6+9 Po)Ro EoR cos0 R R- E。Cosb (-PoRo ER cosO aR -E。COS6 (9 6 R Eo -E cos a(fo-pol-2Eo cos o R sin dedo=g 4m0(-q)=Q tREO 4丌RE

( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 ( 1) 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 -E 0 E 0 0 l l l l l l l l l l l A B R C D R A R B R C R D R A R B R C R D R D R R D R D R D R D R D l     − − − − − + − + − − − +  + = +   + = +      + = +  = +   = +       =  = −   =      =  ( ) 3 0 0 0 0 0 0 0 2 E cos -E R R R Cos R R       − 外 = + + + 2． 导体球上带总电荷 Q 我们可以假设导体球上带总电荷 Q 后电势为 0 ，最后只需将 0 用 Q 表示出来就可以了。 0 0 s R R ds Q n   →  − =   外 ( ) 3 0 0 0 0 0 0 0 2 E cos -E R R R Cos R R       − 外 = + + + ( ) ( ) 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 E cos -E 2 -E 2E cos R R R R R R Cos R R R Cos R          → →  − = − −  − = − − 外 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -E 2E cos sin 4 4 s Cos R d d Q R Q Q R                  − − − − =     − = − =  0 0 0 0 4 Q R     = +

8+=-EoR Cos 8+(+-@ EoR cos0 4T Re Pn=-EoRCos 6+9o tREx EoR cose 原电导球电势 偶极子项 可见一个带电导体球放入外电场中,就如在带电导体球原点处产生了一个偶极子,其实我们 可以用镜像电荷法简单的来看一下这个问题 a uniform field can be thought of as being produced by appropriate positive and negative charges at infinity →B0 R R (a) +Q z〓R R (b)

3 0 0 0 0 2 0 E cos -E 4 Q R R Cos R R       外 = + + + 3 0 0 0 0 2 0 E cos -E 4 Q R R Cos R R       外 = + + + 源场 偶极子项 原电导球电势 可见一个带电导体球放入外电场中，就如在带电导体球原点处产生了一个偶极子，其实我们 可以用镜像电荷法简单的来看一下这个问题。 A uniform field can be thought of as being produced by appropriate positive and negative charges at infinity:

If now a conducting sphere of radius a is placed at the origin, the potenti will be that due to the charges +o at FR and their images +Qa/R at z +a/R Q4丌∈o Q4m∈o p=(2+R2+2rR COs 0)2(2+R2-2rR cos 8)/2 aO4丌∈ aQ4T∈ R R R Cos 8 where p has been expressed in terms of the spherical coordinates of the obser- vation point. In the first two terms R is much larger than r by assumption. Hence we can expand the radicals after factoring out R. Similarly, in the third and fourth terms, we can factor out rand then expand. The result is 20 a3 r cos 0 COS 4m∈oLR2 (213) where the omitted terms vanish in the limit r→∞. In that limit2g;me∈ok becomes the applied uniform field, so that the potential is cos e The first term(-Eoz) is, of course, just the potential of a uniform field Eo rcos 8+ 2Q 4TEo R RZr coS/+ The second is the potential due to the induced surface-charge density or, equiv alently, the image charges. Note that the image charges form a dipole of strength D=Qa/R X 2a/R=4Eo Eo a. The induced surface-charge density is =3∈ Eo cos0 We note that the surface integral of this charge density vanishes, so that there is no difference between a grounded and an insulated sphere 求半径为R0的导体球,置于均匀静电场E中,则求两半各收到电场给它的作用力,求此张 力大小。 tRO ER cos 8 p外=- EoR CoS6+q+

求半径为 R0 的导体球，置于均匀静电场 E0 中，则求两半各收到电场给它的作用力，求此张 力大小。 0 0 0 0 4 Q R     = + 3 0 0 0 0 2 E cos -E R R Cos R     外 = + + 源场 偶极子项

0 E=-Vp外= ra0 pRO Eo cos ee R =E er+ege E.E2I 7=中eTd=∮ AiDs 6()E-E =6∮|EE-Ee, Eop=EoEo Cos-8. CoseR sin dedo 9 BRo Eo 例2上半空间存在介质1而下半空间存在介质2时在上半空间存在有一点电荷q求空间 中的电场. R R 解在点电荷Q作用下分界面上出现束缚电荷分布空间中的电场是由点电荷Q以及分界 面上的束缚电荷共同激发,我们运用镜像法认为在-z位置存在电荷Q则在介质1中电势为 在介质2看来我们假定在原来电荷的位置有Q”,电势为 qp(二<0)

E内 = 0 3 3 0 0 3 3 0 0 1 2 1 E cos 1 E sin r r r r E e e r r R R e e R R E e E e             = − = − −       = + − −         = + 外 外 外 2 0 0 1 T 2 = −   EE E I ( ) 2 0 0 s s 2 0 s 2 0 s 2 2 2 0 0 0 0 s 2 2 0 0 0 1 T 2 1 2 1 2 9 sin 2 9 2 r r r r r r f e ds e EE E I ds e E E E e ds E E E e ds E Cos Cos R d d R E               =  =  −       =  −       = −     =  =      例 2 上半空间存在介质 1,而下半空间存在介质 2 时,在上半空间存在有一点电荷 q,求空间 中的电场. 解 在点电荷 Q作用下,分界面上出现束缚电荷分布. 空间中的电场是由点电荷 Q 以及分界 面上的束缚电荷共同激发, 我们运用镜像法,认为在-z位置存在电荷 Q’,则在介质1中,电势为 1 1 ' ( 0) 4 ' Q Q z r r      = +     在介质 2 看来,我们假定在原来电荷的位置有 Q’’,电势为 0 1 '' ( 0) 4 Q z r      =    

利用边界条件 二=0:(=0) >0)(二0)(=<0) 1 e(x-a) 0(x+a) 4丌E o"(x-a) (x-a)2+ 0+0=0 0==20 2 O

利用边界条件 z z z =  =  0 : ( 0) ( 0)   1 2 ( 0) ( 0) z z n n         =   ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ' 4 Q Q x a y z x a y z       = +   − + + + + +   ( ) 2 2 2 2 2 1 '' 4 Q x a y z   = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 ' 1 '' 4 4 ' '' x x Q Q Q x a y z x a y z x a y z Q Q Q       = =     =  + =   − + + + + + − + +    + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 2 2 2 2 2 ( 0) ( 0) 1 ' 4 1 '' 4 ' '' x z z n n Q x a Q x a x a y z x a y z Q x a x a y z Q Q Q         →     =       − +  +     − + + − + +       − =   − + +    − + = 1 2 1 2 1 1 2 ' 2 '' Q Q Q Q        − = + = +